重庆市北碚区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份重庆市北碚区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含解析)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

八年级数学试题
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．在下面四个数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．1.010010001
2．计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．B．1，2，3C．3，4，7D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．100的平方根是B．
C．正数有两个立方根D．负数没有立方根
5．下列命题中，假命题是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．一内角为的等腰三角形中必有一个内角是
C．直角都相等
D．在等腰三角形中，两腰上的高相等
6．估计+1的值在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
7．如图，是等腰三角形，，下列四个条件中，不能使成立的是（ ）
A．B．C．D．
8．已知关于的多项式是某一个多项式的平方，则的取值是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在直角三角形中，的垂直平分线交于，交的角平分线于，连接、，若的周长为，则的长度是（ ）
A．B．10C．12D．13
10．已知，，，则下列说法正确的个数是（ ）
①；②当时，；③；④当时，的值为0．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的棤线上．
11．计算： ．
12．分解因式 ．
13．如图是根据中国女子代表团在第30届奥运会上获得的奖牌情况绘制的扇形统计图，共计获得奖牌50枚，图中金牌对应扇形的圆心角的度数是 ．
14．如图，在中，，平分，则的长是 ．
15．若，则代数式的值是 ．
16．如图，等腰直角三角形的直角边长为，分别以它的三边为直径向上作半圆，则图中阴影部分的面积是 ．
17．如图，在等腰三角形中，平分垂直平分交于点，则的长是 ．
18．若一个各个数位均不相等的四位数，满足，则我们称为“公平数”．若将“公平数”的个位数字与千位数字对调，十位数字与百位数字对调，得到一个新的“公平数”，规定．例如：，则 ．若的值能被7整除，则满足条件的“公平数”的最大值是 ．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答书写在答题卡中对应题号的位置上．
19．计算：
(1)；
(2)．
20．如图，在中，．
(1)请用直尺和圆规，作出边的垂直平分线，交于点，交于点，连接：（只保留作图痕迹）
(2)求的度数．
解：
①______
垂直平分
②______
③______
21．某校开设了书法、美术、音乐、体育、劳动共五个方面的学生社团活动：下面是随机抽取的一个班的学生参加社团活动的统计情况（每名学生只能参加一个社团），请你根据图中提供的信息解答下列问题．
学生参加社团活动人数统计表
(1)求本次抽查的学生人数；
(2)直接写出的值，并补全条形统计图；
(3)你认为该校学生最喜欢哪个社团？并说明理由．
22．已知的三边长分别为，求证：是直角三角形．
23．已知三边长满足，试判定的形状．
24．如图，某海港的正东方向海里处有一海岛，气象站发现在海岛的正南方向海里的处有一台风中心，测得它正以海里/小时的速度沿方向向海港运动，以台风中心为圆心，周围海里以内为受影响区域．
(1)通过计算说明海岛会受台风影响吗？
(2)求出台风中心同时影响海港和海岛的时长．
25．数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合是初中数学非常重要的思想方法之一，数形结合可以使代数问题与图形之间相互转化，我们学习的乘法公式也可以利用数形结合的思想解释，如图，现有A、B、C三种卡片若干．
图1
(1)观察图1，请用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式；
(2)现用张卡片、张卡片、张卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求的值；
(3)观察图2，分解因式：．
图2
26．如图，在等腰直角三角形中，，点是上一点．

(1)如图1，若，求的长度；
(2)如图2，点是上一点，，且，求证：；
(3)若，点是上一点，，当为等腰三角形时，直接写出的长度．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及等有这样规律的数．根据无理数的概念即可解答．
【详解】解：A．是有理数，不是无理数，不符合题意；
B．是无理数，符合题意；
C．是分数，不是无理数，不符合题意；
D．1.010010001不是无理数，不符合题意．
故选：B．
2．C
【分析】本题考查积的乘方、幂的乘方．根据相关法则计算，即可得到本题答案．
【详解】解：∵，
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形根据勾股定理的逆定理分别判断即可．
【详解】解：A、，能组成直角三角形，故此选项符合题意；
B、，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D、，不能组成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：A．
4．A
【分析】本题主要考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握若一个数的立方等于a，则这个数是a的立方根，记作；若一个数的平方a，则这个数是a的平方根，记作是解题的关键．根据平方根和立方根的定义，即可求解．
【详解】解：A、100的平方根是，故本选项正确，符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、正数只有1个立方根，故本选项错误，不合题意；
D、负数有立方根，故本选项错误，不合题意；
故选：A．
5．B
【分析】分别根据平行线的性质、全等三角形的判定、三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质逐项判断即可作出选择．
【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，正确，是真命题，不符合题意；
B、当等腰三角形的底角为，则另外两个内角为，，故原说法错误，是假命题，符合题意；
C、直角都相等，正确，是真命题，不符合题意；
D、在等腰三角形中，两腰上的高相等，正确，是真命题，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查判断命题的真假，涉及平行线的性质、三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质，熟知相关数学知识是解答的关键．
6．C
【分析】先估算出的范围，即可得出答案．
【详解】解：∵3＜＜4，
∴4＜+1＜5，
即+1在4和5之间，
故选：C．
【点睛】考核知识点：无理数的大小估计.运用平方根知识进行分析是关键.
7．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，根据全等三角形的判定定理，，，，对每一个选项进行判断即可．
【详解】解：、∵，
∴，
∵在和中
，
∴（），
故、选项能使，不符合题意；
、由，，不能判断，
故选项符合题意；
、∵在和中
，
∴（），
故选项能使，不符合题意；
故选： B．
8．D
【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴，
∴，
故选D．
9．A
【分析】由的垂直平分线交于得，，，，进而得，，再证，利用勾股定理即可得解．
【详解】解：∵的垂直平分线交于，
∴，，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的周长为，即，
∴，
∴．
故选∶A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，平行线的判定及性质以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，平行线的判定及性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
10．C
【分析】分别根据完全平方公式和整式的混合运算法则进行判断即可，此题考查了完全平方公式和整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴；故①正确；
当时，，
∴，
∴，故②错误；
∵，
∴，
∵，
∴，故③正确；
当时，，
∴，故④正确；
综上可知正确的是①③④，
故选：C
11．4
【分析】由，从而可得答案．
【详解】解：，
故答案为：4
【点睛】本题考查的是求解一个数的立方根，理解立方根的含义是解本题的关键．
12．
【分析】先提取公因式再利用平方差公式法因式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提取公因式法和平方差公式法的运用．
13．或度
【分析】本题主要考查了求扇形统计图中对应项目的圆心角度数，用360度乘以金牌所在的扇形的占比即可得到答案．
【详解】解：
，
∴金牌对应扇形的圆心角的度数是．
故答案为：
14．
【分析】本题考查角平分线性质，勾股定理，全等三角形性质及判定．根据题意过点作交于点，再设，在中应用勾股定理即可得到本题答案．
【详解】解：过点作交于点，
，
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴在中应用勾股定理：，解得：，
故答案为：．
15．
【分析】此题主要考查了完全平方公式分解因式，代数式的值，正确分解因式是解题关键．先利用完全平方公式变形，进而把已知数据代入求出答案．
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为:．
16．
【分析】本题考查了勾股定理的运用，解答此题的关键是，根据图形中半圆的面积、三角形的面积与阴影部分的面积的关系，找出对应部分的面积，列式解答即可．先分别求出以、为直径的三个半圆的面积，再求出三角形的面积，阴影部分的面积是三角形的面积加以为直径和以为直径的两个半圆的面积再减去以为直径的半圆的面积．
【详解】解：∵，
∴
以为直径的半圆的面积：，
以为直径的半圆的面积：，
以为直径的半圆的面积：，
三角形的面积：，
阴影部分的面积：；
故答案是:．
17．
【分析】本题考查垂直平分线性质，等腰三角形性质，勾股定理．根据题意连接，利用勾股定理求出，再设，即，在中应用勾股定理即可得到本题答案．
【详解】解：连接，
，
∵，平分，
∴是边中线，
∴，
∴在中应用勾股定理：，
∵垂直平分交于点，
∴设，则，
在中应用勾股定理：，
∴，解得：，
故答案为：．
18． 11
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整式混合运算的应用，因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握数字间的关系，根据题意得出，求出或．
【详解】解：根据题意得：；
∵，
，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∵的值能被7整除，
∴能被7整除，
∵，，
∴，
∴或，
∴当时，m有最大值，
∴m的最大值为：．
故答案为：11；．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，多项式与多项式相乘，整式的除法．
（1）先利用平方差公式及完全平方公式展开，再合并同类项即可得到本题答案；
（2）先将小括号展开再合并同类项，最后计算除法即可得到本题答案．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
．
20．(1)见解析；
(2)，，．
【分析】本题考查中垂线作图，三角形的内角和定理，以及中垂线的性质．熟练掌握中垂线的作图方法，以及中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键．
（）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，在线段上方和下方各交于一点，连接两个交点得到的直线，交于点，交于点，即为边的垂直平分线；
（）由中垂线的性质得到，进而得到，利用，进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）解：
，
垂直平分
，
，
故答案为：，，．
21．(1)人
(2)见解析
(3)最喜欢体育社团
【分析】本题考查条形统计图相关知识．
（1）根据题意找出频数和频率均已知的数据，总数等于频数除以频率即可得到本题答案；
（2）根据（1）中求得的总数再结合表中数据即可求得的值；
（3）根据条形图数据可知本题答案．
【详解】（1）解：∵体育社团频数为15，频率为，
∴本次抽查学生数为：（人）；
（2）解：由（1）知：本次抽查学生数为50人，
∴，，，
故画图如下所示：
；
（3）解：∵通过（2）可知：
∴最喜欢体育社团．
22．见解析
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果，那么这个三角形是直角三角形．根据勾股定理的逆定理解答即可．
【详解】证明：
，
以为三边的是直角三角形．
23．为等腰三角形．
【分析】根据分组分解法对式子进行因式分解，即可判断．此题考查了因式分解的应用、等腰三角形的定义等知识，利用因式分解对原式进行变形是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
∵a，b，c是的三边长，
∴，
∴
∴
∴为等腰三角形．
24．(1)海岛会受台风影响理由见解析
(2)小时．
【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
（）依据三角形中三边的关系确定的度数；
（）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响；利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】（1）解：港受台风影响，
过点作，
∵
∴，
，，
∴；
是直角三角形，
，
，
海里，
，以台风中心为圆心周围海里以内为受影响区域，
海岛受台风影响；
（2）解：∵
∴
∴当海里时，台风中心开始正好影响同时影响海港和海岛，
当海里时，台风中心结束正好影响同时影响海港和海岛，
∴海里
海里，
海里，
台风的速度为海里/小时，
（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为小时．
25．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用：
（1）最右边一幅图的面积等于长为，宽为a的长方形面积减去一个边长为b的正方形面积，又等于一个边长为a的正方形面积加上一个长为，宽为b的长方形面积，据此可得答案；
（2）先计算出，则一共需要A卡片2张，B卡片5张，C卡片3张，据此可得答案；
（3）观察图形可知，2张A卡片，5张B卡片，2张C卡片的面积之和等于长为，宽为的长方形面积，据此可得答案．
【详解】（1）解：最右边一幅图空白部分的面积等于长为，宽为的长方形，又等于两个正方形的面积差，宽为b的长方形面积，
∴；
（2）解：
，
∴一共需要A卡片2张，B卡片5张，C卡片3张，
∴；
（3）解：观察图形可知，图2中一共用了2张A卡片，5张B卡片，2张C卡片，组成的是一个长为，宽为的长方形，
∵2张A卡片，5张B卡片，2张C卡片的面积之和等于长为，宽为的长方形面积
∴．
26．(1)
(2)见解析
(3)的长度为或．
【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，本题的关键在利用分类讨论思想解决题目．
（1）过点作，且，连接、，证明，再证明是直角三角形，通过勾股定理求出的长度；
（2）过点作，且，连接、，证明，再证明，得，通过证明，得到，由是等腰直角三角形，证明结论；
（3）分①，②，③三种情况计算的长度．
【详解】（1）解：过点作，且，连接、，
是等腰直角三角形，，
，，，
，
，
，
，，
，
，，
，
在中，，，
，
，，
，
；
（2）证明：过点作，且，连接、，
同理可证，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，，
；
（3）解：是等腰直角三角形，，
，，
若是等腰三角形，
①，此时点与点重合，，
，
，
，
，
；
②，此时点与点重合，
，
平分，
，
；
③，过点作，且，连接、，
由（2）得，，
，
，即，
解得：，
．
综上所述，当为等腰三角形时，的长度为或．
社团
书法
美术
音乐
体育
劳动
频数
5
12
a
15
b
频率
c
0.24
0.2
0.3
0.16