44，山东省威海市威海经济技术开发区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份44，山东省威海市威海经济技术开发区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共25页。

2．答题时，请务必在题号所指示的区域内作答，作图用2B铅笔．
3．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值．祝考试成功！
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）
1. 如图所示的几何体是由12个大小相同的小正方体组成的，将其中的小正方体①移走后，所得几何体的三视图没有发生变化的是（ ）
A. 主视图和左视图B. 主视图和俯视图C. 左视图和俯视图D. 主视图、左视图、俯视图
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查简单组合图的三视图，根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．解题的关键是熟知三视图的定义．
【详解】解：将正方体①移走后，主视图变化，俯视图不变，左视图不变，
故选：C．
2. 如果将抛物线向右平移2个单位，再向下平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位再向下平移2个单位，平移后抛物线的解析式为：．
故选：C
3. 三名同学参加体操比赛，原定出场顺序是：A第一个出场，B第二个出场，C第三个出场．为了公平比赛，现采用抽签方式重新确定三名同学的出场顺序，则抽签后每个同学的出场顺序都没有发生变化的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽签后每个同学的出场顺序都没有发生变化的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图如下：
∵共有6种等可能的结果，抽签后每个运动员的出场顺序都没有发生变化有1种情况，
∴抽签后每个同学的出场顺序都没有发生变化的概率，
故选：A．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
4. 若抛物线经过四个象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线经过四个象限，说明抛物线与x轴的两个交点分别在原点的两侧，列出不等式即可求解．
【详解】解：抛物线与x轴交于（m，0）和（m+3，0）
∵抛物线经过四个象限，且a=1>0
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
5. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于A，B两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的性质确定点P位置，再求出CP的长即可．
【详解】解：∵一次函数与两坐标轴分别交于A，B两点，
∴A（0，2），B（2，0），
∴OA=OB=2，
∵为线段的中点，
∴C（1，1）,
∴一次函数与反比例函数的图象是关于直线y=x对称，
∵点C在直线y=x上，
∴当点P在直线y=x上时，线段CP最小，
∴点在反比例函数的图象上，
∴P（2，2），
∴，
∴的最小值为
故选：B
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的图像与性质及线段最短问题，数形结合是解题的关键．
6. 如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，、相交于点P，则的值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先连接，由题意易知,然后由相似三角形的对应边成比例，易得,即可得,在中，即可求得的值，继而求得答案.
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴，
根据题意得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴
故选：C．
【点睛】此题考查了解直角三角形，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
7. 如图，点M是⊙O内接正n边形ABCDE…边AB的中点，连接OM，OC，若⊙O半径为1，∠MOC=67.5°，则OM长为（ ）
A. 67.5°B. 67.5°C. 45°D. 22.5°
【答案】A
【解析】
【分析】连接OB，由正多边形的中心角的定义求出∠BOC和∠MOB，根据∠MOC=67.5°即可得到图形是正八边形，最后根据三角函数即可得出答案．
【详解】连接OB，如图所示：
则∠BOC=，
∵点M是⊙O内接正n边形ABCDE…边AB的中点，
∴OM⊥AB，
∴∠MOB=，
∴∠MOC=；
解得
∴∠MOB=，
∴
再Rt△BOM中，OB=1，
∴，即
故选：A．
【点睛】本题考查了正多边形外接圆中心角的性质，圆心角的计算，三角函数，熟练掌握正多边形外接圆中心角的性质是解题的关键．
8. 如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（ ）
A. （36）cm2B. （36）cm2C. 24 cm2D. 36 cm2
【答案】A
【解析】
【分析】过点C作，过点B作，根据折叠的性质求出，，分别解直角三角形求出AB和AC的长度，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作，过点B作，
∵长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查折叠的性质、解直角三角形，掌握折叠的性质是解题的关键．
9. 已知关于x的方程的两个根分别是，若点A是二次函数的图象与y轴的交点，过A作轴交抛物线于另一交点B，则的长为（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查方程的解，二次函数的图象及性质，抛物线与坐标轴的交点．
把解代入方程中，即可求得b，c的值，从而得到二次函数解析式，令得到点A的坐标，由轴与点B在二次函数图象上得到点B的坐标，从而可求得的长．
【详解】∵方程的两个根分别是，
∴，
解得，
∴二次函数为，
令，则，
∴二次函数为的图象与y轴的交点A的坐标为，
∵轴，
∴点B的纵坐标为，
把代入函数，得，
解得：，，
∴点B的坐标为，
∴．
10. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．若反比例函数的图像绕着原点逆时针旋转后与的边有公共点，则的取值范围是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别将旋转，得到，，代入反比例函数解析式即可求解．
【详解】解：如图所示，

将旋转，得到，，
当反比例函数的图像经过点，，
当反比例函数的图像经过点，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，反比例数的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果）
11. 在中，若满足，则的度数为______．
【答案】##75度
【解析】
【分析】此题考查了特殊角的三角函数值，三角形内角和，根据，得到，，推出，再根据三角形内角和求出的度数，熟练掌握各锐角的三角函数值是解题的关键．
【详解】∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴,
故答案为．
12. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械，桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，，当点A位于最高点时，，此时，点A到地面的距离为______．
【答案】米##
【解析】
【分析】本题主要考查了含直角三角形的性质；
过O作，过A作于G，求出，根据含直角三角形的性质求出，然后可得答案．
【详解】解：过O作，过A作于G，
∵米，，
∴米，
∵，，
∴，
∴在中，米，
∴点A位于最高点时到地面的距离为米，
故答案为：5米．
13. 如图①是山东舰航徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母横空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线长为____________．
【答案】13.
【解析】
【分析】由扇形弧长求出底面半径，由勾股定理即可求出母线AB的长．
【详解】解：∵圆锥底面周长=侧面展开后扇形的弧长=
∴OB=，
在Rt△AOB中，AB=，
所以，该圆锥的母线长为13.
故答案为：13．
【点睛】本题考查圆锥弧长公式应用，解题的关键是牢记有关的公式．
14. 如图，E为正方形ABCD内一点，AD＝5，AE＝4，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABE′，则边DE所扫过的区域（图中阴影部分）的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据旋转的性质，转化图中不规则的阴影部分面积，通过扇形面积公式即可求解.
【详解】解；根据旋转性质，△ADE△ABE′，
∴阴影部分的面积等于以AD为半径的扇形的面积SADB减去以AE为半径的扇形的面积S
∴阴影部分的面积为：SADB-S=
故答案为：
【点睛】本题主要考查正方形的性质、扇形面积的求解，正确解读题目，将不规则部分面积进行转化为可求的规则面积是解题的关键．
15. 已知二次函数（m是常数），若二次函数的图象与y轴交于点，当时，则n的最大值为______．
【答案】10
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质．用m表示出n，把n看作m的二次函数，求出当时，关于m、n组成的二次函数的最大值即可．
【详解】解：令，
∴，
∴函数的对称轴为直线，
∵，
∴当时，n随m的增大而减小；
当时，n随m的增大而增大，
∵当时，；
当时，．
∴n的最大值为10．
故答案为：10．
16. 如图，平行四边形的顶点A，B在函数的图象上，边与y轴交于点D，轴于点E．若的面积为8，则的值为______．

【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及反比例函数的性质，根据题意得，，则有，化简得到，结合反比例函数的性质得，即可求得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，的面积为8，
∴，，
∴，
∴，
∴，
则，
∵点A在函数的图象上，
∴，
∴，
则，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）（或）
（2）
【解析】
【分析】（1）由特殊角的三角函数值、绝对值的运算、零指数幂，代入数计算可得到答案．
（2）由绝对值的定义、求一个数的立方根、负整数指数幂的公式、、零指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值，代入数计算可得到答案．
【小问1详解】
解：原式=
=
=
【小问2详解】
解：原式=
=
【点睛】本题考查求一个数的绝对值、指数幂的运算、二次根式的化简、立方根的运算、特殊角的三角函数值，熟练掌握相关定义、公式和计算方法是解题的关键．
18. 画出如图所示立体图形的三视图．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了画三视图，根据“对一个物体在三个投影面内进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图”相关概念，画图即可．
【详解】解：三视图如图所示．
19. 如图，点是直线上一点，过点作轴平行线，与反比例函数交于点，以为边向下作，点恰好在轴上，且，，若的面积为，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由三角形面积求得点的坐标，代入即可求得的值，求得点的坐标是解题的关键．
【详解】解：作于点，
轴，
轴，，
设，则，
，
，
，
的面积为，
，
（负数舍去），
，
把代入得，，
，
反比例函数过点，
．
20. 一张圆桌旁设有4个座位，甲先坐在如图所示的座位上，乙、丙、丁三人等可能地坐到其他3个座位上．

（1）乙与甲不相邻而坐的概率为______；
（2）求丙与丁相邻而坐的概率．（画树状图或表格列出所有等可能出现的结果）
【答案】（1）
（2），图形见解析
【解析】
【分析】本题考查的是用树状图法求概率．
（1）首先利用列举法求得所有等可能的结果，再找到与乙与甲相邻而坐的情况，再利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先将其他三个座位编号，然后根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与丙与丁相邻而坐的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【小问1详解】
解：按顺时针排列，共有以下情况：
乙丙丁；乙丁丙；丙乙丁；丙丁乙；丁乙丙；丁丙乙，
乙与甲不相邻的情况有2种，概率是．
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图，将其他三个座位编号分别为1，2，3，

画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，丙与丁相邻而坐的有4种情况，
丙与丁相邻而坐的概率为．
21. 2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m．
（1）求、两点之间的距离；
（2）求长．
（结果精确到0.1m，参考数据：，，，）
【答案】（1）6.7m
（2）4.5m
【解析】
【分析】（1）连接，过点作，交的延长线于，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．
（2）过点作，垂足为，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图2，连接，过点作，交的延长线于．
在中，，
，所以，
，所以，
在中，m，m，
根据勾股定理得m，
答：、两点之间距离约6.7m．
【小问2详解】
如图2，过点作，垂足，
则四边形为矩形，m，，
所以m，
在中，m，m，
根据勾股定理得m．
m．
答：长为4.5m．
【点睛】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解
22. 北京冬奥会的召开燃起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，小雅从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．
（1）当小雅滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行达到最高位置为米．求出a，c的值；
（2）小雅若想滑行到坡顶正上方时，与坡顶距离不低于米，请求出a的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，抛物线的顶点坐标为（6，），设C2的解析式为：，代入，即可求解；
（2）求出山坡的顶点坐标为（8，），根据题意列出不等式，解不等式即可求得的取值范围．
【小问1详解】
解：根据题意，抛物线的顶点坐标为（6，），
设C2：，
代入，得，
解得，
，
，；
【小问2详解】
解：抛物线C1：，
因此抛物线C1的顶点坐标为（8，），
即当x=8时，运动员到达坡顶，
此时+，
解得，
根据实际情况，，
．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
23. 如图所示，是线段延长线上的点，矩形的外接圆过的中点．
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）若是的切线，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】此题考查了圆的综合题，切线的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，以及圆周角定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
（1）由矩形的对边相等，对角线相等，且四个角为直角得到，，，再由为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到，即垂直于，由为的中点，得到垂直平分，即，等量代换即可得证；
（2）在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，即为与的长，由求出的长，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义即可求出的值；
（3）根据圆周角定理得到是的直径，根据切线的性质得到，设，，根据相似三角形的性质健康得到结论．
【小问1详解】
在矩形中，，，，
为圆的直径，
，即，
是的中点，
，
；
【小问2详解】
在中，，，
根据勾股定理得：，，
，
在中，；
【小问3详解】
，
是的直径，
是的切线，
，
，
，
设，，
，
，
解得：，（负值舍去），
．
24. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，抛物线经过点A、B．

（1）求抛物线的表达式；
（2）P是抛物线上一点，且位于直线上方，过点P作轴、轴，分别交直线点M、N．
①当时，求点P的坐标；
②连接交于点C，当点C是的中点时，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）①②
【解析】
【分析】（1）先根据题意求出点、的坐标，代入即可求得抛物线的表达式；
（2）①证明，可得，设点的横坐标为，则，又，，建立方程求解即可得出答案；
②连接交于点，先求出点的坐标，利用中点公式可求得，，再证明点是的中点，可得，建立方程求解即可得出答案．
【小问1详解】
解： 直线与轴交于点、与轴交于点，
令，则，
令，则，
，，
抛物线经过点、，
，
，
抛物线的表达式为：；
【小问2详解】
解：①是抛物线上一点，且位于直线上方，过点作轴、轴，
分别交直线于点、，
，，
，
，
，
设点的横坐标为，
则，，
，
，，
，，
，
，
，
解得，
；
②如图，连接交于点，

∵轴，，
点的纵坐标为，
令，则，
解得：，
，，
点是的中点，，
，，
由①知：，
又点是的中点，
，
，，
轴、轴，
，，，，
，，
，，
，
点是的中点，
，
，
解得：，
，
，
，
轴，
，
，
故的值为．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，中点公式的应用，难度不大，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．