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高一数学下册考试真题强化训练 期末专题06 复数综合原卷版+解析
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这是一份高一数学下册考试真题强化训练 期末专题06 复数综合原卷版+解析，共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022春·江苏南京·高一统考期末）的值为（ ）
A．1B．－1C．D．
2．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）．
A．2B．C．D．
3．（2022春·江苏常州·高一统考期末）已知为虚数单位，若复数满足，则的虚部为（ ）
A．-1B．C．1D．
4．（2022春·江苏盐城·高一统考期末）已知复数z满足z=1+，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
5．（2022春·江苏南通·高一统考期末）若（－1＋i）z＝3＋i，则|z|＝（ ）
A．B．8C．D．5
6．（2022春·江苏苏州·高一校考期末）已知复数z满足，则z的虚部是（ ）
A．－iB．iC．－1D．1
7．（2022春·江苏南通·高一统考期末）已知，则在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．（2022春·江苏淮安·高一统考期末）设i为虚数单位，若复数是实数，则实数a的值为（ ）
A．－1B．0C．1D．2
9．（2022春·江苏南通·高一统考期末）设复数满足（为虚数单位），则复数的虚部是（ ）
A．2B．C．D．
10．（2021春·江苏南京·高一金陵中学校考期末）已知i是虚数单位，，则复数z所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
11．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）已知复数，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．3
12．（2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）设是复数的共轭复数，若，则（ ）
A．2B．
C．2或D．2或
13．（2022春·江苏常州·高一校联考期末）已知是虚数单位，，若复数为纯虚数，则 （ ）
A．B．C．D．
14．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
15．（2022春·江苏扬州·高一期末）设是虚数单位，复数，复数，则在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
16．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）已知复数，其中为虚数单位，则（ ）
A．B．C．3D．
17．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）若复数z满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
18．（2022春·江苏常州·高一统考期末）已知复数（i是虚数单位），若复数z与在复平面上对应的点关于原点对称，则复数z为（ ）.
A．B．
C．D．
19．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A．1B．5C．7D．25
20．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）复数满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
二、多选题
21．（2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，为共扼复数，则为实数
B．若为虚数单位，为正整数，则
C．复数在复平面内对应的点在第三象限
D．复数的共轭复数为
22．（2022春·江苏南京·高一统考期末）下列有关复数的说法正确的是（ ）
A．若复数，则B．若，则是纯虚数
C．若是复数，则一定有D．若，则
23．（2022春·江苏常州·高一统考期末）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式（为虚数单位，为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是（ ）
A．表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限
B．
C．
D．
24．（2022春·江苏常州·高一校联考期末）关于复数（i为虚数单位），下列说法正确的是（ ）
A．B．在复平面上对应的点位于第二象限
C．D．
25．（2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）已知复数（其中为虚数单位，）则下列说法正确的有（ ）
A．若，B．若，则
C．若，则D．若，则
26．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（是自然对数的底，是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且的共轭复数为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．表示的复数对应的点在复平面内位于第一象限
C．
D．若，为两个不同的定点，为线段的垂直平分线上的动点，则
三、填空题
27．（2022春·江苏苏州·高一统考期末）设是虚数单位，复数，，请写出一个满足是纯虚数的复数___________.
28．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）已知为虚数单位，且复数z满足：，则复数z的模为_____________．
29．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）已知复数满足，的虚部为－2，所对应的点在第二象限，则_________．
30．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）已知复数，其中为虚数单位，若，在复平面上对应的点分别为，，为坐标原点，则线段长度为_______.
31．（2022春·江苏南通·高一统考期末）设为虚数单位，复数，则的最大值为__________．
32．（2022春·江苏扬州·高一期末）如果复数满足，那么的最小值是________．
四、解答题
33．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）已知复数．
(1)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围；
(2)若z是纯虚数，求m的值．
34．（2022春·江苏苏州·高一校考期末）已知复数，.
(1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围；
(2)若复数为纯虚数，求的虚部.
35．（2022春·江苏南京·高一统考期末）已知复数，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”．
(1)求实数；
(2)定义复数的一种运算“”：，求．
36．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）已知复数，，其中为非零实数．
(1)若是实数，求的值；
(2)若，复数为纯虚数，求实数的值；
(3)复平面内，定点与对应，记满足的对应的点的轨迹为曲线，求点到的最小值．
37．（2022春·江苏常州·高一统考期末）已知复数，.
(1)在复平面内，设复数，对应的点分别为，，求点，之间的距离；
(2)若复数满足，求.
38．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）已知复数满足
(1)求；
(2)若复数的虚部为2，且在复平面内对应的点位于第四象限，求复数实部a的取值范围．
39．（2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）已知复数同时满足下列两个条件：
①的实部和虚部都是整数，且在复平面内对应的点位于第四象限；
②．
（1）求出复数；
（2）求.
40．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）已知复数满足为纯虚数，为实数，其中为虚数单位．
(1)求复数；
(2)若，求实数，的值．
期末专题06 复数综合
一、单选题
1．（2022春·江苏南京·高一统考期末）的值为（ ）
A．1B．－1C．D．
【答案】B
【分析】由且即可得结果.
【详解】由，而.
故选：B
2．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）．
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】由，即可确定的虚部
【详解】，则的虚部为
故选：B
3．（2022春·江苏常州·高一统考期末）已知为虚数单位，若复数满足，则的虚部为（ ）
A．-1B．C．1D．
【答案】C
【分析】利用复数的除法运算求解复数，根据复数的概念判断复数的虚部即可.
【详解】解：由题可得，故复数的虚部为1.
故选：C.
4．（2022春·江苏盐城·高一统考期末）已知复数z满足z=1+，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】由共轭复数概念写出，即可判断其所在象限.
【详解】由题设，对应点为在第四象限.
故选：D
5．（2022春·江苏南通·高一统考期末）若（－1＋i）z＝3＋i，则|z|＝（ ）
A．B．8C．D．5
【答案】C
【分析】根据复数的乘、除法运算求出，结合复数的几何意义计算即可.
【详解】由题意知，
，
所以.
故选：C
6．（2022春·江苏苏州·高一校考期末）已知复数z满足，则z的虚部是（ ）
A．－iB．iC．－1D．1
【答案】C
【分析】由已知，根据题意给出的复数z利用复数的运算进行化简，即可直接求解出虚部.
【详解】由已知得，，
所以z的虚部为－1.
故选：C.
7．（2022春·江苏南通·高一统考期末）已知，则在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】利用复数除法法则计算得到，从而确定复数对应的点所在象限.
【详解】，所以复数对应的点坐标为，位于第三象限.
故选：C
8．（2022春·江苏淮安·高一统考期末）设i为虚数单位，若复数是实数，则实数a的值为（ ）
A．－1B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】由复数乘法法则化复数为代数形式，再由复数的分类求解．
【详解】，它是实数，
则，．
故选：C．
9．（2022春·江苏南通·高一统考期末）设复数满足（为虚数单位），则复数的虚部是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】由求出复数，从而可求出其虚部.
【详解】由，得，
所以复数的虚部是为，
故选：D
10．（2021春·江苏南京·高一金陵中学校考期末）已知i是虚数单位，，则复数z所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】利用复数的运算法则求解复数，即得.
【详解】由，
得，
复数z所对应的点位于在第一象限，
故选：A.
11．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）已知复数，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】D
【分析】依题意可得，再根据复数模的公式及正弦函数的性质计算可得.
【详解】解：因为，，
所以，
所以
，
当时.
故选：D
12．（2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）设是复数的共轭复数，若，则（ ）
A．2B．
C．2或D．2或
【答案】C
【分析】设，，根据复数代数形式的乘法运算及复数相等求出参数，即可得到，再根据复数代数形式的除法运算法则计算可得；
【详解】解：设，，因为，所以，所以，所以解得或，所以或
所以或
故选：C
13．（2022春·江苏常州·高一校联考期末）已知是虚数单位，，若复数为纯虚数，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据复数的四则运算化简得到复数的基本形式，在根据复数为纯虚数，即可求解的值.
【详解】由题意
，
又由为纯虚数，所以，解得.
故选：A.
14．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由复数的乘法运算和除法运算可得答案.
【详解】.
故选：C.
15．（2022春·江苏扬州·高一期末）设是虚数单位，复数，复数，则在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】根据虚数单位的性质和复数的运算公式求出的代数形式，由此确定
【详解】
所以在复平面内对应的点的坐标为，该点在第二象限，
故选：B.
16．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）已知复数，其中为虚数单位，则（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【分析】根据共轭复数的概念与复数的模长公式求解即可
【详解】由题意，，故
故选：B
17．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）若复数z满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用复数的乘方、除法化简复数z，结合共轭复数的定义写出，即可得答案.
【详解】由，则，
所以.
故选：B
18．（2022春·江苏常州·高一统考期末）已知复数（i是虚数单位），若复数z与在复平面上对应的点关于原点对称，则复数z为（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用复数运算法则化简复数，得到其在复平面上的对应点为A，记复数z在复平面对应点为B，由于点A、B关于原点对称，得B的坐标，即可求得复数z．
【详解】解：
则在复平面上的对应点为
设在复平面上的对应点为，由于点A、B关于原点对称
即复数z为：.
故选：A.
19．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A．1B．5C．7D．25
【答案】D
【分析】根据共轭复数的概念，结合复数的乘法运算求解即可
【详解】因为，故，故
故选：D
20．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）复数满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】先求出复数，再求出其模
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：B
二、多选题
21．（2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，为共扼复数，则为实数
B．若为虚数单位，为正整数，则
C．复数在复平面内对应的点在第三象限
D．复数的共轭复数为
【答案】AC
【分析】根据共轭复数的概念可判断A项；利用复数的乘方运算可判断B项；利用复数的几何意义可判断C项；利用复数的除法运算结合共轭复数的概念可判断D项.
【详解】解：设，则，故，故A正确；
因为，故B错误；
因为复数在复平面内对应点的坐标为，所以在第三象限，故C正确；
因为，其共轭复数为，故D错误；
故选：AC.
22．（2022春·江苏南京·高一统考期末）下列有关复数的说法正确的是（ ）
A．若复数，则B．若，则是纯虚数
C．若是复数，则一定有D．若，则
【答案】AD
【分析】A由共轭复数概念及复数相等判断；B、C应用特殊值法，令及判断；D设，，利用共轭复数概念及复数乘法分别求出判断.
【详解】A：令，则，若，即有，故，正确；
B：当时，，而不是纯虚数，错误；
C：当，则，而，显然不成立，错误；
D：令，，则，故，
又，，则，
所以，正确.
故选：AD
23．（2022春·江苏常州·高一统考期末）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式（为虚数单位，为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是（ ）
A．表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项．
【详解】解：对于A：，因为，所以，，
所以表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：由，，
所以，所以，选项D正确；
故选：BCD
24．（2022春·江苏常州·高一校联考期末）关于复数（i为虚数单位），下列说法正确的是（ ）
A．B．在复平面上对应的点位于第二象限
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用复数的运算法则，共轭复数的定义，几何意义即可求解
【详解】
所以
故A正确
，则在复平面上对应的点为位于第三象限
故B错误
故C正确
故D正确
故选：ACD
25．（2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）已知复数（其中为虚数单位，）则下列说法正确的有（ ）
A．若，B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AC
【分析】利用共轭复数的定义与复数的四则运算法则计算判断.
【详解】当，即，得，
，A正确；
，
当，则，
当时，，B错误；
，即，得，
，C正确；
，即，得，
，当时，，D错误；
故选：AC
26．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（是自然对数的底，是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且的共轭复数为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．表示的复数对应的点在复平面内位于第一象限
C．
D．若，为两个不同的定点，为线段的垂直平分线上的动点，则
【答案】ACD
【分析】根据共轭复数的定义及复数的几何意义，对各选项逐一判断即可.
【详解】解：对于A选项，，
，
则，选项A正确；
对于B选项，，
，，，
表示的复数对应的点在复平面中位于第二象限，选项B错误；
对于C选项，
则，
，选项C正确；
对于D选项，可转化为与两点间距离，可转化为与两点间距离，
由于为线段的垂直平分线上的动点，
根据垂直平分线的性质可知与两点间距离等于与两点间距离，
则，选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题
27．（2022春·江苏苏州·高一统考期末）设是虚数单位，复数，，请写出一个满足是纯虚数的复数___________.
【答案】（只要满足，且）
【分析】利用复数的乘法化简复数，根据为纯虚数可出关于、的等式与不等式，即可得解.
【详解】由已知可得为纯虚数，则.
所以，且，
故满足题设条件的复数可以是.
故答案为：（只要满足，且）.
28．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）已知为虚数单位，且复数z满足：，则复数z的模为_____________．
【答案】
【分析】根据复数模的性质求解即可
【详解】，则，故
故答案为：
29．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）已知复数满足，的虚部为－2，所对应的点在第二象限，则_________．
【答案】##
【分析】设复数，根据题干中的条件列方程组求解的值即可.
【详解】解：设复数，则，所以，
又，且的虚部为-2，则，
因为所对应的点在第二象限，即点在第二象限，所以，
故，解得，故.
故答案为：.
30．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）已知复数，其中为虚数单位，若，在复平面上对应的点分别为，，为坐标原点，则线段长度为_______.
【答案】
【分析】根据复数的几何意义与乘法运算分别求得，再求长度即可
【详解】由题意，，故，在复平面上对应的点分别为，故
故答案为：
31．（2022春·江苏南通·高一统考期末）设为虚数单位，复数，则的最大值为__________．
【答案】
【分析】求出模长，利用三角函数的有界性可得答案．
【详解】，
则
，则的最大值为．
故答案为：.
32．（2022春·江苏扬州·高一期末）如果复数满足，那么的最小值是________．
【答案】1
【分析】由的几何意义得对应复平面的点的轨迹为线段，再由的几何意义为复平面内点到点的距离，数形结合即可求出最小值.
【详解】
设，则的几何意义为复平面内点到点及点的距离和为2，
又，设点和点，则点的轨迹为线段，
又的几何意义为复平面内点到点的距离，
设，结合图像可知，当时，的最小值为1.
故答案为：1.
四、解答题
33．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）已知复数．
(1)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围；
(2)若z是纯虚数，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据第四象限的复数实部为正，虚部为负求解即可；
（2）根据纯虚数的实部为0，虚部不为0求解即可
【详解】（1）由题意可得，
解得；
的取值范围为；
（2）由题意可得，
解得．
的值为．
34．（2022春·江苏苏州·高一校考期末）已知复数，.
(1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围；
(2)若复数为纯虚数，求的虚部.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据复数的运算公式和复数的几何意义确定数在复平面内对应的点的坐标，由条件列不等式求的取值范围；(2)根据纯虚数的定义列方程求，由此可求的虚部.
【详解】（1），
在复平面内对应的点在第二象限，则
.
所以实数的取值范围为；
（2）.
为纯虚数，则且，
所以，
此时，所以的虚部为.
35．（2022春·江苏南京·高一统考期末）已知复数，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”．
(1)求实数；
(2)定义复数的一种运算“”：，求．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据，由是“理想复数求解；
（2）由（1）知，再由求解.
【详解】（1）解：由题得，
，
是“理想复数”，
，
；
（2）由（1）知，
所以，
由，
得，
.
36．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）已知复数，，其中为非零实数．
(1)若是实数，求的值；
(2)若，复数为纯虚数，求实数的值；
(3)复平面内，定点与对应，记满足的对应的点的轨迹为曲线，求点到的最小值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据复数的代数形式的运算法则以及复数的有关概念即可解出；
（2）根据复数的代数形式的运算法则以及复数的有关概念即可解出；
（3）根据复数的几何意义，复数模的计算以及点到直线的距离公式即可解出．
（1）
为实数，所以，而为非零实数，即．
（2）
，而，为纯虚数，所以，解得．
（3）
定点为，由得，，化简得，，所以对应的点的轨迹为直线，故点到的最小值为点到直线的距离．
37．（2022春·江苏常州·高一统考期末）已知复数，.
(1)在复平面内，设复数，对应的点分别为，，求点，之间的距离；
(2)若复数满足，求.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用复数的几何意义即得；
（2）利用复数的四则运算即得.
(1)
解法1：在复平面内，复数，对应的点分别为，，
所以.
解法2：因为，
所以.
(2)
因为，
，
所以，
所以.
38．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）已知复数满足
(1)求；
(2)若复数的虚部为2，且在复平面内对应的点位于第四象限，求复数实部a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，代入，利用复数相等求解；
（2）设，先化简，再利用复数的几何意义求解．
(1)
解：设，
则，
即，
所以，解得，
则，
从而；
(2)
设，
则．
因为在复平面内对应的点位于第四象限，
所以，
解得.
39．（2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）已知复数同时满足下列两个条件：
①的实部和虚部都是整数，且在复平面内对应的点位于第四象限；
②．
（1）求出复数；
（2）求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设（，，且，），代入化简可得的表达式，利用为实数以及其范围进行求解，即可得答案；
（2）根据（1）先求，再利用模长公式进行求解．
【详解】（1）设（，，且，），
则，
，
，
，.
，即.
，，，
解得，
（2）由（1）可得：
.
40．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）已知复数满足为纯虚数，为实数，其中为虚数单位．
(1)求复数；
(2)若，求实数，的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）设（其中，），再根据纯虚数与实数的概念，结合复数相等的条件求解即可；
（2）根据共轭复数的定义结合复数的运算与相等的条件求解即可
(1)
设（其中，），
由为纯虚数，得，且．
由为实数，得．
所以．
(2)
由（1）知，．
故由，得，
即．
因为，，由复数相等的充要条件得：
解得
一、单选题
1．（2022春·江苏南京·高一统考期末）的值为（ ）
A．1B．－1C．D．
2．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）．
A．2B．C．D．
3．（2022春·江苏常州·高一统考期末）已知为虚数单位，若复数满足，则的虚部为（ ）
A．-1B．C．1D．
4．（2022春·江苏盐城·高一统考期末）已知复数z满足z=1+，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
5．（2022春·江苏南通·高一统考期末）若（－1＋i）z＝3＋i，则|z|＝（ ）
A．B．8C．D．5
6．（2022春·江苏苏州·高一校考期末）已知复数z满足，则z的虚部是（ ）
A．－iB．iC．－1D．1
7．（2022春·江苏南通·高一统考期末）已知，则在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．（2022春·江苏淮安·高一统考期末）设i为虚数单位，若复数是实数，则实数a的值为（ ）
A．－1B．0C．1D．2
9．（2022春·江苏南通·高一统考期末）设复数满足（为虚数单位），则复数的虚部是（ ）
A．2B．C．D．
10．（2021春·江苏南京·高一金陵中学校考期末）已知i是虚数单位，，则复数z所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
11．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）已知复数，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．3
12．（2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）设是复数的共轭复数，若，则（ ）
A．2B．
C．2或D．2或
13．（2022春·江苏常州·高一校联考期末）已知是虚数单位，，若复数为纯虚数，则 （ ）
A．B．C．D．
14．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
15．（2022春·江苏扬州·高一期末）设是虚数单位，复数，复数，则在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
16．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）已知复数，其中为虚数单位，则（ ）
A．B．C．3D．
17．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）若复数z满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
18．（2022春·江苏常州·高一统考期末）已知复数（i是虚数单位），若复数z与在复平面上对应的点关于原点对称，则复数z为（ ）.
A．B．
C．D．
19．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A．1B．5C．7D．25
20．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）复数满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
二、多选题
21．（2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，为共扼复数，则为实数
B．若为虚数单位，为正整数，则
C．复数在复平面内对应的点在第三象限
D．复数的共轭复数为
22．（2022春·江苏南京·高一统考期末）下列有关复数的说法正确的是（ ）
A．若复数，则B．若，则是纯虚数
C．若是复数，则一定有D．若，则
23．（2022春·江苏常州·高一统考期末）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式（为虚数单位，为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是（ ）
A．表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限
B．
C．
D．
24．（2022春·江苏常州·高一校联考期末）关于复数（i为虚数单位），下列说法正确的是（ ）
A．B．在复平面上对应的点位于第二象限
C．D．
25．（2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）已知复数（其中为虚数单位，）则下列说法正确的有（ ）
A．若，B．若，则
C．若，则D．若，则
26．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（是自然对数的底，是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且的共轭复数为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．表示的复数对应的点在复平面内位于第一象限
C．
D．若，为两个不同的定点，为线段的垂直平分线上的动点，则
三、填空题
27．（2022春·江苏苏州·高一统考期末）设是虚数单位，复数，，请写出一个满足是纯虚数的复数___________.
28．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）已知为虚数单位，且复数z满足：，则复数z的模为_____________．
29．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）已知复数满足，的虚部为－2，所对应的点在第二象限，则_________．
30．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）已知复数，其中为虚数单位，若，在复平面上对应的点分别为，，为坐标原点，则线段长度为_______.
31．（2022春·江苏南通·高一统考期末）设为虚数单位，复数，则的最大值为__________．
32．（2022春·江苏扬州·高一期末）如果复数满足，那么的最小值是________．
四、解答题
33．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）已知复数．
(1)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围；
(2)若z是纯虚数，求m的值．
34．（2022春·江苏苏州·高一校考期末）已知复数，.
(1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围；
(2)若复数为纯虚数，求的虚部.
35．（2022春·江苏南京·高一统考期末）已知复数，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”．
(1)求实数；
(2)定义复数的一种运算“”：，求．
36．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）已知复数，，其中为非零实数．
(1)若是实数，求的值；
(2)若，复数为纯虚数，求实数的值；
(3)复平面内，定点与对应，记满足的对应的点的轨迹为曲线，求点到的最小值．
37．（2022春·江苏常州·高一统考期末）已知复数，.
(1)在复平面内，设复数，对应的点分别为，，求点，之间的距离；
(2)若复数满足，求.
38．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）已知复数满足
(1)求；
(2)若复数的虚部为2，且在复平面内对应的点位于第四象限，求复数实部a的取值范围．
39．（2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）已知复数同时满足下列两个条件：
①的实部和虚部都是整数，且在复平面内对应的点位于第四象限；
②．
（1）求出复数；
（2）求.
40．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）已知复数满足为纯虚数，为实数，其中为虚数单位．
(1)求复数；
(2)若，求实数，的值．
期末专题06 复数综合
一、单选题
1．（2022春·江苏南京·高一统考期末）的值为（ ）
A．1B．－1C．D．
【答案】B
【分析】由且即可得结果.
【详解】由，而.
故选：B
2．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）．
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】由，即可确定的虚部
【详解】，则的虚部为
故选：B
3．（2022春·江苏常州·高一统考期末）已知为虚数单位，若复数满足，则的虚部为（ ）
A．-1B．C．1D．
【答案】C
【分析】利用复数的除法运算求解复数，根据复数的概念判断复数的虚部即可.
【详解】解：由题可得，故复数的虚部为1.
故选：C.
4．（2022春·江苏盐城·高一统考期末）已知复数z满足z=1+，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】由共轭复数概念写出，即可判断其所在象限.
【详解】由题设，对应点为在第四象限.
故选：D
5．（2022春·江苏南通·高一统考期末）若（－1＋i）z＝3＋i，则|z|＝（ ）
A．B．8C．D．5
【答案】C
【分析】根据复数的乘、除法运算求出，结合复数的几何意义计算即可.
【详解】由题意知，
，
所以.
故选：C
6．（2022春·江苏苏州·高一校考期末）已知复数z满足，则z的虚部是（ ）
A．－iB．iC．－1D．1
【答案】C
【分析】由已知，根据题意给出的复数z利用复数的运算进行化简，即可直接求解出虚部.
【详解】由已知得，，
所以z的虚部为－1.
故选：C.
7．（2022春·江苏南通·高一统考期末）已知，则在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】利用复数除法法则计算得到，从而确定复数对应的点所在象限.
【详解】，所以复数对应的点坐标为，位于第三象限.
故选：C
8．（2022春·江苏淮安·高一统考期末）设i为虚数单位，若复数是实数，则实数a的值为（ ）
A．－1B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】由复数乘法法则化复数为代数形式，再由复数的分类求解．
【详解】，它是实数，
则，．
故选：C．
9．（2022春·江苏南通·高一统考期末）设复数满足（为虚数单位），则复数的虚部是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】由求出复数，从而可求出其虚部.
【详解】由，得，
所以复数的虚部是为，
故选：D
10．（2021春·江苏南京·高一金陵中学校考期末）已知i是虚数单位，，则复数z所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】利用复数的运算法则求解复数，即得.
【详解】由，
得，
复数z所对应的点位于在第一象限，
故选：A.
11．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）已知复数，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】D
【分析】依题意可得，再根据复数模的公式及正弦函数的性质计算可得.
【详解】解：因为，，
所以，
所以
，
当时.
故选：D
12．（2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）设是复数的共轭复数，若，则（ ）
A．2B．
C．2或D．2或
【答案】C
【分析】设，，根据复数代数形式的乘法运算及复数相等求出参数，即可得到，再根据复数代数形式的除法运算法则计算可得；
【详解】解：设，，因为，所以，所以，所以解得或，所以或
所以或
故选：C
13．（2022春·江苏常州·高一校联考期末）已知是虚数单位，，若复数为纯虚数，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据复数的四则运算化简得到复数的基本形式，在根据复数为纯虚数，即可求解的值.
【详解】由题意
，
又由为纯虚数，所以，解得.
故选：A.
14．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由复数的乘法运算和除法运算可得答案.
【详解】.
故选：C.
15．（2022春·江苏扬州·高一期末）设是虚数单位，复数，复数，则在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】根据虚数单位的性质和复数的运算公式求出的代数形式，由此确定
【详解】
所以在复平面内对应的点的坐标为，该点在第二象限，
故选：B.
16．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）已知复数，其中为虚数单位，则（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【分析】根据共轭复数的概念与复数的模长公式求解即可
【详解】由题意，，故
故选：B
17．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）若复数z满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用复数的乘方、除法化简复数z，结合共轭复数的定义写出，即可得答案.
【详解】由，则，
所以.
故选：B
18．（2022春·江苏常州·高一统考期末）已知复数（i是虚数单位），若复数z与在复平面上对应的点关于原点对称，则复数z为（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用复数运算法则化简复数，得到其在复平面上的对应点为A，记复数z在复平面对应点为B，由于点A、B关于原点对称，得B的坐标，即可求得复数z．
【详解】解：
则在复平面上的对应点为
设在复平面上的对应点为，由于点A、B关于原点对称
即复数z为：.
故选：A.
19．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A．1B．5C．7D．25
【答案】D
【分析】根据共轭复数的概念，结合复数的乘法运算求解即可
【详解】因为，故，故
故选：D
20．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）复数满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】先求出复数，再求出其模
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：B
二、多选题
21．（2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，为共扼复数，则为实数
B．若为虚数单位，为正整数，则
C．复数在复平面内对应的点在第三象限
D．复数的共轭复数为
【答案】AC
【分析】根据共轭复数的概念可判断A项；利用复数的乘方运算可判断B项；利用复数的几何意义可判断C项；利用复数的除法运算结合共轭复数的概念可判断D项.
【详解】解：设，则，故，故A正确；
因为，故B错误；
因为复数在复平面内对应点的坐标为，所以在第三象限，故C正确；
因为，其共轭复数为，故D错误；
故选：AC.
22．（2022春·江苏南京·高一统考期末）下列有关复数的说法正确的是（ ）
A．若复数，则B．若，则是纯虚数
C．若是复数，则一定有D．若，则
【答案】AD
【分析】A由共轭复数概念及复数相等判断；B、C应用特殊值法，令及判断；D设，，利用共轭复数概念及复数乘法分别求出判断.
【详解】A：令，则，若，即有，故，正确；
B：当时，，而不是纯虚数，错误；
C：当，则，而，显然不成立，错误；
D：令，，则，故，
又，，则，
所以，正确.
故选：AD
23．（2022春·江苏常州·高一统考期末）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式（为虚数单位，为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是（ ）
A．表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项．
【详解】解：对于A：，因为，所以，，
所以表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：由，，
所以，所以，选项D正确；
故选：BCD
24．（2022春·江苏常州·高一校联考期末）关于复数（i为虚数单位），下列说法正确的是（ ）
A．B．在复平面上对应的点位于第二象限
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用复数的运算法则，共轭复数的定义，几何意义即可求解
【详解】
所以
故A正确
，则在复平面上对应的点为位于第三象限
故B错误
故C正确
故D正确
故选：ACD
25．（2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）已知复数（其中为虚数单位，）则下列说法正确的有（ ）
A．若，B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AC
【分析】利用共轭复数的定义与复数的四则运算法则计算判断.
【详解】当，即，得，
，A正确；
，
当，则，
当时，，B错误；
，即，得，
，C正确；
，即，得，
，当时，，D错误；
故选：AC
26．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（是自然对数的底，是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且的共轭复数为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．表示的复数对应的点在复平面内位于第一象限
C．
D．若，为两个不同的定点，为线段的垂直平分线上的动点，则
【答案】ACD
【分析】根据共轭复数的定义及复数的几何意义，对各选项逐一判断即可.
【详解】解：对于A选项，，
，
则，选项A正确；
对于B选项，，
，，，
表示的复数对应的点在复平面中位于第二象限，选项B错误；
对于C选项，
则，
，选项C正确；
对于D选项，可转化为与两点间距离，可转化为与两点间距离，
由于为线段的垂直平分线上的动点，
根据垂直平分线的性质可知与两点间距离等于与两点间距离，
则，选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题
27．（2022春·江苏苏州·高一统考期末）设是虚数单位，复数，，请写出一个满足是纯虚数的复数___________.
【答案】（只要满足，且）
【分析】利用复数的乘法化简复数，根据为纯虚数可出关于、的等式与不等式，即可得解.
【详解】由已知可得为纯虚数，则.
所以，且，
故满足题设条件的复数可以是.
故答案为：（只要满足，且）.
28．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）已知为虚数单位，且复数z满足：，则复数z的模为_____________．
【答案】
【分析】根据复数模的性质求解即可
【详解】，则，故
故答案为：
29．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）已知复数满足，的虚部为－2，所对应的点在第二象限，则_________．
【答案】##
【分析】设复数，根据题干中的条件列方程组求解的值即可.
【详解】解：设复数，则，所以，
又，且的虚部为-2，则，
因为所对应的点在第二象限，即点在第二象限，所以，
故，解得，故.
故答案为：.
30．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）已知复数，其中为虚数单位，若，在复平面上对应的点分别为，，为坐标原点，则线段长度为_______.
【答案】
【分析】根据复数的几何意义与乘法运算分别求得，再求长度即可
【详解】由题意，，故，在复平面上对应的点分别为，故
故答案为：
31．（2022春·江苏南通·高一统考期末）设为虚数单位，复数，则的最大值为__________．
【答案】
【分析】求出模长，利用三角函数的有界性可得答案．
【详解】，
则
，则的最大值为．
故答案为：.
32．（2022春·江苏扬州·高一期末）如果复数满足，那么的最小值是________．
【答案】1
【分析】由的几何意义得对应复平面的点的轨迹为线段，再由的几何意义为复平面内点到点的距离，数形结合即可求出最小值.
【详解】
设，则的几何意义为复平面内点到点及点的距离和为2，
又，设点和点，则点的轨迹为线段，
又的几何意义为复平面内点到点的距离，
设，结合图像可知，当时，的最小值为1.
故答案为：1.
四、解答题
33．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）已知复数．
(1)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围；
(2)若z是纯虚数，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据第四象限的复数实部为正，虚部为负求解即可；
（2）根据纯虚数的实部为0，虚部不为0求解即可
【详解】（1）由题意可得，
解得；
的取值范围为；
（2）由题意可得，
解得．
的值为．
34．（2022春·江苏苏州·高一校考期末）已知复数，.
(1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围；
(2)若复数为纯虚数，求的虚部.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据复数的运算公式和复数的几何意义确定数在复平面内对应的点的坐标，由条件列不等式求的取值范围；(2)根据纯虚数的定义列方程求，由此可求的虚部.
【详解】（1），
在复平面内对应的点在第二象限，则
.
所以实数的取值范围为；
（2）.
为纯虚数，则且，
所以，
此时，所以的虚部为.
35．（2022春·江苏南京·高一统考期末）已知复数，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”．
(1)求实数；
(2)定义复数的一种运算“”：，求．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据，由是“理想复数求解；
（2）由（1）知，再由求解.
【详解】（1）解：由题得，
，
是“理想复数”，
，
；
（2）由（1）知，
所以，
由，
得，
.
36．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）已知复数，，其中为非零实数．
(1)若是实数，求的值；
(2)若，复数为纯虚数，求实数的值；
(3)复平面内，定点与对应，记满足的对应的点的轨迹为曲线，求点到的最小值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据复数的代数形式的运算法则以及复数的有关概念即可解出；
（2）根据复数的代数形式的运算法则以及复数的有关概念即可解出；
（3）根据复数的几何意义，复数模的计算以及点到直线的距离公式即可解出．
（1）
为实数，所以，而为非零实数，即．
（2）
，而，为纯虚数，所以，解得．
（3）
定点为，由得，，化简得，，所以对应的点的轨迹为直线，故点到的最小值为点到直线的距离．
37．（2022春·江苏常州·高一统考期末）已知复数，.
(1)在复平面内，设复数，对应的点分别为，，求点，之间的距离；
(2)若复数满足，求.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用复数的几何意义即得；
（2）利用复数的四则运算即得.
(1)
解法1：在复平面内，复数，对应的点分别为，，
所以.
解法2：因为，
所以.
(2)
因为，
，
所以，
所以.
38．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）已知复数满足
(1)求；
(2)若复数的虚部为2，且在复平面内对应的点位于第四象限，求复数实部a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，代入，利用复数相等求解；
（2）设，先化简，再利用复数的几何意义求解．
(1)
解：设，
则，
即，
所以，解得，
则，
从而；
(2)
设，
则．
因为在复平面内对应的点位于第四象限，
所以，
解得.
39．（2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）已知复数同时满足下列两个条件：
①的实部和虚部都是整数，且在复平面内对应的点位于第四象限；
②．
（1）求出复数；
（2）求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设（，，且，），代入化简可得的表达式，利用为实数以及其范围进行求解，即可得答案；
（2）根据（1）先求，再利用模长公式进行求解．
【详解】（1）设（，，且，），
则，
，
，
，.
，即.
，，，
解得，
（2）由（1）可得：
.
40．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）已知复数满足为纯虚数，为实数，其中为虚数单位．
(1)求复数；
(2)若，求实数，的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）设（其中，），再根据纯虚数与实数的概念，结合复数相等的条件求解即可；
（2）根据共轭复数的定义结合复数的运算与相等的条件求解即可
(1)
设（其中，），
由为纯虚数，得，且．
由为实数，得．
所以．
(2)
由（1）知，．
故由，得，
即．
因为，，由复数相等的充要条件得：
解得
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