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高一数学下册考试真题强化训练 期末专题10 概率综合原卷版+解析
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这是一份高一数学下册考试真题强化训练 期末专题10 概率综合原卷版+解析，共30页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则使目标受损但未击毁的概率是（ ）
A．0.4B．0.48C．0.6D．0.8
2．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现点数不超过3”，则事件与事件的关系为（ ）
A．相互独立B．互斥C．互为对立D．相等
3．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）从名男生和名女生中任选名学生参加座谈会，则下列事件互斥的是（ ）
A．“恰好选中名男生”与“恰好选中名女生”
B．“至少选中名男生”与“至少选中名女生”
C．“选中名男生”与“选中名女生”
D．“至多选中名男生”与“至多选中名女生”
4．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）甲、乙两人参加学校组织的“劳动技能通关”比赛，已知甲通关的概率为，乙通关的概率为，且甲和乙通关与否互不影响，则甲、乙两人都不通关的概率为（ ）．
A．B．C．D．
5．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记事件“点数之和为7”，事件“点数之和为3的倍数”，则（ ）
A．为不可能事件B．与为互斥事件
C．为必然事件D．与为对立事件
6．（2022春·江苏常州·高一统考期末）甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为（ ）.
A．0.9B．0.8C．0.7D．0.2
7．（2022春·江苏扬州·高一期末）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（ ）
A．甲与丙相互独立B．丙与丁相互独立C．甲与丁相互独立D．乙与丙相互独立
8．（2022秋·江苏淮安·高一统考期末）为了加快新冠病毒检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再单独做检测．该检测机构采用了“10合1检测法”对2000人进行检测，检测结果为5人呈阳性，且这5个人来自4个不同的检测组，则总检测的次数是（ ）
A．210B．230C．240D．250
二、多选题
9．（2022春·江苏南通·高一统考期末）按先后顺序抛三枚质地均匀的硬币，则（ ）
A．第一枚正面朝上的概率是
B．“第一枚正面朝上”与“三枚硬币朝上的面相同”是相互独立的
C．“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币正面都朝上”是互斥的
D．“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币反面都朝上”是对立的
10．（2022春·江苏连云港·高一连云港高中校考期末）甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（ ）
A．B．事件B与事件相互独立
C．事件B与事件相互独立D．，互斥
11．（2022春·江苏南通·高一统考期末）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（ ）
A．该试验样本空间共有个样本点B．
C．与为互斥事件D．与为相互独立事件
12．（2022春·江苏苏州·高一校考期末）某校高一年级开设了甲､乙两个课外兴趣班，供学生们选择，记事件“只选择甲兴趣班"，=“至少选择一个兴趣班”，=“至多选择一个兴趣班”，“一个兴趣班都不选”，则（ ）
A．与是互斥事件
B．与既是互斥事件也是对立事件
C．与不是互斥事件
D．与是互斥事件
13．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）从装有个红球和个白球的袋中任意取出个球，有如下几对事件：
①“取出个球，恰好有个白球”与“取出个球，恰好有个红球”；
②“取出个球，恰好有个白球”与“取出个球，都是红球”；
③“取出个球，至少有个白球”与“取出个球，都是红球”；
④“取出个球，至少有个白球”与“取出个球，至少有个红球”．
其中是互斥事件的有（ ）
A．①B．②C．③D．④
14．（2022春·江苏盐城·高一统考期末）记分别为事件A，B发生的概率，则下列结论中可能成立的有（ ）
A．B．
C． D．
15．（2022春·江苏扬州·高一期末）已知事件A，B，且，则（ ）
A．如果，那么
B．如果A与B互斥，那么
C．如果A与B相互独立，那么
D．如果A与B相互独立，那么
16．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）从高一某班抽三名学生(抽到男女同学的可能性相同)参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则以下正确的是（ ）
A．B．事件A与事件B互斥
C．D．事件A与事件C对立
三、填空题
17．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）已知，，且，互斥，则___________.
18．（2022春·江苏淮安·高一统考期末）如图，某系统使用A，B，C三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．当元件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．若元件A，B，C正常工作的概率均为0.7，则系统能正常工作的概率为______．
19．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）有甲､乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是___________.
20．（2022春·江苏常州·高一统考期末）已知A，B是相互独立事件，且，，则 ________.
四、解答题
21．（2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）某城市缺水问题比较严重，市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，为了解家庭用水量的情况，相关部分在某区随机调查了户居民的月平均用水量（单位：）
得到如下频率分布表
（1）求上表中，，的值；
（2）试估计该区居民的月平均用水量；
（3）从上表月平均用水量不少于的户居民中随机抽取户调查，求户居民来自不同分组的概率．
22．（2022春·江苏苏州·高一校联考期末）设A、B、C三个事件两两相互独立，事件A发生的概率是，A、B、C同时发生的概率是，A、B、C都不发生的概率是.
(1)试分别求出事件B和事件C发生的概率；
(2)试求A、B、C只有一个发生的概率.
23．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）水平相当的甲、乙两队在某次排球决赛比赛中相遇，决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金．
(1)求需要进行四局比赛才能结束的概率；
(2)若前3局打成2:1时，比赛因故终止．有人提议按2:1分配奖金，请利用相关数学知识解释这样分配是否合理．
24．（2022春·江苏苏州·高一校考期末）猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.
(1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值.
25．（2021春·江苏淮安·高一统考期末）某企业生产两种如下图所示的电路子模块R，Q：
要求在每个模块中，不同位置接入不同种类型的电子元件，且备选电子元件为A，B，C型.假设不同位置的元件是否正常工作不受其它元件影响.在电路子模块R中，当1号位与2号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作.在电路子模块Q中，当1号位元件正常工作，同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作.
（1）若备选电子元件A，B型正常工作的概率分别为0.9，0.8，依次接入位置1，2，求此时电路子模块R能正常工作的概率；
（2）若备选电子元件A，B，C型正常工作的概率分别为0.7，0.8，0.9，试问如何接入备选电子元件，电路子模块Q能正常工作的概率最大，并说明理由.
26．（2021·江苏·高一期末）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一，若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费，某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，现有这个驾校的一对夫妻学员同时报名参加驾驶证科目二考试，若这对夫妻每人每次是否通过科目二考试相互独立，他们参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．
(1)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率；
(2)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率．
27．（2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.
（1）求和的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率.
28．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）某校从高三年级学生中随机抽取名学生的某次数学考试成绩，将其成绩分成，，，，的组，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的值；
(2)估计这组数据的平均数；
(3)若成绩在内的学生中男生占.现从成绩在内的学生中随机抽取人进行分析，求人中恰有名女生的概率.
29．（2022春·江苏南通·高一统考期末）某产品在出厂前需要经过质检，质检分为2个过程．第1个过程，将产品交给3位质检员分别进行检验，若3位质检员检验结果均为合格，则产品不需要进行第2个过程，可以出厂；若3位质检员检验结果均为不合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；若只有1位或2位质检员检验结果为合格，则需要进行第2个过程．第2个过程，将产品交给第4位和第5位质检员检验，若这2位质检员检验结果均为合格，则可以出厂，否则视为不合格产品，不可以出厂．设每位质检员检验结果为合格的概率均为，且每位质检员的检验结果相互独立．
(1)求产品需要进行第2个过程的概率；
(2)求产品不可以出厂的概率．
30．（2022春·江苏扬州·高一期末）2021年9月15日，安徽省举行新闻发布会，正式公布了高考综合改革方案．按照方案的要求，高考选科采用“3+1+2”的模式：“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分计入高考成绩；“2”指考生从政治、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩．某校对其高一学生的首选学科意向进行统计，得到如下表格：
(1)令A＝“从选历史的同学中任选一人，求此人是女生”，B＝“从选物理的同学中任选一人，求此人是女生”，判断随机事件A，B的概率，的大小关系；
(2)按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：
将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为，原始分为时，等级分为，计算结果四舍五入取整．该校某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如图所示：
①按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩等级A的原始分区间；
②用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成绩的原始分为90分，试计算其等级分．
分组
频数
频率
合计
科目性别
物理
历史
合计
男
460
40
500
女
340
160
500
合计
800
200
1000
等级
A
B
C
D
E
人数比例
15%
35%
35%
13%
2%
赋分区间
[86，100］
[71，85］
[56，70］
[41，55］
[30，40］
期末专题10 概率综合
一、单选题
1．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则使目标受损但未击毁的概率是（ ）
A．0.4B．0.48C．0.6D．0.8
【答案】A
【分析】根据概率运算求得正确答案.
【详解】目标受损但未击毁的概率是.
故选：A
2．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现点数不超过3”，则事件与事件的关系为（ ）
A．相互独立B．互斥C．互为对立D．相等
【答案】A
【分析】根据是否相等判断独立性，由互斥、对立及相等事件的定义判断B、C、D.
【详解】由题意，，且，即，
而事件可以同时发生，故它们不互斥，更不相等；
由于“第一枚出现偶数点”， “第二枚出现点数超过3”，则不是对立事件；
综上，A正确，B、C、D错误.
故选：A
3．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）从名男生和名女生中任选名学生参加座谈会，则下列事件互斥的是（ ）
A．“恰好选中名男生”与“恰好选中名女生”
B．“至少选中名男生”与“至少选中名女生”
C．“选中名男生”与“选中名女生”
D．“至多选中名男生”与“至多选中名女生”
【答案】C
【分析】列举出每个选项中每个事件所包含的基本情况，结合互斥事件的定义判断可得出结论.
【详解】从名男生和名女生中任选名学生参加座谈会，共有种情况：男、女，男女.
对于A选项，“恰好选中名男生”与“恰好选中名女生”为同一事件，A不满足条件；
对于B选项，“至少选中名男生”包含：男、男女.
“至少选中名女生”包含：女，男女，B不满足条件；
对于C选项，“选中名男生”与“选中名女生”互斥，C满足条件；
对于D选项，“至多选中名男生”包含女，男女，
“至多选中名女生”包含男、男女，D不满足条件.
故选：C.
4．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）甲、乙两人参加学校组织的“劳动技能通关”比赛，已知甲通关的概率为，乙通关的概率为，且甲和乙通关与否互不影响，则甲、乙两人都不通关的概率为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、对立事件的概率公式计算作答.
【详解】甲、乙通关的事件分别记为A，B，事件A，B相互独立，，
所以甲、乙两人都不通关的概率为.
故选：D
5．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记事件“点数之和为7”，事件“点数之和为3的倍数”，则（ ）
A．为不可能事件B．与为互斥事件
C．为必然事件D．与为对立事件
【答案】B
【分析】先分析事件A、B的构成，对四个选项一一验证即可.
【详解】同时抛掷两颗骰子，有36个结果，事件“点数之和为7”，包括：，，，，，.
事件“点数之和为3的倍数”，包括，，，，，，.
所以为“点数之和为7或3的倍数”，不是不可能事件.故A错误；
与为互斥事件，故B正确；
为不可能事件.故C错误；
事件A、B不能包含全部基本事件，故与不是对立事件.故D错误.
故选：B
6．（2022春·江苏常州·高一统考期末）甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为（ ）.
A．0.9B．0.8C．0.7D．0.2
【答案】C
【分析】求出甲乙两人分别解决不了难题的概率，即可求得该难题不能被解决即甲乙两人同时都解决不了该难题的概率，根据对立事件的概率计算，可得答案.
【详解】由题意可知甲不能解决该难题的概率为1-0.4=0.6,
乙不能解决出该难题的概率为1-0.5=0.5，
故该难题被解决出的概率为，
故选：C
7．（2022春·江苏扬州·高一期末）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（ ）
A．甲与丙相互独立B．丙与丁相互独立C．甲与丁相互独立D．乙与丙相互独立
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出各个事件的概率，再利用相互独立事件的定义判断作答.
【详解】甲、乙、丙、丁事件分别记为，则有，，
对于A，显然甲丙不可能同时发生，即，A不正确；
对于B，显然丙丁不可能同时发生，即，B不正确；
对于C，，甲与丁相互独立，C正确；
对于D，，D不正确.
故选：C
8．（2022秋·江苏淮安·高一统考期末）为了加快新冠病毒检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再单独做检测．该检测机构采用了“10合1检测法”对2000人进行检测，检测结果为5人呈阳性，且这5个人来自4个不同的检测组，则总检测的次数是（ ）
A．210B．230C．240D．250
【答案】C
【分析】根据第一轮、第二轮检测的次数求得总检测的次数.
【详解】根据题意，采用“10合1检测法”对2000人进行检测，
需要先将2000人按每组10人进行分组，需要分200组，即需要检测200次，
结果为5人呈阳性，且这5个人来自4个不同的检测组，需要对这4组进行第二轮检测，需要检测40次，
则一共需要检测200+40=240次.
故选：C
二、多选题
9．（2022春·江苏南通·高一统考期末）按先后顺序抛三枚质地均匀的硬币，则（ ）
A．第一枚正面朝上的概率是
B．“第一枚正面朝上”与“三枚硬币朝上的面相同”是相互独立的
C．“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币正面都朝上”是互斥的
D．“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币反面都朝上”是对立的
【答案】BD
【分析】对A，根据单独一枚硬币正面朝上的概率判断即可；
对B，根据相互独立事件公式判断即可；
对C，根据两事件是否能同时发生判断即可；
对D，根据对立事件的定义判定即可；
【详解】对A，第一枚正面朝上的概率是，故A错误；
对B，第一枚正面朝上的概率，三枚硬币朝上的面相同的概率，又，因为，故“第一枚正面朝上”与“三枚硬币朝上的面相同”是相互独立的，故B正确；
对C，“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币正面都朝上”可能同时发生，不是互斥的，故C错误；
对D，“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币反面都朝上”是对立的，故D正确；
故选：BD
10．（2022春·江苏连云港·高一连云港高中校考期末）甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（ ）
A．B．事件B与事件相互独立
C．事件B与事件相互独立D．，互斥
【答案】AD
【分析】先画出树状图，然后求得， ，的值，得A正确；利用 判断B错误，同理C错误；由，不可能同时发生得D正确.
【详解】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：
因此，，，A正确；
又，因此，B错误；
同理可以求得，C错误；
，不可能同时发生，故彼此互斥，故D正确，
故选：AD．
【点睛】本题主要考查互斥事件、相互独立事件的判断及其概率，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属基础题.
11．（2022春·江苏南通·高一统考期末）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（ ）
A．该试验样本空间共有个样本点B．
C．与为互斥事件D．与为相互独立事件
【答案】ABD
【分析】由题可得样本空间及事件样本点，结合互斥事件，独立事件的概念及古典概型概率公式逐项分析即得.
【详解】对于A：试验的样本空间为：正，正，正，反，反，正，反，反，共个样本点，故A正确
对于B：由题可知正，正，正，反，正，反，反，反，
显然事件，事件都含有“正，反这一结果，故，故B正确；
对于C：事件，事件能同时发生，因此事件不互斥，故C不正确；
对于D：，，，所以，故D正确．
故选：ABD.
12．（2022春·江苏苏州·高一校考期末）某校高一年级开设了甲､乙两个课外兴趣班，供学生们选择，记事件“只选择甲兴趣班"，=“至少选择一个兴趣班”，=“至多选择一个兴趣班”，“一个兴趣班都不选”，则（ ）
A．与是互斥事件
B．与既是互斥事件也是对立事件
C．与不是互斥事件
D．与是互斥事件
【答案】BC
【分析】根据互斥事件，对立事件的概念判断即得.
【详解】事件“只选择甲兴趣班"；=“至少选择一个兴趣班”，包含选择甲兴趣班，选择乙兴趣班，选择甲乙两种兴趣班；=“至多选择一个兴趣班”，包含选择甲兴趣班，选择乙兴趣班，两种兴趣班都不选择；“一个兴趣班都不选”；
所以，与不是互斥事件，故A错误；
与既是互斥事件也是对立事件，故B正确；
与不是互斥事件，故C正确；
与不是互斥事件，故D错误.
故选：BC.
13．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）从装有个红球和个白球的袋中任意取出个球，有如下几对事件：
①“取出个球，恰好有个白球”与“取出个球，恰好有个红球”；
②“取出个球，恰好有个白球”与“取出个球，都是红球”；
③“取出个球，至少有个白球”与“取出个球，都是红球”；
④“取出个球，至少有个白球”与“取出个球，至少有个红球”．
其中是互斥事件的有（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】BC
【分析】写出每个事件所包含的基本事件，利用互斥事件的定义判断可得出合适的选项.
【详解】对于①，“取出个球，恰好有个白球”即为红白，“取出个球，恰好有个红球”即为红白，
①中两个事件为相等事件；
对于②，“取出个球，都是红球”即为红，②中的两个事件为互斥事件；
对于③，“取出个球，至少有个白球”包含：红白、白，③中的两个事件为互斥事件；
对于④，“取出个球，至少有个红球”包含：红白、红，④中的两个事件不是互斥事件.
故选：BC.
14．（2022春·江苏盐城·高一统考期末）记分别为事件A，B发生的概率，则下列结论中可能成立的有（ ）
A．B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据事件A，B的独立性、互斥性判断概率间的关系即可.
【详解】当事件A，B相互独立时，，A可能；
当事件A，B互斥时，，B可能；
当事件A，B不互斥时，，C可能；
而不可能出现，D不可能.
故选：ABC
15．（2022春·江苏扬州·高一期末）已知事件A，B，且，则（ ）
A．如果，那么
B．如果A与B互斥，那么
C．如果A与B相互独立，那么
D．如果A与B相互独立，那么
【答案】ABD
【分析】根据事件的包含关系、相互独立､互斥事件概率计算方法计算即可.
【详解】如果，那么，，故 A正确；
如果A与互斥，那么，，故 B正确；
如果A与相互独立，那么，，故C错误；
如果A与相互独立，那么，故 D正确；
故选：ABD
16．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）从高一某班抽三名学生(抽到男女同学的可能性相同)参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则以下正确的是（ ）
A．B．事件A与事件B互斥
C．D．事件A与事件C对立
【答案】ABD
【分析】由独立乘法公式求，根据事件的描述，结合互斥、对立事件的概念判断B、C、D即可.
【详解】由所抽学生为女生的概率均为，则，A正确；
两事件不可能同时发生，为互斥事件，B正确；
事件包含：三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生，其对立事件为，D正确；
事件包含：三名学生都是男生、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生，与事件含义相同，故，C错误；
故选：ABD
三、填空题
17．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）已知，，且，互斥，则___________.
【答案】0
【分析】根据互斥事件的概念即可得结果.
【详解】由于，互斥，即不可能同时发生，
所以，
故答案为：0.
18．（2022春·江苏淮安·高一统考期末）如图，某系统使用A，B，C三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．当元件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．若元件A，B，C正常工作的概率均为0.7，则系统能正常工作的概率为______．
【答案】0.637
【分析】求出正常的概率，然后由独立事件的概率公式计算．
【详解】．
故答案为：．
19．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）有甲､乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是___________.
【答案】
【分析】利用互斥事件及独立事件概率公式即得.
【详解】由题意得：甲批种子发芽同时乙批不发芽或甲批种子不发芽同时乙批种子发芽，
则所求概率.
故答案为：.
20．（2022春·江苏常州·高一统考期末）已知A，B是相互独立事件，且，，则 ________.
【答案】0.12
【分析】根据对立事件的概率公式，结合相互独立事件的概率公式求解即可
【详解】由题意，，
故答案为：0.12
四、解答题
21．（2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）某城市缺水问题比较严重，市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，为了解家庭用水量的情况，相关部分在某区随机调查了户居民的月平均用水量（单位：）
得到如下频率分布表
（1）求上表中，，的值；
（2）试估计该区居民的月平均用水量；
（3）从上表月平均用水量不少于的户居民中随机抽取户调查，求户居民来自不同分组的概率．
【答案】（1），，；（2）；（3）.
【分析】（1）根据表中频数和为，频率和为，频数总数频率求解即可；（2）用各组组中值乘频率再相加即可；（3）运用列举法列举样本空间和事件，利用概率公式求解即可.
【详解】（1）由表可知，，
由频数相加为可得得，
则.
（2）由表可得，所以该区居民的月平均用水量为
（3）上表月平均用水量不少于的户居民人来自组，分别记为；人来自组，分别记为.
设“户居民来自不同分组”为事件，
则，基本事件总数，
，包含的基本事件数，
故.
所以户居民来自不同分组的概率为
22．（2022春·江苏苏州·高一校联考期末）设A、B、C三个事件两两相互独立，事件A发生的概率是，A、B、C同时发生的概率是，A、B、C都不发生的概率是.
(1)试分别求出事件B和事件C发生的概率；
(2)试求A、B、C只有一个发生的概率.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式列出方程组，求出事件B和事件C发生的概率；（2）在第一问的基础上利用独立事件和对立事件概率公式进行求解.
(1)
由题意得：，
，即，
解得：或
(2)
设A、B、C只有一个发生的概率为P，
当时，
则；
当时，同理可得：，
综上：A、B、C只有一个发生的概率为
23．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）水平相当的甲、乙两队在某次排球决赛比赛中相遇，决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金．
(1)求需要进行四局比赛才能结束的概率；
(2)若前3局打成2:1时，比赛因故终止．有人提议按2:1分配奖金，请利用相关数学知识解释这样分配是否合理．
【答案】(1)；
(2)不合理，理由见解析.
【分析】（1）由进行四局比赛结束的情况为前三局{甲两胜，乙一胜，最后一局甲胜}、{甲一胜，乙两胜，最后一局乙胜}，利用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率即可.
（2）根据前3局2:1时，利用独立乘法公式求出胜2局者和胜1局者分别获胜的概率，即可判断分配是否合理.
（1）
由题意，任意一局甲胜概率为，乙胜的概率为，进行四局比赛结束，
若第四局甲胜，则前三局{甲两胜，乙一胜}，
此时，
若第四局乙胜，则前三局{甲一胜，乙两胜}，
此时，
综上，需要进行四局比赛才能结束的概率为.
（2）
不合理，理由如下：
前3局：若甲胜两局，乙胜一局，
甲获胜的情况为{第4局甲胜}、{第4局乙胜，第5局甲胜}，
故此情况下，甲获胜的概率为，而乙获胜概率为，
所以前3局胜2局者与胜1局者奖金分配应为，故题设分配不合理.
24．（2022春·江苏苏州·高一校考期末）猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.
(1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题设求出甲、乙、丙猜对或错的概率值，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
（2）利用对立事件的概率求法及独立事件乘法公式列方程求.
(1)
设“任选一道灯谜甲猜对”，“任选一道灯谜乙猜对”，“任选一道灯谜丙猜对”.
则，，，故，，.
“甲，乙两位同学恰有一个人猜对”，且与互斥.
每位同学独立竞猜，故，互相独立，则与，与，与均相互独立.
所以.
答：任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为.
(2)
设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则.
所以.
解得.
25．（2021春·江苏淮安·高一统考期末）某企业生产两种如下图所示的电路子模块R，Q：
要求在每个模块中，不同位置接入不同种类型的电子元件，且备选电子元件为A，B，C型.假设不同位置的元件是否正常工作不受其它元件影响.在电路子模块R中，当1号位与2号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作.在电路子模块Q中，当1号位元件正常工作，同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作.
（1）若备选电子元件A，B型正常工作的概率分别为0.9，0.8，依次接入位置1，2，求此时电路子模块R能正常工作的概率；
（2）若备选电子元件A，B，C型正常工作的概率分别为0.7，0.8，0.9，试问如何接入备选电子元件，电路子模块Q能正常工作的概率最大，并说明理由.
【答案】（1）；（2）1号位接入电子元件C时，电路模块Q正常工作的概率最大.
【分析】根据随机事件的概率计算公式求解答案.
【详解】（1）假设事件A，B，C分别表示电子元件A，B，C正常工作，电路子模块R不能正常工作的概率为，由于事件A，B互相独立，所以，
因此电路子模块R能正常工作的概率为
（2）由于当1号位元件正常工作，同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块Q才能正常工作，因此，
①若1号位元件为电子元件A，则电路子模块Q正常工作的概率为
；
②若1号位元件为电子元件B，则电路子模块Q正常工作的概率为
；
③若1号位元件为电子元件c，则电路子模块Q正常工作的概率为
；
因此，1号位接入元件C时，电路子模块Q正常工作的概率最大.
26．（2021·江苏·高一期末）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一，若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费，某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，现有这个驾校的一对夫妻学员同时报名参加驾驶证科目二考试，若这对夫妻每人每次是否通过科目二考试相互独立，他们参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．
(1)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率；
(2)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）分别表示丈夫和妻子第i次通过考试的事件，再将夫妻二人都不需要交补考费的事件用表示，然后利用互斥事件和相互独立事件的概率公式计算作答.
（2）将夫妻二人共交200元补考费的事件用（1）中事件表示，再利用互斥事件和相互独立事件的概率公式计算作答.
【详解】（1）分别表示丈夫和妻子第i次通过考试的事件，则，
夫妻二人都不需要交补考费的事件，
则，
所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率是.
（2）由（1）知，夫妻二人共交200元补考费的事件，
则，
所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率.
27．（2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.
（1）求和的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）由互斥事件和对立事件的概率公式列方程组可解得；
（2）分别求出两人答对1道的概率，答对两道题的概率，两人共答对3道题，则是一人答对2道题另一人答对1道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论．
【详解】解：（1）设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，则，.
设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，
则，.
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，与相互互斥，所以，
.
由题意可得
即解得或
由于，所以，.
（2）设{甲同学答对了道题}，{乙同学答对了道题}，，1，2.
由题意得，，，
，.
设{甲乙二人共答对3道题}，则.
由于和相互独立，与相互互斥，
所以.
所以，甲乙二人共答对3道题的概率为.
【点睛】关键点点睛：本题考查互斥事件与独立事件的概率公式，解题关键是把所求概率事件用互斥事件表示，然后求概率，如设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，则，．同样两人共答对3题分拆成甲答对2题乙答对1题与甲答对1题乙答对2题两个互斥事件．
28．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）某校从高三年级学生中随机抽取名学生的某次数学考试成绩，将其成绩分成，，，，的组，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的值；
(2)估计这组数据的平均数；
(3)若成绩在内的学生中男生占.现从成绩在内的学生中随机抽取人进行分析，求人中恰有名女生的概率.
【答案】(1)
(2)77
(3)
【分析】(1)根据给定条件结合频率分布直方图中各小矩形面积和为1的特点列式计算即得.
(2)利用频率分布直方图求平均数的方法直接列式计算即得.
(3)求出成绩在内的学生及男女生人数，再用列举法即可求出概率.
(1)
由频率分布直方图得，解得，
所以图中的值是0.020.
(2)
由频率分布直方图得这组数据的平均数：
，
所以这组数据的平均数为77.
(3)
数学成绩在内的人数为(人)，其中男生人数为(人)，则女生人数为人，
记名男生分别为，，名女生分别为，，，从数学成绩在内的人中随机抽取人进行分析的基本事件为：
，共个不同结果，它们等可能，
其中人中恰有名女生的基本事件为，共种结果，
所以人中恰有名女生的概率为为.
29．（2022春·江苏南通·高一统考期末）某产品在出厂前需要经过质检，质检分为2个过程．第1个过程，将产品交给3位质检员分别进行检验，若3位质检员检验结果均为合格，则产品不需要进行第2个过程，可以出厂；若3位质检员检验结果均为不合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；若只有1位或2位质检员检验结果为合格，则需要进行第2个过程．第2个过程，将产品交给第4位和第5位质检员检验，若这2位质检员检验结果均为合格，则可以出厂，否则视为不合格产品，不可以出厂．设每位质检员检验结果为合格的概率均为，且每位质检员的检验结果相互独立．
(1)求产品需要进行第2个过程的概率；
(2)求产品不可以出厂的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分在第1个过程中，1或2位质检员检验结果为合格两种情况讨论，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；
（2）首先求出在第1个过程中，3位质检员检验结果均为不合格的概率，再求出产品需要进行第2个过程，在第2个过程中，产品不可以出厂的概率，最后根据互斥事件的概率公式计算可得；
（1）
解：记事件A为“产品需要进行第2个过程”．
在第1个过程中，1位质检员检验结果为合格的概率，
在第1个过程中，2位质检员检验结果为合格的概率，
故．
（2）
解：记事件B为“产品不可以出厂”．
在第1个过程中，3位质检员检验结果均为不合格的概率，
产品需要进行第2个过程，在第2个过程中，产品不可以出厂的概率，
故．
30．（2022春·江苏扬州·高一期末）2021年9月15日，安徽省举行新闻发布会，正式公布了高考综合改革方案．按照方案的要求，高考选科采用“3+1+2”的模式：“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分计入高考成绩；“2”指考生从政治、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩．某校对其高一学生的首选学科意向进行统计，得到如下表格：
(1)令A＝“从选历史的同学中任选一人，求此人是女生”，B＝“从选物理的同学中任选一人，求此人是女生”，判断随机事件A，B的概率，的大小关系；
(2)按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：
将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为，原始分为时，等级分为，计算结果四舍五入取整．该校某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如图所示：
①按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩等级A的原始分区间；
②用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成绩的原始分为90分，试计算其等级分．
【答案】(1)；
(2)①；②91分.
【分析】（1）根据给定条件，利用古典概型直接计算概率，比较作答.
（2）①根据频率分布直方图，结合A等级划分比例计算；②根据转换公式直接计算作答.
【详解】（1）依题意，，，
所以．
（2）①由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间的占比为5%，位于区间的占比为20%，
估计等级A的原始分区间的最低分为，
所以估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间为．
②由，解得，该学生的等级分为91分．
分组
频数
频率
合计
科目性别
物理
历史
合计
男
460
40
500
女
340
160
500
合计
800
200
1000
等级
A
B
C
D
E
人数比例
15%
35%
35%
13%
2%
赋分区间
[86，100］
[71，85］
[56，70］
[41，55］
[30，40］
一、单选题
1．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则使目标受损但未击毁的概率是（ ）
A．0.4B．0.48C．0.6D．0.8
2．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现点数不超过3”，则事件与事件的关系为（ ）
A．相互独立B．互斥C．互为对立D．相等
3．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）从名男生和名女生中任选名学生参加座谈会，则下列事件互斥的是（ ）
A．“恰好选中名男生”与“恰好选中名女生”
B．“至少选中名男生”与“至少选中名女生”
C．“选中名男生”与“选中名女生”
D．“至多选中名男生”与“至多选中名女生”
4．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）甲、乙两人参加学校组织的“劳动技能通关”比赛，已知甲通关的概率为，乙通关的概率为，且甲和乙通关与否互不影响，则甲、乙两人都不通关的概率为（ ）．
A．B．C．D．
5．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记事件“点数之和为7”，事件“点数之和为3的倍数”，则（ ）
A．为不可能事件B．与为互斥事件
C．为必然事件D．与为对立事件
6．（2022春·江苏常州·高一统考期末）甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为（ ）.
A．0.9B．0.8C．0.7D．0.2
7．（2022春·江苏扬州·高一期末）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（ ）
A．甲与丙相互独立B．丙与丁相互独立C．甲与丁相互独立D．乙与丙相互独立
8．（2022秋·江苏淮安·高一统考期末）为了加快新冠病毒检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再单独做检测．该检测机构采用了“10合1检测法”对2000人进行检测，检测结果为5人呈阳性，且这5个人来自4个不同的检测组，则总检测的次数是（ ）
A．210B．230C．240D．250
二、多选题
9．（2022春·江苏南通·高一统考期末）按先后顺序抛三枚质地均匀的硬币，则（ ）
A．第一枚正面朝上的概率是
B．“第一枚正面朝上”与“三枚硬币朝上的面相同”是相互独立的
C．“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币正面都朝上”是互斥的
D．“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币反面都朝上”是对立的
10．（2022春·江苏连云港·高一连云港高中校考期末）甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（ ）
A．B．事件B与事件相互独立
C．事件B与事件相互独立D．，互斥
11．（2022春·江苏南通·高一统考期末）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（ ）
A．该试验样本空间共有个样本点B．
C．与为互斥事件D．与为相互独立事件
12．（2022春·江苏苏州·高一校考期末）某校高一年级开设了甲､乙两个课外兴趣班，供学生们选择，记事件“只选择甲兴趣班"，=“至少选择一个兴趣班”，=“至多选择一个兴趣班”，“一个兴趣班都不选”，则（ ）
A．与是互斥事件
B．与既是互斥事件也是对立事件
C．与不是互斥事件
D．与是互斥事件
13．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）从装有个红球和个白球的袋中任意取出个球，有如下几对事件：
①“取出个球，恰好有个白球”与“取出个球，恰好有个红球”；
②“取出个球，恰好有个白球”与“取出个球，都是红球”；
③“取出个球，至少有个白球”与“取出个球，都是红球”；
④“取出个球，至少有个白球”与“取出个球，至少有个红球”．
其中是互斥事件的有（ ）
A．①B．②C．③D．④
14．（2022春·江苏盐城·高一统考期末）记分别为事件A，B发生的概率，则下列结论中可能成立的有（ ）
A．B．
C． D．
15．（2022春·江苏扬州·高一期末）已知事件A，B，且，则（ ）
A．如果，那么
B．如果A与B互斥，那么
C．如果A与B相互独立，那么
D．如果A与B相互独立，那么
16．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）从高一某班抽三名学生(抽到男女同学的可能性相同)参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则以下正确的是（ ）
A．B．事件A与事件B互斥
C．D．事件A与事件C对立
三、填空题
17．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）已知，，且，互斥，则___________.
18．（2022春·江苏淮安·高一统考期末）如图，某系统使用A，B，C三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．当元件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．若元件A，B，C正常工作的概率均为0.7，则系统能正常工作的概率为______．
19．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）有甲､乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是___________.
20．（2022春·江苏常州·高一统考期末）已知A，B是相互独立事件，且，，则 ________.
四、解答题
21．（2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）某城市缺水问题比较严重，市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，为了解家庭用水量的情况，相关部分在某区随机调查了户居民的月平均用水量（单位：）
得到如下频率分布表
（1）求上表中，，的值；
（2）试估计该区居民的月平均用水量；
（3）从上表月平均用水量不少于的户居民中随机抽取户调查，求户居民来自不同分组的概率．
22．（2022春·江苏苏州·高一校联考期末）设A、B、C三个事件两两相互独立，事件A发生的概率是，A、B、C同时发生的概率是，A、B、C都不发生的概率是.
(1)试分别求出事件B和事件C发生的概率；
(2)试求A、B、C只有一个发生的概率.
23．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）水平相当的甲、乙两队在某次排球决赛比赛中相遇，决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金．
(1)求需要进行四局比赛才能结束的概率；
(2)若前3局打成2:1时，比赛因故终止．有人提议按2:1分配奖金，请利用相关数学知识解释这样分配是否合理．
24．（2022春·江苏苏州·高一校考期末）猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.
(1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值.
25．（2021春·江苏淮安·高一统考期末）某企业生产两种如下图所示的电路子模块R，Q：
要求在每个模块中，不同位置接入不同种类型的电子元件，且备选电子元件为A，B，C型.假设不同位置的元件是否正常工作不受其它元件影响.在电路子模块R中，当1号位与2号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作.在电路子模块Q中，当1号位元件正常工作，同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作.
（1）若备选电子元件A，B型正常工作的概率分别为0.9，0.8，依次接入位置1，2，求此时电路子模块R能正常工作的概率；
（2）若备选电子元件A，B，C型正常工作的概率分别为0.7，0.8，0.9，试问如何接入备选电子元件，电路子模块Q能正常工作的概率最大，并说明理由.
26．（2021·江苏·高一期末）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一，若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费，某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，现有这个驾校的一对夫妻学员同时报名参加驾驶证科目二考试，若这对夫妻每人每次是否通过科目二考试相互独立，他们参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．
(1)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率；
(2)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率．
27．（2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.
（1）求和的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率.
28．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）某校从高三年级学生中随机抽取名学生的某次数学考试成绩，将其成绩分成，，，，的组，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的值；
(2)估计这组数据的平均数；
(3)若成绩在内的学生中男生占.现从成绩在内的学生中随机抽取人进行分析，求人中恰有名女生的概率.
29．（2022春·江苏南通·高一统考期末）某产品在出厂前需要经过质检，质检分为2个过程．第1个过程，将产品交给3位质检员分别进行检验，若3位质检员检验结果均为合格，则产品不需要进行第2个过程，可以出厂；若3位质检员检验结果均为不合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；若只有1位或2位质检员检验结果为合格，则需要进行第2个过程．第2个过程，将产品交给第4位和第5位质检员检验，若这2位质检员检验结果均为合格，则可以出厂，否则视为不合格产品，不可以出厂．设每位质检员检验结果为合格的概率均为，且每位质检员的检验结果相互独立．
(1)求产品需要进行第2个过程的概率；
(2)求产品不可以出厂的概率．
30．（2022春·江苏扬州·高一期末）2021年9月15日，安徽省举行新闻发布会，正式公布了高考综合改革方案．按照方案的要求，高考选科采用“3+1+2”的模式：“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分计入高考成绩；“2”指考生从政治、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩．某校对其高一学生的首选学科意向进行统计，得到如下表格：
(1)令A＝“从选历史的同学中任选一人，求此人是女生”，B＝“从选物理的同学中任选一人，求此人是女生”，判断随机事件A，B的概率，的大小关系；
(2)按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：
将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为，原始分为时，等级分为，计算结果四舍五入取整．该校某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如图所示：
①按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩等级A的原始分区间；
②用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成绩的原始分为90分，试计算其等级分．
分组
频数
频率
合计
科目性别
物理
历史
合计
男
460
40
500
女
340
160
500
合计
800
200
1000
等级
A
B
C
D
E
人数比例
15%
35%
35%
13%
2%
赋分区间
[86，100］
[71，85］
[56，70］
[41，55］
[30，40］
期末专题10 概率综合
一、单选题
1．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则使目标受损但未击毁的概率是（ ）
A．0.4B．0.48C．0.6D．0.8
【答案】A
【分析】根据概率运算求得正确答案.
【详解】目标受损但未击毁的概率是.
故选：A
2．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现点数不超过3”，则事件与事件的关系为（ ）
A．相互独立B．互斥C．互为对立D．相等
【答案】A
【分析】根据是否相等判断独立性，由互斥、对立及相等事件的定义判断B、C、D.
【详解】由题意，，且，即，
而事件可以同时发生，故它们不互斥，更不相等；
由于“第一枚出现偶数点”， “第二枚出现点数超过3”，则不是对立事件；
综上，A正确，B、C、D错误.
故选：A
3．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）从名男生和名女生中任选名学生参加座谈会，则下列事件互斥的是（ ）
A．“恰好选中名男生”与“恰好选中名女生”
B．“至少选中名男生”与“至少选中名女生”
C．“选中名男生”与“选中名女生”
D．“至多选中名男生”与“至多选中名女生”
【答案】C
【分析】列举出每个选项中每个事件所包含的基本情况，结合互斥事件的定义判断可得出结论.
【详解】从名男生和名女生中任选名学生参加座谈会，共有种情况：男、女，男女.
对于A选项，“恰好选中名男生”与“恰好选中名女生”为同一事件，A不满足条件；
对于B选项，“至少选中名男生”包含：男、男女.
“至少选中名女生”包含：女，男女，B不满足条件；
对于C选项，“选中名男生”与“选中名女生”互斥，C满足条件；
对于D选项，“至多选中名男生”包含女，男女，
“至多选中名女生”包含男、男女，D不满足条件.
故选：C.
4．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）甲、乙两人参加学校组织的“劳动技能通关”比赛，已知甲通关的概率为，乙通关的概率为，且甲和乙通关与否互不影响，则甲、乙两人都不通关的概率为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、对立事件的概率公式计算作答.
【详解】甲、乙通关的事件分别记为A，B，事件A，B相互独立，，
所以甲、乙两人都不通关的概率为.
故选：D
5．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记事件“点数之和为7”，事件“点数之和为3的倍数”，则（ ）
A．为不可能事件B．与为互斥事件
C．为必然事件D．与为对立事件
【答案】B
【分析】先分析事件A、B的构成，对四个选项一一验证即可.
【详解】同时抛掷两颗骰子，有36个结果，事件“点数之和为7”，包括：，，，，，.
事件“点数之和为3的倍数”，包括，，，，，，.
所以为“点数之和为7或3的倍数”，不是不可能事件.故A错误；
与为互斥事件，故B正确；
为不可能事件.故C错误；
事件A、B不能包含全部基本事件，故与不是对立事件.故D错误.
故选：B
6．（2022春·江苏常州·高一统考期末）甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为（ ）.
A．0.9B．0.8C．0.7D．0.2
【答案】C
【分析】求出甲乙两人分别解决不了难题的概率，即可求得该难题不能被解决即甲乙两人同时都解决不了该难题的概率，根据对立事件的概率计算，可得答案.
【详解】由题意可知甲不能解决该难题的概率为1-0.4=0.6,
乙不能解决出该难题的概率为1-0.5=0.5，
故该难题被解决出的概率为，
故选：C
7．（2022春·江苏扬州·高一期末）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（ ）
A．甲与丙相互独立B．丙与丁相互独立C．甲与丁相互独立D．乙与丙相互独立
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出各个事件的概率，再利用相互独立事件的定义判断作答.
【详解】甲、乙、丙、丁事件分别记为，则有，，
对于A，显然甲丙不可能同时发生，即，A不正确；
对于B，显然丙丁不可能同时发生，即，B不正确；
对于C，，甲与丁相互独立，C正确；
对于D，，D不正确.
故选：C
8．（2022秋·江苏淮安·高一统考期末）为了加快新冠病毒检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再单独做检测．该检测机构采用了“10合1检测法”对2000人进行检测，检测结果为5人呈阳性，且这5个人来自4个不同的检测组，则总检测的次数是（ ）
A．210B．230C．240D．250
【答案】C
【分析】根据第一轮、第二轮检测的次数求得总检测的次数.
【详解】根据题意，采用“10合1检测法”对2000人进行检测，
需要先将2000人按每组10人进行分组，需要分200组，即需要检测200次，
结果为5人呈阳性，且这5个人来自4个不同的检测组，需要对这4组进行第二轮检测，需要检测40次，
则一共需要检测200+40=240次.
故选：C
二、多选题
9．（2022春·江苏南通·高一统考期末）按先后顺序抛三枚质地均匀的硬币，则（ ）
A．第一枚正面朝上的概率是
B．“第一枚正面朝上”与“三枚硬币朝上的面相同”是相互独立的
C．“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币正面都朝上”是互斥的
D．“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币反面都朝上”是对立的
【答案】BD
【分析】对A，根据单独一枚硬币正面朝上的概率判断即可；
对B，根据相互独立事件公式判断即可；
对C，根据两事件是否能同时发生判断即可；
对D，根据对立事件的定义判定即可；
【详解】对A，第一枚正面朝上的概率是，故A错误；
对B，第一枚正面朝上的概率，三枚硬币朝上的面相同的概率，又，因为，故“第一枚正面朝上”与“三枚硬币朝上的面相同”是相互独立的，故B正确；
对C，“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币正面都朝上”可能同时发生，不是互斥的，故C错误；
对D，“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币反面都朝上”是对立的，故D正确；
故选：BD
10．（2022春·江苏连云港·高一连云港高中校考期末）甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（ ）
A．B．事件B与事件相互独立
C．事件B与事件相互独立D．，互斥
【答案】AD
【分析】先画出树状图，然后求得， ，的值，得A正确；利用 判断B错误，同理C错误；由，不可能同时发生得D正确.
【详解】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：
因此，，，A正确；
又，因此，B错误；
同理可以求得，C错误；
，不可能同时发生，故彼此互斥，故D正确，
故选：AD．
【点睛】本题主要考查互斥事件、相互独立事件的判断及其概率，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属基础题.
11．（2022春·江苏南通·高一统考期末）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（ ）
A．该试验样本空间共有个样本点B．
C．与为互斥事件D．与为相互独立事件
【答案】ABD
【分析】由题可得样本空间及事件样本点，结合互斥事件，独立事件的概念及古典概型概率公式逐项分析即得.
【详解】对于A：试验的样本空间为：正，正，正，反，反，正，反，反，共个样本点，故A正确
对于B：由题可知正，正，正，反，正，反，反，反，
显然事件，事件都含有“正，反这一结果，故，故B正确；
对于C：事件，事件能同时发生，因此事件不互斥，故C不正确；
对于D：，，，所以，故D正确．
故选：ABD.
12．（2022春·江苏苏州·高一校考期末）某校高一年级开设了甲､乙两个课外兴趣班，供学生们选择，记事件“只选择甲兴趣班"，=“至少选择一个兴趣班”，=“至多选择一个兴趣班”，“一个兴趣班都不选”，则（ ）
A．与是互斥事件
B．与既是互斥事件也是对立事件
C．与不是互斥事件
D．与是互斥事件
【答案】BC
【分析】根据互斥事件，对立事件的概念判断即得.
【详解】事件“只选择甲兴趣班"；=“至少选择一个兴趣班”，包含选择甲兴趣班，选择乙兴趣班，选择甲乙两种兴趣班；=“至多选择一个兴趣班”，包含选择甲兴趣班，选择乙兴趣班，两种兴趣班都不选择；“一个兴趣班都不选”；
所以，与不是互斥事件，故A错误；
与既是互斥事件也是对立事件，故B正确；
与不是互斥事件，故C正确；
与不是互斥事件，故D错误.
故选：BC.
13．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）从装有个红球和个白球的袋中任意取出个球，有如下几对事件：
①“取出个球，恰好有个白球”与“取出个球，恰好有个红球”；
②“取出个球，恰好有个白球”与“取出个球，都是红球”；
③“取出个球，至少有个白球”与“取出个球，都是红球”；
④“取出个球，至少有个白球”与“取出个球，至少有个红球”．
其中是互斥事件的有（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】BC
【分析】写出每个事件所包含的基本事件，利用互斥事件的定义判断可得出合适的选项.
【详解】对于①，“取出个球，恰好有个白球”即为红白，“取出个球，恰好有个红球”即为红白，
①中两个事件为相等事件；
对于②，“取出个球，都是红球”即为红，②中的两个事件为互斥事件；
对于③，“取出个球，至少有个白球”包含：红白、白，③中的两个事件为互斥事件；
对于④，“取出个球，至少有个红球”包含：红白、红，④中的两个事件不是互斥事件.
故选：BC.
14．（2022春·江苏盐城·高一统考期末）记分别为事件A，B发生的概率，则下列结论中可能成立的有（ ）
A．B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据事件A，B的独立性、互斥性判断概率间的关系即可.
【详解】当事件A，B相互独立时，，A可能；
当事件A，B互斥时，，B可能；
当事件A，B不互斥时，，C可能；
而不可能出现，D不可能.
故选：ABC
15．（2022春·江苏扬州·高一期末）已知事件A，B，且，则（ ）
A．如果，那么
B．如果A与B互斥，那么
C．如果A与B相互独立，那么
D．如果A与B相互独立，那么
【答案】ABD
【分析】根据事件的包含关系、相互独立､互斥事件概率计算方法计算即可.
【详解】如果，那么，，故 A正确；
如果A与互斥，那么，，故 B正确；
如果A与相互独立，那么，，故C错误；
如果A与相互独立，那么，故 D正确；
故选：ABD
16．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）从高一某班抽三名学生(抽到男女同学的可能性相同)参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则以下正确的是（ ）
A．B．事件A与事件B互斥
C．D．事件A与事件C对立
【答案】ABD
【分析】由独立乘法公式求，根据事件的描述，结合互斥、对立事件的概念判断B、C、D即可.
【详解】由所抽学生为女生的概率均为，则，A正确；
两事件不可能同时发生，为互斥事件，B正确；
事件包含：三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生，其对立事件为，D正确；
事件包含：三名学生都是男生、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生，与事件含义相同，故，C错误；
故选：ABD
三、填空题
17．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）已知，，且，互斥，则___________.
【答案】0
【分析】根据互斥事件的概念即可得结果.
【详解】由于，互斥，即不可能同时发生，
所以，
故答案为：0.
18．（2022春·江苏淮安·高一统考期末）如图，某系统使用A，B，C三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．当元件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．若元件A，B，C正常工作的概率均为0.7，则系统能正常工作的概率为______．
【答案】0.637
【分析】求出正常的概率，然后由独立事件的概率公式计算．
【详解】．
故答案为：．
19．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）有甲､乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是___________.
【答案】
【分析】利用互斥事件及独立事件概率公式即得.
【详解】由题意得：甲批种子发芽同时乙批不发芽或甲批种子不发芽同时乙批种子发芽，
则所求概率.
故答案为：.
20．（2022春·江苏常州·高一统考期末）已知A，B是相互独立事件，且，，则 ________.
【答案】0.12
【分析】根据对立事件的概率公式，结合相互独立事件的概率公式求解即可
【详解】由题意，，
故答案为：0.12
四、解答题
21．（2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）某城市缺水问题比较严重，市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，为了解家庭用水量的情况，相关部分在某区随机调查了户居民的月平均用水量（单位：）
得到如下频率分布表
（1）求上表中，，的值；
（2）试估计该区居民的月平均用水量；
（3）从上表月平均用水量不少于的户居民中随机抽取户调查，求户居民来自不同分组的概率．
【答案】（1），，；（2）；（3）.
【分析】（1）根据表中频数和为，频率和为，频数总数频率求解即可；（2）用各组组中值乘频率再相加即可；（3）运用列举法列举样本空间和事件，利用概率公式求解即可.
【详解】（1）由表可知，，
由频数相加为可得得，
则.
（2）由表可得，所以该区居民的月平均用水量为
（3）上表月平均用水量不少于的户居民人来自组，分别记为；人来自组，分别记为.
设“户居民来自不同分组”为事件，
则，基本事件总数，
，包含的基本事件数，
故.
所以户居民来自不同分组的概率为
22．（2022春·江苏苏州·高一校联考期末）设A、B、C三个事件两两相互独立，事件A发生的概率是，A、B、C同时发生的概率是，A、B、C都不发生的概率是.
(1)试分别求出事件B和事件C发生的概率；
(2)试求A、B、C只有一个发生的概率.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式列出方程组，求出事件B和事件C发生的概率；（2）在第一问的基础上利用独立事件和对立事件概率公式进行求解.
(1)
由题意得：，
，即，
解得：或
(2)
设A、B、C只有一个发生的概率为P，
当时，
则；
当时，同理可得：，
综上：A、B、C只有一个发生的概率为
23．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）水平相当的甲、乙两队在某次排球决赛比赛中相遇，决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金．
(1)求需要进行四局比赛才能结束的概率；
(2)若前3局打成2:1时，比赛因故终止．有人提议按2:1分配奖金，请利用相关数学知识解释这样分配是否合理．
【答案】(1)；
(2)不合理，理由见解析.
【分析】（1）由进行四局比赛结束的情况为前三局{甲两胜，乙一胜，最后一局甲胜}、{甲一胜，乙两胜，最后一局乙胜}，利用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率即可.
（2）根据前3局2:1时，利用独立乘法公式求出胜2局者和胜1局者分别获胜的概率，即可判断分配是否合理.
（1）
由题意，任意一局甲胜概率为，乙胜的概率为，进行四局比赛结束，
若第四局甲胜，则前三局{甲两胜，乙一胜}，
此时，
若第四局乙胜，则前三局{甲一胜，乙两胜}，
此时，
综上，需要进行四局比赛才能结束的概率为.
（2）
不合理，理由如下：
前3局：若甲胜两局，乙胜一局，
甲获胜的情况为{第4局甲胜}、{第4局乙胜，第5局甲胜}，
故此情况下，甲获胜的概率为，而乙获胜概率为，
所以前3局胜2局者与胜1局者奖金分配应为，故题设分配不合理.
24．（2022春·江苏苏州·高一校考期末）猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.
(1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题设求出甲、乙、丙猜对或错的概率值，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
（2）利用对立事件的概率求法及独立事件乘法公式列方程求.
(1)
设“任选一道灯谜甲猜对”，“任选一道灯谜乙猜对”，“任选一道灯谜丙猜对”.
则，，，故，，.
“甲，乙两位同学恰有一个人猜对”，且与互斥.
每位同学独立竞猜，故，互相独立，则与，与，与均相互独立.
所以.
答：任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为.
(2)
设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则.
所以.
解得.
25．（2021春·江苏淮安·高一统考期末）某企业生产两种如下图所示的电路子模块R，Q：
要求在每个模块中，不同位置接入不同种类型的电子元件，且备选电子元件为A，B，C型.假设不同位置的元件是否正常工作不受其它元件影响.在电路子模块R中，当1号位与2号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作.在电路子模块Q中，当1号位元件正常工作，同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作.
（1）若备选电子元件A，B型正常工作的概率分别为0.9，0.8，依次接入位置1，2，求此时电路子模块R能正常工作的概率；
（2）若备选电子元件A，B，C型正常工作的概率分别为0.7，0.8，0.9，试问如何接入备选电子元件，电路子模块Q能正常工作的概率最大，并说明理由.
【答案】（1）；（2）1号位接入电子元件C时，电路模块Q正常工作的概率最大.
【分析】根据随机事件的概率计算公式求解答案.
【详解】（1）假设事件A，B，C分别表示电子元件A，B，C正常工作，电路子模块R不能正常工作的概率为，由于事件A，B互相独立，所以，
因此电路子模块R能正常工作的概率为
（2）由于当1号位元件正常工作，同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时，电路子模块Q才能正常工作，因此，
①若1号位元件为电子元件A，则电路子模块Q正常工作的概率为
；
②若1号位元件为电子元件B，则电路子模块Q正常工作的概率为
；
③若1号位元件为电子元件c，则电路子模块Q正常工作的概率为
；
因此，1号位接入元件C时，电路子模块Q正常工作的概率最大.
26．（2021·江苏·高一期末）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一，若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费，某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，现有这个驾校的一对夫妻学员同时报名参加驾驶证科目二考试，若这对夫妻每人每次是否通过科目二考试相互独立，他们参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．
(1)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率；
(2)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）分别表示丈夫和妻子第i次通过考试的事件，再将夫妻二人都不需要交补考费的事件用表示，然后利用互斥事件和相互独立事件的概率公式计算作答.
（2）将夫妻二人共交200元补考费的事件用（1）中事件表示，再利用互斥事件和相互独立事件的概率公式计算作答.
【详解】（1）分别表示丈夫和妻子第i次通过考试的事件，则，
夫妻二人都不需要交补考费的事件，
则，
所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率是.
（2）由（1）知，夫妻二人共交200元补考费的事件，
则，
所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率.
27．（2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.
（1）求和的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）由互斥事件和对立事件的概率公式列方程组可解得；
（2）分别求出两人答对1道的概率，答对两道题的概率，两人共答对3道题，则是一人答对2道题另一人答对1道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论．
【详解】解：（1）设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，则，.
设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，
则，.
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，与相互互斥，所以，
.
由题意可得
即解得或
由于，所以，.
（2）设{甲同学答对了道题}，{乙同学答对了道题}，，1，2.
由题意得，，，
，.
设{甲乙二人共答对3道题}，则.
由于和相互独立，与相互互斥，
所以.
所以，甲乙二人共答对3道题的概率为.
【点睛】关键点点睛：本题考查互斥事件与独立事件的概率公式，解题关键是把所求概率事件用互斥事件表示，然后求概率，如设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，则，．同样两人共答对3题分拆成甲答对2题乙答对1题与甲答对1题乙答对2题两个互斥事件．
28．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）某校从高三年级学生中随机抽取名学生的某次数学考试成绩，将其成绩分成，，，，的组，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的值；
(2)估计这组数据的平均数；
(3)若成绩在内的学生中男生占.现从成绩在内的学生中随机抽取人进行分析，求人中恰有名女生的概率.
【答案】(1)
(2)77
(3)
【分析】(1)根据给定条件结合频率分布直方图中各小矩形面积和为1的特点列式计算即得.
(2)利用频率分布直方图求平均数的方法直接列式计算即得.
(3)求出成绩在内的学生及男女生人数，再用列举法即可求出概率.
(1)
由频率分布直方图得，解得，
所以图中的值是0.020.
(2)
由频率分布直方图得这组数据的平均数：
，
所以这组数据的平均数为77.
(3)
数学成绩在内的人数为(人)，其中男生人数为(人)，则女生人数为人，
记名男生分别为，，名女生分别为，，，从数学成绩在内的人中随机抽取人进行分析的基本事件为：
，共个不同结果，它们等可能，
其中人中恰有名女生的基本事件为，共种结果，
所以人中恰有名女生的概率为为.
29．（2022春·江苏南通·高一统考期末）某产品在出厂前需要经过质检，质检分为2个过程．第1个过程，将产品交给3位质检员分别进行检验，若3位质检员检验结果均为合格，则产品不需要进行第2个过程，可以出厂；若3位质检员检验结果均为不合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；若只有1位或2位质检员检验结果为合格，则需要进行第2个过程．第2个过程，将产品交给第4位和第5位质检员检验，若这2位质检员检验结果均为合格，则可以出厂，否则视为不合格产品，不可以出厂．设每位质检员检验结果为合格的概率均为，且每位质检员的检验结果相互独立．
(1)求产品需要进行第2个过程的概率；
(2)求产品不可以出厂的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分在第1个过程中，1或2位质检员检验结果为合格两种情况讨论，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；
（2）首先求出在第1个过程中，3位质检员检验结果均为不合格的概率，再求出产品需要进行第2个过程，在第2个过程中，产品不可以出厂的概率，最后根据互斥事件的概率公式计算可得；
（1）
解：记事件A为“产品需要进行第2个过程”．
在第1个过程中，1位质检员检验结果为合格的概率，
在第1个过程中，2位质检员检验结果为合格的概率，
故．
（2）
解：记事件B为“产品不可以出厂”．
在第1个过程中，3位质检员检验结果均为不合格的概率，
产品需要进行第2个过程，在第2个过程中，产品不可以出厂的概率，
故．
30．（2022春·江苏扬州·高一期末）2021年9月15日，安徽省举行新闻发布会，正式公布了高考综合改革方案．按照方案的要求，高考选科采用“3+1+2”的模式：“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分计入高考成绩；“2”指考生从政治、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩．某校对其高一学生的首选学科意向进行统计，得到如下表格：
(1)令A＝“从选历史的同学中任选一人，求此人是女生”，B＝“从选物理的同学中任选一人，求此人是女生”，判断随机事件A，B的概率，的大小关系；
(2)按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：
将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为，原始分为时，等级分为，计算结果四舍五入取整．该校某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如图所示：
①按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩等级A的原始分区间；
②用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成绩的原始分为90分，试计算其等级分．
【答案】(1)；
(2)①；②91分.
【分析】（1）根据给定条件，利用古典概型直接计算概率，比较作答.
（2）①根据频率分布直方图，结合A等级划分比例计算；②根据转换公式直接计算作答.
【详解】（1）依题意，，，
所以．
（2）①由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间的占比为5%，位于区间的占比为20%，
估计等级A的原始分区间的最低分为，
所以估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间为．
②由，解得，该学生的等级分为91分．
分组
频数
频率
合计
科目性别
物理
历史
合计
男
460
40
500
女
340
160
500
合计
800
200
1000
等级
A
B
C
D
E
人数比例
15%
35%
35%
13%
2%
赋分区间
[86，100］
[71，85］
[56，70］
[41，55］
[30，40］
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