2023-2024学年四川省南充市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省南充市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.以下为2023年成都大运会奖牌“蓉光”上的部分设计元素，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. (−xy)2=x2y2B. 20240=0C. a10÷a2=a5D. x2⋅x3=x6
3.如图，△ABE≌△ACD，若AB=8，AE=5，则BD的长度为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
4.一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是( )
A. 四边形B. 五边形C. 六边形D. 八边形
5.如图，在△ABC中，分别以B，C两点为圆心，大于12BC长为半径作弧，连接两弧交点得到直线l，l分别交AC、BC于E、F两点，连接BE，若AC=9，AB=5，则△ABE的周长为( )
A. 10
B. 12
C. 14
D. 18
6.已知a−b=1，则a2−b2−2b的值( )
A. 4B. 3C. 1D. 0
7.已知a，b，c为△ABC三边，且满足ab−b2=ac−bc，则△ABC是( )
A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 不能确定
8.一人自A地步行到B地，速度为a，自B地步行返回到A地，速度为b，这人自A地到B地再返回A地的平均速度为( )
A. a+b2B. 2aba+bC. aba+bD. 2(a+b)ab
9.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2,8)和(6,0)，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上.当△ABC的周长最小时，点C的坐标是( )
A. (0,6)
B. (0,8)
C. (0,2)
D. (0,3)
10.若整数m使得关于x的方程mx−1=21−x+3的解为非负整数，且关于y的不等式组4y−1<3(y+3)y−m⩾0至少有3个整数解，则所有符合条件的整数m的和为( )
A. 7B. 5C. 0D. −2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.2023年8月“麒麟9000S”芯片横空出世，标志着我国14纳米以下先进工艺制程已取得突破性进展(14纳米=0.000000014米)，把0.000000014用科学记数法表示为______．
12.若点A(a,4)与点B(3,b)关于y轴对称，则a+b= ______．
13.如图，直线l经过正方形ABCD的顶点A，分别过该正方形的顶点B、D作BE⊥l于E，DF⊥l于F.若BE=3，DF=6，则EF的长为______．
14.分式方程xx2−4=1x−2−2x+2的解为______．
15.若x2+2x−8=(x+m)(x+n)，且m>n，则mn的值为______．
16.如图，在等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°，BD⊥AC于D，E是AB延长线上的一点，F是线段BD上的一点，EF=CF.下列结论：①BC平分∠EBD；②∠A=∠BEF+∠FCD；③△EFC是等边三角形；④BC=BE+BF.其中正确的结论有______.(填写序号)
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)(6m2n−4mn2)÷2mn；
(2)(2a+b)2−a(a+4b)．
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=38°，AD为∠BAC的平分线，E为线段BD上一点，且∠CEA=50°.求∠DAE的度数．
19.(本小题8分)
先将2a+1a2−1⋅a2−2a+1a2−a−1a+1化简，并从“−1，0，1，2”中选择一个适当的数作为a的值，再计算出结果．
20.(本小题10分)
分解因式：
(1)a3−4a；
(2)2x2−12xy+18y2．
21.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中，△ABC的一个顶点为A(2,4)．
(1)作△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1并求出△ABC的面积；
(2)若P是x轴上一点，且△AA1P与△ABC的面积相等，请求出点P的坐标．
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF．
(1)求证：AE=AF；
(2)若AB=10，DE=3，求△ABC的面积．
23.(本小题10分)
2023年中国新能源汽车销量再创新高，其中油电混动汽车备受青睐，因为其既可以用纯油模式行驶，也可以切换成纯电模式行驶.若某品牌油电混动汽车从甲地行驶到乙地，当完全用油做动力行驶时，所需油费为160元；当完全用电做动力行驶时，所需电费为40元，已知汽车行驶中每千米所需的油费比电费多0.6元．
(1)求汽车行驶中每千米需要的电费是多少元？
(2)若汽车从甲地到乙地，部分路段使用纯电模式行驶，其余路段采用纯油驱动，若所需的油电费用合计不超过88元，则至少需要在纯电模式下行驶多少千米？
24.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D为AB的中点，过点A作l1/​/BC，过点B作l2⊥CD于F，l1与l2交于点E，连接CE、DE．
(1)求证：△ABE≌△BCD；
(2)试证明△BCE是等腰三角形．
25.(本小题12分)
如图，在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠BCD=60°，AB=AD，BC=DC，在边BC、DC所在直线上分别有E、F两点，且始终有∠EAF=12∠BAD．

(1)如图1，当E、F在BC、DC上，AE=AF时，求证：BE+DF=EF；
(2)如图2，当E、F在BC、DC上，AE≠AF时，(1)问中的结论是否仍成立请说理；
(3)如图3，当E、F在边BC、DC的延长线上时，直接写出BE、DF、EF之间的数量关系，不必证明．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
A，B，C选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：D．
根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
2.【答案】A
【解析】解：A、(−xy)2=x2y2，故A符合题意；
B、20240=1，故B不符合题意；
C、a10÷a2=a8，故C不符合题意；
D、x2⋅x3=x5，故D不符合题意；
故选：A．
利用积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】B
【解析】解：∵△ABE≌△ACD，
∴AD=AE=5，
∵AB=8，
∴BD=AB−AD=3．
故选：B．
由全等三角形的对应边相等，得到AD=AE=5，而AB=8，即可求出BD的长．
本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
4.【答案】A
【解析】解：设此多边形是n边形，
∵多边形的外角和为360°，
∴180(n−2)=360，
解得：n=4．
∴这个多边形是四边形．
故选：A．
首先设此多边形是n边形，由多边形的外角和为360°，即可得方程180(n−2)=360，解此方程即可求得答案．
此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意多边形的外角和为360°，n边形的内角和等于180°(n−2)．
5.【答案】C
【解析】解：由作法可知，EF是线段BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AE+EC=AB+AC=9+5=14．
故选：C．
先根据中垂线的性质得出BE=CE，进而根据三角形的周长公式可得出结论．
本题考查的是作图−基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵a−b=1，
∴a2−b2−2b
=(a+b)(a−b)−2b
=(a+b)⋅1−2b
=a+b−2b
=a−b
=1，
故选：C．
先根据平方差公式进行变形，再代入，最后求出答案即可．
本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式是解此题的关键，a2−b2=(a+b)(a−b)．
7.【答案】C
【解析】解：∵ab−b2=ac−bc，
∴ab−b2−ac+bc=0．
∴b(a−b)−c(a−b)=0．
∴(b−c)(a−b)=0．
∴b−c=0或a−b=0．
∴b=c或a=b．
∴△ABC是等腰三角形．
故选：C．
把所给等式先整理成右边等于0的形式，进而把等式左边“两、两”分组进行因式分解，然后整理成两个式子相乘等于0的形式．根据两个数相乘等于0，其中一个数为0，可得边长的关系，进而可得三角形的形状．
本题考查因式分解的应用．判断三角形的形状，通常要整理成两个式子相乘等于0的形式或两个非负数相加等于0的形式．
8.【答案】B
【解析】解：设A地到B地路程为“1”，
∴从A到B的时间为：1a，从B到A的时间为：1b，
∴平均速度为：21a+1b=2a+bab=2aba+b．
故选：B．
设A地到B地路程为“1”，先分别计算出A到B及B到A的时间，然后利用平均速度=总路程除以总时间，进行列式化简即可．
本题考查列代数式及分式化简，掌握平均速度的求法是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：作B点关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴一点C点，如图所示：
′
∵点A、B的坐标分别为(1,3)和(2,0)，
∴B′的坐标是(−2,0)，
设直线AB′的解析式为y=kx+b，将A、B′坐标分别代入，
3=k+b0=−2k+b，解得k=1b=2，
∴直线AB′的解析式为y=x+2，
∴点C的坐标为(0,2)，
故答案为：C．
如解析图作B点关于y轴的对称点B′，连接AB交y轴一点C点，根据两点之间线段最短，这时4ABC的周长最小，求出直线AB′的解析式为y=x+2即可求出点C的坐标．
此题主要考查平面直角坐标系中一次函数与几何问题的综合，解题关键是根据两点之间线段最短得出直线解析式．
10.【答案】A
【解析】解：mx−1=21−x+3，
方程两边同时乘x−1得：
m=−2+3(x−1)，
m=−2+3x−3，
m=3x−5，
3x=5+m，
x=5+m3，
∵整数m使得关于x的方程mx−1=21−x+3的解为非负整数，
∴5+m=0或3或6或9或12…，
解得：m=−5或−2或1或4或7…，
4y−1<3(y+3)①y−m≥0②，
由①得：
4y−1<3y+9，
4y−3y<9+1，
y<10，
由②得：y≥m，
∴m的取值范围为：m≤y<10，
∵关于y的不等式组4y−1<3(y+3)y−m⩾0至少有3个整数解，
∴m≤7，
∴m=−5或−2或1或4或7，
∵分式方程中的分母x−1≠0，
∴x=5+m3≠1，即m≠−2，
∴m=−5或1或4或7，
∴所有符合条件的整数m的和为：−5+1+4+7=7，
故选：A．
先解已知条件中的分式方程，根据已知条件求出符合题意的m的值，再解关于y的不等式组，求出m的取值范围，从而求出所有符合条件的整数m的值，最后求出它们的和即可．
本题主要考查了解分式方程和一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的一般步骤和注意事项．
11.【答案】1.4×10−8
【解析】解：根据科学记数法可得：0.000000014=1.4×10−8．
故答案为：1.4×10−8．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．
本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12.【答案】1
【解析】解：因为点A(a,4)与点B(3,b)关于y轴对称，
所以a=−3，b=4，
所以a+b=−3+4=1．
故答案为：1．
直接利用关于y轴对称点的性质(横坐标相反数，纵坐标互为不变)得出答案．
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
13.【答案】9
【解析】解：∵正方形ABCD，
∴AD=AB，
∵∠FAD+∠FDA=90°，且∠EAB+∠FAD=90°，
∴∠FDA=∠EAB，
在△ABE和△ADF中，
∠AFD=∠AEB∠FDA=∠EABAD=AB，
∴△ABE≌△DAF(AAS)，
即AE=DF=6，AF=BE=3，
∴EF=AE+AF=6+3=9．
故答案为：9．
通过证明△ABE≌△DAF，得AE=DF，AF=BE，进而求出EF的长．
本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定等知识，解本题的关键是证明△ABE≌△DAF．
14.【答案】x=3
【解析】解：原方程去分母得：x=x+2−2(x−2)，
整理得：x=−x+6，
解得：x=3，
检验：将x=3代入(x2−4)得9−4=5，
则原方程的解为x=3，
故答案为：x=3．
利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
15.【答案】116
【解析】解：∵x2+2x−8=(x−2)(x+4)，x2+2x−8=(x+m)(x+n)，且m>n，
∴m=4，n=−2，
∴mn=4−2=116．
故答案为：116．
x2+2x−8用十字相乘法因式分解，−8看作−2×4，且−2+4=2，从而把x2+2x−8因式分解为(x−2)(x+4)，从而确定m和n可能的值，再计算即可．
本题考查因式分解−十字相乘法，熟悉十字相乘法因式分解是解题的关键．
16.【答案】①②③④
【解析】解：∵AB=BC，∠A=30°，
∴∠A=∠ACB=30°，
∴∠ABC=180°−30°−30°=120°，
∴∠EBC=180°−∠ABC=60°，
∵BD⊥AC，AB=BC，∠ABC=120°，
∴∠DBC=12∠ABC=60°=∠EBC，
∴BC平分∠EBD，
故①正确，符合题意；
如图，连接AF，
∵AB=BC，BD⊥AC，
∴AD=CD，
∴BD垂直平分AC，
∴AF=FC，
∴∠FAD=∠FCD，
∵EF=CF，
∴AF=EF，
∴∠FAB=∠BEF，
∵∠FAD+∠FAB=∠BAC，
∴∠BAC=∠BEF+∠FCD，
故②正确，符合题意；
∵∠BEC+∠DCE+∠EAC=180°，
∴∠BEC+∠DCE=150°，
∵∠BEF+∠DCF=30°，
∴∠FEC+∠FCE=120°，
∴∠EFC=180°−(∠FEC+∠FCE)=60°，
∵FE=FC，
∴△EFC是等边三角形，
故③正确，符合题意；
如图，在BC上截取BQ=EB，连接EQ，
∵∠EBQ=180°−∠ABC=60°，
∴△BEQ是等边三角形，
∴∠EQB=∠BEQ=60°，EQ=EB，
∴∠BEF+∠FEQ=60°，
∵△CEF是等边三角形，
∴∠FEQ+∠CEQ=∠CEF=60°，EF=CE，
∴∠BEF=∠CEQ，
在△EFB和△ECQ中，
BE=EQ∠BEF=∠CEQEF=CE，
∴△FEB≌△CEQ(SAS)，
∴BF=CQ，
∴BC=BQ+CQ=BF+BE，
故④正确，符合题意；
故答案为：①②③④．
根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ABC=120°，∠DBC=60°，根据邻补角定义求出∠EBC=60°，根据角平分线定义即可判断①；连接AF，根据BD⊥AC，AB=BC，可知BD是AC中垂线，即可证明AF=FC，即可得AF=FC=EF，根据等边对等角，等量代换得到∠BAC=∠BEF+∠FCD，据此即可判断②；根据三角形的内角和得到∠BEC+∠DCE+∠EAC=180°，求得∠BEC+∠DCE=150°，求得∠EFC=180°−(∠FEC+∠FCE)=60°，结合FE=FC得到△EFC是等边三角形，据此判断③；在BC上截取BQ=EB，易得△BEQ是等边三角形，继而利用SAS证得△FEB≌△CEQ，根据全等三角形的性质及线段的和差即可得BC=BE+BF，据此判断④．
此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质的知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
17.【答案】解：(1)(6m2n−4mn2)÷2mn
=6m2n÷2mn−4mn2÷2mn
=3m−2n；
(2)(2a+b)2−a(a+4b)
=4a2+4ab+b2−a2−4ab
=3a2+b2．
【解析】(1)利用整式的除法的法则进行运算即可；
(2)先算完全平方，单项式乘多项式，再合并同类项即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18.【答案】解：在△ABC中，∠C=90°，∠B=38°，
∴∠BAC=90°−38°=52°，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD=12∠BAC=12×52°=26°，
∵∠CEA=∠B+∠BAE，∠CEA=50°，
∴∠BAE=50°−38°=12°，
∴∠DAE=∠BAD−∠BAE=26°−12°=14°．
【解析】根据直角三角形的性质求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠BAD，再根据三角形的外角性质即可解答．
本题考查直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形的外角性质，掌握这些性质是解题的关键．
19.【答案】解：原式=2a+1(a+1)(a−1)⋅(a−1)2a(a−1)−1a+1
=2a+1a(a+1)−1a+1
=2a+1a(a+1)−aa(a+1)
=2a+1−aa(a+1)
=1a，
∵“±1和0”使分式中分母为0，舍去，
∴a=2，
∴原式=1a=12．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选择使分式有意义的a的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20.【答案】解：(1)原式=a(a2−4)
=a(a+2)(a−2)；
(2)原式=2(x2−6xy+9y2)
=2(x−3y)2．
【解析】(1)首先提取公因式，然后利用平方差公式分解即可；
(2)首先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
21.【答案】解：(1)△A1B1C1如图所示；
S=6×8−12×3×8−12×3×3−12×5×6=332；
(2)因为AA1=8，可设P为(m,0)得
12×8×|m−2|=332，
解之：m=−178或498，
∴点P为：(−178,0)或(498,0)．
【解析】(1)分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；利用割补法求解可得；
(2)设点P坐标为(a,0)，根据题意得出方程，解之可得答案．
本题主要考查作图−轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
22.【答案】(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=90°，∠DFC=90°，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BD=CDBE=CF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴AB−BE=AC−CF，
∴AE=AF；
(2)解：连接AD，

由(1)知AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD为△ABC的中线，
∴S△ABD=S△ACD，
∵AB=10，DE=3，
∴S△ABD=10×32=15，
∴S△ABC=2S△ABD=30．
【解析】(1)利用HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF，根据全等三角形的性质得出∠B=∠C，根据等腰三角形的判定得到AB=AC，再根据线段的和差求解即可；
(2)根据等腰三角形的性质及三角形面积公式求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设汽车行驶中每千米需要的电费是x元，则汽车行驶中每千米需要的油费是(x+0.6)元，
根据题意得：160x+0.6=40x，
解得：x=0.2，
经检验，x=0.2是所列方程的解，且符合题意．
答：汽车行驶中每千米需要的电费是0.2元；
(2)甲地到乙地的路程为40÷0.2=200(千米)．
设汽车在纯电模式下行驶了m千米，则在纯油模式下行驶了(200−m)千米，
根据题意得：0.2m+0.8(200−m)≤88，
解得：m≥120，
∴m的最小值为120．
答：至少需要用纯电模式行驶120千米．
【解析】(1)设汽车行驶中每千米需要的电费是x元，则汽车行驶中每千米需要的油费是(x+0.6)元，根据路程=总费用÷每千米所需费用，结合用油160元行驶的路程等于用电40元行驶的路程，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
(2)利用甲地到乙地的路程=用纯电行驶所需费用÷0.2，可求出甲地到乙地的路程，设汽车在纯电模式下行驶了m千米，则在纯油模式下行驶了(200−m)千米，根据行驶全程所需的油电费用合计不超过88元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】证明：(1)∵l1//BC，
∴∠EAB+∠ABC=180°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EAB=180°−∠ABC=180°−90°=90°，
∵l2⊥CD，
∴∠EBC+∠DCB=90°，
∵∠EBC+∠EBA=90°，
∴∠DCB=∠EBA，
在△ABE和△BCD中，
∠EAB=∠DBC=90°AB=BC∠EBA=∠DCB，
∴△ABE≌△BCD(ASA)；
(2)由(1)知△ABE≌△BCD，
∴AE=BD，BE=CD，
∵D为AB的中点，
∴AD=BD，
∴AE=AD，
∵∠ABC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∴∠EAC=90°−45°=45°，
∴∠EAC=∠DAC，
在△EAC和△DAC中，
AD=AE∠DAC=∠EACAC=AC，
∴△EAC≌△DAC(SAS)，
∴DC=CE，
∴BE=CE，
∴△BCE是等腰三角形．
【解析】(1)根据平行线的性质求出∠EAB=90°，根据直角三角形的性质求出∠DCB=∠EBA，利用ASA即可证明△ABE≌△BCD；
(2)根据全等三角形的性质得出AE=BD，BE=CD，则AE=AD，根据等腰直角三角形的判定与性质求出∠BAC=45°，进而求出∠EAC=∠DAC，利用SAS证明△EAC≌△DAC，根据全等三角形的性质得出DC=CE=BE，再根据等腰三角形的判定定理即可得解．
此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
25.【答案】证明：(1)如图，连接AC，

在△ABC和△ADC中，
AB=ADBC=DCAC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠B=∠D，
∵∠BAD=120°，∠BCD=60°，
∴∠B+∠D=360°−120°−60°=180°，
∴∠B=∠D=90°；
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
AE=AFAB=AD，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，
∴BE=DF，∠BAE=∠DAF，
∵∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠DAF=120°−60°=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF，∠BAE=∠DAF=30°；
∴AE=2BE，
∴AE=BE+DF，
∴BE+DF=EF．
(2)结论仍然成立，理由如下：
证明：如图，延长CB到G使得BG=DF，连接AG．

∵∠ABC=∠ADC=90°(已证)，AB=AD，
∴△ABG≌△ADF(SAS)，
∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，
∵∠EAF=60°，∠BAD=120°，
∴∠GAE=∠FAE=60°，
∴△GAE≌△FAE(SAS)；
∴EF=EG，
∴EF=EG=BE+BG=BE+DF．
(3)数量关系为：DF−BE=EF．
如图，在DF上截取DG=BE，连接AG，

∵∠ABC=∠ADC=90°(已证)，
∴∠ABE=∠ADG=90°，
∵AB=AD，
∴△ADG≌△ABE(SAS)，
∴AG=AE，DG=BE，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=60°，∠BAD=120°，
∴∠EAF=∠GAF=60°，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF=GF，
∴GF=DF−DG=DF−BE，
∴DF−BE=EF．
【解析】(1)连接AC，可得△ABC≌△ADC(SSS)，所以∠B=∠D，可得∠B=∠D=90°；则Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，所以BE=DF，∠BAE=∠DAF，由此可得△AEF是等边三角形，所以AE=EF，∠BAE=∠DAF=30°；所以AE=2BE，则AE=BE+DF，即BE+DF=EF．
(2)延长CB到G使得BG=DF，连接AG.同理可证明△ABG≌△ADF(SAS)，则∠GAE=∠FAE=60°，所以△GAE≌△FAE(SAS)；所以EF=EG，则EF=EG=BE+BG=BE+DF．
(3)在DF上截取DG=BE，连接AG，可证明△ADG≌△ABE(SAS)，△AEF≌△AGF(SAS)，所以EF=GF，则GF=DF−DG=DF−BE，所以DF−BE=EF．
本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．