石家庄市第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份石家庄市第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知条件,条件,<1,则是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．已知函数的最小正周期是,那么正数( )
A.2B.1C.D.
4．函数的零点所在的区间是( )
A.B.C.D.
5．函数的大致图象是( )
A.B.
C.D.
6．已知,,,则a,b,c的大小关系是( )
A.B.C.D.
7．定义在R上的偶函数在时为增函数,若实数a满足,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．函数的所有零点之和为( )
A.2B.4C.6D.8
9．图1是淘宝网某商户出售某种产品的数量x与收支差额y（销售额-投入的费用）的图象,销售初期商户为亏损状态,为了实现扭亏为盈,实行了某种措施,图2为实行措施后的图象,则关于两个图象的说法正确的是
A.实行的措施可能是减少广告费用B.实行的措施可能是提高商品售价
C.在B点处累计亏损最多D.A点表明不出售商品则不亏损
二、多项选择题
10．设,,若,则实数a的值为( )
A.B.C.D.0
11．下面四个函数中为奇函数的是( )
A.B.
C.D.
12．已知,,,则( )
A.B.C.D.
三、填空题
13．已知扇形的圆心角为120°,半径为3,则扇形的面积是________.
14．若函数为奇函数,则实数______________．
15．已知函数,且其图象过定点P,角的始边与x轴的正半轴重合,顶点为坐标原点,终边过定点P,则_____________.
16．,若,则_________.
四、解答题
17．已知,.
（1）当时,求;
（2）若,求实数a的取值范围.
18．已知函数.
（1）求在上的单调递减区间;
（2）若, ,求的值．
19．设函数
（1）当时,对,恒成立,求m的取值范围;
（2）若函数在时有两个零点,求两个零点之间距离的最小值,并求此时a的值．
20．据国家气象局消息,今年各地均出现了极端高温天气．漫漫暑期,某制冷杯成了畅销商品．某企业生产制冷杯每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成才（与生产产品的数量无关）：20万元;②生产所需材料成本：万元,x（单位：万套）为每月生产产品的套数．
（1）该企业每月产量x为何值时,平均每万套的成本最低?一万套的最低成本为多少?
（2）若每月生产x万套产品,每万套售价为：万元,假设每套产品都能够售出,则该企业应如何制定计划,才能确保该制冷杯每月的利润不低于625万元?
21．已知,函数,,
（1）若,,求;
（2）若,,求m;
（3）若,,问：是否为定值（与a无关）?并说明理由,
22．函数在一个周期内的图象如图所示,A为图象的最高点,B、C为图象与x轴的交点,且为等边三角形．将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍,将所得图象向右平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数的图象
（1）求函数的解析式及函数的对称中心．
（2）若对任意恒成立,求实数的取值范围．
参考答案
1．答案：D
解析：由题知,又,所以,
又,所以,
故选：D.
2．答案：A
解析：,则．所以是p成立的充分不必要条件,故选A
3．答案：B
解析：由题：
,
其最小正周期所以正数,
故选：B.
4．答案：D
解析：易知函数的定义域为,
且函数在上是连续不断的,
又,,
由函数零点存在性原理可知,在区间上有零点,
又在区间上单调递增,
所以在上只有一个零点,
故选：D.
5．答案：B
解析：易知函数的定义域为,
因为,
所以函数为非奇非偶函数,排除A;
易知当时,,故排除C;
因为,,
所以,所以排除D．
故选：B．
6．答案：A
解析：因为,,所以,
又因为,所以,得到,即,所以,
故选：A.
7．答案：C
解析：
因为定义在R上的偶函数,所以
即
又在时为增函数,则,解得
故选：C.
8．答案：C
解析：函数零点等价于函数和的图象在区间内的交点的横坐标．
由于两函数图象均关于直线对称,且函数的周期为2,
结合图象可知两函数图象在一个周期内有2个交点且关于直线对称,
所以两交点横坐标之和为2,故其在三个周期即内的所有零点之和为,
故选：C．
9．答案：B
解析：起点不变,所以投入的费用不变,扭亏为盈变快了,所以可能是提高商品售价,选B.
10．答案：ABD
解析：因为,,且,
当时,,符合题意;
当时,,又,所以或,解得或,
综上,或或,
故选：ABD.
11．答案：CD
解析：对于选项A,因为,
所以,所以选项A错误,
对于选项B,因为,所以,且其定义域为R,
故为偶函数,所以选项B错误,
对于选项C,因为,易知其定义域为R,关于原点对称,
又,所以为奇函数,故选项C正确,
对于选项D,因为,易知其定义域为,关于原点对称,
又,所以为奇函数,故选项D正确,
故选：CD.
12．答案：ACD
解析：对A、B：因为,所以,,
当且仅当时,等号成立,故A正确,B错误;
对C：若,则,
所以,
当且仅当,即,时,等号成立,故C正确,
对D：若,则,所以,
由,,及,可知,
则当,即,时,,故D正确,
故选：ACD．
13．答案：
解析：扇形的圆心角为120°,即,故扇形面积,
故答案为：.
14．答案：1
解析：由题知,得到,
整理得到恒成立,所以,得到,
故答案为：1.
15．答案：10
解析：函数的定点为,
由题意,角终边过定点P,所以,,所以,
故答案为：10,
16．答案：
解析：,
令,平方得
即,
因为,所以
因为,
所以,
由可整理得,
解得,所以,
即,所以,．
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）,,
当时,由,解得,
,
,
（2）,
或,
解得,
实数a的取值范围是.
18．答案：（1）;
（2）
解析：（1）,
由,,解得,,
又,∴函数在上的单调递减区间为,
（2）由（1）知,
又, ,
,,
,
,
∴sin 2α＝sin＝sincs＋cssin
.
19．答案：（1）
（2）最小值为5,
解析：（1）当时,,对称轴为,
又因为,所以,当时,取到最小值为,
所以.
（2）因为在时有两个零点,
设两个零点为,且,是方程的两根,
所以且,
整理得到,所以,
又,
所以,此时.
20．答案：（1）每月产量20万套时,平均每万套的成本最低,一万套的最低成本为12万元
（2）该企业每月生产不小于万套,才能确保该制冷杯每月的利润不低于520万元
解析：（1）设平均每套成本为y元,
由题有,
当且仅当,即时,取等号.
所以企业每月产量20万套时,平均每万套的成本最低,一万套的最低成本为12万元,
（2）设月利润为P万元,
则有,
由题知,整理得到,解得.
所以,该企业每月生产不小于30万套,才能确保该制冷杯每月的利润不低于625万元,
21．答案：（1）
（2）
（3）为定值3,理由见解析
解析：（1）当时,,,
由得,,故,即,
此时.
（2）由得,,
由得,,故,
注意到,
所以,解得.
（3）因为,所以（﹡）,
变形得,,所以,
又因为,函数为单调增函数,所以,
代入（﹡）,得,即,所以为定值（与a无关）.
22．答案：（1）;,
（2）
解析：（1）因为
,
结合图象,可知点A的纵坐标为,为等边三角形,所以三角形边长为2,
所以,解得,,
所以,
令,得,
所以对称中心为,.
（2）因为,
所以不等式可化为,
因为,则,故,
则,令,,则,
则在上是增函数,
故当时,,.