高一数学下册考试真题强化训练 期末专题03 三角恒等变换大题综合原卷版+解析

这是一份高一数学下册考试真题强化训练 期末专题03 三角恒等变换大题综合原卷版+解析，共39页。试卷主要包含了已知为锐角，，.，已知函数.，已知，，已知函数的最大值为1.，计算，已知.等内容，欢迎下载使用。

1．（2022秋·江苏常州·高一校考期末）已知为锐角，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
2．（2021春·江苏盐城·高一统考期末）已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）若在区间上的值域为，求的取值范围.
3．（2022秋·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末）已知的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过一点.
(1)若，求的值；
(2)若且，求的单调增区间.
4．（2022春·江苏镇江·高一统考期末）已知，．
(1)求cs2α的值；
(2)若，且，求角β．
5．（2022春·江苏苏州·高一校联考期末）已知角的终边与单位圆交点的横坐标为，且，求下列式子的值：
(1)；
(2).
6．（2022秋·江苏宿迁·高一泗阳县实验高级中学校考期末）已知函数.
(1)求函数在区间上的最大值和最小值；
(2)若，，求的值.
7．（2022秋·江苏常州·高一校考期末）已知函数的最大值为1.
(1)求实数a的值；
(2)若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值.
8．（2021秋·江苏无锡·高一江苏省锡山高级中学校考期末）已知函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）当时，函数有四个零点，求实数的取值范围.
9．（2022秋·江苏常州·高一校考期末）计算：
(1)求值；
(2)已知，，求的值
10．（2021秋·江苏南通·高一海门市第一中学校考期末）已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
11．（2021春·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期末）已知函数.
（1）若，求函数的值域；
（2）设，若，求的值.
12．（2021春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）（1）已知，，求；
（2）已知，，求的值.
13．（2021春·江苏泰州·高一统考期末）在斜三角形中，已知，.
（1）求A；
（2）设，若，求的值.
14．（2021春·江苏徐州·高一统考期末）已知且.
（1）求的值；
（2）求的值．
15．（2021春·江苏盐城·高一统考期末）已知函数.
（1）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）记，存在，，使得等式成立，求实数的取值范围.
16．（2022秋·江苏苏州·高一统考期末）已知为锐角，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
17．（2022秋·江苏常州·高一校考期末）已知函数.
(1)求函数的最大值，及取得最大值时对应所有自变量的值（用集合表示）；
(2)若函数在内恰有两个零点，求实数的取值范围.
18．（2022秋·江苏无锡·高一统考期末）如图，有一条宽为的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中）养殖观赏鱼，，顶点A到河两岸的距离两点分别在两岸上，设.
(1)若，求养殖区域面积的最大值；
(2)现拟沿着养殖区域三边搭建观赏长廊（宽度忽略不计），若，求观赏长廊总长的最小值.
19．（2022秋·江苏无锡·高一统考期末）如图，在平面直角坐标系中，角的始边均为x轴非负半轴，终边分别与单位圆O交于两点，.
(1)若点A的纵坐标为，求的值；
(2)若，求的值.
20．（2022秋·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末）如图是一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上，点在线段上，三角形木块选的面积记为S.
(1)①设点到底边的距离为，将S表示为的函数；
②设，将S表示为的函数；
(2)从（1）中选择一个合适的函数，解决以下问题：当点在何处时，三角形木块的面积S最大？并求出该最大值.
21．（2022秋·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末）已知函数.
(1)设，求的单调递减区间；
(2)若，，求的值.
22．（2021春·江苏苏州·高一统考期末）如图，已知正方形的边长为2，F为的中点.
（1）若E为的中点，求的值；
（2）若E为线段（不含端点）上的一个动点，请探究：当长为多少时，可使得最大？
23．（2022秋·江苏南京·高一统考期末）如图，有一块半径为1的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记梯形的周长为．
(1)设，将表示成的函数；
(2)求梯形周长的最大值．
24．（2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）已知，．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
25．（2022春·江苏南京·高一统考期末）已知为锐角，．
(1)求的值；
(2)求的值．
26．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）已知，为锐角，，．
(1)求的值；
(2)求角．
27．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）已知，，其中.
(1)求的值；
(2)求的值.
28．（2022秋·江苏常州·高一校考期末）已知函数.
(1)当时，
①求函数的图像的对称轴方程和对称中心的坐标；
②求函数在上的最值；
(2)若当，的最大值为2，求的值.
29．（2022春·江苏南通·高一统考期末）由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式．
(1)试用表示
(2)求的值
(3)已知方程在上有三个根，记为，，，求证：．
30．（2021秋·江苏无锡·高一江苏省锡山高级中学校考期末）在①，②③中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题.已知， ，.
（1）求的值；
（2）求.
期末专题03 三角恒等变换大题综合
1．（2022秋·江苏常州·高一校考期末）已知为锐角，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求出、和，再根据并利用两角差的正弦公式可求出结果；
（2）根据（1）中的求出，再根据两角差的正切公式可求出结果.
【详解】（1）因为为锐角，所以，
因为，，
所以，，
，
所以.
（2）由（1）可知，，又为锐角，所以，
所以，
所以.
2．（2021春·江苏盐城·高一统考期末）已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）若在区间上的值域为，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得，从而可求得函数的最小正周期；
（2）由，得，由于函数的值域为，结合正弦函数的性质可得，从而可求出的取值范围
【详解】（1），
则，
所以的最小正周期为.
（2）因为，，
所以要使得值域为，则只需要，
解得
所以的取值范围为.
3．（2022秋·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末）已知的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过一点.
(1)若，求的值；
(2)若且，求的单调增区间.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)根据三角函数的定义即可求sinα和csα的值，再根据正弦的和角公式和二倍角公式即可求值；
(2)利用三角恒等变换化简f(x)解析式，再根据正弦型函数单调性求解即可.
(1)
当时，，，
∴，，；
(2)
，在第二象限，且，故，
，
令，k∈Z，
∴单调递增区间为.
4．（2022春·江苏镇江·高一统考期末）已知，．
(1)求cs2α的值；
(2)若，且，求角β．
【答案】(1);
(2).
【分析】（1）根据条件由同角三角函数的基本关系求出，再由二倍角的余弦公式转化为正切化简求值；
（2）利用角的变换及两角差的正弦公式求解即可.
【详解】（1）由可得，即，
.
（2）,,
，又，，
由（1）知，，，
，
又，.
5．（2022春·江苏苏州·高一校联考期末）已知角的终边与单位圆交点的横坐标为，且，求下列式子的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由三角函数定义得，再由平方关系求得，利用诱导公式及倍角公式化简，代入求值即可；
（2）先求出角的范围，再由平方关系求得，最后由结合余弦差角公式求解即可.
（1）
由题意知，，又，则，
则；
（2）
易得，又，则，
则.
6．（2022秋·江苏宿迁·高一泗阳县实验高级中学校考期末）已知函数.
(1)求函数在区间上的最大值和最小值；
(2)若，，求的值.
【答案】(1)最大值为2，最小值为.
(2)
【分析】（1）由二倍角公式、两角和的正弦展开式得，再利用正弦函数的单调性与范围可得答案；
（2）由得，利用平方关系得到，再利用展开可得答案.
【详解】（1）由得，因为，则，故当时，取最大值2；当时，取最小值；
所以函数在区间上的最大值为2，最小值为.
（2）由（1）可知，
又因为，所以，
由，得，
从而，
所以
.
7．（2022秋·江苏常州·高一校考期末）已知函数的最大值为1.
(1)求实数a的值；
(2)若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)最大值1，最小值-1
【分析】（1）对化简，根据最大值得a的值；
（2）由平移变换得的解析式，求在上的最值.
【详解】（1），
因为函数的最大值为1，所以，
解得.
（2）由题意得，
因为，所以，所以当时，取最大值1，
当或时，取最小值-1.
8．（2021秋·江苏无锡·高一江苏省锡山高级中学校考期末）已知函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）当时，函数有四个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1），（2）
【分析】（1）化简的解析式，根据正弦函数的增区间可得结果；
（2）转化为在内有两个零点，根据二次函数列式可得结果.
【详解】（1）
，
由，，
得，，
所以函数的单调增区间为，.
（2）当时，，，
因为函数有四个零点，令，
则且在内有两个零点，
所以，即，
解得，解得，
所以实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
9．（2022秋·江苏常州·高一校考期末）计算：
(1)求值；
(2)已知，，求的值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两角和的余弦、正弦、诱导公式化简计算可得出所求代数式的值；
（2）利用诱导公式、二倍角的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得的值，再利用诱导公式可求得的值.
【详解】（1）解：原式
.
（2）解：原式，
即，
因为，则，所以，，则，
因此，.
10．（2021秋·江苏南通·高一海门市第一中学校考期末）已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由求得，由求得，然后由两角差的余弦公式计算；
（2）由两角和的正弦公式求得后，由可得
【详解】因为，所以，又因为，，
所以，，因为，，
所以.
（1）.
（2）因为.
因为，，所以，所以．
【点睛】方法点睛：本题考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查同角间的三角函数关系，求角求值．解题关键是确定“已知角”和“未知角”的关系，以便选用恰当的公式求值．在求角，一般先确定出这个角的范围，在这个范围内选三角函数值是一对一的函数求得这个三角函数值，然后得角，如果不能直接得出一对一的函数，常常需要由已知或已求出的三角函数值缩小角的范围，从而得出角．
11．（2021春·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期末）已知函数.
（1）若，求函数的值域；
（2）设，若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，由可求得的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数的值域；
（2）由已知条件求得，利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用两角差的余弦公式可求得的值.
【详解】（1）
，
，，则，
所以函数在上的值域为；
（2），
，则，所以，，
因此，.
12．（2021春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末）（1）已知，，求；
（2）已知，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用角的变换，再利用两角差的余弦公式求解；（2）先求，再利用角的变换求解.
【详解】（1），，，
，
（2），
.
13．（2021春·江苏泰州·高一统考期末）在斜三角形中，已知，.
（1）求A；
（2）设，若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由于，求出其值，从而可求出角；
（2）由化简得，由，，可求得，，代入化简得，从而可求得结果
【详解】解：（1）在斜三角形中，，
.
又，所以.
（2）由，
得，
即(※).
由（1）知，所以.
由，得，
即，所以.
由，得，
所以.
所以※式可化为，解得或.
因为，所以.
14．（2021春·江苏徐州·高一统考期末）已知且.
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由代入正切函数的二倍角公式即可求解；
（2）求出，利用两角和的正切函数公式可得答案.
【详解】（1）因为，所以．
（2）因为，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以．
15．（2021春·江苏盐城·高一统考期末）已知函数.
（1）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）记，存在，，使得等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）依题意，可得恒成立，再结合基本不等式即可得解；
（2）先化简，然后分类讨论即可得出结论．
【详解】（1）∵对于任意的正实数，不等式恒成立，
∴即恒成立，又由基本不等式，
当且仅当，即时取等号，所以，
即的取值范围是.
（2）由已知，且
所以
所以，
若，则恒成立，故与条件矛盾；
若，则，
故存在，，使得，则有，
即
所以，解得或
所以的取值范围是.
16．（2022秋·江苏苏州·高一统考期末）已知为锐角，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由于，所以代值求解即可；
（2）由求出的值，从而可求出的值，而，进而可求得结果
【详解】（1）
（2）因为为锐角，所以，，
又，所以，
，
又，
所以
因为，所以.
17．（2022秋·江苏常州·高一校考期末）已知函数.
(1)求函数的最大值，及取得最大值时对应所有自变量的值（用集合表示）；
(2)若函数在内恰有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先利用辅助角公式化简，再结合余弦函数的性质求解即可；
（2）先结合余弦函数的性质分析的图像，再将问题转化为与的交点问题，结合图像即可得解.
【详解】（1）因为，且，
所以的最大值为，此时，即，
故取得最大值时的取值集合为.
（2）因为，所以，
所以当，即时，取得最大值，
当，即时，取得最小值，
且，
所以结合余弦函数的性质易得在上单调递减，在上单调递增，
因为函数在内恰有两个零点，
所以与在上的图像恰有两个交点，作出与的图像如图，
.
所以.
18．（2022秋·江苏无锡·高一统考期末）如图，有一条宽为的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中）养殖观赏鱼，，顶点A到河两岸的距离两点分别在两岸上，设.
(1)若，求养殖区域面积的最大值；
(2)现拟沿着养殖区域三边搭建观赏长廊（宽度忽略不计），若，求观赏长廊总长的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题可得，再利用基本不等式即得；
（2）由题可知，利用同角关系式可转化为，然后利用函数的单调性即求.
【详解】（1）当时，，
所以，
又因为（当且仅当时等号成立），
所以，
于是，
因此，养殖区域面积的最大值为.
（2）由题意，，
所以，
所以的周长，
其中.
设，则，
所以.
所以，
于是当时，，即，
因此，观赏长廊总长的最小值为.
19．（2022秋·江苏无锡·高一统考期末）如图，在平面直角坐标系中，角的始边均为x轴非负半轴，终边分别与单位圆O交于两点，.
(1)若点A的纵坐标为，求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的定义求得，然后求得，进而求得.
（2）求得，进而求得，进而求得.
(1)
由三角函数定义可知，
又，所以，
所以，
所以.
(2)
因为，
由得，
所以，
所以，
，
所以
.
20．（2022秋·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末）如图是一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上，点在线段上，三角形木块选的面积记为S.
(1)①设点到底边的距离为，将S表示为的函数；
②设，将S表示为的函数；
(2)从（1）中选择一个合适的函数，解决以下问题：当点在何处时，三角形木块的面积S最大？并求出该最大值.
【答案】(1)①，（）；②，（）.
(2)E位于半圆上，且时，三角形木块的面积最大.
【详解】（1）
①设，则（），所以,,,
所以，（）.
即，（）.
②设，设，（），所以,,,
所以，（）.
所以，（）.
（2）选择函数②：.
令，
则，在上单调递增，
所以当，即时，最大.
此时E位于半圆上，且.
21．（2022秋·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末）已知函数.
(1)设，求的单调递减区间；
(2)若，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两角和、差的余弦公式和正弦公式将化为只含有一个三角函数的形式，根据正弦函数的性质求得答案；
（2）根据求得，结合，求得
，再利用拆角的方法求得答案.
(1)
;
当时， ，
当 即时，单调递减，
故的单调递减区间为；
(2)
，即，
，故，
所以.
22．（2021春·江苏苏州·高一统考期末）如图，已知正方形的边长为2，F为的中点.
（1）若E为的中点，求的值；
（2）若E为线段（不含端点）上的一个动点，请探究：当长为多少时，可使得最大？
【答案】（1）3；（2）.
【分析】（1）设，依题意可得，，利用两角和的正切公式即可得到，则，利用诱导公式计算可得；
（2）设，则，，即可表示，令，则，再利用基本不等式计算可得；
【详解】解：设.
（1）因为正方形的边长为2，且E，F分别是的中点
所以，所以，所以.
又因为，所以.
所以.
所以.
（2）设，其中，则
在直角三角形中，；
在直角三角形中，.
所以
，其中.
令，则，其中，
所以.
因为.
（当且仅当时，即时，等号成立）
所以.
因为在上是增函数，
所以当，可使得最大.
23．（2022秋·江苏南京·高一统考期末）如图，有一块半径为1的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记梯形的周长为．
(1)设，将表示成的函数；
(2)求梯形周长的最大值．
【答案】(1)
(2)5
【分析】小问1：过作交于，连接，则，分别求出各边长即可得周长；
小问2：由（1）设，则，结合二次函数性质即可求最大值．
(1)
由是直径，得，所以，
过作交于，连接，则，
所以，
所以．
(2)
设，则，对称轴，
所以当时，有最大值5．
24．（2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）已知，．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系结合两角差的正弦公式可求得的值；
（2）利用二倍角的余弦公式可求得的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求出的值，结合角的取值范围可求得结果.
【详解】（1）解：因为，，
又，所以，
所以.
（2）解：因为，
，
又因为，所以，
由（1）知，，
所以．
因为，，则，所以．
25．（2022春·江苏南京·高一统考期末）已知为锐角，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，由，再利用商数关系的齐次运算求解；
（2）由求解.
【详解】（1）解：因为，
所以 ，
，
．
（2）因为锐角，则，
而，则，
所以，
所以，
∴.
26．（2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）已知，为锐角，，．
(1)求的值；
(2)求角．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）一方面由题设条件可解得，另一方面，利用和角公式展开即得所求
（2）要求角，可以先求，而利用差角公式展开即可，结合的范围即得所求
(1)
因为，所以，又
所以
所以
(2)
因为，为锐角，所以，则，
因为，所以．
又为锐角，，所以，
故
，
因为为锐角，所以．
27．（2022春·江苏徐州·高一统考期末）已知，，其中.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（１）由已知函数值以及角的范围得，，且，结合两角和差公式即可求值.
（２）根据结合两角和差公式即可求值
(1)
知：，因为，则，故
(2)
由，
∴，
由知：，
∴由题意，得，结合（1）有，
∴.
28．（2022秋·江苏常州·高一校考期末）已知函数.
(1)当时，
①求函数的图像的对称轴方程和对称中心的坐标；
②求函数在上的最值；
(2)若当，的最大值为2，求的值.
【答案】(1)①对称轴方程为，对称中心为；②， .
(2)-1或2
【分析】（1）辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求函数图像的对称轴方程和对称中心的坐标及区间内的最值；
（2）整体代入法求函数最大值，由最大值求的值.
【详解】（1），当时，.
①令，解得对称轴方程为.
令，解得对称中心为.
②若，则，
当，即时，，
当，即时，.
（2）由，，，
当，，，
当，，，
所以的值为-1或2.
29．（2022春·江苏南通·高一统考期末）由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式．
(1)试用表示
(2)求的值
(3)已知方程在上有三个根，记为，，，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用两角和差的余弦公式和二倍角的余弦公式展开整理即可证明；
（2）利用第（1）问的结论对进行代换得到关于的方程，解出即可，最后注意检验.
（3）利用（1）中结论得到，再得到三根代入式子化简即可.
（1）
解：（1）因为，
（2）
所以，
因为，
因为，
，
即
因为，解得（已舍）.
（3）
（3）因,故可令，
故由可得:
由（1）得:，
因，故，
故,或,或
即方程的三个根分别为，
又，故，
于是，
【点睛】本题需要对两角和差的余弦即二倍角的余弦公式运用熟练，推导出三倍角的余弦公式，再利用此公式进行应用证明后面的结论，计算和迁移应用要求高.一定要抓住第（1）问所证明的结论去证明.
30．（2021秋·江苏无锡·高一江苏省锡山高级中学校考期末）在①，②③中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题.已知， ，.
（1）求的值；
（2）求.
【答案】（1）（2）
【解析】选条件①由，根据同角基本关系可求sinα，csα，由两角和的正弦公式求解，计算，求出；
选条件②由，求出sinα，csα，同①即可求解；
选条件③由，结合余弦二倍角公式、同角基本关系可求sinα，csα，以下同①．
【详解】选条件①：
因为，所以．
由平方关系sin2α+cs2α＝1，解得或
因为，所以．
(1)
.
(2)因为，
所以由sin2（α-β）+cs2（α-β）＝1，解得．
因为，所以，所以，
所以
,
由，
.
选条件②：
因为，所以14sinαcsα＝，
因为，所以csα≠0，所以．
由平方关系sin2α+cs2α＝1，解得．
因为，所以．
以下同①的解法．
选条件③：
因为，
所以．
由平方关系sin2α+cs2α＝1，得．
因为，所以．
以下同①的解法．
【点睛】关键点点睛：本题主要选择不同的条件，利用三角恒等变换及同角三角函数的基本关系，求出，然后利用角的变换，求出，结合求解，属于难题.