高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示课时作业

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示课时作业，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．在中，点是的中点，点分的比为与相交于，设，则向量（ ）
A．B．C．D．
2．已知为两个不共线的向量，若向量，则下列向量中与向量共线的是（ ）
A．B．C．D．
3．在中，点D在AB上，CD平分．若，，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．设，向量，，且，则（ ）
A．B．C．10D．
5．已知为的边的中点.若，，则（ ）
A．B．C．D．
6．如图所示，四边形是正方形，分别，的中点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知向量，，若不超过3，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知点P与共线，则点P的坐标可以为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知点是的重心，点，，C(−2,5)，点是上靠近点B的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则（ ）
A．B．的最大值为
C．最大值为9D．
11．如果是平面内两个不共线的向量，那么选项中正确的是（ ）
A．可以表示平面内的所有向量
B．对于平面内任一向量，使的实数对有无穷多个
C．两向量共线，则有且只有一个实数，使得
D．若存在实数使得，则
12．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．与的夹角为
D．在方向上的投影向量是
三、填空题
13．已知是两个不共线的向量，，，若与是共线向量，则实数 .
14．已知是边长为3的等边三角形，为上一点，为的中心，为内一点（包括边界），且，则的最大值为 .
15．已知点，且，则点的坐标是 ．
16．如图．在中，，分别为的中点，P为AD与BF的交点，且．若，则 ，若，则 ．
四、解答题
17．已知，.
(1)若，且、、三点共线，求的值.
(2)当实数为何值时，与垂直？
18．已知在中，N是边AB的中点，且，设AM与CN交于点P．记．

(1)用表示向量；
(2)若，且，求的余弦值．
19．如图，在中，，，AD与BC相交于点M.设，.

(1)试用基底表示向量；
(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，若，，求的值.
20．如图，在中，是上一点，是上一点，且，过点作直线分别交于点.
(1)用向量与表示；
(2)若，求和的值.
21．如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于．
(1)用和表示；
(2)求证：．
参考答案：
1．C
【分析】由三点共线性质以及平面向量基本定理解方程组即可得解.
【详解】
由题意三点共线，所以存在，使得，
同理三点共线，所以存在，使得，
由平面向量基本定理可得，解得，
所以.
故选：C.
2．B
【分析】根据向量线性运算表示，然后利用共线向量基本定理求解即可.
【详解】因为向量，，所以．
又，所以与共线．
故选：B．
3．B
【分析】根据等面积法可得，进而根据向量的线性的运算即可求解.
【详解】因为CD平分，由,
故，所以为的三等分点，
且，所以．
故选：B
4．D
【分析】根据题意，列出方程求得，结合向量的坐标运算，即可求解.
【详解】由向量，，
因为，可得，解得，
所以，所以.
故选：D.
5．B
【分析】应用向量加减、数乘的几何意义，用，表示出.
【详解】由，
所以.
故选：B
6．D
【分析】由平面向量的线性运算可得，即可求出，进而求出的值.
【详解】
，
所以，所以，
所以，
.
故选：D.
7．B
【分析】根据平面向量的坐标表示和几何意义可得，解之即可求解.
【详解】由题意知，，
所以，得，
即，解得，
即实数m的取值范围为.
故选：B
8．B
【分析】三点共线转化为向量共线，利用共线条件逐个判断即可.
【详解】设，则，
由三点共线，则，所以，
则.
选项A，，不满足，故A错误；
选项B，，满足，故B正确；
选项C，，不满足，故C错误；
选项D，，不满足，故D错误.
故选：B.
9．AB
【分析】根据三角形的重心坐标公式即可求得点坐标，利用共线向量的坐标计算公式易得点坐标，利用平面向量的夹角公式计算即得，通过平面向量的线性运算求出的坐标，易得其模长.
【详解】
对于A项，如图，点是的重心，点，，，设点，则，故A选项正确；
对于B项，因点是上靠近点的三等分点，则设则
即,解得，故B项正确；
对于C项，因为，则，
故,即，故C项错误；
对于D项，因则，故D项错误.
故选:AB.
10．AC
【分析】对于AD，将分别用表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于BC，以点为原点建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断.
【详解】对于A，因为，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，
所以，
则，故A正确；
对于B，，，
则
，故D错误；
对于C，如图，以点为原点建立平面直角坐标系，
则，
因为点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，
所以点的轨迹方程为，且在轴的下半部分，
设，
则，
所以，
因为，所以，
所以当时，取得最大值，故C正确；
因为，
所以，
即，
所以，
所以，
因为，所以当时，取得最大值，故B错误.
故选：AC.
11．AD
【分析】由平面向量基本定理、共线向量定理以及零向量的定义即可求解.
【详解】由平面向量基本定理可知，AD是正确的．
对于B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．
对于C，当时，不存在这样的，故选A，D.
故选：AD.
12．AC
【分析】已知向量的坐标，证明向量垂直，求向量的模长、夹角、投影等都比较简单，根据公式求解即可.
【详解】因为，，所以，
则，所以，故A正确；
因为，所以，故B错误；
，因为，所以，故C正确；
在方向上的投影向量是，故D错误.
故选:AC.
13．
【分析】由向量共线可得，由此构造方程组求得结果.
【详解】与是共线向量，
，即，
，解得：，
.
故答案为：.
14．3
【分析】由三点共线确定的位置，再利用向量投影的意义确定最值.
【详解】因为，，三点共线，所以，解得，
即为上靠近点的三等分点.
利用向量的投影定义，可知当位于点时，取得最大值，
最大值为.
故答案为：3
15．
【分析】利用平面向量的线性运算处理即可.
【详解】如图，连接，

设为坐标原点，建立平面直角坐标系，，
整理得．
故答案为：
16．
【分析】利用平面向量基本定理求解出及，进而利用平面向量的数量积运算法则进行计算即可得解.
【详解】连接DF，
因为分别为的中点，所以是△ABC的中位线，所以，
则
，
所以，所以；
因为，
所以，
故
.
故答案为：；.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于注意到点是的重心，从而利用中位数定理得到，进而利用平面向量的相关运算即可得解.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由、、C三点共线，可得与共线，列出方程即可得到的值；
（2）根据题意，由平面向量垂直的坐标运算，代入公式，即可得到结果.
【详解】（1）由题意可得，，
且、、三点共线，则可得，
即，
解得；
（2）由题意可得，，
因为与垂直，则可得,
解得.
18．(1)，．
(2)．
【分析】（1）由平面向量加减运算求解；
（2）利用运算求解.
【详解】（1），
，
．
（2）N，P，C三点共线，∴由得，
，即，
,即的余弦值为．
19．(1)
(2)
【分析】（1）由D，M，A三点共线，设，由C，M，B三点共线，可设，列出方程组，即可求解的值，得到结论；
（2）由E，M，F共线，设，由（1）可求得，化简即可求解.
【详解】（1）因为C，M，B三点共线，D，M，A三点共线，所以设，，
则，，
所以，解得，所以；
（2）因为E，M，F三点共线，所以设，
则，由（1）知，
所以，所以.
20．(1)
(2)，.
【分析】（1）利用向量的线性运算求解；
（2）设，利用向量的线性运算和平面向量基本定理求解.
【详解】（1）.
（2）因为，所以．设，
，
因为三点共线，
所以，解得，所以.
因为，
，
所以，即.
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件可得，，再结合向量的加减法和平面向量基本定理可求得结果；
（2）由题意可得，再结合和三点共线，可求出，从而可证得结论.
【详解】（1），
，
又为上靠近的三等分点，
，
；
（2）交于，，
由（1）知．
．
三点共线，
，解得，
．
即