河北省石家庄市西山学校2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

这是一份河北省石家庄市西山学校2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题，文件包含河北省石家庄市西山学校2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题docx、答题卡pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。

高二年级数学试题
第I卷（选择题，共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知是平面内一点，是平面的法向量，若点是平面外一点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆 的左焦点是双曲线 的左顶点，则双曲线的渐近线为（ ）
A． B． C． D．
4．已知为正项等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则S5等于（ ）
A． B． C． D．
5．甲乙两人进行羽毛球比赛，在前三局比赛中，甲胜2局，乙胜1局，规定先胜3局者取得最终胜利，已知甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则甲取得最终胜利的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，曲线在点处的切线与直线平行，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，若直线上存在一点M使得，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线的左，右焦点分别是，过右焦点的直线交双曲线的右支于两点，若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9．已知直线，圆，点，正确的是（ ）
A．点在直线上 B．点在圆上 C．直线与圆相离 D．直线与圆相切
10．设数列 的前 项和为 ，满足 ，其中，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．为等差数列 QUOTE
C． D．当时，有最大值
11．如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（ ）
A． B．
C．四边形的面积为
D．平行六面体的体积为
第 = 2 \* ROMAN II卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12．在等比数列 中，，则 ．
13．已知随机事件和相互独立，若，（表示事件的对立事件），则 ．
14．已知直线是抛物线的准线，抛物线的顶点为，焦点为，若为上一点，与的对称轴交于点，在中，，则的值为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本题13分）已知圆C经过点和，且圆心在直线上，求：
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点作圆C的切线，求该切线方程；
（3）若圆C上恰有3个点到直线：的距离为1，求实数m的值.
16．（本题15分）已知数列是公比大于0的等比数列，数列是等差数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）设，求数列的前项和.
17．（本题15分）一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚．学生多角度、多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩．假设某题共存在4种常规解法，已知小红使用解法一、二、三、四答对的概率分别为，且各种方法能否答对互不影响，小红使用四种解法全部答对的概率为．
（1）求的值；
（2）求小红不能正确解答本题的概率；
（3）求小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率．
18．（本题17分）如图，在正方体中，为棱上一点（不含端点），为棱的中点.
（1）若为棱的中点，
（i）求直线与平面所成角的正弦值；
（ii）求平面和平面的夹角的余弦值；
（2）求直线与所成角余弦值的取值范围.
19.（本题17分）在平面直角坐标系中，椭圆：的上顶点到焦点的距离为2，离心率为.
（1）求的值；
（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于、两点.
（i）若点的坐标为，且，求直线的方程；
（ii）若的值与点的位置无关，求的值.
期末试题
参考答案
一、单选题
1．【答案】A
【分析】有直线倾斜角和斜率的关键即可得解．
【详解】由题意直线的斜率为，所以直线的倾斜角为．
故选：A．
2．【答案】C
【分析】根据点到平面的距离公式即可求出．
【详解】由题意得，故点到平面的距离，
故选：C．
3．【答案】D
【分析】根据椭圆和双曲线相关基本知识直接求解即可．
【详解】设椭圆焦距为，
则，则，所以椭圆的左焦点为，
所以双曲线的左顶点为，
所以，所以，
所以双曲线的渐近线为．
故选：D
4．【答案】C
【分析】根据等差中项的性质得到，结合，利用等比数列的基本量求得和公比，再由等比数列的求和公式即可得到．
【详解】因为与的等差中项为3，所以，
设等比数列的公比为，
又，得：，解得：，
则，
故选：C．
5．【答案】D
【分析】分两类，利用相互独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式计算即可．
【详解】甲取得最后的胜利包含两种情况：
一是第4局甲胜，此时甲胜的概率为；
二是第4局甲负，第5局甲胜，此时甲胜的概率为，
所以甲取得最终胜利的概率为．
故选；D．
6．【答案】B
【分析】利用导数的几何意义求出点的坐标，然后利用点斜式可得出直线的方程．
【详解】因为，其中，则，
直线的斜率为2，由，可得，且，即点，
所以，直线的方程为，即．
故选：B．
7．【答案】A
【分析】由可得点在以为直径的圆上，则以为直径的圆与直线有公共点，然后利用点到直线的距离公式列不等式可求得结果．
【详解】，
点在以为直径的圆上，
以为直径的圆与直线有公共点．
以为直径的圆的圆心为、半径为1，
，化简整理得，
解得，
故选：A．
8．【答案】C
【分析】根据双曲线的定义及求出，利用勾股定理可求结果．
【详解】如图，设，由双曲线定义知，则．
又，所以，
所以．
又，所以，由，
得，则，而，
则，化简得，所以．
故选：C．
9．ABD
【分析】将点代入直线和圆的方程，根据是否满足方程即可判断在不在直线和圆上，根据距离等于半径，可推断直线与圆相切．
【详解】解：将点代入直线的方程，满足，
所以点在圆上，A选项正确；
将点代入圆的方程，满足，
所以点在圆上，B选项正确；
圆心到直线的距离
直线与圆相切，C选项错误，D选项正确；
故选：ABD．
10．ABC
【详解】因为，所以，
又因为，所以，
所以数列是首项19，公差为的等差数列，
即．故选项AB正确．
因为，所以，故选项C正确．
因为，所以当时，有最大值，故选项D错误．
11．【答案】ABD
【分析】A、B选项通过空间向量的模长及数量积进行判断即可；C选项通过空间向量求出，进而求出面积即可；D选项作出平行六面体的高，求出相关边长，即可求出体积．
【详解】，则
，故，A正确；
，
，故，B正确；
连接，则，
，即，同理，故四边形为矩形，
面积为，C错误；
过作面，易知在直线上，过作于，连接，由得面，易得，故，，故平行六面体的体积为，
D正确．
故选：ABD．
12．12
【分析】根据等比数列的通项公式可得结果．
【详解】设等比数列的公比为，所以，
所以，
故答案为：12．
13．0.9
【分析】求出的值，再利用独立事件的概率乘法公式可求得的值．
【详解】由对立事件的概率公式可得，
由独立事件的概率乘法公式可得，因此，．
故答案为：0.9．
14．
【分析】在中，由结合正弦定理可得，在设抛物线上点，列式求解即可得，则可求．
【详解】因为抛物线的准线，焦点为，准线与的对称轴交于点，
所以，
因为在中，，
所以由正弦定理可得，，
因为为抛物线上一点，所以可设为
由此可得，
平方化简可得：，即，可得，
．
故答案为：．
15．【详解】（1）解：因为点和，所以线段的中点为，则线段的中垂线方程为，即，
由，解得，则圆心为，
所以圆的方程为：；
（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为，
则圆心到直线的距离，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即，
解得或，
所以切线方程为；或；
（3）因为圆上恰有3个点到直线：的距离为1，
所以圆心到直线的距离为，解得或．
16．【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，
由，得，
即，解得或（舍），
故；
由，得，解得，
故；
综上，的通项公式为的通项公式为
（2）由（1）可得．
所以，数列的前项和
（3）由（1）可得，
则①
②
①-②，得
，
所以，．
17．【详解】（1）记小红使用解法一、二、三、四答对分别为事件，则，
因为各种解法能否答对互不影响，且全部答对的概率为，
于是，解得，所以
（2）若小红不能正确解答本题，则说明小红任何方法都不会，
所以小红不能正确解答本题的概率是．
（3）记事件为小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对，
则
，
所以小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率为．
18．【详解】（1）在正方体中以分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示
设正方体的棱长为2，
若为棱的中点，则．
所以．
（ⅰ）设平面的一个法向量为，
则即令，则．
设与平面所成角为，则有．
故直线与平面所成角的正弦值为
（ⅱ）易知平面的一个法向量为，
设平面和平面的夹角为，则有．
故平面和平面的夹角的余弦值为
（2）设直线与所成角为，则．
所以
．
因为，所以，即，于是有，
所以，即．
故直线与所成角余弦值的取值范围为．
19．【详解】（1）由题意知：，解得
；
（2）
设，
联立方程，消去，得：，
则
（ⅰ）当时，因为在椭圆内，所以恒成立，
因为，所以，
又
则，即，
则，即，解得：
则；
（ⅱ）因为，
，
，
若的值与点的位置无关，即与的值无关，
则的系数为0，
即，解得