湖北省武汉市汉阳区武汉市第三初级中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

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一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项．）
1. 华为麒麟990芯片采用了最新的米的工艺制程，数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接用负整数指数科学记数法表示即可．
【详解】，
故选A．
【点睛】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
2. 下列各组数中能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A. 1，2，3B. 2，3，4C. 3，4，5D. 4，5，8
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据三边是否符合勾股定理判断即可
【详解】A．，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意；
B． ，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意；
C． ，能作为直角三角形三边长度，符合题意；
D． ，不能作为直角三角形三边长度，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了用勾股定理判断能否构成直角三角形，解题的关键是熟记．
3. 2023年9.23﹣10.8日，19届亚运会在杭州如火如荼地进行，运动健儿们摘金夺银，全国人民感受到一波强烈的民族自豪感．下列图案表示的运动项目标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是轴对称图形的S识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
4. 与《九章算术》的类似题，今有善行者每刻钟比不善行者多行六十尺，不善行者先行两百尺，善行者行八百尺追上．设善行者每刻钟行x尺，则列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设善行者每刻钟行x尺，则不善行者每刻钟行尺，再根据善行者行800尺的时间与不善行者行600尺的时间相同列出方程即可．
【详解】由题意可得，，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
5. 如图，这是平面镜成像的示意图，若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为轴，平面镜所在点的竖线为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，某时刻火焰顶部的坐标是，则此时对应的虚像的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平面镜成像可知，与关于轴对称，根据关于轴对称的点的坐标特征即可得到答案．
【详解】解：由平面镜成像可知，与关于轴对称，
，
，
故选D．
【点睛】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，解题关键是掌握关于轴对称，纵坐标不变，横坐标护卫相反数．
6. 如图为脊柱侧弯测量示意图，cbb角的大小是脊柱侧弯严重度的参考标准之一，一次体检中，若测得某人cbb角，则图中与相等的角的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】证明都是等腰直角三角形，则，证明都是等腰直角三角形，则，即可得到结论，此题考查了等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，于点C，于点D，
∴，
∵，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
综上可知，图中与相等的角的个数为4个，
故选：D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
7. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解方法，先提公因式，然后再根据平方差公式进行求解即可．
详解】解：．
故答案为：．
8. 分式有意义，则的取值范围是_______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式分母不为0列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意得，，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式分母不为0是解题的关键．
9. 学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动后，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，设计了如图所示的作品，则此正八边形徽章一个内角的大小为________°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正多边形的外角和以及内角与外角之间的关系，利用多边形的外角和求出一个外角的大小，然后再用度减去外角度数即可．
【详解】解：∵正八边形的外角和为，
∴每个外角为，
∴每个内角为，
故答案为：．
10. 如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的几何示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点在同一直线上，为了拉箱时的舒适度，现将调整为，保持不变，则图中应为______________．
【答案】##50度
【解析】
【分析】首先根据三角形外角的性质得到，然后利用平角的概念求解即可．
【详解】∵，
∴
∵
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了三角形外角的性质，平角的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
11. 如图，AB＝AC，DE垂直平分AB，交AB于点D，交AC于点E，若△ABC的周长为28，BC＝8，则△BCE的周长为________．
【答案】18
【解析】
【详解】解：∵DE垂直平分AB交AB于D，∴AE=BE，∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，而△ABC周长=AC+BC+AB=28．
又∵AB=AC，BC=8，∴AB=AC=10，∴△BCE的周长=AC+BC=18．故答案为18．
12. 已知等腰△ABC中，BD⊥AC，且BD=AC，则等腰△ABC的顶角度数为________________．
【答案】90°或30°或150°
【解析】
【分析】根据题意画出图形，利用BD⊥AC，且BD=AC求出该直角三角形另一锐角的度数，由此得到答案．
【详解】解：如图1，∵BD⊥AC，AB=BC，
∴，AD=CD=AC，
∵BD=AC，
∴AD=BD=CD，
∴，
∴；
如图2，∵BD⊥AC，
∴，
∵AB=AC，BD=AC，
∴BD=AB，
∵；
如图3， ∵BD⊥AC，
∴，
∵AB=AC，BD=AC，
∴BD=AB，
∴，
∴；
故答案为：90°或30°或150°．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30度直角边等于斜边一半的性质，熟记等腰三角形的性质依据题意画出图形辅助解答问题是解题的关键．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分．）
13. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘除．根据幂的乘方，同底数幂的乘除法法则计算即可求解．
【详解】解：
．
14. 分解因式：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
．
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；4
【解析】
【分析】先把分子、分母能分解因式的分解因式，再进行分式乘法，最后通分进行分式的加法，约分后再代入求值即可．
【详解】原式=
=
=
=．
当时，原式=4．
【点睛】本题考查的是分式的乘法加法运算，掌握异分母分式的加减是解题的关键．
16. 如下图，是以为底边的等腰三角形，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1和图2中作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）如图1，已知点D为内一点，，画出的垂直平分线；
（2）如图2，已知，画出的垂直平分线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】此题考查了垂直平分线的逆定理，无刻度直尺作图，解题的关键是掌握垂直平分线的逆定理．
（1）根据垂直平分线的逆定理得到点A和点D在线段的垂直平分线上，得到所在直线即为的垂直平分线；
（2）连接，交于点H，连接交于点G，即为所求．
【小问1详解】
如图所示，直线即为所求；
【小问2详解】
如图所示，直线即为所求；
17. 解方程：．
【答案】该分式方程的解为
【解析】
【分析】根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解分式方程．
【详解】去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
x系数化为1，得
检验：当时，
∴该分式方程的解为．
【点睛】此题考查了解分式方程，正确掌握分式方程的解法及解题步骤是解题的关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分．）
18. 如图，已知点、、、在同一直线上，，，． 求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】由可得，由可得，可证得．
【详解】解：证明：，
，
，
，即，
在和中
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定， 掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
19. 当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．
（1）由图2，可得等式：_____________________________
（2）利用（1）中所得到结论，解决下面的问题：
已知 a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；
【答案】（1）等式为（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）45.
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；
（2）根据（1）中结果，求出所求式子的值即可.
试题解析：（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，
∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+ac+bc）=121-76=45.
20. 某商店用1000元人民币购进水果销售，过了一段时间又用2800元购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了2元．
（1）求该商店第一次购进水果多少千克？
（2）该商店两次购进的水果按照相同的标价销售一段时间后，将最后剩下的50千克按照标价半价出售．售完全部水果后，利润不低于3100元，则最初每千克水果的标价是多少？
【答案】（1）第一次购进水果200千克；（2）最初每千克水果标价12元．
【解析】
【分析】（1）设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，然后根据每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元，列出方程求解即可；
（2）设每千克水果的标价是y元，然后根据两次购进水果全部售完，利润不低于3100元列出不等式，然后求解即可得出答案．
【详解】（1）设第一次购进水果千克，依题意可列方程：
解得
经检验：是原方程的解．
答：第一次购进水果200千克；
（2）设最初水果标价元，依题意可列不等式：
解得
答：最初每千克水果标价12元．
【点睛】此题考查了分式方程应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系与不等关系是解决问题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分．）
21. 如图所示，人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）试猜想筝形的对角线与有什么位置关系？并用全等三角形的知识证明你的猜想；
（2）过点作交于点，若，，求的长．
【答案】（1）；证明见解析
（2）6
【解析】
【分析】（1）由，，，根据全等三角形的判定定理“”证明，得，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明；
（2）由，得，而，所以，则．
【小问1详解】
解：，
证明：在和中，
，
，
，
，，
．
【小问2详解】
，
，
，
，
，
，，
，
，
的长为6．
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键．
22. 已知和均为等边三角形，点在的边上，点在直线上．
（1）若点和点重合（如图①），求证：．
（2）若点在的延长线上（如图②），（1）中的结论还能成立吗？给出你的结论并证明．
【答案】（1）见解析 （2）成立，证明见解析
【解析】
【分析】（1）证明，得出，进而得出，根据平行线的判定定理即可得证；
（2）过点作交的延长线于点，同（1）的方法证明，进而即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵和均为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
成立，理由如下，
如图所示，过点作交的延长线于点，
∴
∴是等边三角形，
又∵是等边三角形，
同（1）可得，
∴，
∴，
∴，
又，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
六、（本大题共12分．）
23. 【母题呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长．
解：是由折叠而得到，
．
，．
，
．
，
的周长为：．
【知识应用】（1）在中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P连接．如图2，若，，求的面积；
（2）如图2，求证：平分；
【拓展应用】（3）如图3，在中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接，过点P作．若，，，直接写出长．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据折叠得出，，，根据求出结果即可；
（2）过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M，根据角平分线的性质得出，，证明，根据角平分线的判定得出答案即可；
（3）过点P分别作、边的垂线，垂足分别为点G、M，连接，证明，根据，得出，代入数据求出结果即可．
【详解】（1）解：根据折叠可知：，，，
；
（2）证明：如图，过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M，
由题可知，，，
，
平分，
，
，
，
即平分；
（3）如图，过点P分别作、边的垂线，垂足分别为点G、M，连接，
由题可知，，，
，
由（2）可知，
，
，
，
即，
解得．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形面积的计算，折叠的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握折叠的性质．