湖北省武汉市汉阳区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份湖北省武汉市汉阳区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共13页。

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑。
1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项表述正确的是（ ）
A．3，6，1 B．3，1，6 C．，6， D．3，0，1
2．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．不解方程，判别一元二次方程的根的情况正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定．
4．一元二次方程用配方法解，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移1个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移1个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移1个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移1个单位
6．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则C、D两点的坐标分别为（ ）
A． B．
C． D．
7．二次函数的象所示，则一次函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．如图，在中．直径AB与弦CD相交丁点P．连接AC、AD、BD，若．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，西数和（a是常量，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．我们定义：若点A在某一个函数的图象上，且，点A的横纵坐标相等，我们称点A为这个函数的“好点”．若关于x的二次函数对于任意的常数t恒有两个“好点”、则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请直接填写在答题卡指定的位置。
11．钟表的指针在不停地转动，从3时到5时，时针转动了_________度．
12．如果2是关于x的方程的一个根，这个方程的另一实数根为_________．
13．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得个新的实数，如把放入其中，就会得到．现将放入其中，得到实数4，则m为_________．
14．如图，OA是的半径，BC是的弦，于点D，于A，交OC的延长线于点E．若，则线段AE的长为_________．
15．设二次函数（，m，k是实数），现有以下四个结论：
①抛物线与x轴交点横坐标分别为、；
②当时，函数y的最小值为；
③当时，直线（n为不为0的任意实数）与抛物线总有两个不同的交点；
④当时，只有在时才能保证抛物线与y轴交点在负半轴，
16．如图，菱形ABCD的边，高，F是边CD上一动点，将四边形AEFD沿直线EF折叠，A点的对应点为P，当CP的长度最小时，CF的长为_________．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。
17．（本小题满分8分）
解方程：
18．（本题满分8分）
如果一个二次函数图象经过、、三个点，那么请解决以下问题：
（1）求这个二次函数解析式；
（2）若这个二次函数解析式表示为（，a、b、c为常数），则
①时，自变量x的取值范围为_________；
②时，方程的两根分别为_________；
③时，自变量x的取值范围为_________．
19．（本题满分8分）
如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，垂足为O点，且，若四边形ABCD有最大面积，则求出此时的AC与BD的长及这个最大的面积．
20．（本题满分8分）
已知，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分．
图1 图2
（1）如图1，求证：BD是圆的直径；
（2）如图2，O点为圆的圆心，过点C作，使，交AB的延长线于点F，若，，求半径的长．
21．（本题满分8分）
如图是由单位长度为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三角形ABC的三个顶点都在格点，O点在格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题．
图1 图2 图3
（1）在图1中画出将三角形ABC绕C点顺时针旋转得到的三角形DEC，使D、E点分别对应A、B点；
（2）在图1中画出将三角形ABC绕O点逆时针旋转得到的三角形PMN，使A、B、C分别对应P、M、N点；
（3）在图2中画的平分线，交BC于G点；
（4）在图3中画三角形ABC的外接圆圆心Q点．
22．（本满分10分）
某商店经营某种小商品，该商品的进价为10元/件，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足一次函数．
（1）当每周销售利润为8元时，求这种商品的售价；
（2）若某周该商品的销售量不少于8件，求这周该商店销售这种商品获得的最大利润；
（3）若商品的进价每件提高m元（m>0），为了加大销量，商店决定亏本销售，商店发现这种商品售价不超过进价的时，该商店每周销售这种商品的利润会随售价的增大而增大，请直接写出m的取值范围．
23．（本题满分10分）
问题呈现：如图1，在中，，以AC为边向外作等边，求BD的长．
图1 图2 图3
操作探索：小明同学为了寻找BD与已知线段AB、BC之间的数量关系，他将问题特殊化，将线段AB绕B点顺时针旋转到BC上，如图2，进而联想到自己非常熟悉的图3模型，以AB为边作等边，连CE．
（1）如图3，直接写出BD与CE间的数量关系_________；
（2）如图1，求BD的长．
理解运用：根据以上探索，如图4，在四边形ABCD中，．若，，求BD的长．
图4 图5
延伸拓展：已知，如图5，P为正内一点，．直接写出以AP，BP、CP为边构成的三角形各个内角的度数．
24．（本题满分12分）
在平面直角坐标系中，抛物线（，a、c为常实数）交x轴于A、B两点，与y轴交于C点．
图1 图2
（1）如图1，若在此抛物线上，求出这个抛物线解析式；
（2）如图2，在（1）的条件下，M为（1）中抛物线第四象限一动点，连CM、BM，求能使四边形ABMC面积最大时的M点坐标；并求出四边形ABMC的最大面积．
（3）将抛物线平移到以坐标原点O为顶点的位置，P为坐标系y轴正半轴上一点，E、F为平移后的抛物线上两点，E始终在F点左边，连AE、AF、EF，若E、F点横坐标分别为m、，则当为等腰直角三角形，且时，求m、n间的数量关系．
2023-2024年九年级期中考试数学答案解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．60 12． 13．7或
14． 15．①②③④ 16．4
三、解答题（共8小题，共72分）
17．解：移项，得：
配方，得：，
由此可得：
18．（1）设这个二次函数解析式为
将、、代入解析式得
解得：
∴这个二次函数解析式为
（2）①全体实数
②
③
19．设，则
当时，最大
，最大面积为．
20．解：（1）平分
弧弧
即
∴BD是直径
（2）弧弧AB，
设
则
弧弧BC
即B为弧AC中点
为直径
，即半径长为4
21．如图所示：
图1 图2 图3
22．解：（1）设每周销售的利润为
解得：
即这个商品的售价为11元或14元
（2）
由题意得
当时，，即最大利润为8元
（3）该商品的售价不超过进价的
抛物线的对称轴为直线：
该商店每周利润随售价的增大而增大
解得：
销量
，即
又
∴m的范围为
23．（1）
（2）
（3）
（4），，
24．（1）在抛物线上
得
抛物线
（2）连接BC，过M作轴交BC与N，设
∴直线
则
又，且
要求四边形ABCM最大值，即求面积最大值
当时，取最大值
，四边形ABMC面积行最大值，为．
（3）设点，过E作轴于M，过F作轴于N．
①当E、F在y轴左侧时，如图
，且
则，
两式相加得
②当E、F在y轴右侧时，如图．
同理
则，
两式相加得
③当E、F在y轴两侧时，如图．
同理
则
两式相减得
或
综上所述，m、n满足的等量关系为或．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
C
A
B
B
C
D
A
D