44，河北省石家庄外国语学校2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷

这是一份44，河北省石家庄外国语学校2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，求得，结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】由集合，
又因为，可得.
故选：B.
2. 计算（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【详解】由诱导公式可得，
．
故选：A．
3. 已知幂函数为偶函数，且在上单调递减，则的解析式可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据偶函数的定义和幂函数的性质逐个分析判断即可您看到的资料都源自我们平台，家威鑫 MXSJ663 免费下载 【详解】对于A，的定义域为，因为定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，所以A错误，
对于B，的定义域为，因为，所以函数为偶函数，
因为在上递增，所以B错误，
对于C，的定义域为，因为，所以函数为偶函数，
因为在上单调递减，所以C正确，
对于D，的定义域为，因为，所以函数为奇函数，所以D错误，
故选：C
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据可得：或，再判断即可得到答案.
【详解】由可得：或，
即能推出，
但推不出
“”是“”的必要不充分条件
故选：B
【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，同时考查根据三角函数值求角，属于简单题.
5. 设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】可以根据指数函数和对数函数的单调性得出的范围，然后即可得出的大小关系.
【详解】解：，，
∴．
故选：D
6. 函数的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性求解即可．
【详解】函数的定义域为：，
函数在定义域内是增函数，
函数，图像抛物线开口向上，对称轴是轴，时，是增函数，
由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为．
故选：C．
7. 已知函数是定义域上的单调增函数，则的取值范围是（ ）
A. ，B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用分段函数以及指数函数与对数函数的性质，列出不等式组求解即可.
【详解】解：函数是定义域上的单调增函数，
可得，
解得：，.
故选：A.
【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用，指数函数以及对数函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.
8. 已知是定义在上的奇函数，若对任意，均有且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先变形得到，令，得到在上单调递增，结合，得到，再结合函数的奇偶性和单调性得到，从而求出答案.
【详解】因为，所以，所以.
设函数，则函数在上单调递增，且.
当时，不等式等价于，即，
即，解得，
又因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，当时，不等式无解.
因为是定义在上的奇函数，所以，
的定义域为，
又，
故为偶函数，且在单调递减，
当时，不等式等价于，即，
因为，故，解得，
综上，不等式的解集为.
故选：A.
二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由诱导公式可判断AC，由二倍角公式、辅助角公式可分别判断BD.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：BCD.
10. 对于给定实数，关于的不等式的解集可能是（ ）
A. B.
C. RD.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据的大小分类讨论.
【详解】时，不等式化为，，解集为，
时，不等式化，解集为，
时，不等式化为，，即解集为，
时，不等式化为，
时，或，解集为或，
时，或，解集为或，
故选：ACD．
11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
C. 是函数图象的一条对称轴
D. 若，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质及三角函数图象变换一一判断即可.
【详解】解：依题意可得，，所以，又，解得，
所以，又函数过点，即，所以，
所以，又，所以，所以，故A正确；
由的图象向左平移个单位长度得到，故B错误；
因为，所以是函数图象的一条对称轴，故C正确；
对于D：若，则取得最大（小）值且取最小（大）值，
所以，故D正确；
故选：ACD
12. 已知x，y均为正实数，则（ ）
A. 的最大值为
B. 若，则的最大值为8
C. 若，则的最小值为
D. 若，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，结合基本不等式，可判定A、C正确，B错误，再由，化简得到，得出，结合二次函数的性质，可判定D正确.
【详解】A中，因为，可得，当且仅当时，等号成立，
所以，即的最大值为，所以A正确；
B中，由，则，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，所以B不正确；
C中，若，则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确；
D中，由，可得，
则，
令，则，
又由，所以当，可得，
所以，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 计算：的值是__________．
【答案】5.
【解析】
【分析】利用指数的运算运算性质和对数的运算性质直接计算即可.
【详解】
.
故答案为5.
【点睛】本题考查对数式、指数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意指数、对数性质及运算法则的合理运用.
14. 若集合，，且，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数单调性和分式不等式的解法可求得集合，根据并集结果可确定的取值范围.
详解】由得：，即，解得：，；
，，，即实数的取值范围为.
故答案为：.
15. 函数在上有且仅有个零点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的零点，根据范围列不等式组即可．
【详解】令，则函数的零点为，，
所以函数在轴右侧的四个零点分别是，，，，
函数在上有且仅有个零点，
所以，解得．
故答案为：．
16. 已知函数的定义域为，满足，的图象关于直线对称，且，则 ______； ______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】在中令，即可得第一空答案；由题意可知的图象关于轴对称，从而得，运用到算式即可得第二空答案．
【详解】在中，令，则有；
的图象关于直线对称，则的图象关于轴对称，有，
又，则，得，
可得，，
所以，，，
所以
．
故答案为：；．
【点睛】结论点睛：函数的对称性：
（1）若，则函数关于中心对称；
（2）若，则函数关于对称.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 在平面直角坐标系中，角，的顶点与坐标原点重合，始边为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，两点的纵坐标分别为，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义结合同角三角函数的关系计算即可；
（2）根据诱导公式计算即可.
【小问1详解】
根据题意可知，
又，所以，则；
【小问2详解】
根据题意可知，
又，所以，
根据诱导公式可知.
18. 已知不等式的解集为，设不等式的解集为集合.
（1）求集合；
（2）设全集为R，集合，若是成立的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得和是方程的两根，代入求得，化简所求不等式，求解即可；
（2）将是成立的必要条件转化为子集关系，结合子集的定义及二次函数的性质即可求解.
【小问1详解】
因为不等式的解集为，
则和是方程的两根，
所以，解得，
所以不等式为不等式，
解得，即集合.
【小问2详解】
因为是成立的必要条件，所以.
当时，，解得；
当时，，解得.
综上，实数的取值范围是.
19. 已知是自然对数的底数，.
（1）判断函数在上的单调性并证明；
（2）解不等式.
【答案】19. 函数在上单调递增，证明见解析
20. 或
【解析】
【分析】（1）利用函数单调性的定义证明；
（2）首先证明函数是偶函数，将不等式转化为，再结合函数的单调性解不等式；
【小问1详解】
函数在上单调递增，证明如下：
任取，，且，
则
，
因为，，且，所以，所以，，，
故，即，
所以在上单调递增.
【小问2详解】
函数的定义域为，且，
所以是偶函数，
又由（1）知在上单调递增，
所以，
两边平方可得，解得或，
故不等式的解集为或.
20. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调减区间；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】先利用三角恒等变化化简，再利用正弦函数的性质即可得解.
【小问1详解】
因为
，
所以的最小正周期为，
令，得，
所以单调减区间为.
【小问2详解】
因为，即，
所以，则，
所以的解集为.
21. 茶，是中华民族的举国之饮，它发乎神农，闻于鲁周公，兴于唐朝，盛在宋代，如今已成了风靡世界的三大无酒精饮料(茶叶、咖啡和可可)之一，并将成为世纪的饮料大王.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数.现有某种刚泡好的普洱茶，茶水温度是，放在室温的环境中自然冷却，分钟后茶水的温度是.
（1）求的值；
（2）经验表明，当室温为摄氏度时，该种普洱茶用的水泡制，自然冷却至时饮用，可以产生最佳口感，那么，刚泡好的茶水在室温为时自然冷却大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?（结果精确到）
（附：参考值）
【答案】（1）；
（2）；
【解析】
【分析】（1）根据题意列出等量关系式，求解即可；
（2）代入得 然后结合，求解时间；
【小问1详解】
根据题意，当
代入函数模型，整理得：，
解得：.
小问2详解】
假设自然冷却大约时间能达到最佳饮用口感，
则有：，代入，
得：，
所以刚泡好的茶水在室温为时自然冷却大约需要放置后才能达到最佳饮用口感.
22. 对于函数，若，则称实数为函数的不动点．设函数，．
（1）若，求函数的不动点；
（2）若函数在区间上存在两个不动点，求实数a的取值范围；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）0和1；
（2）；
（3）.
【解析】
分析】（1）直接根据定义解方程即可；
（2）将方程分离参数化为，利用换元法结合对勾函数的单调性计算即可；
（3）不等式，利用指数函数的单调性得出，，再分离参数并换元结合函数的单调性计算即可.
【小问1详解】
当时，方程可化为，解得或；
所以，函数的不动点为0和1．
【小问2详解】
方程，即，可化为．
令，则当时，关于单调递增，且．
由题意，关于的方程在上有两个不等实根．
由于对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
且．
所以，．
综上，实数的取值范围为．
【小问3详解】
不等式可化为．
易知，函数在上最大值为，最小值为；
由题意，，，即．
上述不等式可化为．
令，则当时，．
由题意，，不等式恒成立．
函数在上单调递增，最大值为；
函数在上单调递减，最小值为．
所以，，即．
综上，实数a的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：第二问将对数方程化为指数方程，利用分离参数及换元法转化为对勾函数定区间内有零点，结合对勾函数的单调性计算即可；第三问含有双变量的恒成立问题，先将原不等式化为在定区间恒成立，利用的最值得出的范围，同第二问分离参数及换元，利用函数的单调性计算即可.