高一数学下册考试真题强化训练 期末专题07 立体几何小题综合原卷版+解析

这是一份高一数学下册考试真题强化训练 期末专题07 立体几何小题综合原卷版+解析，共53页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2022春·江苏淮安·高一统考期末）用半径为2的半圆形铁皮围成一个圆锥筒，则该圆锥筒的高为（ ）
A．1B．C．2D．6
2．（2022春·江苏南通·高一统考期末）已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则该三棱锥的表面积是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·江苏镇江·高一统考期末）已知a，b为异面直线，aα，bβ，α∩β＝c，则直线c一定（ ）
A．同时和直线a，b相交B．至少与直线a，b中的一条相交
C．至多与直线a，b中的一条相交D．与直线a，b中一条相交，一条平行
4．（2022春·江苏镇江·高一统考期末）已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是空间中两个不同的平面，则下列说法中，正确的个数是（ ）
（1）若m⊥α，m⊥β，则α//β；（2）若m//α，n//α，则m//n；
（3）若m⊥α，n⊥α，则m//n；（4）若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m//n．
A．1B．2C．3D．4
5．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
6．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）已知是两个不重合的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
7．（2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一.如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为，圆柱部分高度为，已知陀螺的总体积为，则此陀螺圆柱底面的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）某圆锥的侧面积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022春·江苏南京·高一统考期末）《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有如图所示的“堑绪"，其中，，当“阳马”（即四棱锥）体积为时，则“堑堵”即三棱柱的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022春·江苏南通·高一统考期末）如图，直三棱柱中，是的中点，则 （ ）
A．B．C．D．
11．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）一个直角梯形上底、下底和高之比为，将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，则这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比为（ ）
A．B．C．D．
12．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的底面半径为（ ）
A．B．1C．D．2
13．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）一个斜边长为2的等腰直角三角形绕斜边旋转一周，所形成的几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
14．（2022春·江苏苏州·高一校联考期末）如图将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，有如下四个结论
① ②ACD是等边三角形
③AB与CD所成的角为 ④AB与平面BCD所成的角为
其中错误的结论是（ ）
A．①B．②C．③D．④
15．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）直三棱柱中，，，则与平面所成的角为（ ）
A．B．C．D．
16．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）已知是所在平面外一点，到，，的距离相等，且在所在平面的射影在内，则一定是的（ ）
A．内心B．外心C．垂心D．重心
17．（2022春·江苏扬州·高一期末）如图，三棱锥中，平面平面ABC，，，．三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球心O到平面ABC的距离为（ ）
A．B．C．D．
18．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体挖去一个四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，那么该模型的表面积为（ ）．
A．B．
C．D．
19．（2022春·江苏苏州·高一校考期末）在三棱锥中，平面，且，若球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
20．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（ ）
A．8B．10C．12D．
21．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）已知正四棱锥的侧棱长为3，其顶点均在同一个球面上，若球的体积为，则该正四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
22．（2022春·江苏南通·高一统考期末）若一个圆台的高为，母线长为，侧面积为，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
23．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面平面，且为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
24．（2022春·江苏扬州·高一期末）刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸．规之为圆困，径二寸，高二寸．又复横规之，则其形有似牟合方盖矣．”牟合方盖是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，计算其体积的方法是将原来的“牟合方益”平均分为八份，取它的八分之一（如图一）．记正方形OABC的边长为r，设，过P点作平面PQRS平行于平面OABC．，由勾股定理有，故此正方形PQRS面积是．如果将图一的几何体放在棱长为r的正方体内（如图二），不难证明图二中与图一等高处阴影部分的面积等于．（如图三）设此棱锥顶点到平行于底面的截面的高度为h，不难发现对于任何高度h，此截面面积必为，根据祖暅原理计算牟合方盖体积（ ）
注：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等
A．B．C．D．
二、多选题
25．（2022春·江苏扬州·高一期末）如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且满足平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．平面截正方体所得截面面积为
B．点F的轨迹长度为
C．存在点F，使得
D．平面与平面所成二面角的正弦值为
26．（2022春·江苏常州·高一统考期末）如图，二面角的大小为120°，点A，B在二面角的棱l上，过点A，B分别在平面和内作直线l的垂线段和，且，，，则下列结论正确的是（ ）.
A．异面直线和的所成之角为120°
B．
C．点C到平面与点D到平面的距离之比为
D．异面直线和的之间距离是
27．（2022春·江苏连云港·高一连云港高中校考期末）对于两个平面α，β和两条直线m，n，下列命题中假命题是（ ）
A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
C．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nD．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
28．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）在长方体中，矩形、矩形、矩形的面积分别是，，，则（ ）
A．B．长方体的体积为
C．直线与的夹角的余弦值为D．二面角的正切值为2
29．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，点是正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ）
A．直线与直线夹角为60°
B．平面截正方体所得截面为等腰梯形
C．若，则动点的轨迹长度为
D．若平面，则动点的轨迹长度为
30．（2022春·江苏南通·高一统考期末）如图1所示，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，将和分别沿AE，AF及EF所在的直线折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥P－AEF如图2所示），设M为底面AEF内的动点，则（ ）
A．PA⊥EF
B．二面角P－EF－A的余弦值为
C．直线PA与EM所成的角中最小角的余弦值为
D．三棱锥P－AEF的外接球的表面积为
31．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）设和为不重合的两个平面，下列说法中正确的是（ ）
A．若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行
B．直线与垂直的充要条件是与内的两条直线垂直
C．若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于
D．设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直
32．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）在棱长为1的正方体中，点P在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的有（ ）．
A．三棱锥的外接球的表面积为B．异面直线和所成的角为
C．直线CP和平面所成的角为定值D．的最小值为
33．（2022春·江苏苏州·高一校考期末）已知正三棱柱的棱长均为2，点D是棱上（不含端点）的一个动点．则下列结论正确的是（ ）
A．棱上总存在点E，使得直线平面
B．的周长有最小值，但无最大值
C．三棱锥外接球的表面积的取值范围是
D．当点D是棱的中点时，二面角的正切值为
34．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线所成的角为
B．直线与直线所成的角为
C．若平面过点M，且，则平面截正方体所得的截面图形的周长为
D．动点P在侧面及其边界上运动，且，则与平面所成角的正切值的取值范围是
35．（2022春·江苏苏州·高一校联考期末）如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．三棱锥外接球的表面积为9π
C．点C到平面AEF的距离为
D．平面AEF截正方体所得的截面面积为
36．（2022春·江苏苏州·高一统考期末）已知正方体的棱长为1，则下列选项正确的有（ ）
A．若为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为
B．若为棱的中点，则过点有且仅有一条直线与直线都相交
C．若为以为直径的球面上的一个动点，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为
D．若平面，则截此正方体所得截面图形的面积越大，其周长越大
37．（2022春·江苏南通·高一统考期末）在正方体中，点是线段上一动点，则下列各选项正确的是（ ）
A．
B．平面
C．直线与平面所成角随长度变化先变小再变大
D．存在点使得过有条直线分别与和所成角大小为
三、填空题
38．（2022春·江苏苏州·高一统考期末）若圆台上下底面半径分别为和，高为，则此圆台的体积为___________.
39．（2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）如图在正三棱锥中，分别是的中点，，且，则正三棱锥的体积是___________；
40．（2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）长方体中，，，，则一只小虫从点沿长方体的表面爬到点的最短距离是___________．
41．（2022春·江苏南通·高一统考期末）有如下解法求棱长为的正四面体BDA1C1的体积：构造一个棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，我们称之为该正四面体的”生成正方体”（如图一），正四面体BDA1C1的体积 ．一个对棱长都相等的四面体，通常称之为等腰四面体，已知一个等腰四面体的对棱长分别，，（如图二），则该四面体的体积为__________．
42．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）如图，已知圆锥轴截面为等腰直角三角形，底面圆O的直径为2，点C在圆O上，且，E为线段上异于P，B的点，则的最小值为___________．
43．（2022春·江苏南通·高一统考期末）我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑现有一个“鳖臑”，底面，，且，，，则该四面体的外接球的表面积为__________．
44．（2022春·江苏镇江·高一统考期末）一个正四面体的四个顶点都在一个表面积为24π的球面上，则该四面体的体积为_____．
45．（2022春·江苏扬州·高一期末）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，三棱锥为一个鳖臑，其中平面，，，，M为垂足，则三棱锥的外接球的表面积为________．
期末专题07 立体几何小题综合
一、单选题
1．（2022春·江苏淮安·高一统考期末）用半径为2的半圆形铁皮围成一个圆锥筒，则该圆锥筒的高为（ ）
A．1B．C．2D．6
【答案】B
【分析】根据圆锥的展开图可知底面圆周长与弧长的关系，进而可求底面圆半径以及母线，由勾股定理即可求高.
【详解】半圆的的弧长等于圆锥的底面圆周长，故底面圆的半径为1，圆锥母线为2，故高为：
故选：B
2．（2022春·江苏南通·高一统考期末）已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则该三棱锥的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】画出图形，求出底面积和侧面积，即可求出三棱锥的表面积.
【详解】如图，正三棱锥中，
，取的中点，连接，
则在上，且，
又，所以，
所以，则，
所以，
故三棱锥的表面积为.
故选：D
3．（2022春·江苏镇江·高一统考期末）已知a，b为异面直线，aα，bβ，α∩β＝c，则直线c一定（ ）
A．同时和直线a，b相交B．至少与直线a，b中的一条相交
C．至多与直线a，b中的一条相交D．与直线a，b中一条相交，一条平行
【答案】B
【分析】根据两平面相交，交线不能同时与两异面直线平行即可得解.
【详解】因为aα，bβ，α∩β＝c，a，b为异面直线，
所以不可以与都平行，否则平行，与为异面直线矛盾，
故至少与直线a，b中的一条相交.
故选：B
4．（2022春·江苏镇江·高一统考期末）已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是空间中两个不同的平面，则下列说法中，正确的个数是（ ）
（1）若m⊥α，m⊥β，则α//β；（2）若m//α，n//α，则m//n；
（3）若m⊥α，n⊥α，则m//n；（4）若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m//n．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由面面平行的判定定理可判断（1），根据线面平行及线线的位置关系判断（2），根据线面垂直的性质定理判断（3），利用反证法可判断（4）．
【详解】对于（1）：若m⊥α，m⊥β，由垂直于同一直线的两个平面平行知α//β，故正确；
对于（2）：若，，则与相交、平行或异面，故错误；
对于（3）：若，，由垂直于同一平面的直线平行知，故（3）正确；
对于（4）：若m⊥ α，n⊥ β，α⊥ β，则m//n不正确，若m//n可得由（1）知，与α⊥ β矛盾，故（4）错误；
故选：B
5．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
【答案】C
【分析】ABD选项，可以举出反例，C选项，可以利用面面垂直的性质进行证明
【详解】A选项，若，，，则或异面，A错误；
B选项，如图，
满足，，，而，故B错误；
C选项，因为，设，，
所以，因为，所以，
因为，，所以，则，
C正确；
D选项，如图，
满足，，而，D错误.
故选：C
6．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）已知是两个不重合的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【分析】由空间线面位置关系的判定及性质依次判断即可.
【详解】对于A，若，则或，A错误；对于B，若，则或异面，B错误；
对于C，若，则或，C错误；对于D，由线面平行的性质知正确.
故选：D.
7．（2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一.如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为，圆柱部分高度为，已知陀螺的总体积为，则此陀螺圆柱底面的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，代入求解即可
【详解】由题，圆锥部分高度为，故，即，可解得，
故选：B
8．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）某圆锥的侧面积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆台的底面半径之比可得母线之比，进而根据锥体的侧面积公式即可求解.
【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，设圆台的母线为，则圆锥的底面半径为，圆锥的母线为，
圆锥的侧面积记为，
截去的小圆锥的侧面积即为，
故圆台的侧面积为,
故选：C
9．（2022春·江苏南京·高一统考期末）《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有如图所示的“堑绪"，其中，，当“阳马”（即四棱锥）体积为时，则“堑堵”即三棱柱的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据当“阳马”（即四棱锥）体积为，求得BC，再将将三棱柱补成长方体求解.
【详解】解：由已知得，
∴．
将三棱柱置于长方体中，如下图所示，
此时“堑堵”即三棱柱的外接球的直径为，
∴三棱柱的外接球的体积为，
故选：B
10．（2022春·江苏南通·高一统考期末）如图，直三棱柱中，是的中点，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用等体积转化计算可得答案.
【详解】因为是的中点，
，
，
.
故选：C.
11．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）一个直角梯形上底、下底和高之比为，将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，则这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知设直角梯形上底、下底和高为，它们分别为圆台的上、下底半径和高，代入圆台底面积及侧面积公式，求出两底面积及侧面积，可得答案．
【详解】解：由题意可设直角梯形上底、下底和高为，它们分别为圆台的上、下底半径和高．
如图示，过点作于，则中，
，，
．
．
故选：D
12．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的底面半径为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，再根据题意列式求解即可
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则，，即，解得
故选：B
13．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）一个斜边长为2的等腰直角三角形绕斜边旋转一周，所形成的几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可知，所形成的几何体是由底面半径为1，高为1的两个圆锥拼接而成，则其表面积是两个圆锥的侧面积之和
【详解】由题意可知，所形成的几何体是由底面半径为1，高为1的两个圆锥拼接而成，
所以所形成的几何体的表面积为
，
故选：D
14．（2022春·江苏苏州·高一校联考期末）如图将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，有如下四个结论
① ②ACD是等边三角形
③AB与CD所成的角为 ④AB与平面BCD所成的角为
其中错误的结论是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】D
【分析】①利用线面垂直的判定定理判断；②求得AC判断；③分别取AD，AC的中点F，H，连接OF，OH，FH，得到为所求判断； ④易知是直线AB与平面BCD所成的角判断.
【详解】设正方形边长为2，折叠前AC与BD交于点O，
折叠后，如图所示：
①因为，且，所以平面AOC，又平面AOC
所以，故正确；
②由题意知：，则，又，所以 ACD是等边三角形，故正确；
③分别取AD，AC的中点F，H，连接OF，OH，FH，，则为AB与CD所成的角(或其补角)，又 ，
所以是等边三角形，所以AB与CD所成的角为 ，故正确；
④因为平面平面BCD，平面平面BCD=BD，且，所以平面BCD，则是直线AB与平面BCD所成的角，且，故错误；
故选：D
15．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）直三棱柱中，，，则与平面所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将直三棱柱补全为正方体，根据正方体性质、线面垂直的判定可得面，由线面角的定义找到与平面所成角的平面角，进而求其大小.
【详解】由题意，将直三棱柱补全为如下图示的正方体，为上底面对角线交点，
所以，而面，面，故，
又，面，故面，
则与平面所成角为，若，
所以，，则，故.
故选：A
16．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）已知是所在平面外一点，到，，的距离相等，且在所在平面的射影在内，则一定是的（ ）
A．内心B．外心C．垂心D．重心
【答案】A
【分析】根据已知条件及三角形的内心、外心、垂心、重心的定义即可求解.
【详解】因为到，，的距离相等，且在所在平面的射影在内，所以到，，的距离相等，即点为的内切圆的圆心，即的内心.
故选：A.
17．（2022春·江苏扬州·高一期末）如图，三棱锥中，平面平面ABC，，，．三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球心O到平面ABC的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由勾股定理逆定理得到、，再由面面垂直的性质得到平面，则直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点，即可得到三棱锥外接球的球心在的中点，从而得解；
【详解】解：因为，，，
所以，即，，即，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为为直角三角形，所以外接圆的圆心在斜边的中点，
所以三棱锥外接球的即为下图长方体的外接球，
所以三棱锥外接球的球心在的中点，
所以球心到平面的距离为；
故选：B
18．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体挖去一个四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，那么该模型的表面积为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求解得，，进而得到，再根据全等性质与表面积的计算公式求解即可
【详解】由题意可得，，故，故该模型的表面积为
故选：A
19．（2022春·江苏苏州·高一校考期末）在三棱锥中，平面，且，若球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设球的半径为r，由等积法得，由此可求得设球的半径为r，再根据球的表面积公式可求得答案.
【详解】解：因为平面，平面，平面，平面，
所以，，，
又，
所以平面，所以，
所以均为直角三角形，
设球的半径为r，则，
而，，
所以，解得，
所以球的表面积为，
故选：A.
20．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（ ）
A．8B．10C．12D．
【答案】B
【分析】根据斜二测法判断的形状，并求出各边边长，即可求周长.
【详解】由题设知：原四边形中且，
所以原四边形为平行四边形，
而，则原四边形中，故，
综上，四边形的周长为.
故选：B
21．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）已知正四棱锥的侧棱长为3，其顶点均在同一个球面上，若球的体积为，则该正四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设正四棱锥的底面边长为a，高为h.由题意列方程组求出a和h，即可求出正四棱锥的体积.
【详解】设正四棱锥的底面边长为a，高为h.
因为球的体积为，所以，解得：.
如图示：在正四棱锥中，侧棱.，则面ABCD.
因为，侧棱，所以外接球的球心O在PE的延长线上.
由题意可得：，即，解得: .
所以该正四棱锥的体积为：.
故选：B
22．（2022春·江苏南通·高一统考期末）若一个圆台的高为，母线长为，侧面积为，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线为，由圆台的侧面积得，再由圆台的高为可得体积．
【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线为，
则圆台的侧面积，可得，
又因为圆台的高为，可知，故有，
圆台的体积．
故选：B.
23．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面平面，且为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，分别过，作两个平面的垂线交于点O，得到点O即为该球的球心，取线段的中点E，得到四边形为矩形，分别求得，结合球的截面圆的性质，即可求解.
【详解】如图所示，在四棱锥中，
取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，
分别过，作两个平面的垂线交于点O，
则由外接球的性质知，点O即为该球的球心，
取线段的中点E，连，，，，则四边形为矩形，
在等边中，可得，则，即，
在正方形中，因为，可得，
在直角中，可得，即，
所以四棱锥外接球的表面积为.
故选：B.
24．（2022春·江苏扬州·高一期末）刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸．规之为圆困，径二寸，高二寸．又复横规之，则其形有似牟合方盖矣．”牟合方盖是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，计算其体积的方法是将原来的“牟合方益”平均分为八份，取它的八分之一（如图一）．记正方形OABC的边长为r，设，过P点作平面PQRS平行于平面OABC．，由勾股定理有，故此正方形PQRS面积是．如果将图一的几何体放在棱长为r的正方体内（如图二），不难证明图二中与图一等高处阴影部分的面积等于．（如图三）设此棱锥顶点到平行于底面的截面的高度为h，不难发现对于任何高度h，此截面面积必为，根据祖暅原理计算牟合方盖体积（ ）
注：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】计算出正方体的体积，四棱锥的体积，根据祖暅原理可得图一中几何体体积，从而得结论．
【详解】棱锥，
由祖暅原理图二中牟合方盖外部的体积等于棱锥
所以图1中几何体体积为，
所以牟合方盖体积为．
故选：C．
二、多选题
25．（2022春·江苏扬州·高一期末）如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且满足平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．平面截正方体所得截面面积为
B．点F的轨迹长度为
C．存在点F，使得
D．平面与平面所成二面角的正弦值为
【答案】AC
【分析】取CD中点G，连接BG、EG，计算截面的面积后判断A的正误，取中点M，中点N，则点F的运动轨迹为线段MN，故可判断B的正误，取MN的中点F，则可判断，故可判断C的正误，而即为平面与平面所成二面角，计算其正弦值后可判断D的正误.
【详解】
取CD中点G，连接BG、EG，则等腰梯形为截面，
而，，
故梯形面积为，A正确；
取中点M，中点N，连接，
则，故四边形为平行四边形，
则得，而平面，平面，
故平面，同理平面，
而，平面，故平面平面，
∴点F的运动轨迹为线段MN，其长度为，B错误；
取MN的中点F，则，
∴，∵，∴，C正确；
因为平面平面且，，
∴即为平面与平面所成二面角，，D错误．
故选：AC.
26．（2022春·江苏常州·高一统考期末）如图，二面角的大小为120°，点A，B在二面角的棱l上，过点A，B分别在平面和内作直线l的垂线段和，且，，，则下列结论正确的是（ ）.
A．异面直线和的所成之角为120°
B．
C．点C到平面与点D到平面的距离之比为
D．异面直线和的之间距离是
【答案】BCD
【分析】对A，根据线线角的范围判断即可；
对B，过作矩形，根据二面角的性质结合余弦定理求解即可；
对C，根据二面角的性质可得点C到平面与点D到平面的距离之比为再计算即可；
对D，根据二面角的性质分析可得异面直线和的之间距离即到平面的距离，再根据面积公式列式求解即可
【详解】对A，因为线线角的范围为，故A错误；
对B，过作矩形如图，则，故，且平面.由余弦定理，，解得.又，故，故，故，故B正确；
对C，由题意，，，故点C到平面与点D到平面的距离之比为，故C正确；
对D，同B中图，因为，故平面，又平面，故异面直线和的之间距离即到平面的距离.因为为二面角，故到平面的距离即到平面的距离设为，则根据三角形的面积公式有，故，解得，故D正确；
故选：BCD
27．（2022春·江苏连云港·高一连云港高中校考期末）对于两个平面α，β和两条直线m，n，下列命题中假命题是（ ）
A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
C．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nD．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
【答案】ABC
【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断ABC，由线面垂直的性质定理、直二面角定义判断D．
【详解】若m⊥α，m⊥n，或，A错；
若m∥α，α⊥β，则m⊥β或，，B错；
若m∥α，n∥β，α⊥β，则可能相交，可能平行也可以异面，不一定垂直，C错；
若m⊥α，n⊥β，α⊥β，如图，
设
过空间一点作交平面于，则，作，则，
设平面，则由得，，
同理得，而是平面内两相交直线，因此平面，从而与平面的内的直线垂直，所以是二面角的平面角，
又，所以，
所以四边形中，，即，所以，D正确．
故选：ABC．
28．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）在长方体中，矩形、矩形、矩形的面积分别是，，，则（ ）
A．B．长方体的体积为
C．直线与的夹角的余弦值为D．二面角的正切值为2
【答案】BC
【分析】设，由题意可得，
，解得可判断A；求出体积可判断B；连接，所以，所以直线与的夹角即为直线与的夹角，利用余弦定理求出可判断C；连接，做交与，可得为二面角的平面角，计算出可判断D.
【详解】
设，由题意可得，
，解得，
所以，故A错误；
长方体的体积为，故B正确；
连接，所以，所以直线与的夹角即为直线与的夹角，因为，
所以，所以直线与的夹角的余弦值为，故C正确；

连接，做交与，因为平面，平面，所以，又，所以平面，平面，所以，所以为二面角的平面角，因为，
所以，所以，故D错误.
故选：BC.
29．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，点是正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ）
A．直线与直线夹角为60°
B．平面截正方体所得截面为等腰梯形
C．若，则动点的轨迹长度为
D．若平面，则动点的轨迹长度为
【答案】ABD
【分析】对A，根据的平行线确定直线与直线夹角即可；
对B，根据面面平行的性质，作出平面截正方体所得截面分析即可；
对C，由题意，动点的轨迹为以为圆心的四分之一圆弧上，再根据弧长公式求解即可；
对D，先判断过且平行于平面的平面截正方体的面，再分析的轨迹即可
【详解】对A，连接，可得正，根据正方体的性质，，故直线与直线夹角为直线与直线的夹角为，故A正确；
对B，根据面面平行的性质可得平面截的交线，故平面截的交点为的中点，故，故截面为等腰梯形，故B正确；
对C，若，则，故动点的轨迹为以为圆心的四分之一圆弧上，其长度为，故C错误；
对D，取中点，连接如图.由B，截面为等腰梯形，易得，，故平面平面，故的轨迹为线段，其长度为，故D正确；
故选：ABD
30．（2022春·江苏南通·高一统考期末）如图1所示，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，将和分别沿AE，AF及EF所在的直线折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥P－AEF如图2所示），设M为底面AEF内的动点，则（ ）
A．PA⊥EF
B．二面角P－EF－A的余弦值为
C．直线PA与EM所成的角中最小角的余弦值为
D．三棱锥P－AEF的外接球的表面积为
【答案】ACD
【分析】根据线面垂直可判断线线垂直，故可判断A,根据二面角的几何求法即可求解，根据线面角是直线与平面内的直线所成角的的最小角即可求解C，三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，根据长方体的外接球半径即可求解.
【详解】根据题意，，，，，平面，故平面，平面，故，故A正确；
取为中点，又，所以
又，故三角形为等腰三角形，连接，则，
根据二面角的定义，显然即为所求二面角，
在三角形中，，
，又，
故，
故二面角的余弦值为，则B错误；
设点到平面的距离为，与平面所成的角为，由平面，,故，因此,因为平面,故是与平面内的所有直线所成的最小的角，故，故C正确
因为，，两两垂直，
故三棱锥的外接球半径和长宽高分别为2,2,4的长方体的外接球半径相等，
故其外接球半径，
故外接球表面积，故D正确
故选：ACD
31．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）设和为不重合的两个平面，下列说法中正确的是（ ）
A．若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行
B．直线与垂直的充要条件是与内的两条直线垂直
C．若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于
D．设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直
【答案】ACD
【分析】由线面平行、面面平行或垂直的判定判断A、C、D的正误，举反例判断B.
【详解】A：由且直线与内的一条直线平行，根据线面平行的判定知：，正确；
B：若与内的两条平行直线垂直，推不出直线与垂直，错误；
C：如下图示，相交直线、，且，则，
而同一平面内必相交，，则，正确；
D：由，若内有一条直线垂直于，根据面面垂直的判定知：，正确；
故选：ACD
32．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）在棱长为1的正方体中，点P在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的有（ ）．
A．三棱锥的外接球的表面积为B．异面直线和所成的角为
C．直线CP和平面所成的角为定值D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】对A，三棱锥的外接球即正方体的外接球，再求解外接球表面积即可；
对B，根据异面直线夹角的定义可得直线和所成的角为，进而根据为正三角形求解即可；
对C，举反例，当在和时直线CP和平面所成的角不相等判断即可；
对D，以为顶点，为圆锥的高，为母线作圆锥，由圆锥底面圆上任意一点满足，结合两点之间线段最短求解即可
【详解】对A，三棱锥的外接球即正方体的外接球，且即为外接球的直径，又，故外接球的表面积，故A正确；
对B，连接，，易得异面直线和所成的角即与所成的，根据正方体的性质可得为正三角形，故，故异面直线和所成的角为，故B正确；
对C，当在时，直线CP和平面平行，所成的角为；当在时，直线和平面不平行，所成的角不为，故C错误；
对D，由题意，，以为顶点，为圆锥的高，为母线作圆锥如图所示.则易得圆锥底面圆上任意一点满足，故.不妨设与四点共面，则易得当三点共线时，取得最小值.此时，故D正确；
故选：ABD
33．（2022春·江苏苏州·高一校考期末）已知正三棱柱的棱长均为2，点D是棱上（不含端点）的一个动点．则下列结论正确的是（ ）
A．棱上总存在点E，使得直线平面
B．的周长有最小值，但无最大值
C．三棱锥外接球的表面积的取值范围是
D．当点D是棱的中点时，二面角的正切值为
【答案】ABC
【分析】对A，在上取一点使得，从而可得判断即可；对B，展开侧面，根据两点之间线段最短可得的周长有最小值，结合D是棱上（不含端点）的一个动点判断最大值即可；对C，取中点,中点，连接并延长，交正方形的外接圆于，分析可得外接球直径即为的外接圆直径.再分析最值求解即可；对D，分别求得到平面的距离，到线段的距离，再求二面角的正切值即可
【详解】对A，在上取一点使得，则，当时，
则有平行四边形，故，则直线平面，故A正确；
对B，如图展开侧面，易得当在与的交点时取得最小值，
因为D是棱上（不含端点）的一个动点，故无最大值，
故的周长有最小值，但无最大值，故B正确；
对C，由题意，三棱锥外接球即四棱锥的外接球，
取中点,中点，连接并延长，交正方形的外接圆于，
则.易得平面平面.
根据外接球的性质有外接球的球心在平面中，且为的外接圆圆心.由对称性，
可得当在中点时，最大，此时外接球直径最小.
此时，故外接球直径 ，
此时外接球表面积.当在或者点时，
三棱锥外接球即正三棱柱的外接球，
此时外接球的一条直径与和的外接圆直径构成直角三角形，
此时外接球直径 ，此时外接球表面积.因为点D是棱上（不含端点）的一个动点，
故三棱锥外接球的表面积的取值范围是，故C正确；
对D，设到平面的距离为，则由，
即，故.设到线段的距离，
则，
解得，故二面角的正切值为 ，故D错误；
故选：ABC
34．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线所成的角为
B．直线与直线所成的角为
C．若平面过点M，且，则平面截正方体所得的截面图形的周长为
D．动点P在侧面及其边界上运动，且，则与平面所成角的正切值的取值范围是
【答案】BCD
【分析】根据异面直线所成角判断A、B，通过证明线面垂直，即可判断C、D；
【详解】解：对于A：连接，显然，所以即为直线与直线所成的角，
根据正方体的性质可得为等边三角形，所以，故A错误；
因为，，，平面，
所以平面，平面，所以，
所以直线与直线所成的角为，故B正确；
同理可证，，平面，所以平面，
取的中点、的中点，连接、、，
所以且，且，且，
显然平面平面，
所以平面，所以平面即为平面，所以，
即平面截正方体所得的截面图形的周长为，故C正确；
对于D：因为平面，所以线段即为点的轨迹，
所以当点与（）重合时最大，当为的中点时最小，
所以，
又平面，所以为与平面所成角，
所以，
所以与平面所成角的正切值的取值范围是，故D正确；
故选：BCD
35．（2022春·江苏苏州·高一校联考期末）如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．三棱锥外接球的表面积为9π
C．点C到平面AEF的距离为
D．平面AEF截正方体所得的截面面积为
【答案】BCD
【分析】假设，推出，又不可能有即可判断A选项；先求出外接球球心，进而求得外接球半径，求出表面积即可判断B选项；由等体积法即可判断C选项；先判断出截面形状，再求截面面积即可判断D选项.
【详解】
对于A，取中点，连接，由于是的中点，，而平面，则平面，
又平面，，若，又，平面，平面，
又平面，则，但正方形中，是中点，不可能有，则A错误；
对于B，连接交于点，则是的外心，取中点，连接，则，
又底面，则底面，又底面，则，则，
又可得，则即为三棱锥外接球的球心，又，
则外接球半径为，则外接球表面积为，B正确；
对于C，连接，，则，
则，则，，底面，
设点C到平面AEF的距离为，由可得，解得，C正确；
对于D，连接，易得，则，又，
则平面AEF截正方体所得的截面即为等腰梯形，，
则等腰梯形的高为，则等腰梯形的面积为，即截面面积为，D正确.
故选：BCD.
36．（2022春·江苏苏州·高一统考期末）已知正方体的棱长为1，则下列选项正确的有（ ）
A．若为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为
B．若为棱的中点，则过点有且仅有一条直线与直线都相交
C．若为以为直径的球面上的一个动点，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为
D．若平面，则截此正方体所得截面图形的面积越大，其周长越大
【答案】ABC
【分析】A找到异面直线所成角的平面角求正切值；B利用平面的基本性质找到与面的交点，进而确定过与直线都相交的直线是否唯一；C首先确定及△外接圆圆心位置，再求外接圆半径及圆心到的距离，即可得外接球半径；D利用正方体截面的性质，动态分析截面从到过程中截面图形面积和周长的变化情况即可.
【详解】A：如下图，由则与所成角即为，而，正确；
B：若为中点，而为棱的中点，则，故共面，
连接并延长交于，连接并延长交于，
又面，面，，，
故所得直线过与直线都相交，
唯一性说明：若存在过与直线都相交另一条直线，显然该直线也在面PAG内，
则与面存在另一个交点(非)，与直线与平面相交有且仅有一个交点矛盾，
所以直线为过与直线都相交的唯一直线，正确；
C：由题设，当到面距离最大为球体半径时的体积最大，
此时在面两侧，距离为，可视为正方形的中心，
而△外接圆圆心为中点，其半径为，且△外接圆圆心到距离为，
故外接球半径为，故三棱锥外接球的表面积为，正确；
D：如下图，平面时，截面从点到面过程中，截面面积和周长都越来越大；从面到面过程中，面积先变大后变小而周长不变；从面到过程中，面积和周长越来越小，错误.
故选：ABC
37．（2022春·江苏南通·高一统考期末）在正方体中，点是线段上一动点，则下列各选项正确的是（ ）
A．
B．平面
C．直线与平面所成角随长度变化先变小再变大
D．存在点使得过有条直线分别与和所成角大小为
【答案】AB
【分析】本题利用立体几何中线面垂直的判定、面面平行的判定对A,B选项进行判断，C,D选项需要结合线面角与异面直线成角的相关知识点，通过转化的思想去解决.
【详解】解：对于A：连接，
由正方体的性质可得：
，平面
平面，，故A正确；
对于B：连接
易证：
平面
平面
平面平面
平面，平面，故B正确；
对于C：连接，平面
即为直线与平面所成角，
当从移动至的过程中，增大，先变小再变大，即先变大再变小，故C错误；
对于：，
与成角的直线与也成，
当在或时，，
故过点的直线中，有条分别与和所成角大小为，即过有条直线分别与和所成角大小为，故D错误．
故选：AB.
【点睛】熟练利用线面垂直的性质定理，线面平行的判定定理将会对这类难题的较为简单的选项做一个清晰的判断，后面较难的有关线面角，线线角的动态变化要能够学会利用转化的思想去解决.
三、填空题
38．（2022春·江苏苏州·高一统考期末）若圆台上下底面半径分别为和，高为，则此圆台的体积为___________.
【答案】
【分析】利用圆台的体积公式直接代入求得结果.
【详解】解：设圆台上底面的半径为，下底面的半径为，高为，
则圆台的体积.
故答案为：.
39．（2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）如图在正三棱锥中，分别是的中点，，且，则正三棱锥的体积是___________；
【答案】
【分析】根据线面垂直的判定定理证明平面，然后根据正三棱锥的性质得到，，利用棱锥的体积公式计算即可.
【详解】解：因为正三棱锥的相对棱互相垂直，即，
又分别是的中点，且，故，
因为，所以平面，
因为三棱锥为正三棱锥，且，故，，
所以.
故答案为：.
40．（2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）长方体中，，，，则一只小虫从点沿长方体的表面爬到点的最短距离是___________．
【答案】5
【分析】根据题意，画出三种展开的图形，求出、两点间的距离，比较大小，从而找出最小值即为所求．
【详解】解：长方体的表面可如下图三种方法展开后，、两点间的距离分别为：
，，，
一只小虫从点沿长方体的表面爬到点的最短距离是5．
故答案为：5．
41．（2022春·江苏南通·高一统考期末）有如下解法求棱长为的正四面体BDA1C1的体积：构造一个棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，我们称之为该正四面体的”生成正方体”（如图一），正四面体BDA1C1的体积 ．一个对棱长都相等的四面体，通常称之为等腰四面体，已知一个等腰四面体的对棱长分别，，（如图二），则该四面体的体积为__________．
【答案】2
【分析】根据条件，结合“生成长方体”的特征，即可求解.
【详解】设等腰四面体的“生成长方体”的长，宽，高，分别是，由条件可知，
，解得：，
所以该四面体的体积.
故答案为：2
42．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）如图，已知圆锥轴截面为等腰直角三角形，底面圆O的直径为2，点C在圆O上，且，E为线段上异于P，B的点，则的最小值为___________．
【答案】
【分析】将沿翻折，使得在平面上，再根据两点间线段最短，结合几何关系求解即可
【详解】将沿翻折，使得在平面上为如图所示，易得取最小值，此时三点共线.
由题意可得，故，又，故正.根据对称性易得，且垂足为.故
故答案为：
43．（2022春·江苏南通·高一统考期末）我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑现有一个“鳖臑”，底面，，且，，，则该四面体的外接球的表面积为__________．
【答案】
【分析】根据题意将三棱锥还原到长方体中，如图所示，求出长方体的体对角线的长，即可得外接球的直径，从而可求出其表面积.
【详解】解：将三棱锥还原到长方体中，如图所示
则长方体的外接球的半径为
故
所以三棱锥外接球的表面积为，
故答案为：
44．（2022春·江苏镇江·高一统考期末）一个正四面体的四个顶点都在一个表面积为24π的球面上，则该四面体的体积为_____．
【答案】##
【分析】设正四面体的棱长为，外接球半径为，画出正四面体的图形，则在中，由，可求出，从而可求出该四面体的体积
【详解】设正四面体的棱长为，外接球半径为，
如图正四面体中，为的中点，为的中心，连接，则平面，为正四面体外接球的球心，连接，
则，
所以，
因为正面体外接球的表面积为24π，所以，得,
所以，
所以,
在中，，
则，解得或（舍去），
所以该四面体的体积为，
故答案为：
45．（2022春·江苏扬州·高一期末）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，三棱锥为一个鳖臑，其中平面，，，，M为垂足，则三棱锥的外接球的表面积为________．
【答案】
【分析】取AC的中点O，连接MO、BO，则点O就是三棱锥的外接球的球心，解三角形和运用球的表面积公式可计算得答案．
【详解】解：取AC的中点O，连接MO、BO，则，，所以，
则，
又，所以，所以点O就是三棱锥的外接球的球心，所以三棱锥的外接球的球半径为，
所以三棱锥的外接球的表面积为，
故答案为：．