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物理必修 第三册2 库仑定律巩固练习
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这是一份物理必修 第三册2 库仑定律巩固练习，共26页。
TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc1161" 【题型1 库仑定律与电量分配】
\l "_Tc25206" 【题型2 库仑定律与静态平衡】
\l "_Tc9103" 【题型3 库仑定律与动态平衡】
\l "_Tc6522" 【题型4 库仑定律与牛顿定律】
\l "_Tc10925" 【题型5 库仑定律与功能关系】
\l "_Tc2094" 【题型6 库仑力的合成问题】
\l "_Tc22177" 【题型7 联系实际】
\l "_Tc24590" 【题型8 对库仑定律的理解】
【题型1 库仑定律与电量分配】
【例1】两个大小相同、可看成是点电荷的金属小球a和b，分别带有等量异种电荷，被固定在绝缘水平面上，这时两球间静电引力的大小为F.现用一个不带电、同样大小的绝缘金属小球C先与a球接触，再与b球接触后移去，则a、b两球间静电力大小变为()
A.B.C.D.
【变式1-1】如图所示为某电子秤示意图。一绝缘支架放在电子秤上，上端固定一带电小球a，稳定后，电子秤示数为F。现将另一固定于绝缘手柄一端的不带电小球b与a球充分接触后，再移至小球a正上方L处，待系统稳定后，电子秤示数为F1；用手摸小球b使其再次不带电，后将该不带电小球b与a球再次充分接触并重新移至a球正上方L处，电子秤示数为F2。若两小球完全相同，则( )
A．F1＜F2
B．F1＝4F2
C．若小球a带负电，L增大，则F1增大
D．若小球a带正电，L减小，则F2增大
【变式1-2】三个相同的金属小球1、2、3分别置于绝缘支架上，各球之间的距离远大于小球的直径．球1的带电荷量为q，球2的带电荷量为nq，球3不带电且离球1和球2很远，此时球1、2之间作用力的大小为F.现使球3先与球2接触，再与球1接触，然后将球3移至远处，此进1、2之间作用力的大小仍为F，方向不变．因此可知( )
A．n＝3 B．n＝4
C．n＝5 D．n＝6
【变式1-3】（多选）两个半径相同的金属小球(视为点电荷)，带电荷量之比为1∶7，相距为r，两者相互接触后再放回原来的位置上，则相互作用力可能为原来的( )
A．eq \f(4,7) B．eq \f(3,7)
C．eq \f(9,7) D．eq \f(16,7)
【题型2 库仑定律与静态平衡】
【例2】如图所示，A、B、C为放置在光滑水平面上的三个带电小球(可视为点电荷)，其中B与C之间用长为L的绝缘轻质细杆相连，现把A、B、C按一定的位置摆放，可使三个小球都保持静止状态。已知B所带电荷量为－q，C所带电荷量为＋4q，则以下判断正确的是( )
A．A所带电荷量一定为＋4q
B．轻质细杆对两球有拉力
C．A与B之间的距离一定为L
D．若将A向右平移一小段距离后释放，A一定向左运动
【变式2-1】如图，空间存在一方向水平向右的匀强电场，两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，则( )
A．P和Q都带正电荷
B．P和Q都带负电荷
C．P带正电荷，Q带负电荷
D．P带负电荷，Q带正电荷
【变式2-2】如图所示，在倾角为α的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为k0的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接。A、B、C三小球的质量均为M，qA＝q0>0，qB＝－q0，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列。已知静电力常量为k，则( )
A．qC＝eq \f(4,7)q0
B．弹簧伸长量为eq \f(Mgsin α,k0)
C．A球受到的库仑力大小为2Mg
D．相邻两小球间距为q0 eq \r(\f(3k,7Mg))
【变式2-3】如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q。现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在电场力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为( )
A．正，B的右边0.4 m处
B．正，B的左边0.2 m处
C．负，A的左边0.2 m处
D．负，A的右边0.2 m处
【题型3 库仑定律与动态平衡】
【例3】（多选）如图所示，A、B两球所带电荷量均为2×10－5 C，质量均为0.72 kg，其中A球带正电荷，B球带负电荷，A球通过绝缘细线吊在天花板上，B球固定在绝缘棒一端，现将B球放在某一位置，能使绝缘细线伸直，A球静止且与竖直方向的夹角为30°，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，则B球距离A球的距离可能为( )
A．0.5 m B．0.8 m
C．1.2 m D．2.5 m
【变式3-1】一带电荷量为＋Q的小球A固定在绝缘底座上，在它左侧还有一个用绝缘丝线悬挂的带电荷量为＋q的小球B，它们处于同一高度静止，如图所示，两球均视为点电荷，下列说法中正确的是( )
A．若小球A向左平移一段微小距离，则稳定后丝线与竖直方向的夹角减小
B．小球A对小球B的库仑力大小等于小球B对小球A的库仑力大小
C．若增加小球A的带电荷量，则稳定后丝线与竖直方向夹角不变
D．若使小球A带电荷量变为－Q，则稳定后丝线与竖直方向夹角不变
【变式3-2】（多选）用细绳拴一个质量为m、带正电的小球B，另一也带正电小球A固定在绝缘竖直墙上，A、B两球与地面的高度均为h，小球B在重力、拉力和库仑力的作用下静止不动，如图所示。现将细绳剪断后( )
A．小球B在细绳剪断瞬间起开始做平抛运动
B．小球B在细绳剪断瞬间加速度大于g
C．小球B落地的时间小于eq \r(\f(2h,g))
D．小球B落地的速度大于eq \r(2gh)
【变式3-3】（多选）如图所示,带电小球A、B的电荷量分别为QA、QB,A、B均用长为L的丝线悬挂在O点。静止时A、B相距为d。为使平衡时A、B间距离减为d2,可采用的方法是( )。
A.将小球A、B的质量都增大到原来的2倍
B.将小球B的质量增大到原来的8倍
C.将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半
D.将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半,同时将小球B的质量增大到原来的2倍
【题型4 库仑定律与牛顿定律】
【例4】如图所示，质量为m的小球A穿在绝缘细杆上，杆的倾角为α，小球A带正电，电荷量为q。在杆上B点处固定一个电荷量为Q的正电荷。将A由距B竖直高度为H处无初速度释放，小球A下滑过程中电荷量不变。不计A与细杆间的摩擦，整个装置处在真空中，已知静电力常量k和重力加速度g。求：
(1)A球刚释放时的加速度大小。
(2)当A球的动能最大时，A球与B点的距离。
【变式4-1】如图把一个带电小球A固定在光滑的绝缘水平桌面上，在桌面的另一处放置带电小球B，现给小球B一个垂直A、B连线方向的速度v0，使其在水平桌面上运动，则下列说法中正确的是（ ）
A．若A、B带同种电荷，B球可能做速度减小的曲线运动
B．若A、B带同种电荷，B球一定做加速度增大的曲线运动
C．若A、B带异种电荷，B球一定做类平抛运动
D．若A、B带异种电荷，B球可能以A为圆心做匀速圆周运动
【变式4-2】如图所示，在一足够大的空间内存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E＝3.0×104 N/C。有一个质量m＝4.0×10－3 kg的带电小球，用绝缘轻细线悬挂起来，静止时细线偏离竖直方向的夹角θ＝37°。取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.60，cs 37°＝0.80，不计空气阻力的作用。
(1)求小球所带的电荷量及电性；
(2)如果将细线轻轻剪断，求细线剪断后，小球运动的加速度大小；
【变式4-3】如图所示，光滑绝缘的正方形水平桌面边长为d＝0.48 m，离地高度h＝1.25 m．桌面上存在一水平向左的匀强电场(除此之外其余位置均无电场)，电场强度E＝1×104 N/C.在水平桌面上某一位置P处有一质量m＝0.01 kg，电荷量q＝1×10－6 C的带正电小球以初速度v0＝1 m/s向右运动．空气阻力忽略不计，重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)小球在桌面上运动时加速度的大小和方向？
(2)P处距右端桌面多远时，小球从开始运动到最终落地的水平距离最大？并求出该最大水平距离？
【题型5 库仑定律与功能关系】
【例5】如图所示，正电荷q1固定于半径为R的半圆光滑轨道的圆心处，将另一电荷量为q2、质量为m的带正电小球，从轨道的A处无初速度释放，求：
(1)小球运动到B点时的速度大小；
(2)小球在B点时对轨道的压力．
【变式5-1】如图所示，竖直平面内有一圆形光滑绝缘细管，细管截面半径远小于半径R，在中心处固定一电荷量为＋Q的点电荷．一质量为m、电荷量为＋q的带电小球在圆形绝缘细管中做圆周运动，当小球运动到最高点时恰好对细管无作用力，求当小球运动到最低点时对管壁的作用力是多大？
【变式5-2】光滑绝缘水平面上有两个带电小球A、B，相距为L，A球质量为m.A、B两球由静止开始释放，释放时，A、B的加速度分别为a和4a，经时间t，B的速度为v，加速度为a，则此时A的速度为______，加速度为______.此过程中电场力对A和B做的功为______
【变式5-3】如图所示，在绝缘的光滑水平面上，相隔一定距离有两个带同号电荷的小球，从静止同时释放，则两个小球的加速度和速度大小随时间变化的情况是（ ）
A．速度变大，加速度变大
B．速度变小，加速度变小
C．速度变大，加速度变小
D．速度变小，加速度变大
【题型6 库仑力的合成问题】
【例6】在边长为a的正方形的每一顶点都放置一个电荷量大小为q的点电荷，点电荷的正负如图所示．静电力常量为k.如果保持它们的位置不变，则A电荷受到其他三个电荷的静电力的合力大小是( )
A.eq \f(2kq2,a2)
B．(eq \r(2)－eq \f(1,2))eq \f(kq2,a2)
C．(eq \f(1,2)＋eq \r(2))eq \f(kq2,a2)
D.eq \f(3kq2,2a2)
【变式6-1】如图，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm.小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线．设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则( )
A．a、b的电荷同号，k＝eq \f(16,9)
B．a、b的电荷异号，k＝eq \f(16,9)
C．a、b的电荷同号，k＝eq \f(64,27)
D．a、b的电荷异号，k＝eq \f(64,27)
【变式6-2】如图所示，直角三角形中，。两个点电荷分别固定在A、C两点，某试探电荷在B点受到的电场力方向与垂直，取。则A、C两点处点电荷的电荷量之比为（ ）
A．3∶4B．5∶3C．16∶9D．25∶9
【变式6-3】如图，三个完全相同的金属小球a、b、c位于等边三角形的三个顶点上，其中a和c带正电，b带负电，a所带电荷量比b的少。已知c受到a和b的静电合力可用图中四条有向线段中的一条来表示，它应是（ ）
A．B．C．D．
【题型7 联系实际问题】
【例7】如图是库仑做实验用的库仑扭秤．带电小球A与不带电小球B等质量，带电金属小球C靠近A，两者之间的库仑力使横杆旋转，转动旋钮M，使小球A回到初始位置，此时A、C间的库仑力与旋钮旋转的角度成正比．现用一个电荷量是小球C的三倍、其他完全一样的小球D与C完全接触后分开，再次转动旋钮M使小球A回到初始位置，此时旋钮旋转的角度与第一次旋转的角度之比为( )
A．1 B.eq \f(1,2) C．2 D．4
【变式7-1】根据科学研究表明，地球是一个巨大的带电体，而且表面带有大量的负电荷。如果在距离地球表面高度为地球半径一半的位置由静止释放一个带负电的尘埃，恰好能悬浮在空中，若将其放在距离地球表面高度与地球半径相等的位置时，则此带电尘埃将( )
A．向地球表面下落 B．远离地球向太空运动
C．仍处于悬浮状态 D．无法判断
【变式7-2】如图所示，水平桌面上放置一电子秤。一绝缘支架放在电子秤上，上端固定一带电小球，稳定后电子秤示数为。现将另一固定于绝缘手柄一端的不带电小球与球充分接触后，再移至小球正上方处，待系统稳定后，电子秤示数为。把小球移走使其恢复到不带电的状态，然后再将小球与小球充分接触并重新移至球正上方处，电子秤示数为，若两小球完全相同，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．均小于
【变式7-3】下图所示的实验装置是演示两个点电荷之间的库仑力与它们带电量、距离关系的示意图。若将电荷量为、质量为10g的可视为质点的带负电小球B用绝缘细绳悬挂，放置在带电小球A右侧附近某位置平衡时，两球心在同一高度处且细绳与竖直方向的夹角为α=37°。已知sin37°=0.6，cs37°=0.8，g=10m/s2，求：
（1）此时B球所受的库仑力的大小；
（2）B球所在位置处的场强大小和方向。
【题型8 对库仑定律的理解】
【例8】（多选）关于库仑定律的公式，下列说法中正确的是()
A.当真空中两个电荷间距离r→∞时，它们间的静电力F→0
B.当真空中两个电荷间距离r→0时，它们间的静电力F→∞
C.当两个电荷间的距离r→∞时，库仑定律的公式就不适用了
D.当两个电荷间的距离r→0时，电荷不能看成是点电荷，库仑定律的公式就不适用了
【变式8-1】下列说法正确的是( )
A．库仑定律适用于任何电场的计算
B．置于均匀带电空心球球心处的点电荷所受静电力为零
C．当两个半径均为r、带电荷量均为Q的金属球中心相距为3r时，它们之间的静电力大小为eq \f(kQ2,9r2)
D．若点电荷Q1的电荷量小于Q2的电荷量，则Q1对Q2的静电力小于Q2对Q1的静电力
【变式8-2】下列说法正确的是( )
A．检验电荷一定是点电荷，而点电荷不一定是检验电荷
B．电子带电荷量为1.6×10－19 C，因此一个电子就是一个元电荷
C．富兰克林用油滴实验比较准确地测定了电子的电荷量
D．根据F＝keq \f(q1q2,r2)，当两个电荷的距离趋近于零时，静电力将趋向于无穷大
【变式8-3】光滑绝缘水平面上固定一半径为R、带正电的球体A(可认为电荷量全部在球心)，另一带正电的小球B以一定的初速度冲向球体A，用r表示两球心间的距离，F表示B小球受到的库仑斥力，在r＞R的区域内，下列描述F随r变化关系的图像中可能正确的是( )
专题1.2 库仑定律
【人教版】
TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc1161" 【题型1 库仑定律与电量分配】
\l "_Tc25206" 【题型2 库仑定律与静态平衡】
\l "_Tc9103" 【题型3 库仑定律与动态平衡】
\l "_Tc6522" 【题型4 库仑定律与牛顿定律】
\l "_Tc10925" 【题型5 库仑定律与功能关系】
\l "_Tc2094" 【题型6 库仑力的合成问题】
\l "_Tc22177" 【题型7 联系实际】
\l "_Tc24590" 【题型8 对库仑定律的理解】
【题型1 库仑定律与电量分配】
【例1】两个大小相同、可看成是点电荷的金属小球a和b，分别带有等量异种电荷，被固定在绝缘水平面上，这时两球间静电引力的大小为F.现用一个不带电、同样大小的绝缘金属小球C先与a球接触，再与b球接触后移去，则a、b两球间静电力大小变为()
A.B.C.D.
答案：D
【变式1-1】如图所示为某电子秤示意图。一绝缘支架放在电子秤上，上端固定一带电小球a，稳定后，电子秤示数为F。现将另一固定于绝缘手柄一端的不带电小球b与a球充分接触后，再移至小球a正上方L处，待系统稳定后，电子秤示数为F1；用手摸小球b使其再次不带电，后将该不带电小球b与a球再次充分接触并重新移至a球正上方L处，电子秤示数为F2。若两小球完全相同，则( )
A．F1＜F2
B．F1＝4F2
C．若小球a带负电，L增大，则F1增大
D．若小球a带正电，L减小，则F2增大
解析：选D 小球b与a球充分接触后b对a有个向下的库仑力，设为F′，则F′＝keq \f(\f(Q,2)×\f(Q,2),L2)＝keq \f(Q2,4L2)，示数为F1＝F＋F′，用手摸小球b使其再次不带电，后将该不带电小球b与a球再次充分接触并重新移至a球正上方L处，b对a向下的库仑力F″，F″＝keq \f(\f(Q,4)×\f(Q,4),L2)＝keq \f(Q2,16L2)，电子秤示数为F2＝F＋F″，因此F1＞F2，但F1≠4F2，A、B错误；若小球a带负电，L增大，根据库仑定律可知，F′减小，则F1减小，C错误；若小球a带正电，L减小，根据库仑定律可知，F″增大，则F2增大，D正确。
【变式1-2】三个相同的金属小球1、2、3分别置于绝缘支架上，各球之间的距离远大于小球的直径．球1的带电荷量为q，球2的带电荷量为nq，球3不带电且离球1和球2很远，此时球1、2之间作用力的大小为F.现使球3先与球2接触，再与球1接触，然后将球3移至远处，此进1、2之间作用力的大小仍为F，方向不变．因此可知( )
A．n＝3 B．n＝4
C．n＝5 D．n＝6
答案 D
解析 由于各球之间距离远大于小球的直径，小球带电时可视为点电荷．由库仑定律F＝keq \f(Q1Q2,r2)知两点电荷间距离不变时，相互间静电力大小与两球所带电荷量的乘积成正比．又由于三个小球相同，则两球接触时平分总电荷量，故有q×nq＝eq \f(nq,2)×eq \f(q＋\f(nq,2),2)，解得n＝6，D正确．
【变式1-3】（多选）两个半径相同的金属小球(视为点电荷)，带电荷量之比为1∶7，相距为r，两者相互接触后再放回原来的位置上，则相互作用力可能为原来的( )
A．eq \f(4,7) B．eq \f(3,7)
C．eq \f(9,7) D．eq \f(16,7)
答案：CD
【题型2 库仑定律与静态平衡】
【例2】如图所示，A、B、C为放置在光滑水平面上的三个带电小球(可视为点电荷)，其中B与C之间用长为L的绝缘轻质细杆相连，现把A、B、C按一定的位置摆放，可使三个小球都保持静止状态。已知B所带电荷量为－q，C所带电荷量为＋4q，则以下判断正确的是( )
A．A所带电荷量一定为＋4q
B．轻质细杆对两球有拉力
C．A与B之间的距离一定为L
D．若将A向右平移一小段距离后释放，A一定向左运动
解析：选C 设A与B之间的距离为x，A受力平衡，根据平衡条件有eq \f(kqAq,x2)＝eq \f(kqA·4q,L＋x2)，解得x＝L，qA不一定为＋4q，故A错误，C正确；对B受力分析，A、C对B的静电力的合力为F＝eq \f(kqAq,L2)－eq \f(k·4q·q,L2)，由于不知道A所带电荷量，故无法确定A、C对B的静电力的合力是否为零，故杆对小球可能是拉力、弹力或没有作用力，故B错误；A在原来的位置是平衡的，若将A向右平移一小段距离，B、C对A的静电力均增加，但B对A的静电力增加更快，由于A的电性不确定，故A被释放后可能向左运动，也可能向右运动，故D错误。
【变式2-1】如图，空间存在一方向水平向右的匀强电场，两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，则( )
A．P和Q都带正电荷
B．P和Q都带负电荷
C．P带正电荷，Q带负电荷
D．P带负电荷，Q带正电荷
解析：选D 细绳竖直，把P、Q看作整体，则整体在水平方向不受力，对外不显电性，带等量异种电荷，故A、B错误；如果P、Q带不同性质的电荷，受力如图所示，由图知，P带负电荷、Q带正电荷时符合题意，故C错误，D正确。
【变式2-2】如图所示，在倾角为α的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为k0的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接。A、B、C三小球的质量均为M，qA＝q0>0，qB＝－q0，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列。已知静电力常量为k，则( )
A．qC＝eq \f(4,7)q0
B．弹簧伸长量为eq \f(Mgsin α,k0)
C．A球受到的库仑力大小为2Mg
D．相邻两小球间距为q0 eq \r(\f(3k,7Mg))
解析：选A 设小球C带负电，相邻小球间距为L，则对小球C在沿斜面方向受力分析，如图甲所示：
根据库仑定律FBC＝keq \f(q0qC,L2)、FAC＝keq \f(q0qC,4L2)，显然小球C无法处于静止，因此小球C应该带正电。因此小球C平衡时，keq \f(q0qC,L2)＝keq \f(q0qC,4L2)＋Mgsin α ①，
则eq \f(3kq0qC,4L2)＝Mgsin α。对B球做受力分析，如图乙所示：
根据受力平衡关系keq \f(q02,L2)＝keq \f(q0qC,L2)＋Mgsin α ②，两式联立解得qC＝eq \f(4,7)q0，A正确。将C的电荷量代入①式，则L＝eq \r(\f(3kq02,7Mgsin α))，D错误。A球所受总的库仑力为FA＝keq \f(q02,L2)－keq \f(q0qC,4L2) ③，其中eq \f(3kq0qC,4L2)＝Mgsin α，可知eq \f(kq0qC,L2)＝eq \f(4,3)Mgsin α或者eq \f(kq02,L2)＝eq \f(7,3)Mgsin α，代入③式，则A球所受库仑力为FA＝2Mgsin α，方向沿斜面向下，C错误。对A球受力分析可知，F弹＝Mgsin α＋FA, 将上述结果代入得，F弹＝3Mgsin α，因此弹簧伸长量为Δx＝eq \f(3Mgsin α,k0)，B错误。
【变式2-3】如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q。现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在电场力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为( )
A．正，B的右边0.4 m处
B．正，B的左边0.2 m处
C．负，A的左边0.2 m处
D．负，A的右边0.2 m处
解析：选C 要使三个电荷均处于平衡状态，必须满足“两同夹异”“两大夹小”“近小远大”的原则，所以点电荷C应在A左侧，带负电。设在A左侧距A为x处，由于处于平衡状态，所以keq \f(Qq,x2)＝eq \f(k×9Q·q,0.4＋x2)，解得x＝0.2 m，C正确。
【题型3 库仑定律与动态平衡】
【例3】（多选）如图所示，A、B两球所带电荷量均为2×10－5 C，质量均为0.72 kg，其中A球带正电荷，B球带负电荷，A球通过绝缘细线吊在天花板上，B球固定在绝缘棒一端，现将B球放在某一位置，能使绝缘细线伸直，A球静止且与竖直方向的夹角为30°，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，则B球距离A球的距离可能为( )
A．0.5 m B．0.8 m
C．1.2 m D．2.5 m
答案：AB
【变式3-1】一带电荷量为＋Q的小球A固定在绝缘底座上，在它左侧还有一个用绝缘丝线悬挂的带电荷量为＋q的小球B，它们处于同一高度静止，如图所示，两球均视为点电荷，下列说法中正确的是( )
A．若小球A向左平移一段微小距离，则稳定后丝线与竖直方向的夹角减小
B．小球A对小球B的库仑力大小等于小球B对小球A的库仑力大小
C．若增加小球A的带电荷量，则稳定后丝线与竖直方向夹角不变
D．若使小球A带电荷量变为－Q，则稳定后丝线与竖直方向夹角不变
答案 B
解析 根据共点力平衡得，小球B受到的库仑力F＝keq \f(Qq,r2)＝mgtan θ，若小球A向左平移一小段距离，r减小，小球B受到A的库仑力F增大，丝线与竖直方向夹角θ增大，A错误；根据牛顿第三定律，小球A对小球B的库仑力与小球B对小球A的库仑力是一对作用力和反作用力，大小总是相等的，B正确；若增加A球带电荷量，根据共点力平衡得，小球B受到的库仑力F＝keq \f(Qq,r2)＝mgtan θ，小球B受到A的库仑力F增大，则丝线与竖直方向夹角增大，C错误；若使A球带电荷量变为－Q，则小球B受到向右的库仑引力，向右偏，与A球的距离减小，库仑力将增大，则丝线与竖直方向夹角将增大，D错误．
【变式3-2】（多选）用细绳拴一个质量为m、带正电的小球B，另一也带正电小球A固定在绝缘竖直墙上，A、B两球与地面的高度均为h，小球B在重力、拉力和库仑力的作用下静止不动，如图所示。现将细绳剪断后( )
A．小球B在细绳剪断瞬间起开始做平抛运动
B．小球B在细绳剪断瞬间加速度大于g
C．小球B落地的时间小于eq \r(\f(2h,g))
D．小球B落地的速度大于eq \r(2gh)
答案：BCD
【变式3-3】（多选）如图所示,带电小球A、B的电荷量分别为QA、QB,A、B均用长为L的丝线悬挂在O点。静止时A、B相距为d。为使平衡时A、B间距离减为d2,可采用的方法是( )。
A.将小球A、B的质量都增大到原来的2倍
B.将小球B的质量增大到原来的8倍
C.将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半
D.将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半,同时将小球B的质量增大到原来的2倍
答案：BD
【题型4 库仑定律与牛顿定律】
【例4】如图所示，质量为m的小球A穿在绝缘细杆上，杆的倾角为α，小球A带正电，电荷量为q。在杆上B点处固定一个电荷量为Q的正电荷。将A由距B竖直高度为H处无初速度释放，小球A下滑过程中电荷量不变。不计A与细杆间的摩擦，整个装置处在真空中，已知静电力常量k和重力加速度g。求：
(1)A球刚释放时的加速度大小。
(2)当A球的动能最大时，A球与B点的距离。
解析：(1)由牛顿第二定律可知mgsin α－F＝ma
根据库仑定律有F＝keq \f(qQ,r2)
又知r＝eq \f(H,sin α)，得a＝gsin α－eq \f(kQqsin2α,mH2)。
(2)当A球受到合力为零，即加速度为零时，动能最大。
设此时A球与B点间的距离为d，则mgsin α＝eq \f(kQq,d2)
解得d＝ eq \r(\f(kQq,mgsin α))。
答案：(1)gsin α－eq \f(kQqsin2α,mH2) (2) eq \r(\f(kQq,mgsin α))
【变式4-1】如图把一个带电小球A固定在光滑的绝缘水平桌面上，在桌面的另一处放置带电小球B，现给小球B一个垂直A、B连线方向的速度v0，使其在水平桌面上运动，则下列说法中正确的是（ ）
A．若A、B带同种电荷，B球可能做速度减小的曲线运动
B．若A、B带同种电荷，B球一定做加速度增大的曲线运动
C．若A、B带异种电荷，B球一定做类平抛运动
D．若A、B带异种电荷，B球可能以A为圆心做匀速圆周运动
答案：D
解析：AB、若A、B带同种电荷，则A对B有斥力作用，且斥力方向和速度方向夹角越来越小，速度增大，AB间距离越来越大，静电力越来越小，则加速度越来越小，故AB错误；
CD、若AB带异种电荷，B受到的静电力指向A，力的大小或方向肯定有一个发生变化，不可能做类平抛运动，当静电力可能等于B做匀速圆周运动需要的向心力，则B球可能做匀速圆周运动，故C错误，D正确；
故选：D。
【变式4-2】如图所示，在一足够大的空间内存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E＝3.0×104 N/C。有一个质量m＝4.0×10－3 kg的带电小球，用绝缘轻细线悬挂起来，静止时细线偏离竖直方向的夹角θ＝37°。取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.60，cs 37°＝0.80，不计空气阻力的作用。
(1)求小球所带的电荷量及电性；
(2)如果将细线轻轻剪断，求细线剪断后，小球运动的加速度大小；
[思路点拨]
(1)先画出小球静止时的受力示意图。
(2)在细线剪断后小球做匀加速直线运动。
[解析] (1)小球受到重力mg、电场力F和细线的拉力T的作用，
如图所示，由共点力平衡条件有：
、
F＝qE＝mgtan θ
解得：q＝eq \f(mgtan θ,E)＝1.0×10－6 C
电场力的方向与电场强度的方向相同，故小球所带电荷为正电荷。
(2)剪断细线后，小球做匀加速直线运动，设其加速度为a，由牛顿第二定律有：eq \f(mg,cs θ)＝ma
解得：a＝eq \f(g,cs θ)＝12.5 m/s2。
【变式4-3】如图所示，光滑绝缘的正方形水平桌面边长为d＝0.48 m，离地高度h＝1.25 m．桌面上存在一水平向左的匀强电场(除此之外其余位置均无电场)，电场强度E＝1×104 N/C.在水平桌面上某一位置P处有一质量m＝0.01 kg，电荷量q＝1×10－6 C的带正电小球以初速度v0＝1 m/s向右运动．空气阻力忽略不计，重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)小球在桌面上运动时加速度的大小和方向？
(2)P处距右端桌面多远时，小球从开始运动到最终落地的水平距离最大？并求出该最大水平距离？
答案 (1)1.0 m/s2 方向水平向左 (2)eq \f(3,8) m eq \f(5,8) m
解析 (1)对小球受力分析，受到重力、支持力和电场力，重力和支持力平衡，根据牛顿第二定律，有：a＝eq \f(F,m)＝eq \f(qE,m)＝eq \f(10－6×104,0.01) m/s2＝1.0 m/s2，方向水平向左．
(2)设球到桌面右边的距离为x1，球离开桌面后做平抛运动的水平距离为x2，则：x总＝x1＋x2
由：v2－v02＝2ax1；代入，解得：v＝eq \r(1－2x1)
设平抛运动的时间为t，根据平抛运动的分位移公式，有：h＝eq \f(1,2)gt2，代入得：t＝0.5 s.
水平方向，有x2＝vt＝0.5eq \r(1－2x1)，故
x总＝x1＋0.5eq \r(1－2x1)
令：y＝eq \r(1－2x1)；则：x总＝eq \f(1－y2＋y,2)
故y＝eq \f(1,2)，即：x1＝eq \f(3,8)时，水平距离最大，最大值为
xmax＝eq \f(5,8) m
【题型5 库仑定律与功能关系】
【例5】如图所示，正电荷q1固定于半径为R的半圆光滑轨道的圆心处，将另一电荷量为q2、质量为m的带正电小球，从轨道的A处无初速度释放，求：
(1)小球运动到B点时的速度大小；
(2)小球在B点时对轨道的压力．
答案 (1)eq \r(2gR) (2)3mg＋keq \f(q1q2,R2)，方向竖直向下
解析 (1)带电小球q2在半圆光滑轨道上运动时，库仑力不做功，故机械能守恒，则mgR＝eq \f(1,2)mveq \\al( 2,B)
解得vB＝eq \r(2gR).
(2)小球到达B点时，受到重力mg、库仑力F和支持力FN，由圆周运动和牛顿第二定律得FN－mg－keq \f(q1q2,R2)＝meq \f(v\\al( 2,B),R)
解得FN＝3mg＋keq \f(q1q2,R2)
根据牛顿第三定律，小球在B点时对轨道的压力为
FN′＝FN＝3mg＋keq \f(q1q2,R2)
方向竖直向下．
【变式5-1】如图所示，竖直平面内有一圆形光滑绝缘细管，细管截面半径远小于半径R，在中心处固定一电荷量为＋Q的点电荷．一质量为m、电荷量为＋q的带电小球在圆形绝缘细管中做圆周运动，当小球运动到最高点时恰好对细管无作用力，求当小球运动到最低点时对管壁的作用力是多大？
答案 6mg
解析 设小球在最高点时的速度为v1，根据牛顿第二定律
mg－eq \f(kQq,R2)＝meq \f(v\\al(2,1),R)①
设小球在最低点时的速度为v2，管壁对小球的作用力为F，根据牛顿第二定律有F－mg－eq \f(kQq,R2)＝meq \f(v\\al(2,2),R)②
小球从最高点运动到最低点的过程中只有重力做功，故机械能守恒，则eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)＋mg·2R＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)③
由①②③式得F＝6mg
由牛顿第三定律得小球对管壁的作用力F′＝6mg.
【变式5-2】光滑绝缘水平面上有两个带电小球A、B，相距为L，A球质量为m.A、B两球由静止开始释放，释放时，A、B的加速度分别为a和4a，经时间t，B的速度为v，加速度为a，则此时A的速度为______，加速度为______.此过程中电场力对A和B做的功为______
答案:
【变式5-3】如图所示，在绝缘的光滑水平面上，相隔一定距离有两个带同号电荷的小球，从静止同时释放，则两个小球的加速度和速度大小随时间变化的情况是（ ）
A．速度变大，加速度变大
B．速度变小，加速度变小
C．速度变大，加速度变小
D．速度变小，加速度变大
答案：C
解析：由于同种电荷间存在相互作用的排斥力，两球将相互远离，距离增大，根据库仑定律得知，相互作用力减小。由牛顿第二定律得知它们的加速度变小，随着两球间距离增大，电场力做正功，电势能减少，总动能增加。所以速度增加，故速度变大，加速度变小。
故选C。
【题型6 库仑力的合成问题】
【例6】在边长为a的正方形的每一顶点都放置一个电荷量大小为q的点电荷，点电荷的正负如图所示．静电力常量为k.如果保持它们的位置不变，则A电荷受到其他三个电荷的静电力的合力大小是( )
A.eq \f(2kq2,a2)
B．(eq \r(2)－eq \f(1,2))eq \f(kq2,a2)
C．(eq \f(1,2)＋eq \r(2))eq \f(kq2,a2)
D.eq \f(3kq2,2a2)
答案 D
解析 电荷D对电荷A的静电力大小为F1＝keq \f(q2,\r(2)a2)，B电荷和C电荷对电荷A的静电力大小均为F2＝F3＝keq \f(q2,a2)，根据力的合成法则，A电荷所受的静电力大小为F＝eq \r(F12＋\r(2)F22)＝eq \r([\f(kq2,\r(2)a2)]2＋[\f(\r(2)kq2,a2)]2)＝eq \f(3kq2,2a2)，故选D.
【变式6-1】如图，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm.小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线．设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则( )
A．a、b的电荷同号，k＝eq \f(16,9)
B．a、b的电荷异号，k＝eq \f(16,9)
C．a、b的电荷同号，k＝eq \f(64,27)
D．a、b的电荷异号，k＝eq \f(64,27)
答案 D
解析 由小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线，知a、b带异号电荷．a对c的库仑力Fa＝eq \f(k静qaqc,ac2)①
b对c的库仑力Fb＝eq \f(k静qbqc,bc2)②
设合力向左，如图所示，根据相似三角形得eq \f(Fa,ac)＝eq \f(Fb,bc)③
由①②③得k＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(qa,qb)))＝eq \f(ac3,bc3)＝eq \f(64,27)，若合力向右，结果仍成立，D正确．
【变式6-2】如图所示，直角三角形中，。两个点电荷分别固定在A、C两点，某试探电荷在B点受到的电场力方向与垂直，取。则A、C两点处点电荷的电荷量之比为（ ）
A．3∶4B．5∶3C．16∶9D．25∶9
答案：B
【变式6-3】如图，三个完全相同的金属小球a、b、c位于等边三角形的三个顶点上，其中a和c带正电，b带负电，a所带电荷量比b的少。已知c受到a和b的静电合力可用图中四条有向线段中的一条来表示，它应是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
解析：由题意，根据库仑定律可知a对c的静电力（沿a→c方向）小于b对c的静电力（沿c→b方向），根据力的合成与分解规律可知c受到a和b的静电合力可以用F2来表示。
故选B。
【题型7 联系实际问题】
【例7】如图是库仑做实验用的库仑扭秤．带电小球A与不带电小球B等质量，带电金属小球C靠近A，两者之间的库仑力使横杆旋转，转动旋钮M，使小球A回到初始位置，此时A、C间的库仑力与旋钮旋转的角度成正比．现用一个电荷量是小球C的三倍、其他完全一样的小球D与C完全接触后分开，再次转动旋钮M使小球A回到初始位置，此时旋钮旋转的角度与第一次旋转的角度之比为( )
A．1 B.eq \f(1,2) C．2 D．4
答案 C
解析 设A带电荷量为qA，C球带电荷量为qC，库仑力与旋钮旋转的角度成正比，则有θ＝k1F，依题意有θ1＝k1F1＝k1eq \f(kqAqC,r2)，由题可知D球带电荷量为qD＝3qC，接触后分开，电荷量将均分，有qC′＝eq \f(3qC＋qC,2)＝2qC，依题意有θ2＝k1F2＝k1eq \f(kqC′qA,r2)＝2k1eq \f(kqAqC,r2)，联立可得eq \f(θ2,θ1)＝2.
【变式7-1】根据科学研究表明，地球是一个巨大的带电体，而且表面带有大量的负电荷。如果在距离地球表面高度为地球半径一半的位置由静止释放一个带负电的尘埃，恰好能悬浮在空中，若将其放在距离地球表面高度与地球半径相等的位置时，则此带电尘埃将( )
A．向地球表面下落 B．远离地球向太空运动
C．仍处于悬浮状态 D．无法判断
答案：C
【变式7-2】如图所示，水平桌面上放置一电子秤。一绝缘支架放在电子秤上，上端固定一带电小球，稳定后电子秤示数为。现将另一固定于绝缘手柄一端的不带电小球与球充分接触后，再移至小球正上方处，待系统稳定后，电子秤示数为。把小球移走使其恢复到不带电的状态，然后再将小球与小球充分接触并重新移至球正上方处，电子秤示数为，若两小球完全相同，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．均小于
【答案】 B
【解析】设小球a的电荷量为Q，小球b与小球a充分接触后，两小球带同种电荷，电荷量分别为，再移至小球正上方处，故b对a有向下的库仑力，设为，则有
此时电子秤的示数为
使小球b再次不带电，后将该不带电的小球b与a球再次充分接触后，两小球带同种电荷，电荷量分别为，重新移至a球正上方L处，故b对a有向下的库仑力，设为，则有
此时电子秤的示数为
因为
故
故选B。
【变式7-3】下图所示的实验装置是演示两个点电荷之间的库仑力与它们带电量、距离关系的示意图。若将电荷量为、质量为10g的可视为质点的带负电小球B用绝缘细绳悬挂，放置在带电小球A右侧附近某位置平衡时，两球心在同一高度处且细绳与竖直方向的夹角为α=37°。已知sin37°=0.6，cs37°=0.8，g=10m/s2，求：
（1）此时B球所受的库仑力的大小；
（2）B球所在位置处的场强大小和方向。
【答案】（1）；（2），方向水平向左
【解析】（1）对B球受力分析，根据共点力平衡条件，结合几何关系得到
代入数据解得
（2）根据场强定义式，有
代入数据解得
场强方向与负试探电荷受力方向相反，故场强方向水平向左
【题型8 对库仑定律的理解】
【例8】（多选）关于库仑定律的公式，下列说法中正确的是()
A.当真空中两个电荷间距离r→∞时，它们间的静电力F→0
B.当真空中两个电荷间距离r→0时，它们间的静电力F→∞
C.当两个电荷间的距离r→∞时，库仑定律的公式就不适用了
D.当两个电荷间的距离r→0时，电荷不能看成是点电荷，库仑定律的公式就不适用了
答案：AD
【变式8-1】下列说法正确的是( )
A．库仑定律适用于任何电场的计算
B．置于均匀带电空心球球心处的点电荷所受静电力为零
C．当两个半径均为r、带电荷量均为Q的金属球中心相距为3r时，它们之间的静电力大小为eq \f(kQ2,9r2)
D．若点电荷Q1的电荷量小于Q2的电荷量，则Q1对Q2的静电力小于Q2对Q1的静电力
解析：选B 库仑定律的适用范围是真空中两个点电荷间的相互作用，故A错误；带电空心金属球的电荷均匀分布在金属球的外表面，球内各点的电场强度均为零，所以置于带电空心球球心处的点电荷所受静电力为零，故B正确；当两个半径均为r、带电荷量均为Q的金属球中心相距为3r时，两者不能看作点电荷，库仑定律不再适用，故C错误；两点电荷间的静电力是相互作用力，大小相等，方向相反，故D错误。
【变式8-2】下列说法正确的是( )
A．检验电荷一定是点电荷，而点电荷不一定是检验电荷
B．电子带电荷量为1.6×10－19 C，因此一个电子就是一个元电荷
C．富兰克林用油滴实验比较准确地测定了电子的电荷量
D．根据F＝keq \f(q1q2,r2)，当两个电荷的距离趋近于零时，静电力将趋向于无穷大
解析：选A 点电荷是将带电物体简化为一个带电的点，检验电荷的体积和电荷量要足够小，故A正确；元电荷是一个数值，而电子是一个实物，故B错误；密立根用油滴实验比较准确地测定了电子的电荷量，故C错误；公式F＝keq \f(q1q2,r2)适用于真空中的静止的点电荷，当两个点电荷距离趋于0时，两带电体已不能看成点电荷了，库仑定律不适用，故电场力并不是趋于无穷大，故D错误。
【变式8-3】光滑绝缘水平面上固定一半径为R、带正电的球体A(可认为电荷量全部在球心)，另一带正电的小球B以一定的初速度冲向球体A，用r表示两球心间的距离，F表示B小球受到的库仑斥力，在r＞R的区域内，下列描述F随r变化关系的图像中可能正确的是( )
答案 C
解析 根据库仑定律可知，两球之间的库仑力满足F＝keq \f(qAqB,r2)，即随r增加，F非线性减小．故选C.
TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc1161" 【题型1 库仑定律与电量分配】
\l "_Tc25206" 【题型2 库仑定律与静态平衡】
\l "_Tc9103" 【题型3 库仑定律与动态平衡】
\l "_Tc6522" 【题型4 库仑定律与牛顿定律】
\l "_Tc10925" 【题型5 库仑定律与功能关系】
\l "_Tc2094" 【题型6 库仑力的合成问题】
\l "_Tc22177" 【题型7 联系实际】
\l "_Tc24590" 【题型8 对库仑定律的理解】
【题型1 库仑定律与电量分配】
【例1】两个大小相同、可看成是点电荷的金属小球a和b，分别带有等量异种电荷，被固定在绝缘水平面上，这时两球间静电引力的大小为F.现用一个不带电、同样大小的绝缘金属小球C先与a球接触，再与b球接触后移去，则a、b两球间静电力大小变为()
A.B.C.D.
【变式1-1】如图所示为某电子秤示意图。一绝缘支架放在电子秤上，上端固定一带电小球a，稳定后，电子秤示数为F。现将另一固定于绝缘手柄一端的不带电小球b与a球充分接触后，再移至小球a正上方L处，待系统稳定后，电子秤示数为F1；用手摸小球b使其再次不带电，后将该不带电小球b与a球再次充分接触并重新移至a球正上方L处，电子秤示数为F2。若两小球完全相同，则( )
A．F1＜F2
B．F1＝4F2
C．若小球a带负电，L增大，则F1增大
D．若小球a带正电，L减小，则F2增大
【变式1-2】三个相同的金属小球1、2、3分别置于绝缘支架上，各球之间的距离远大于小球的直径．球1的带电荷量为q，球2的带电荷量为nq，球3不带电且离球1和球2很远，此时球1、2之间作用力的大小为F.现使球3先与球2接触，再与球1接触，然后将球3移至远处，此进1、2之间作用力的大小仍为F，方向不变．因此可知( )
A．n＝3 B．n＝4
C．n＝5 D．n＝6
【变式1-3】（多选）两个半径相同的金属小球(视为点电荷)，带电荷量之比为1∶7，相距为r，两者相互接触后再放回原来的位置上，则相互作用力可能为原来的( )
A．eq \f(4,7) B．eq \f(3,7)
C．eq \f(9,7) D．eq \f(16,7)
【题型2 库仑定律与静态平衡】
【例2】如图所示，A、B、C为放置在光滑水平面上的三个带电小球(可视为点电荷)，其中B与C之间用长为L的绝缘轻质细杆相连，现把A、B、C按一定的位置摆放，可使三个小球都保持静止状态。已知B所带电荷量为－q，C所带电荷量为＋4q，则以下判断正确的是( )
A．A所带电荷量一定为＋4q
B．轻质细杆对两球有拉力
C．A与B之间的距离一定为L
D．若将A向右平移一小段距离后释放，A一定向左运动
【变式2-1】如图，空间存在一方向水平向右的匀强电场，两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，则( )
A．P和Q都带正电荷
B．P和Q都带负电荷
C．P带正电荷，Q带负电荷
D．P带负电荷，Q带正电荷
【变式2-2】如图所示，在倾角为α的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为k0的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接。A、B、C三小球的质量均为M，qA＝q0>0，qB＝－q0，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列。已知静电力常量为k，则( )
A．qC＝eq \f(4,7)q0
B．弹簧伸长量为eq \f(Mgsin α,k0)
C．A球受到的库仑力大小为2Mg
D．相邻两小球间距为q0 eq \r(\f(3k,7Mg))
【变式2-3】如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q。现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在电场力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为( )
A．正，B的右边0.4 m处
B．正，B的左边0.2 m处
C．负，A的左边0.2 m处
D．负，A的右边0.2 m处
【题型3 库仑定律与动态平衡】
【例3】（多选）如图所示，A、B两球所带电荷量均为2×10－5 C，质量均为0.72 kg，其中A球带正电荷，B球带负电荷，A球通过绝缘细线吊在天花板上，B球固定在绝缘棒一端，现将B球放在某一位置，能使绝缘细线伸直，A球静止且与竖直方向的夹角为30°，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，则B球距离A球的距离可能为( )
A．0.5 m B．0.8 m
C．1.2 m D．2.5 m
【变式3-1】一带电荷量为＋Q的小球A固定在绝缘底座上，在它左侧还有一个用绝缘丝线悬挂的带电荷量为＋q的小球B，它们处于同一高度静止，如图所示，两球均视为点电荷，下列说法中正确的是( )
A．若小球A向左平移一段微小距离，则稳定后丝线与竖直方向的夹角减小
B．小球A对小球B的库仑力大小等于小球B对小球A的库仑力大小
C．若增加小球A的带电荷量，则稳定后丝线与竖直方向夹角不变
D．若使小球A带电荷量变为－Q，则稳定后丝线与竖直方向夹角不变
【变式3-2】（多选）用细绳拴一个质量为m、带正电的小球B，另一也带正电小球A固定在绝缘竖直墙上，A、B两球与地面的高度均为h，小球B在重力、拉力和库仑力的作用下静止不动，如图所示。现将细绳剪断后( )
A．小球B在细绳剪断瞬间起开始做平抛运动
B．小球B在细绳剪断瞬间加速度大于g
C．小球B落地的时间小于eq \r(\f(2h,g))
D．小球B落地的速度大于eq \r(2gh)
【变式3-3】（多选）如图所示,带电小球A、B的电荷量分别为QA、QB,A、B均用长为L的丝线悬挂在O点。静止时A、B相距为d。为使平衡时A、B间距离减为d2,可采用的方法是( )。
A.将小球A、B的质量都增大到原来的2倍
B.将小球B的质量增大到原来的8倍
C.将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半
D.将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半,同时将小球B的质量增大到原来的2倍
【题型4 库仑定律与牛顿定律】
【例4】如图所示，质量为m的小球A穿在绝缘细杆上，杆的倾角为α，小球A带正电，电荷量为q。在杆上B点处固定一个电荷量为Q的正电荷。将A由距B竖直高度为H处无初速度释放，小球A下滑过程中电荷量不变。不计A与细杆间的摩擦，整个装置处在真空中，已知静电力常量k和重力加速度g。求：
(1)A球刚释放时的加速度大小。
(2)当A球的动能最大时，A球与B点的距离。
【变式4-1】如图把一个带电小球A固定在光滑的绝缘水平桌面上，在桌面的另一处放置带电小球B，现给小球B一个垂直A、B连线方向的速度v0，使其在水平桌面上运动，则下列说法中正确的是（ ）
A．若A、B带同种电荷，B球可能做速度减小的曲线运动
B．若A、B带同种电荷，B球一定做加速度增大的曲线运动
C．若A、B带异种电荷，B球一定做类平抛运动
D．若A、B带异种电荷，B球可能以A为圆心做匀速圆周运动
【变式4-2】如图所示，在一足够大的空间内存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E＝3.0×104 N/C。有一个质量m＝4.0×10－3 kg的带电小球，用绝缘轻细线悬挂起来，静止时细线偏离竖直方向的夹角θ＝37°。取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.60，cs 37°＝0.80，不计空气阻力的作用。
(1)求小球所带的电荷量及电性；
(2)如果将细线轻轻剪断，求细线剪断后，小球运动的加速度大小；
【变式4-3】如图所示，光滑绝缘的正方形水平桌面边长为d＝0.48 m，离地高度h＝1.25 m．桌面上存在一水平向左的匀强电场(除此之外其余位置均无电场)，电场强度E＝1×104 N/C.在水平桌面上某一位置P处有一质量m＝0.01 kg，电荷量q＝1×10－6 C的带正电小球以初速度v0＝1 m/s向右运动．空气阻力忽略不计，重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)小球在桌面上运动时加速度的大小和方向？
(2)P处距右端桌面多远时，小球从开始运动到最终落地的水平距离最大？并求出该最大水平距离？
【题型5 库仑定律与功能关系】
【例5】如图所示，正电荷q1固定于半径为R的半圆光滑轨道的圆心处，将另一电荷量为q2、质量为m的带正电小球，从轨道的A处无初速度释放，求：
(1)小球运动到B点时的速度大小；
(2)小球在B点时对轨道的压力．
【变式5-1】如图所示，竖直平面内有一圆形光滑绝缘细管，细管截面半径远小于半径R，在中心处固定一电荷量为＋Q的点电荷．一质量为m、电荷量为＋q的带电小球在圆形绝缘细管中做圆周运动，当小球运动到最高点时恰好对细管无作用力，求当小球运动到最低点时对管壁的作用力是多大？
【变式5-2】光滑绝缘水平面上有两个带电小球A、B，相距为L，A球质量为m.A、B两球由静止开始释放，释放时，A、B的加速度分别为a和4a，经时间t，B的速度为v，加速度为a，则此时A的速度为______，加速度为______.此过程中电场力对A和B做的功为______
【变式5-3】如图所示，在绝缘的光滑水平面上，相隔一定距离有两个带同号电荷的小球，从静止同时释放，则两个小球的加速度和速度大小随时间变化的情况是（ ）
A．速度变大，加速度变大
B．速度变小，加速度变小
C．速度变大，加速度变小
D．速度变小，加速度变大
【题型6 库仑力的合成问题】
【例6】在边长为a的正方形的每一顶点都放置一个电荷量大小为q的点电荷，点电荷的正负如图所示．静电力常量为k.如果保持它们的位置不变，则A电荷受到其他三个电荷的静电力的合力大小是( )
A.eq \f(2kq2,a2)
B．(eq \r(2)－eq \f(1,2))eq \f(kq2,a2)
C．(eq \f(1,2)＋eq \r(2))eq \f(kq2,a2)
D.eq \f(3kq2,2a2)
【变式6-1】如图，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm.小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线．设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则( )
A．a、b的电荷同号，k＝eq \f(16,9)
B．a、b的电荷异号，k＝eq \f(16,9)
C．a、b的电荷同号，k＝eq \f(64,27)
D．a、b的电荷异号，k＝eq \f(64,27)
【变式6-2】如图所示，直角三角形中，。两个点电荷分别固定在A、C两点，某试探电荷在B点受到的电场力方向与垂直，取。则A、C两点处点电荷的电荷量之比为（ ）
A．3∶4B．5∶3C．16∶9D．25∶9
【变式6-3】如图，三个完全相同的金属小球a、b、c位于等边三角形的三个顶点上，其中a和c带正电，b带负电，a所带电荷量比b的少。已知c受到a和b的静电合力可用图中四条有向线段中的一条来表示，它应是（ ）
A．B．C．D．
【题型7 联系实际问题】
【例7】如图是库仑做实验用的库仑扭秤．带电小球A与不带电小球B等质量，带电金属小球C靠近A，两者之间的库仑力使横杆旋转，转动旋钮M，使小球A回到初始位置，此时A、C间的库仑力与旋钮旋转的角度成正比．现用一个电荷量是小球C的三倍、其他完全一样的小球D与C完全接触后分开，再次转动旋钮M使小球A回到初始位置，此时旋钮旋转的角度与第一次旋转的角度之比为( )
A．1 B.eq \f(1,2) C．2 D．4
【变式7-1】根据科学研究表明，地球是一个巨大的带电体，而且表面带有大量的负电荷。如果在距离地球表面高度为地球半径一半的位置由静止释放一个带负电的尘埃，恰好能悬浮在空中，若将其放在距离地球表面高度与地球半径相等的位置时，则此带电尘埃将( )
A．向地球表面下落 B．远离地球向太空运动
C．仍处于悬浮状态 D．无法判断
【变式7-2】如图所示，水平桌面上放置一电子秤。一绝缘支架放在电子秤上，上端固定一带电小球，稳定后电子秤示数为。现将另一固定于绝缘手柄一端的不带电小球与球充分接触后，再移至小球正上方处，待系统稳定后，电子秤示数为。把小球移走使其恢复到不带电的状态，然后再将小球与小球充分接触并重新移至球正上方处，电子秤示数为，若两小球完全相同，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．均小于
【变式7-3】下图所示的实验装置是演示两个点电荷之间的库仑力与它们带电量、距离关系的示意图。若将电荷量为、质量为10g的可视为质点的带负电小球B用绝缘细绳悬挂，放置在带电小球A右侧附近某位置平衡时，两球心在同一高度处且细绳与竖直方向的夹角为α=37°。已知sin37°=0.6，cs37°=0.8，g=10m/s2，求：
（1）此时B球所受的库仑力的大小；
（2）B球所在位置处的场强大小和方向。
【题型8 对库仑定律的理解】
【例8】（多选）关于库仑定律的公式，下列说法中正确的是()
A.当真空中两个电荷间距离r→∞时，它们间的静电力F→0
B.当真空中两个电荷间距离r→0时，它们间的静电力F→∞
C.当两个电荷间的距离r→∞时，库仑定律的公式就不适用了
D.当两个电荷间的距离r→0时，电荷不能看成是点电荷，库仑定律的公式就不适用了
【变式8-1】下列说法正确的是( )
A．库仑定律适用于任何电场的计算
B．置于均匀带电空心球球心处的点电荷所受静电力为零
C．当两个半径均为r、带电荷量均为Q的金属球中心相距为3r时，它们之间的静电力大小为eq \f(kQ2,9r2)
D．若点电荷Q1的电荷量小于Q2的电荷量，则Q1对Q2的静电力小于Q2对Q1的静电力
【变式8-2】下列说法正确的是( )
A．检验电荷一定是点电荷，而点电荷不一定是检验电荷
B．电子带电荷量为1.6×10－19 C，因此一个电子就是一个元电荷
C．富兰克林用油滴实验比较准确地测定了电子的电荷量
D．根据F＝keq \f(q1q2,r2)，当两个电荷的距离趋近于零时，静电力将趋向于无穷大
【变式8-3】光滑绝缘水平面上固定一半径为R、带正电的球体A(可认为电荷量全部在球心)，另一带正电的小球B以一定的初速度冲向球体A，用r表示两球心间的距离，F表示B小球受到的库仑斥力，在r＞R的区域内，下列描述F随r变化关系的图像中可能正确的是( )
专题1.2 库仑定律
【人教版】
TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc1161" 【题型1 库仑定律与电量分配】
\l "_Tc25206" 【题型2 库仑定律与静态平衡】
\l "_Tc9103" 【题型3 库仑定律与动态平衡】
\l "_Tc6522" 【题型4 库仑定律与牛顿定律】
\l "_Tc10925" 【题型5 库仑定律与功能关系】
\l "_Tc2094" 【题型6 库仑力的合成问题】
\l "_Tc22177" 【题型7 联系实际】
\l "_Tc24590" 【题型8 对库仑定律的理解】
【题型1 库仑定律与电量分配】
【例1】两个大小相同、可看成是点电荷的金属小球a和b，分别带有等量异种电荷，被固定在绝缘水平面上，这时两球间静电引力的大小为F.现用一个不带电、同样大小的绝缘金属小球C先与a球接触，再与b球接触后移去，则a、b两球间静电力大小变为()
A.B.C.D.
答案：D
【变式1-1】如图所示为某电子秤示意图。一绝缘支架放在电子秤上，上端固定一带电小球a，稳定后，电子秤示数为F。现将另一固定于绝缘手柄一端的不带电小球b与a球充分接触后，再移至小球a正上方L处，待系统稳定后，电子秤示数为F1；用手摸小球b使其再次不带电，后将该不带电小球b与a球再次充分接触并重新移至a球正上方L处，电子秤示数为F2。若两小球完全相同，则( )
A．F1＜F2
B．F1＝4F2
C．若小球a带负电，L增大，则F1增大
D．若小球a带正电，L减小，则F2增大
解析：选D 小球b与a球充分接触后b对a有个向下的库仑力，设为F′，则F′＝keq \f(\f(Q,2)×\f(Q,2),L2)＝keq \f(Q2,4L2)，示数为F1＝F＋F′，用手摸小球b使其再次不带电，后将该不带电小球b与a球再次充分接触并重新移至a球正上方L处，b对a向下的库仑力F″，F″＝keq \f(\f(Q,4)×\f(Q,4),L2)＝keq \f(Q2,16L2)，电子秤示数为F2＝F＋F″，因此F1＞F2，但F1≠4F2，A、B错误；若小球a带负电，L增大，根据库仑定律可知，F′减小，则F1减小，C错误；若小球a带正电，L减小，根据库仑定律可知，F″增大，则F2增大，D正确。
【变式1-2】三个相同的金属小球1、2、3分别置于绝缘支架上，各球之间的距离远大于小球的直径．球1的带电荷量为q，球2的带电荷量为nq，球3不带电且离球1和球2很远，此时球1、2之间作用力的大小为F.现使球3先与球2接触，再与球1接触，然后将球3移至远处，此进1、2之间作用力的大小仍为F，方向不变．因此可知( )
A．n＝3 B．n＝4
C．n＝5 D．n＝6
答案 D
解析 由于各球之间距离远大于小球的直径，小球带电时可视为点电荷．由库仑定律F＝keq \f(Q1Q2,r2)知两点电荷间距离不变时，相互间静电力大小与两球所带电荷量的乘积成正比．又由于三个小球相同，则两球接触时平分总电荷量，故有q×nq＝eq \f(nq,2)×eq \f(q＋\f(nq,2),2)，解得n＝6，D正确．
【变式1-3】（多选）两个半径相同的金属小球(视为点电荷)，带电荷量之比为1∶7，相距为r，两者相互接触后再放回原来的位置上，则相互作用力可能为原来的( )
A．eq \f(4,7) B．eq \f(3,7)
C．eq \f(9,7) D．eq \f(16,7)
答案：CD
【题型2 库仑定律与静态平衡】
【例2】如图所示，A、B、C为放置在光滑水平面上的三个带电小球(可视为点电荷)，其中B与C之间用长为L的绝缘轻质细杆相连，现把A、B、C按一定的位置摆放，可使三个小球都保持静止状态。已知B所带电荷量为－q，C所带电荷量为＋4q，则以下判断正确的是( )
A．A所带电荷量一定为＋4q
B．轻质细杆对两球有拉力
C．A与B之间的距离一定为L
D．若将A向右平移一小段距离后释放，A一定向左运动
解析：选C 设A与B之间的距离为x，A受力平衡，根据平衡条件有eq \f(kqAq,x2)＝eq \f(kqA·4q,L＋x2)，解得x＝L，qA不一定为＋4q，故A错误，C正确；对B受力分析，A、C对B的静电力的合力为F＝eq \f(kqAq,L2)－eq \f(k·4q·q,L2)，由于不知道A所带电荷量，故无法确定A、C对B的静电力的合力是否为零，故杆对小球可能是拉力、弹力或没有作用力，故B错误；A在原来的位置是平衡的，若将A向右平移一小段距离，B、C对A的静电力均增加，但B对A的静电力增加更快，由于A的电性不确定，故A被释放后可能向左运动，也可能向右运动，故D错误。
【变式2-1】如图，空间存在一方向水平向右的匀强电场，两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，则( )
A．P和Q都带正电荷
B．P和Q都带负电荷
C．P带正电荷，Q带负电荷
D．P带负电荷，Q带正电荷
解析：选D 细绳竖直，把P、Q看作整体，则整体在水平方向不受力，对外不显电性，带等量异种电荷，故A、B错误；如果P、Q带不同性质的电荷，受力如图所示，由图知，P带负电荷、Q带正电荷时符合题意，故C错误，D正确。
【变式2-2】如图所示，在倾角为α的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为k0的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接。A、B、C三小球的质量均为M，qA＝q0>0，qB＝－q0，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列。已知静电力常量为k，则( )
A．qC＝eq \f(4,7)q0
B．弹簧伸长量为eq \f(Mgsin α,k0)
C．A球受到的库仑力大小为2Mg
D．相邻两小球间距为q0 eq \r(\f(3k,7Mg))
解析：选A 设小球C带负电，相邻小球间距为L，则对小球C在沿斜面方向受力分析，如图甲所示：
根据库仑定律FBC＝keq \f(q0qC,L2)、FAC＝keq \f(q0qC,4L2)，显然小球C无法处于静止，因此小球C应该带正电。因此小球C平衡时，keq \f(q0qC,L2)＝keq \f(q0qC,4L2)＋Mgsin α ①，
则eq \f(3kq0qC,4L2)＝Mgsin α。对B球做受力分析，如图乙所示：
根据受力平衡关系keq \f(q02,L2)＝keq \f(q0qC,L2)＋Mgsin α ②，两式联立解得qC＝eq \f(4,7)q0，A正确。将C的电荷量代入①式，则L＝eq \r(\f(3kq02,7Mgsin α))，D错误。A球所受总的库仑力为FA＝keq \f(q02,L2)－keq \f(q0qC,4L2) ③，其中eq \f(3kq0qC,4L2)＝Mgsin α，可知eq \f(kq0qC,L2)＝eq \f(4,3)Mgsin α或者eq \f(kq02,L2)＝eq \f(7,3)Mgsin α，代入③式，则A球所受库仑力为FA＝2Mgsin α，方向沿斜面向下，C错误。对A球受力分析可知，F弹＝Mgsin α＋FA, 将上述结果代入得，F弹＝3Mgsin α，因此弹簧伸长量为Δx＝eq \f(3Mgsin α,k0)，B错误。
【变式2-3】如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q。现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在电场力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为( )
A．正，B的右边0.4 m处
B．正，B的左边0.2 m处
C．负，A的左边0.2 m处
D．负，A的右边0.2 m处
解析：选C 要使三个电荷均处于平衡状态，必须满足“两同夹异”“两大夹小”“近小远大”的原则，所以点电荷C应在A左侧，带负电。设在A左侧距A为x处，由于处于平衡状态，所以keq \f(Qq,x2)＝eq \f(k×9Q·q,0.4＋x2)，解得x＝0.2 m，C正确。
【题型3 库仑定律与动态平衡】
【例3】（多选）如图所示，A、B两球所带电荷量均为2×10－5 C，质量均为0.72 kg，其中A球带正电荷，B球带负电荷，A球通过绝缘细线吊在天花板上，B球固定在绝缘棒一端，现将B球放在某一位置，能使绝缘细线伸直，A球静止且与竖直方向的夹角为30°，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，则B球距离A球的距离可能为( )
A．0.5 m B．0.8 m
C．1.2 m D．2.5 m
答案：AB
【变式3-1】一带电荷量为＋Q的小球A固定在绝缘底座上，在它左侧还有一个用绝缘丝线悬挂的带电荷量为＋q的小球B，它们处于同一高度静止，如图所示，两球均视为点电荷，下列说法中正确的是( )
A．若小球A向左平移一段微小距离，则稳定后丝线与竖直方向的夹角减小
B．小球A对小球B的库仑力大小等于小球B对小球A的库仑力大小
C．若增加小球A的带电荷量，则稳定后丝线与竖直方向夹角不变
D．若使小球A带电荷量变为－Q，则稳定后丝线与竖直方向夹角不变
答案 B
解析 根据共点力平衡得，小球B受到的库仑力F＝keq \f(Qq,r2)＝mgtan θ，若小球A向左平移一小段距离，r减小，小球B受到A的库仑力F增大，丝线与竖直方向夹角θ增大，A错误；根据牛顿第三定律，小球A对小球B的库仑力与小球B对小球A的库仑力是一对作用力和反作用力，大小总是相等的，B正确；若增加A球带电荷量，根据共点力平衡得，小球B受到的库仑力F＝keq \f(Qq,r2)＝mgtan θ，小球B受到A的库仑力F增大，则丝线与竖直方向夹角增大，C错误；若使A球带电荷量变为－Q，则小球B受到向右的库仑引力，向右偏，与A球的距离减小，库仑力将增大，则丝线与竖直方向夹角将增大，D错误．
【变式3-2】（多选）用细绳拴一个质量为m、带正电的小球B，另一也带正电小球A固定在绝缘竖直墙上，A、B两球与地面的高度均为h，小球B在重力、拉力和库仑力的作用下静止不动，如图所示。现将细绳剪断后( )
A．小球B在细绳剪断瞬间起开始做平抛运动
B．小球B在细绳剪断瞬间加速度大于g
C．小球B落地的时间小于eq \r(\f(2h,g))
D．小球B落地的速度大于eq \r(2gh)
答案：BCD
【变式3-3】（多选）如图所示,带电小球A、B的电荷量分别为QA、QB,A、B均用长为L的丝线悬挂在O点。静止时A、B相距为d。为使平衡时A、B间距离减为d2,可采用的方法是( )。
A.将小球A、B的质量都增大到原来的2倍
B.将小球B的质量增大到原来的8倍
C.将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半
D.将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半,同时将小球B的质量增大到原来的2倍
答案：BD
【题型4 库仑定律与牛顿定律】
【例4】如图所示，质量为m的小球A穿在绝缘细杆上，杆的倾角为α，小球A带正电，电荷量为q。在杆上B点处固定一个电荷量为Q的正电荷。将A由距B竖直高度为H处无初速度释放，小球A下滑过程中电荷量不变。不计A与细杆间的摩擦，整个装置处在真空中，已知静电力常量k和重力加速度g。求：
(1)A球刚释放时的加速度大小。
(2)当A球的动能最大时，A球与B点的距离。
解析：(1)由牛顿第二定律可知mgsin α－F＝ma
根据库仑定律有F＝keq \f(qQ,r2)
又知r＝eq \f(H,sin α)，得a＝gsin α－eq \f(kQqsin2α,mH2)。
(2)当A球受到合力为零，即加速度为零时，动能最大。
设此时A球与B点间的距离为d，则mgsin α＝eq \f(kQq,d2)
解得d＝ eq \r(\f(kQq,mgsin α))。
答案：(1)gsin α－eq \f(kQqsin2α,mH2) (2) eq \r(\f(kQq,mgsin α))
【变式4-1】如图把一个带电小球A固定在光滑的绝缘水平桌面上，在桌面的另一处放置带电小球B，现给小球B一个垂直A、B连线方向的速度v0，使其在水平桌面上运动，则下列说法中正确的是（ ）
A．若A、B带同种电荷，B球可能做速度减小的曲线运动
B．若A、B带同种电荷，B球一定做加速度增大的曲线运动
C．若A、B带异种电荷，B球一定做类平抛运动
D．若A、B带异种电荷，B球可能以A为圆心做匀速圆周运动
答案：D
解析：AB、若A、B带同种电荷，则A对B有斥力作用，且斥力方向和速度方向夹角越来越小，速度增大，AB间距离越来越大，静电力越来越小，则加速度越来越小，故AB错误；
CD、若AB带异种电荷，B受到的静电力指向A，力的大小或方向肯定有一个发生变化，不可能做类平抛运动，当静电力可能等于B做匀速圆周运动需要的向心力，则B球可能做匀速圆周运动，故C错误，D正确；
故选：D。
【变式4-2】如图所示，在一足够大的空间内存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E＝3.0×104 N/C。有一个质量m＝4.0×10－3 kg的带电小球，用绝缘轻细线悬挂起来，静止时细线偏离竖直方向的夹角θ＝37°。取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.60，cs 37°＝0.80，不计空气阻力的作用。
(1)求小球所带的电荷量及电性；
(2)如果将细线轻轻剪断，求细线剪断后，小球运动的加速度大小；
[思路点拨]
(1)先画出小球静止时的受力示意图。
(2)在细线剪断后小球做匀加速直线运动。
[解析] (1)小球受到重力mg、电场力F和细线的拉力T的作用，
如图所示，由共点力平衡条件有：
、
F＝qE＝mgtan θ
解得：q＝eq \f(mgtan θ,E)＝1.0×10－6 C
电场力的方向与电场强度的方向相同，故小球所带电荷为正电荷。
(2)剪断细线后，小球做匀加速直线运动，设其加速度为a，由牛顿第二定律有：eq \f(mg,cs θ)＝ma
解得：a＝eq \f(g,cs θ)＝12.5 m/s2。
【变式4-3】如图所示，光滑绝缘的正方形水平桌面边长为d＝0.48 m，离地高度h＝1.25 m．桌面上存在一水平向左的匀强电场(除此之外其余位置均无电场)，电场强度E＝1×104 N/C.在水平桌面上某一位置P处有一质量m＝0.01 kg，电荷量q＝1×10－6 C的带正电小球以初速度v0＝1 m/s向右运动．空气阻力忽略不计，重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)小球在桌面上运动时加速度的大小和方向？
(2)P处距右端桌面多远时，小球从开始运动到最终落地的水平距离最大？并求出该最大水平距离？
答案 (1)1.0 m/s2 方向水平向左 (2)eq \f(3,8) m eq \f(5,8) m
解析 (1)对小球受力分析，受到重力、支持力和电场力，重力和支持力平衡，根据牛顿第二定律，有：a＝eq \f(F,m)＝eq \f(qE,m)＝eq \f(10－6×104,0.01) m/s2＝1.0 m/s2，方向水平向左．
(2)设球到桌面右边的距离为x1，球离开桌面后做平抛运动的水平距离为x2，则：x总＝x1＋x2
由：v2－v02＝2ax1；代入，解得：v＝eq \r(1－2x1)
设平抛运动的时间为t，根据平抛运动的分位移公式，有：h＝eq \f(1,2)gt2，代入得：t＝0.5 s.
水平方向，有x2＝vt＝0.5eq \r(1－2x1)，故
x总＝x1＋0.5eq \r(1－2x1)
令：y＝eq \r(1－2x1)；则：x总＝eq \f(1－y2＋y,2)
故y＝eq \f(1,2)，即：x1＝eq \f(3,8)时，水平距离最大，最大值为
xmax＝eq \f(5,8) m
【题型5 库仑定律与功能关系】
【例5】如图所示，正电荷q1固定于半径为R的半圆光滑轨道的圆心处，将另一电荷量为q2、质量为m的带正电小球，从轨道的A处无初速度释放，求：
(1)小球运动到B点时的速度大小；
(2)小球在B点时对轨道的压力．
答案 (1)eq \r(2gR) (2)3mg＋keq \f(q1q2,R2)，方向竖直向下
解析 (1)带电小球q2在半圆光滑轨道上运动时，库仑力不做功，故机械能守恒，则mgR＝eq \f(1,2)mveq \\al( 2,B)
解得vB＝eq \r(2gR).
(2)小球到达B点时，受到重力mg、库仑力F和支持力FN，由圆周运动和牛顿第二定律得FN－mg－keq \f(q1q2,R2)＝meq \f(v\\al( 2,B),R)
解得FN＝3mg＋keq \f(q1q2,R2)
根据牛顿第三定律，小球在B点时对轨道的压力为
FN′＝FN＝3mg＋keq \f(q1q2,R2)
方向竖直向下．
【变式5-1】如图所示，竖直平面内有一圆形光滑绝缘细管，细管截面半径远小于半径R，在中心处固定一电荷量为＋Q的点电荷．一质量为m、电荷量为＋q的带电小球在圆形绝缘细管中做圆周运动，当小球运动到最高点时恰好对细管无作用力，求当小球运动到最低点时对管壁的作用力是多大？
答案 6mg
解析 设小球在最高点时的速度为v1，根据牛顿第二定律
mg－eq \f(kQq,R2)＝meq \f(v\\al(2,1),R)①
设小球在最低点时的速度为v2，管壁对小球的作用力为F，根据牛顿第二定律有F－mg－eq \f(kQq,R2)＝meq \f(v\\al(2,2),R)②
小球从最高点运动到最低点的过程中只有重力做功，故机械能守恒，则eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)＋mg·2R＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)③
由①②③式得F＝6mg
由牛顿第三定律得小球对管壁的作用力F′＝6mg.
【变式5-2】光滑绝缘水平面上有两个带电小球A、B，相距为L，A球质量为m.A、B两球由静止开始释放，释放时，A、B的加速度分别为a和4a，经时间t，B的速度为v，加速度为a，则此时A的速度为______，加速度为______.此过程中电场力对A和B做的功为______
答案:
【变式5-3】如图所示，在绝缘的光滑水平面上，相隔一定距离有两个带同号电荷的小球，从静止同时释放，则两个小球的加速度和速度大小随时间变化的情况是（ ）
A．速度变大，加速度变大
B．速度变小，加速度变小
C．速度变大，加速度变小
D．速度变小，加速度变大
答案：C
解析：由于同种电荷间存在相互作用的排斥力，两球将相互远离，距离增大，根据库仑定律得知，相互作用力减小。由牛顿第二定律得知它们的加速度变小，随着两球间距离增大，电场力做正功，电势能减少，总动能增加。所以速度增加，故速度变大，加速度变小。
故选C。
【题型6 库仑力的合成问题】
【例6】在边长为a的正方形的每一顶点都放置一个电荷量大小为q的点电荷，点电荷的正负如图所示．静电力常量为k.如果保持它们的位置不变，则A电荷受到其他三个电荷的静电力的合力大小是( )
A.eq \f(2kq2,a2)
B．(eq \r(2)－eq \f(1,2))eq \f(kq2,a2)
C．(eq \f(1,2)＋eq \r(2))eq \f(kq2,a2)
D.eq \f(3kq2,2a2)
答案 D
解析 电荷D对电荷A的静电力大小为F1＝keq \f(q2,\r(2)a2)，B电荷和C电荷对电荷A的静电力大小均为F2＝F3＝keq \f(q2,a2)，根据力的合成法则，A电荷所受的静电力大小为F＝eq \r(F12＋\r(2)F22)＝eq \r([\f(kq2,\r(2)a2)]2＋[\f(\r(2)kq2,a2)]2)＝eq \f(3kq2,2a2)，故选D.
【变式6-1】如图，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm.小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线．设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则( )
A．a、b的电荷同号，k＝eq \f(16,9)
B．a、b的电荷异号，k＝eq \f(16,9)
C．a、b的电荷同号，k＝eq \f(64,27)
D．a、b的电荷异号，k＝eq \f(64,27)
答案 D
解析 由小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线，知a、b带异号电荷．a对c的库仑力Fa＝eq \f(k静qaqc,ac2)①
b对c的库仑力Fb＝eq \f(k静qbqc,bc2)②
设合力向左，如图所示，根据相似三角形得eq \f(Fa,ac)＝eq \f(Fb,bc)③
由①②③得k＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(qa,qb)))＝eq \f(ac3,bc3)＝eq \f(64,27)，若合力向右，结果仍成立，D正确．
【变式6-2】如图所示，直角三角形中，。两个点电荷分别固定在A、C两点，某试探电荷在B点受到的电场力方向与垂直，取。则A、C两点处点电荷的电荷量之比为（ ）
A．3∶4B．5∶3C．16∶9D．25∶9
答案：B
【变式6-3】如图，三个完全相同的金属小球a、b、c位于等边三角形的三个顶点上，其中a和c带正电，b带负电，a所带电荷量比b的少。已知c受到a和b的静电合力可用图中四条有向线段中的一条来表示，它应是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
解析：由题意，根据库仑定律可知a对c的静电力（沿a→c方向）小于b对c的静电力（沿c→b方向），根据力的合成与分解规律可知c受到a和b的静电合力可以用F2来表示。
故选B。
【题型7 联系实际问题】
【例7】如图是库仑做实验用的库仑扭秤．带电小球A与不带电小球B等质量，带电金属小球C靠近A，两者之间的库仑力使横杆旋转，转动旋钮M，使小球A回到初始位置，此时A、C间的库仑力与旋钮旋转的角度成正比．现用一个电荷量是小球C的三倍、其他完全一样的小球D与C完全接触后分开，再次转动旋钮M使小球A回到初始位置，此时旋钮旋转的角度与第一次旋转的角度之比为( )
A．1 B.eq \f(1,2) C．2 D．4
答案 C
解析 设A带电荷量为qA，C球带电荷量为qC，库仑力与旋钮旋转的角度成正比，则有θ＝k1F，依题意有θ1＝k1F1＝k1eq \f(kqAqC,r2)，由题可知D球带电荷量为qD＝3qC，接触后分开，电荷量将均分，有qC′＝eq \f(3qC＋qC,2)＝2qC，依题意有θ2＝k1F2＝k1eq \f(kqC′qA,r2)＝2k1eq \f(kqAqC,r2)，联立可得eq \f(θ2,θ1)＝2.
【变式7-1】根据科学研究表明，地球是一个巨大的带电体，而且表面带有大量的负电荷。如果在距离地球表面高度为地球半径一半的位置由静止释放一个带负电的尘埃，恰好能悬浮在空中，若将其放在距离地球表面高度与地球半径相等的位置时，则此带电尘埃将( )
A．向地球表面下落 B．远离地球向太空运动
C．仍处于悬浮状态 D．无法判断
答案：C
【变式7-2】如图所示，水平桌面上放置一电子秤。一绝缘支架放在电子秤上，上端固定一带电小球，稳定后电子秤示数为。现将另一固定于绝缘手柄一端的不带电小球与球充分接触后，再移至小球正上方处，待系统稳定后，电子秤示数为。把小球移走使其恢复到不带电的状态，然后再将小球与小球充分接触并重新移至球正上方处，电子秤示数为，若两小球完全相同，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．均小于
【答案】 B
【解析】设小球a的电荷量为Q，小球b与小球a充分接触后，两小球带同种电荷，电荷量分别为，再移至小球正上方处，故b对a有向下的库仑力，设为，则有
此时电子秤的示数为
使小球b再次不带电，后将该不带电的小球b与a球再次充分接触后，两小球带同种电荷，电荷量分别为，重新移至a球正上方L处，故b对a有向下的库仑力，设为，则有
此时电子秤的示数为
因为
故
故选B。
【变式7-3】下图所示的实验装置是演示两个点电荷之间的库仑力与它们带电量、距离关系的示意图。若将电荷量为、质量为10g的可视为质点的带负电小球B用绝缘细绳悬挂，放置在带电小球A右侧附近某位置平衡时，两球心在同一高度处且细绳与竖直方向的夹角为α=37°。已知sin37°=0.6，cs37°=0.8，g=10m/s2，求：
（1）此时B球所受的库仑力的大小；
（2）B球所在位置处的场强大小和方向。
【答案】（1）；（2），方向水平向左
【解析】（1）对B球受力分析，根据共点力平衡条件，结合几何关系得到
代入数据解得
（2）根据场强定义式，有
代入数据解得
场强方向与负试探电荷受力方向相反，故场强方向水平向左
【题型8 对库仑定律的理解】
【例8】（多选）关于库仑定律的公式，下列说法中正确的是()
A.当真空中两个电荷间距离r→∞时，它们间的静电力F→0
B.当真空中两个电荷间距离r→0时，它们间的静电力F→∞
C.当两个电荷间的距离r→∞时，库仑定律的公式就不适用了
D.当两个电荷间的距离r→0时，电荷不能看成是点电荷，库仑定律的公式就不适用了
答案：AD
【变式8-1】下列说法正确的是( )
A．库仑定律适用于任何电场的计算
B．置于均匀带电空心球球心处的点电荷所受静电力为零
C．当两个半径均为r、带电荷量均为Q的金属球中心相距为3r时，它们之间的静电力大小为eq \f(kQ2,9r2)
D．若点电荷Q1的电荷量小于Q2的电荷量，则Q1对Q2的静电力小于Q2对Q1的静电力
解析：选B 库仑定律的适用范围是真空中两个点电荷间的相互作用，故A错误；带电空心金属球的电荷均匀分布在金属球的外表面，球内各点的电场强度均为零，所以置于带电空心球球心处的点电荷所受静电力为零，故B正确；当两个半径均为r、带电荷量均为Q的金属球中心相距为3r时，两者不能看作点电荷，库仑定律不再适用，故C错误；两点电荷间的静电力是相互作用力，大小相等，方向相反，故D错误。
【变式8-2】下列说法正确的是( )
A．检验电荷一定是点电荷，而点电荷不一定是检验电荷
B．电子带电荷量为1.6×10－19 C，因此一个电子就是一个元电荷
C．富兰克林用油滴实验比较准确地测定了电子的电荷量
D．根据F＝keq \f(q1q2,r2)，当两个电荷的距离趋近于零时，静电力将趋向于无穷大
解析：选A 点电荷是将带电物体简化为一个带电的点，检验电荷的体积和电荷量要足够小，故A正确；元电荷是一个数值，而电子是一个实物，故B错误；密立根用油滴实验比较准确地测定了电子的电荷量，故C错误；公式F＝keq \f(q1q2,r2)适用于真空中的静止的点电荷，当两个点电荷距离趋于0时，两带电体已不能看成点电荷了，库仑定律不适用，故电场力并不是趋于无穷大，故D错误。
【变式8-3】光滑绝缘水平面上固定一半径为R、带正电的球体A(可认为电荷量全部在球心)，另一带正电的小球B以一定的初速度冲向球体A，用r表示两球心间的距离，F表示B小球受到的库仑斥力，在r＞R的区域内，下列描述F随r变化关系的图像中可能正确的是( )
答案 C
解析 根据库仑定律可知，两球之间的库仑力满足F＝keq \f(qAqB,r2)，即随r增加，F非线性减小．故选C.
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