2021-2022学年新疆喀什地区巴楚一中高二（下）期末数学试卷（理科）（Word解析版）

绝密★启用前

2021-2022学年新疆喀什地区巴楚一中高二（下）期末数学试卷（理科）

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共10小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 是虚数单位，复数，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 点的直角坐标为，那么它的极坐标可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 变量，具有较强的线性相关性，且，的数据如表所示，若变量，的回归直线方程是，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知随机变量服从正态分布，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 的展开式中含的项的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 三名学生分别从门选修课中选修一门课程，不同的选法有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

9. 下列说法中不正确的是(    )

A. 设随机变量服从二项分布，则
B. 已知，，则
C. 某射击选手射击一次，击中目标的次数为随机变量，则服从两点分布
D.

10. 观察下列各式：，，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共3小题，共18.0分）

11. 已知随机变量，则______．
12. 函数在上的最小值是______．
13. 已知复数其中为虚数单位，则下列说法正确的是______填写序号
    的虚部为；
    ；
    ；
    在复平面内对应的点在第四象限．

三、解答题（本大题共5小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14. 本小题分
    求的展开式中的常数项；
    在平面直角坐标系中，求曲线：经过伸缩变换后的曲线方程；
    将曲线的极坐标方程，为直角坐标方程；
    参数方程为参数，且化为普通方程．
15. 本小题分
    从名男生和名女生中随机选出名同学参加一项竞技测试．
    求选出的名同学中至少有名女生的概率；
    设表示选出的名同学中男生的人数，求的分布列．
16. 本小题分
    已知函数，．
    求实数的值；
    判断函数的单调性．
17. 本小题分
    为了预防新型冠状病毒疫病．某生物疫苗研究所加紧对疫苗进行研究，将某一型号的疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：

现从所有感染病毒的小白鼠中随机抽取一只，抽到“注射疫苗”小白鼠的概率为．
完成如表的列联表：

能否有把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效？
已知：，．

18. 本小题分
    在平面直角坐标系中，已知直线的方程为：为参数，以坐标原为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
    将直线的方程化为普通方程，曲线的方程化为直角坐标方程；
    若直线交曲线于，两点，求．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是虚数单位，复数，
，
则．
故选：．
利用复数的性质、运算法则、复数的模直接求解．
本题考查复数的运算，考查复数的性质、运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
即，解得，
，
，
故选：．
根据积分公式即可得到结论．
本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式．
 

3.【答案】 

【解析】解：点的直角坐标为，
，
，
．
点的极坐标为
故选：．
利用直角坐标和极坐标互化公式直接求解．
本题考查点的极坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直角坐标和极坐标互化公式的合理运用．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以，解得．
故选：．
根据已知条件，求出，的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：随机变量服从正态分布，且，
，
．
故选：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，考查计算能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：展开式的通项公式为，
展开式中，项的系数为，
故选：．
先求得展开式的通项公式，可得展开式中，项的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由，得，
，又，
曲线在处的切线方程为，即．
取，得，取，得．
切线与坐标轴围成的三角形的面积为．
故选：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程的点斜式求得切线方程，进一步求出切线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：三名学生分别从门选修课中选修一门课程，对于任意名同学均有种不同的选法，故不同的选法有种；
故选：．
根据分步乘法计数原理计算可得；
本题主要考查分步乘法计数原理，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，随机变量服从二项分布，
，故A错误，
对于，，，
，故B正确，
对于，随机变量或，对应的概率分别为和，满足两点分布定义，故C正确，
对于，由期望的性质可知，，故D正确．
故选：．
对于，结合二项分布的概率公式，即可求解，
对于，结合条件概率公式，即可求解，
对于，结合两点分布的定义，即可求解，
对于，结合期望的性质，即可求解．
本题主要考查二项分布的概率公式，条件概率公式，两点分布的定义，以及期望的性质，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为，，，，，，等式右边对应的数为，，，，，．
所以，其规律为：从第三项起，每项等于其相邻两项的和；
因此，求，即是求数列“，，，，，”中的第项
所以对应的数列为“，，，，，，，，，“，即第项为．
故选：．
根据题中数据，归纳推理，即可得出结果．
本题考查归纳推理，考查学生的推理能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：随机变量，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合二项分布的概率公式，即可求解．
本题主要考查二项分布的概率公式，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故当时，函数取得唯一的极小值，即为最小值．
故答案为：
先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调区间，进而可求极值和最值．
本题考查了函数的导数的应用，同时考查了函数在闭区间上最值，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
的虚部为，故错误，
，故正确，
，故正确，
在复平面内对应的点在虚轴上，故错误．
故答案为：．
根据已知条件，先对化简，即可依次求解．
本题主要考查复数的运算，以及复数的性质，属于基础题．
 

14.【答案】解：展开式的常数项为，
由已知可得，所以代入曲线可得：，
化简可得：，所以曲线方程为：；
由可得：，
又，所以，
即曲线的直角坐标方程为：；
因为，所以，
则等式两边同时相加可得：，即，
所以普通方程为：． 

【解析】利用二项式定理即可求解；由已知可得，然后代入曲线方程化简即可求解；利用化简即可求解；利用正余弦的同角平方关系化简即可求解．
本题考查了二项式定理的应用以及参数方程与普通方程的互化，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
 

15.【答案】解：由意可知，选出的名同学全是男生的概率为，
选出的名同学中至少有名女生的概率为．
根据题意，的可能取值为，，，，
，
，
，
，
的分布列为：

【解析】利用对立事件概率公式能求出选出的三位同学中至少有一名女同学的概率；
根据题意，的可能取值为，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列．
本题考查概率、离散型随机变量的分布列的求法，考查古典概型、排列组合、超几何分布等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

16.【答案】解：因为，，
因为，所以，
解得：．
由知，，
因为的定义域为，
所以令，解得：，令，解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减． 

【解析】对原函数求导，根据已知条件代入即可求出的值；
分别解，即可得解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，导数的相关计算等知识，属于中等题．
 

17.【答案】解：所有感染病毒的小白鼠共有只，其中注射疫苗的共有只，
所以，解得；
所以，，，
填写列联表如下：

由表中数据，计算，
因为，
所以有的把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效． 

【解析】根据题意计算、和、的值，填写列联表即可；
由表中数据计算观测值，对照附表得出结论．
本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
 

18.【答案】解：已知直线的方程为：为参数，转换为直角坐标方程为，整理得普通方程为；
曲线的极坐标方程为，根据，转化为直角坐标方程为；
把直线的参数方程，代入，
得到，
所以，；
故． 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．