高一数学下册考试真题强化训练 期末专题04 解三角形小题综合原卷版+解析

这是一份高一数学下册考试真题强化训练 期末专题04 解三角形小题综合原卷版+解析，共32页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2022春·江苏常州·高一校联考期末）在中，，，，则的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断
2．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）在锐角三角形中，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）在中，角，，所对的边分别为，，．若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022春·江苏淮安·高一统考期末）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的形状（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
5．（2022春·江苏淮安·高一统考期末）在中，，点D是边上一点，，，，则边的长是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋·江苏南京·高一南京市第九中学校考期末）中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知，，，则该玉佩的面积为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022秋·江苏南通·高一统考期末）图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬）在某地利用一表高为的圭表按图1方式放置后，测得日影长为，则该地的纬度约为北纬（ ）（参考数据：，）
A．B．C．D．
8．（2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）设，在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则面积的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中，使得恰有一个解的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022春·江苏南通·高一统考期末）已知为锐角三角形，，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
11．（2022春·江苏镇江·高一统考期末）已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，且测得点B对点A和点C的张角为120°，则点B到AC的距离为（ ）km．
A．B．C．D．
12．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）设内角，，所对的边分别为，，.若，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．3
13．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）中，的对边分别为，则（ ）
A．若，则
B．使得
C．都有
D．若，则是钝角
14．（2022春·江苏南通·高一统考期末）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为( )
A．1B．3C．2D．4
15．（2022春·江苏扬州·高一期末）△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，设向量，若，则角C的大小为（ ）
A．B．C．D．
16．（2022春·江苏苏州·高一校考期末）如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为 （ ）
A．海里B．海里C．海里D．40海里
17．（2022春·江苏苏州·高一统考期末）已知锐角三角形中，角所对的边分别为的面积为，且，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
18．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）在中，下列结论中，正确的是（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若，则
C．若，则为钝角三角形
D．若，，且结合的长解三角形，有两解，则长的取值范围是
19．（2022春·江苏南京·高一统考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，下列说法正确的是（ ）
A．若有两解
B．若有两解
C．若为锐角三角形，则b的取值范围是
D．若为钝角三角形，则b的取值范围是
20．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）在三角形中，，若三角形有两解，则的可能取值为（ ）
A．B．1.1C．D．1.01
21．（2022春·江苏南通·高一统考期末）设的内角A，，的对边分别为，，若，，则角A可能为（ ）
A．B．C．D．
22．（2022春·江苏苏州·高一校联考期末）在中，角对边分别为，设向量，且，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．若的面积为，则
23．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）在中，角、、所对的边分别为、、．若，，，则下列说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
24．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）如图所示，中，，点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，延长AP交边BC于点N，则下列结论正确的有（ ）．
A．B．
C．D．与夹角的余弦值为
25．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）已知内角，，所对的边分别为，，，以下结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，，则该三角形有两解
C．若，则一定为等腰三角形
D．若，则一定为钝角三角形
26．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）的内角，，所对边分别为，，，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则是锐角三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若，则是等边三角形
27．（2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则为等腰或直角三角形
C．若，则
D．若，则为锐角三角形
28．（2022春·江苏苏州·高一校考期末）在△ABC中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（ ）
A．若acsA=bcsB，则是等腰三角形
B．若，则满足条件的三角形有且只有一个
C．若不是直角三角形，则
D．若，则为钝角三角形
三、填空题
29．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）曲柄连杆机构的示意图如图所示，当曲柄在水平位置时，连杆端点在的位置，当自按顺时针方向旋转角时，和之间的距离是，若，，，则的值是_________．
30．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速度为40n，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距_______________n．
31．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）的内角，，所对边分别为，，，已知，，，则___________.
32．（2022春·江苏扬州·高一期末）《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪．以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形．中有都柱，傍行八道，施关发机．外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之．其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际．如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之．振声激扬，伺者因此觉知．虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在．验之以事，合契若神．”如图为张衡地动仪的结构图，现在相距120km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北75°方向，若A地地动仪正东方向的铜丸落下，B地地动仪东南方向的铜丸落下，则地震的位置距离B地______km
33．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）如图所示，该图由三个全等的、、构成，其中和都为等边三角形.若，，则_______.
34．（2022春·江苏常州·高一统考期末）在中，，，，点在边上，且，则的值为___________.
35．（2022春·江苏南通·高一统考期末）设的内角，，的对边分别为，，已知，，要使为钝角三角形，则的大小可取__________(取整数值，答案不唯一)．
36．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，在△ABC中，以AB，BC，CA为边向外构造的三个等边三角形的中心依次为D，E，F，若，利用拿破仑定理可求得AB＋AC的最大值为___．
期末专题04 解三角形小题综合
一、单选题
1．（2022春·江苏常州·高一校联考期末）在中，，，，则的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断
【答案】C
【分析】根据余弦定理可得，进而得为钝角，即可求解.
【详解】在中,由余弦定理以及，，可知:,故为钝角，因此是钝角三角形
故选：C
2．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）在锐角三角形中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理即可求解.
【详解】解：在锐角三角形中，，由正弦定理得，
又，所以，且，故.
故选：A.
3．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）在中，角，，所对的边分别为，，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】运用正弦定理边化角直接计算即可.
【详解】由题意， ， ，
∵ ；
故选：A.
4．（2022春·江苏淮安·高一统考期末）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的形状（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【答案】B
【分析】根据余弦定理边角互化并整理即可得答案.
【详解】因为，，
所以，整理得，
所以三角形的形状是直角三角形.
故选：B
5．（2022春·江苏淮安·高一统考期末）在中，，点D是边上一点，，，，则边的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由余弦定理求得，由正弦定理求得．
【详解】中，
所以，
中，由正弦定理得．
故选：C．
6．（2022秋·江苏南京·高一南京市第九中学校考期末）中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知，，，则该玉佩的面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】延长AB、DC，交于点O，如图，根据相似三角形的性质求出，，进而得出
为等边三角形，利用扇形的面积和三角形的面积公式即可求出结果.
【详解】延长AB、DC，交于点O，如图，由，
得，所以，又，,
所以，解得，所以，
所以为等边三角形，则，
故，
，
所以玉佩的面积为.
故选：A
7．（2022秋·江苏南通·高一统考期末）图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬）在某地利用一表高为的圭表按图1方式放置后，测得日影长为，则该地的纬度约为北纬（ ）（参考数据：，）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意有，可得，从而可得
【详解】由图1可得，又，
所以，所以，
所以，
该地的纬度约为北纬，
故选：．
8．（2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）设，在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则面积的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先用三角恒等变换得到，从而根据求出，再结合余弦定理基本不等式求出，根据面积公式求出最大值.
【详解】，
则，所以，
因为为锐角三角形，
所以，
由余弦定理得：，
所以，
由基本不等式得：，当且仅当时等号成立，
所以，
故选：C
9．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中，使得恰有一个解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理逐项判断.
【详解】A. 因为，由正弦定理得 ，则，无解；
B. 因为，由正弦定理得 ，则，又，则，有两解，故错误；
C. 因为，则，所以无解，故错误；
D. 因为，由正弦定理得 ，则，又，且，所以，故有一解，故正确.
故选：D
10．（2022春·江苏南通·高一统考期末）已知为锐角三角形，，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据锐角三角形得出角的范围，再利用正弦定理及三角函数的性质即可求解.
【详解】因为为锐角三角形，所以,解得,
所以.
在中，由正弦定理，得，即,
由，得，即.
所以的取值范围为.
故选：C.
11．（2022春·江苏镇江·高一统考期末）已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，且测得点B对点A和点C的张角为120°，则点B到AC的距离为（ ）km．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由余弦定理求出AC，再由面积等积法求解.
【详解】由余弦定理可得：，
即，
所以，
解得.
故选：B
12．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）设内角，，所对的边分别为，，.若，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【分析】由结合正弦定理可得，再利用余弦定理可求得，则可得，从而可求出面积的最大值
【详解】因为，
所以由正弦定理可得，得，
由余弦定理得，，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为，
故选：B
13．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）中，的对边分别为，则（ ）
A．若，则
B．使得
C．都有
D．若，则是钝角
【答案】D
【分析】特殊值法判断A、C；B由题设有，进而有即可判断；D由已知得，结合即可判断.
【详解】A：由题设，若 ，，，此时，错误；
B：若，则，而，
所以，又，故不存在这样的，错误；
C：当时不成立，错误；
D：由，故，而，
所以，即，正确.
故选：D
14．（2022春·江苏南通·高一统考期末）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为( )
A．1B．3C．2D．4
【答案】C
【分析】根据利用三角恒等变换和正余弦定理得到，再根据余弦定理和基本不等式可得csB的范围，由此得B的范围，从而得到sinB的最大值，从而根据可求△ABC面积的最大值．
【详解】，
，
即，
即，
则，
整理得，
∴，
当且仅当a2=3c2⇔c=83,a=83时取等号，
，
则．
故选：C．
15．（2022春·江苏扬州·高一期末）△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，设向量，若，则角C的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】因为，所以，再根据余弦定理化简即得解.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以
，所以.
故选：B.
16．（2022春·江苏苏州·高一校考期末）如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为 （ ）
A．海里B．海里C．海里D．40海里
【答案】A
【分析】分别在和中利用正弦定理计算，再在中利用余弦定理计算即可
【详解】由题意可知，
所以，
在中，由正弦定理得，得，
在中，因为，
所以，
在中，由余弦定理得
，
故选：A
17．（2022春·江苏苏州·高一统考期末）已知锐角三角形中，角所对的边分别为的面积为，且，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据面积公式，余弦定理和题干条件得到，结合正弦定理得到，由为锐角三角形，求出，从而求出，求出的取值范围.
【详解】因为，所以，
即，
所以，
整理得：，
因为，
所以，
由正弦定理得：，
因为，
所以，
因为为锐角三角形，
所以为锐角，
所以，即，
由，解得：，
因为，
所以，
解得：，
故选：A
【点睛】三角形相关的边的取值范围问题，通常转化为角，利用三角函数恒等变换及三角函数的值域等求出边的取值范围，或利用基本不等式进行求解.
二、多选题
18．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）在中，下列结论中，正确的是（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若，则
C．若，则为钝角三角形
D．若，，且结合的长解三角形，有两解，则长的取值范围是
【答案】ABC
【分析】根据及角A、B的范围，可判断A的正误；根据大边对大角原则，可判断B的正误；根据条件及余弦定理，可判断C的正误；根据正弦定理，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于选项A，因为，且A，B∈(0，π)，所以A＝B，所以是等腰三角形，所以选项A正确；
对于选项B，由，则a对于选项C，由AB2＋AC2＜BC2，以及余弦定理可得，即为钝角三角形，所以选项C正确；
对于选项D，由A＝60°，AC＝4，以及正弦定理可得＜1，解得BC＞2，
且由大边对大角B＞A，可得AC＞BC，即BC＜4，所以BC长的取值范围是(2，4)，所以选项D错误；
故选：ABC.
19．（2022春·江苏南京·高一统考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，下列说法正确的是（ ）
A．若有两解
B．若有两解
C．若为锐角三角形，则b的取值范围是
D．若为钝角三角形，则b的取值范围是
【答案】AC
【分析】根据三角形的构成，可判断三角形有几个解所要满足的条件，即，有两解，或，有一解，，有0解，根据直角三角形的情况，便可得出为锐角或钝角三角形时，b的取值范围.
【详解】A选项，∵，∴有两解，故A正确；
B选项，∵，∴有一解，故B错误；
C选项，∵为锐角三角形，∴，即，故C正确；
D选项，∵为钝角三角形，∴或，即或，故D错误.
故选：AC
20．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）在三角形中，，若三角形有两解，则的可能取值为（ ）
A．B．1.1C．D．1.01
【答案】BD
【分析】根据正弦定理可知三角形有两解，则满足，即可求解.
【详解】若三角形有两解，则满足，故，
故选：BD
21．（2022春·江苏南通·高一统考期末）设的内角A，，的对边分别为，，若，，则角A可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】由正弦定理求角．
【详解】解：正弦定理得，又，，
，，则，，故或，
或
故选：BD．
22．（2022春·江苏苏州·高一校联考期末）在中，角对边分别为，设向量，且，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．若的面积为，则
【答案】BC
【分析】根据向量平行得到，结合余弦定理转化为，进而利用正弦定理得到，化简整理即可判断A、B选项；利用正弦定理及二倍角公式将转化为，然后求出角A的范围，进而求出值域即可判断C选项；利用，结合正弦定理及二倍角公式化简整理可求得角，进而可以求出角，从而可以判断D选项.
【详解】因为向量，且，所以，即，
结合余弦定理得，，，
再结合正弦定理得，，
又因为,
所以，
，
，
，
所以，故，所以B正确，A错误；
，因为，所以，
又因为，所以，所以，
即，因此，故C正确；
因为，结合正弦定理，
即，则,
,，，
则，或，
故或，故或，故D错误.
故选：BC.
23．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）在中，角、、所对的边分别为、、．若，，，则下列说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】利用三角恒等变换可得出，结合余弦函数的单调性可判断A选项；利用正弦定理、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系可判断B选项；利用正弦定理可判断C选项；利用三角形的面积公式可判断D选项.
【详解】因为，即，
因为，，则且余弦函数在上递减，
所以，，所以，，A对；
因为，则，所以，，可得，
由正弦定理，即，
所以，，则，B错；
由二倍角公式可得，，
所以，，
由正弦定理可得，C错；
，D对.
故选：AD.
24．（2022春·江苏扬州·高一统考期末）如图所示，中，，点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，延长AP交边BC于点N，则下列结论正确的有（ ）．
A．B．
C．D．与夹角的余弦值为
【答案】AC
【分析】对A，根据平面向量基本定理，结合向量共线的线性表示求解即可；
对B，根据三点共线的性质，结合可得，进而得到判断即可；
对C，根据余弦定理可得，再根据B中两边平方化简求解即可；
对D，在中根据余弦定理求解即可
【详解】对A，，故A正确；
对B，设，则由A，，故，因为三点共线，故，解得，故，故，所以，即，故B错误；
对C，由余弦定理，，由B有，故，即，所以，故C正确；
对D，在中，，，故，故D错误；
故选：AC
25．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）已知内角，，所对的边分别为，，，以下结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，，则该三角形有两解
C．若，则一定为等腰三角形
D．若，则一定为钝角三角形
【答案】AD
【分析】对A，根据正弦定理判断即可；
对B，根据正弦定理求解判断即可；
对C，根据正弦定理结合正弦函数的取值判断即可；
对D，根据正弦定理边角互化，再根据余弦定理判断即可
【详解】对A，由三角形的性质，当时，，又由正弦定理，故，故A正确；
对B，由正弦定理，故，故，因为，故，故该三角形只有1解，故B错误；
对C，由正弦定理，，故，所以或，即，所以为等腰或者直角三角形，故C错误；
对D，由正弦定理，，又余弦定理，故，故一定为钝角三角形，故D正确；
故选：AD
26．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）的内角，，所对边分别为，，，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则是锐角三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若，则是等边三角形
【答案】AC
【分析】A由正弦定理及大边对大角判断；B由余弦定理知为锐角；C正弦边角关系及三角形内角和性质得；D由正弦定理及三角形内角性质得.
【详解】A：由及正弦定理知：，根据大边对大角有，正确；
B：由余弦定理，只能说明为锐角，但不能确定是锐角三角形，错误；
C：，则，故是等腰三角形，正确；
D：由，则，且，故，即是等腰直角三角形，错误.
故选：AC
27．（2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则为等腰或直角三角形
C．若，则
D．若，则为锐角三角形
【答案】ABD
【分析】由余弦定理判断A，利用正弦定理和正弦函数性质判断B，由正弦定理，切化弦及正弦函数性质判断C，由余弦定理判断D．
【详解】解：由余弦定理，A正确；
，由正弦定理得，，是三角形内角，所以或，即或，三角形为等腰三角形或直角三角形，B正确；
由得，，同上得或，C错；
若，所以，因此，
所以，即，，，所以为锐角，显然边最大，角最大，所以为锐角三角形，D正确．
故选：ABD．
28．（2022春·江苏苏州·高一校考期末）在△ABC中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（ ）
A．若acsA=bcsB，则是等腰三角形
B．若，则满足条件的三角形有且只有一个
C．若不是直角三角形，则
D．若，则为钝角三角形
【答案】BC
【分析】对于A利用正弦边角关系及三角形内角性质可得或判断；对于B应用余弦定理求即可判断；对于C由三角形内角性质及和角正切公式判断．对于D由向量数量积定义判断；
【详解】对于A：由正弦定理得，则，
则中或，故A错误；
对于B：由，则，
可得，故，满足条件的三角形有一个，故B正确；
对于C：由不是直角三角形且，
则，
所以，故C正确；
对于D，即，
为锐角，故不一定为钝角三角形，故D错误；
故选：BC
三、填空题
29．（2022春·江苏连云港·高一统考期末）曲柄连杆机构的示意图如图所示，当曲柄在水平位置时，连杆端点在的位置，当自按顺时针方向旋转角时，和之间的距离是，若，，，则的值是_________．
【答案】5
【分析】根据余弦定理解决实际问题，直接计算即可.
【详解】如下图，
在中，
由余弦定理可知，
另外，由图可知，在点与点重合时，
,
故答案为：5
30．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速度为40n，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距_______________n．
【答案】
【分析】利用正弦定理求的长度即可.
【详解】由题设， n且，
正弦定理有，则，可得 n.
故答案为：
31．（2022春·江苏无锡·高一统考期末）的内角，，所对边分别为，，，已知，，，则___________.
【答案】3
【分析】利用余弦定理求解即可
【详解】因为在中，，，，
所以由余弦定理得，
所以，，
，
得（舍去），或，
故答案为：3
32．（2022春·江苏扬州·高一期末）《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪．以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形．中有都柱，傍行八道，施关发机．外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之．其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际．如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之．振声激扬，伺者因此觉知．虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在．验之以事，合契若神．”如图为张衡地动仪的结构图，现在相距120km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北75°方向，若A地地动仪正东方向的铜丸落下，B地地动仪东南方向的铜丸落下，则地震的位置距离B地______km
【答案】
【分析】由题意作图后由正弦定理求解
【详解】作图如下，由题意得，，，，
故，，而，
得
故答案为：
33．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）如图所示，该图由三个全等的、、构成，其中和都为等边三角形.若，，则_______.
【答案】##
【分析】设，在中，利用正弦定理求出的值，再利用正弦定理可求得的长.
【详解】由已知，所以，，设，
在中，，，则，
，
由正弦定理，即，解得，
由正弦定理得.
故答案为：.
34．（2022春·江苏常州·高一统考期末）在中，，，，点在边上，且，则的值为___________.
【答案】
【分析】首先由余弦定理求出，再求出，由正弦定理求出，再由余弦定理求出，最后在中由正弦定理求出，最后由同角三角函数的基本关系计算可得；
【详解】解：因为，，，
由余弦定理，即，所以，
因为，所以，
所以
由正弦定理，所以，
再由余弦定理，
即，解得或，
又，，所以，则，
在中由正弦定理，即，
所以，又，所以，
所以；
故答案为：
35．（2022春·江苏南通·高一统考期末）设的内角，，的对边分别为，，已知，，要使为钝角三角形，则的大小可取__________(取整数值，答案不唯一)．
【答案】（填也对，答案不唯一）
【分析】利用三角形两边和与差点关系，求出，再分别讨论和为钝角时，边的取值范围，根据题意即可得到答案.
【详解】首先由，，构成三角形有，
若为钝角所对边，有，，
若为钝角所对边，有，，
由，不可能为钝角所对边，
综上，的取值范围是,
由题意，取整数值，故的大小可取或.
故答案为：（填也对，答案不唯一）.
36．（2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，在△ABC中，以AB，BC，CA为边向外构造的三个等边三角形的中心依次为D，E，F，若，利用拿破仑定理可求得AB＋AC的最大值为___．
【答案】
【分析】结合拿破仑定理求得，利用勾股定理列方程，结合基本不等式求得AB＋AC的最大值.
【详解】设BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图，连接AF，BD，AD．
由拿破仑定理知，△DEF为等边三角形．
因为D为等边三角形的中心，所以在△DAB中，，
同理．
又，
所以．
在△ADF中，由勾股定理可得，
即，化简得，
由基本不等式得，解得
（当且仅当时取等号），所以．
故答案为：