浙江省杭州市滨江区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份浙江省杭州市滨江区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．若，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．“一个仅装有红球的不透明布袋（只有颜色不同）中摸出一个白球”这一事件是（ ）
A．不可能事件B．不确定事件C．必然事件D．随机事件
3．在比例尺为的地图上，，两地间的图上距离为2厘米，则，两地间的实际距离是千米（ ）
A．B．3C．30D．300
4．如图，弦，都是的直径，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）
A．y=3（x+2）2﹣1B．y=3（x﹣2）2+1C．y=3（x﹣2）2﹣1D．y=3（x+2）2+1
6．有两辆车按1，2编号，方方和成成两人可以任意选坐一辆车，则两人同坐1号车的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，点，，，为正边形的顶点，点为正边形的中心．若，则（ ）
A．七B．八C．九D．十
8．在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的四个点：，，，．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为（ ）
A．B．C．3D．1
9．如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作于点．若，，，则（ ）
A．15B．16C．D．
10．在平面直角坐标系中，已知二次函数，，是常数，且，当时，或．若该函数图象过点和，则的值可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、填空题
11．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，朝上一面的点数是3的倍数的概率是 ．
12．已知扇形面积为，半径为6，则扇形的弧长为 ．
13．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是 ．
14．已知函数，当 时，该函数的最小值是 ．
15．如图，是圆内接三角形，点是圆上一点，连结，，与交于点，且满足，．若，，则 ．
16．在平面直角坐标系中，二次函数，是常数，且的图象与轴的一个交点坐标为．若该函数图象的顶点坐标为，则 ．
三、解答题
17．一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中1个红球，2个白球．从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．求：
(1)摸出的2个球都是白球的概率．
(2)摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率．
18．一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，当球离抛出地的水平距离为时，达到最大高度，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求球运动路线的函数表达式．
(2)球被抛出多远？
19．在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上．
(1)用直尺作出的外接圆圆心．
(2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长．
20．请用函数知识解决问题：某超市销售一种饮料，每瓶进价为5元，售价在6元到10元之间（含6元，10元）．经市场调查表明，当售价在该范围内浮动时，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少50瓶；当售价为每瓶7元时，日均销售量为200瓶．问：销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润（每瓶毛利润每瓶售价每瓶进价）最大？最大日均毛利润为多少元？
21．如图，是的角平分线，在边上取点，使．
(1)求证：．
(2)若，，求的度数．
22．在平面直角坐标系中，函数，是常数，且的图象与轴的交点坐标为和，其中．
(1)当时，求，的值．
(2)求证：．
23．【综合与实践】
【认识研究对象】教材121页给出了如下定义：如图1，如果点把线段分成两条线段和，且，则我们称点为线段的黄金分割点．类似，我们可以定义：如果一个三角形中，其最长边的长度和最短边的长度的乘积等于第三边长度的平方，那么就称该三角形为“类黄金三角形”．
如图2，已知是“类黄金三角形”，且．若，，求的长．
【探索研究方法】如图3，已知是“类黄金三角形”，且．若，小滨同学过点作于点，发现了两个结论：
①；
②点是边的黄金分割点；
请给出证明．
【尝试问题解决】小滨同学经历以上探索过程发现：类似问题，可以通过构造相似三角形等方法解决．于是开展新的探究，请解决以下问题：
如图4，已知是“类黄金三角形”，且．若，，求的长．
24．如图，在中，弦是直径，点，是上的两点，连接，，且满足．
(1)若的度数为，求的度数．
(2)求证：．
(3)连接，若，，求的长．
参考答案：
1．B
【分析】根据两内项之积等于两外项之积用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．
【详解】∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟记“两内项之积等于两外项之积”，并用b表示出a是解题的关键．
2．A
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；根据事件发生的可能性大小判断即可得出答案．
【详解】解：“一个仅装有红球的不透明布袋（只有颜色不同）中摸出一个白球”这一事件是不可能事件，
故选：．
3．C
【分析】本题考查比例，比例尺是表示图上距离比实地距离缩小的程度，也叫缩尺，其公式为：比例尺图上距离/实地距离．
【详解】解：设两地间的实际距离是厘米，
根据题意得，
解得，
所以两地间的实际距离是30千米．
故选：C．
4．B
【分析】本题主要考查了圆周角定理、等边对等角，先根据圆周角定理得出，再由等腰三角形的性质即可得出结论，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：弦，都是的直径，，
，
，
，
故选：B．
5．A
【详解】函数图象的平移法则为：左加右减，上加下减；根据这个平移法则，抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为y=3（x+2）2﹣1.故选A.
考点：二次函数图象的平移法则.
6．C
【分析】根据题意及树状图法进行求解概率即可．
【详解】解：由题意可得树状图：
∴两人同坐1号车的概率为：；
故选C．
【点睛】本题主要考查树状图求概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．
7．C
【分析】本题考查正多边形与圆和圆周角定理，根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案．
【详解】解：正多边形的外接圆为，
点为正边形的中心．，
，
，
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式，比较的大小，通过正负先排除A和B，根据越大，开口越小，确定过点，点，点三点的二次函数的的值最大，利用待定系数法计算即可得出答案，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
【详解】解：如图所示：
由图可知，过点，，和过点，，的二次函数开口向下，，故排除A和B，
越大，开口越小，
当时，开口小的那个最大，
由图可知，过点，点，点三点的二次函数的的值最大，
把，，代入得，
解得．
故选：C．
9．D
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，先求出，再证明，即可求解．
【详解】四边形是矩形，，，，
，，
，
于点，
，
，，
，
，
，
故选：D．
10．D
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，能够根据变量的变化范围确定抛物线的开口方向和对称轴是解题的关键．
根据的变化范围可得抛物线的开口向上，对称轴为直线，进而可以确定离对称轴越近的点的纵坐标越小，据此求解即可．
【详解】解：二次函数，，是常数，且，当时，或，
抛物线的开口向上，对称轴为直线，
该函数图象过点和，且，
，
故选：D．
11．
【分析】由骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，点数为3的倍数的有2个，利用概率公式直接求解即可求得答案．
【详解】∵骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，点数为3的倍数的有2个，
∴掷得朝上一面的点数为3的倍数的概率为：.
故答案为．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意掌握概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．
【分析】根据扇形面积的计算公式即可求出答案．
【详解】解：设扇形的弧长为，由扇形面积公式可得，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式是正确解答的关键．
13．120
【分析】解：如图，连接，由是的直径，可得，由，可得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故答案为：120．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，含的直角三角形，圆内接四边形的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
14． 4
【分析】本题考查了把二次函数化为顶点式、二次函数的性质，先把二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为，
当时，该函数的最小值是；
故答案为：4，．
15．1
【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
由圆周角定理得，利用证明得到，再证明，利用相似三角形对应边成比例计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
或（舍去）．
故答案为：1．
16．9
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据解析式及顶点坐标可得对称轴为直线，根据对称性求出函数图象与轴的另一个交点坐标，进而得出二次函数的顶点式，即可求解．
【详解】解：函数图象的顶点坐标为，
对称轴为直线，
二次函数的图象与轴的一个交点坐标为．
二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为．
，
，
，
故答案为：9．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查树状图法或列表法求概率，正确画出树状图得到所有可能结果是解答的关键．
（1）从树状图中找出摸出的2个球都是白球的结果数，再利用概率公式求解即可；
（2）从树状图中找出摸出1个是白球，1个是红球的结果数，再利用概率公式求解即可；
【详解】（1）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中摸出的2个球都是白球的结果有4种，
∴摸出的2个球都是白球的概率为．
（2）解：由树状图可知，摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的结果有4种，
∴摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率为．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意求出抛物线的解析式．
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意，设抛物线的解析式为：，
把代入得，
抛物线解析式为：；
（2）解：由（1），
令，则，
解得：，，
抛物线与轴的交点为，，
球被抛出．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心．
（1）三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心．
（2）连接计算即可．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求．
（2）解：连接．
．
故外接圆半径的长为．
20．销售价格定为每瓶8元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为450元
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，设总利润为元，销售价格定为每瓶元，则利润为元，即可得，再利用二次函数的性质即可作答．
【详解】设总利润为元，销售价格定为每瓶元，则利润为元，
由题意，得：，
，
，
，
当时，，
即销售价格定为每瓶8元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为450元．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由角平分线的定义可得，由得出，即可判定；
（2）先由三角形外角的定义及性质得出，由角平分线的定义得出，由三角形内角和定理得出，再由相似三角形的性质得出，最后由三角形内角和定理计算即可．
【详解】（1）证明：是的角平分线，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
．
22．(1)、的值分别为，
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式：
（1）根据题意可设抛物线解析式为，从而得到，求解；
（2）根据题意可设抛物线解析式为，从而得到，即可．
【详解】（1）解：当时，抛物线与轴的交点坐标为和，
可设抛物线解析式为，
即，
，
解得，
，
即、的值分别为，；
（2）证明：设抛物线解析式为，
即，
，
，
，
，
．
23．【认识研究对象】；【探索研究方法】①证明见解析；②证明见解析；【尝试问题解决】
【分析】本题考查黄金分割，相似图形的应用，锐角三角函数的定义，解题的关键是根据定义理解“类黄金三角形”的特征．
【认识研究对象】由“类黄金三角形”的定义得出，代入数据计算即可；
【探索研究方法】①在直角和中，由锐角三角函数的定义式得，利用比例的性质证明即可；
②由“类黄金三角形”的定义和锐角三角函数的定义式得到，即可证明；
【尝试问题解决】作的角平分线交于，先证，根据勾股定理建立方程求解．
【详解】【认识研究对象】解：，是“类黄金三角形”，
，
，，
，
．
【探索研究方法】证明：①，，
，
．
②是“类黄金三角形”，且，
，
，
，
，
，
，
，
是边的黄金分割点．
【尝试问题解决】解：如图，作的角平分线交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
24．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题主要考查了圆心角、弦、弧之间的关系，三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）连接，根据弧的度数求出，再利用等边对等角结合三角形内角和定理即可得出的度数；
（2）利用平行线的性质可得，，结合从而得出，即可得证；
（3）连接，交于点，先根据勾股定理得出，再利用勾股定理求出，最后再利用勾股定理进行计算即可得出答案．
【详解】（1）解：连接，
，
的度数为，
，
，
；
（2）证明：，
，，
又∵，
，
；
（3）解：连接，交于点，
，
弦是直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．