北师大版七年级数学下册高频考点专题突破 专题03 平行线四大模型与动态角度问题 专题讲练-【高频考点】（原卷版+解析）

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专题03 平行线四大模型与动态角度问题 专题讲练平行线与动态角度问题在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，该份资料就平行线的四大模型（铅笔模型、猪蹄模型、拐弯模型、“5”字模型）和动态角度问题（翻折、旋转、动点）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1：猪蹄模型（M型）【解题技巧】如图，①已知：AB∥CD，结论：∠APC=∠A+∠C；②已知：∠APC=∠A+∠C，结论：AB∥CD. 图①、图② 图③③已知：AB∥CD，结论：∠A+∠P2+∠C=∠P1+∠P3. 例1、（2022.广东省初一月考）如图所示，已知：AB∥CD，求证：∠APC=∠A+∠C；变式1.（2021·山东青岛期末）如图，，点在上，，，则下列结论正确的个数是（ ）（1）；（2）；（3）；（4）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式2.（2021.湖北七年级期中）如图，，，则，，之间的关系是（ ）A． B． C． D．变式3.（2021·渝中区期末）如图，，，，则（ ）A． B． C． D．例2．（2021·浙江杭州七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由；（2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由；（3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由．变式4.（2021·山西八年级期末）综合与探究问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．（1）如图1，，点分别为直线上的一点，点为平行线间一点且，求度数；问题迁移：（2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交于点，直线分别交于点，点在射线上运动．①当点在（不与重合）两点之间运动时，设．则之间有何数量关系？②若点不在线段上运动时（点与点三点都不重合），请你直接写出间的数量关系．变式5.（2021·河南七年级期末）把一块含60°角的直角三角尺放在两条平行线之间．（1）如图1，若三角形的60°角的顶点放在上，且，求的度数；（2）如图2，若把三角尺的两个锐角的顶点分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系；（3）如图3，若把三角尺的直角顶点放在上，30°角的顶点落在上，请直接写出与的数量关系．模型2：铅笔头模型【解题技巧】如图，①已知：AB∥CD，结论：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；②已知：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°，结论：AB∥CD. 图①、图② 图③③已知：AB∥CD，结论：∠1+∠2+…+∠n=180（n－1）.例1、（2021.河北七年级月考）如图，已知：AB∥CD，求证：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；变式1．（2021·陕西咸阳市期末）如图，，直线分别交AB、DE于点F、G．若，则___________．变式2．（2021·黑龙江·七年级期中）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（ ）A． B． C． D．例2．（2021·福建泉州七年级期末）问题情境：我市某中学班级数学活动小组遇到问题：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．经过讨论形成的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．（1）按该数学活动小组的思路，请你帮忙求出∠APC的度数；（2）问题迁移：如图3，∥，点在、两点之间运动时， ，．请你判断 、、 之间有何数量关系？并说明理由；（3）拓展应用：如图4，已知两条直线∥，点在两平行线之间，且的平分线与 ∠DFP的平分线相交于点Q，求的度数．变式3．（2021·佛山顺德区月考）问题情境1：如图1，AB∥CD，P是ABCD内部一点，P在BD的右侧，探究∠B，∠P，∠D之间的关系？小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D之间满足　 　关系．（直接写出结论）问题情境2：如图3，AB∥CD，P是AB，CD内部一点，P在BD的左侧，可得∠B，∠P，∠D之间满足　 　关系．（直接写出结论）问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F（1）如图4，若∠E＝80°，求∠BFD的度数；（2）如图5中，∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，设∠E＝m°，用含有n，m°的代数式直接写出∠M＝　 　．变式4．（2021·湖北七年级月考）如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°．（1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，在（1）的结论下，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD．当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；（3）如图3，在（1）的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时（点C除外），∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？直接写出结论，其数量关系为 ．例3．（2021·西安七年级月考）下列各图中的MA1与NAn平行．（1）图①中的∠A1+∠A2= 度，图②中的∠A1+∠A2+∠A3= 度，图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4= 度，图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5= 度，…，第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10= 度（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An= ．变式5．（2021·山东七年级月考）如图，两直线、平行，则（ ）．A．630° B．720° C．800° D．900°变式6．（2021·贵州遵义市·七年级期末）[问题解决]（1）如图1，AB∥CD，点E、F分别是AB、CD上的点，连接OE、OF，探求∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由．[拓展延伸]（2）如图2，上述结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请写出它们的关系．[拓展应用]（3）如图3，已知AB∥CD，∠AE1E2的角平分线与∠CEnEn﹣1的角平分线交于点O．若∠E1OEn＝m°，直接写出∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣2）+∠（n﹣1）的度数．（用含m、n的代数式表示）模型3：拐弯模型【解题技巧】类型1（鸟嘴形）：如图，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3.类型2（骨折形）：如图，AB∥CD，结论：∠2=∠1+∠3. 例1．（2021.广东省七年级期中）如图，已知AB∥CD，求证：∠1=∠2+∠3.变式1.（2021·余干县期末）如图1，ADBC，的平分线交BC于点G，．（1）求证：；（2）如图2，若，的平分线交于点E，交射线GA于点F，的度数．变式2．（2021·保定市期中）（1）已知：如图1，，易知______．（2）如图2，，，是直线上的两点，猜想，，，，这四个角之间的关系，写出以下三种情况中这四个角之间的关系，并选择其中之一进行说明． 图2①图中四个角的关系：______②图中四个角的关系：______③图中四个角的关系：______例2. （2021·忠县七年级月考）如图，已知直线l1//l2，l3、和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系； （3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；（4）若点P在线段DC延长线上运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．变式3．（2021·余干县期末）已知直线AB∥CD，（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为　 　；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则 =　 　．变式4．（2021·湖南株洲市期末）已知直线a∥b，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．（1）如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1+∠3=∠2；（提示：过点P作PM∥a）（2）当点P在线段EF外运动时有两种情况，①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明．②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．模型4：“5”字模型基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°.例1.（2021.浙江七年级期中）如图，AB∥CD，求证：∠1+∠3－∠2=180°.变式1．（2021.北京七年级期中）如图，已知AB∥CD, EF∥CD，则下列结论中一定正确的是( )A．∠BCD= ∠DCE; B．∠ABC+∠BCE+∠CEF=360;C．∠BCE+∠DCE=∠ABC+∠BCD; D．∠ABC+∠BCE -∠CEF=180.变式2．（2021·江苏七年级期末）如图，AB∥CD，则∠1+∠3－∠2的度数等于 __________． 变式3.（2021·河北七年级月考）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，则∠CDE=__________度．例2．（2021·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为______．变式4．（2021·黑龙江·七年级月考）如图，，E是上的点，过点E作，若，平分，，，则_______． 变式5.（2021·江苏七年级期中）如图所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．则∠C等于（   ）A．20° B．25° C．30° D．40°例3．（2021·河南驻马店七年级期中）如图1，已知AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝110°．（1）若∠E＝50°，请直接写出∠F的度数；（2）探索∠E与∠F之间满足的数量关系，并说明理由；（3）如图2，EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，FG的反向延长线交EP于点P，求∠P的度数．变式6．（2021·湖北咸宁市期末）（感知）如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连结AE、BE，试说明∠BAE+∠DCE=∠AEC；（探究）当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠AEC+∠BAE+∠DCE=360°；（应用）点E、F、G在直线AB与CD之间，连结AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图③，若∠EFG=36°，则∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=______°.动态角度1 ：折叠问题例1．（2021·江苏镇江七年级期中）如图，将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果∠1＝55°，那么∠2＝_____°．变式1．（2021·宜兴市北郊中学初二期中）如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）A．102° B．108° C．124° D．128°变式2．（2021·广东佛山市七年级期中）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED′=30°，则∠BFC′的度数为_________．例2．（2021·全国·八年级单元测试）在△ABC中，将∠B、∠C按如图方式折叠，点B、C均落于边BC上一点G处，线段MN、EF为折痕．若∠A＝80°，则∠MGE＝_____°．变式3．（2021·浙江杭州·七年级期中）在“妙折生平——折纸与平行”的拓展课上，小潘老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片ABC，，，点D是AB边上的固定点（），请在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，使EF与三角形ABC的一边平行，则为________度． 变式4．（2021·重庆南开中学八年级开学考试）如图，在中，，在边上取点，使得，连接．点、分别为、边上的点，且，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若，则的度数为_______．例3．（2021·河南襄城·七年级月考）（1）学习了平行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）．①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b，使直线b经过点P，且，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果．无需写画法：②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的 线．（2）已知，如图3，，BE平分，CF平分．求证：（写出每步的依据）．变式5.（2021·广东深圳市七年级期末）如图①，在长方形中，点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中，则的度数为______度.变式6. （2021·上海市七年级月考）已知，如图1，四边形，，点在边上，为边上一动点，过点作，交直线于点．（1）当时，求；（2）当时，求；（3）如图3，将沿翻折使点的对应点落在边上，当时，请直接写出的度数，答：______．动态角度2: 旋转问题例1．（2021·湖南岳阳·七年级期末）如图，将一副三角板按如图所示放置，，，，且，则下列结论中：①；②若平分，则有；③将三角形绕点旋转，使得点落在线段上，则此时；④若，则．其中结论正确的选项有______．（写出所有正确结论的序号）变式1．（2021·辽宁建昌·七年级期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），下列条件①∠BAD＝30°；②∠BAD＝60°；③∠BAD＝120°；④∠BAD＝150°中，能得到的CD∥AB的有__________．（填序号） 变式2．（2021·重庆·西南大学附中七年级期中）如图，△OAB为等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD为等边三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），满足OC＞OA，△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法正确的是（　　）A．当α＝15°时，DC∥ABB．当OC⊥AB时，α＝45°C．当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15°D．整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行例2. （2021·浙江七年级期中）已知直线AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向每秒1°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．（1）若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转时间30秒时，PB'与QC'的位置关系为_____；（2）若射线QC先转45秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为_____秒时，PB′∥QC′． 变式3.（2021·江苏泰兴市月考）某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行，即PQ∥MN． 如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． 若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动_______秒，两灯的光束互相平行．变式4（2021.江苏镇江七年级期中）镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B灯每秒转动4°．B灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是　 　．例3.（2021.绵阳市七年级期中）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．（1）填空：∠BAN=______°；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD=120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．变式5.（2021·山东德州市七年级期中）如图，PQ∥MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．（友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向）（1）a＝　 　，b＝　 　；（2）若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直．（3）若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？动态角度3：动点问题例1.（2021·山西七年级期中）如图，射线AB∥CD，P为一动点，∠BAP与∠DCP的平分线AE与CE交于点E.(1)当P在线段AC上运动时（如图1）,即∠APC=180,则∠AEC＝______；(2)当P运动到图2的位置时，猜想∠AEC与∠APC 的关系，并说明理由；(3)当P运动到图3的位置时,（2）中的结论还成立吗?(不要求说明理由)变式1.（2021.安徽合肥七年级期末）已知，直线，、分别是和上的动点，点为直线、之间任一点，且，则与之间的数量关系为______．变式2.（2021·浙江湖州市月考）如图1，已知直线EF分别与直线相交于点平平分(本题可能用到的结论：三角形三个角之和为)（1）求证：；（2）如图2，若平分交的延长线于点，且与的比为，求的度数．（3）如图3，若点是射线之间一动点，平分过点作于点，请猜想与的关系，并证明你的结论． 例2.（2021·达州市七年级期中）已知：如图所示，直线MN∥GH，另一直线交GH于A，交MN于B，且∠MBA＝80°，点C为直线GH上一动点，点D为直线MN上一动点，且∠GCD＝50°．（1）如图1，当点C在点A右边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；（2）如图2，当点C在点A右边且点D在点B右边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；（3）当点C在点A左边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线所在直线交于点P，请直接写出∠BPC的度数，不说明理由．变式3.（2021·重庆沙坪坝区期末）如图1，AB∥CD，直线AE分别交AB、CD于点A、E．点F是直线AE上一点，连结BF，BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，BP与EP交于点P．（1）若点F是线段AE上一点，且BF⊥AE，求∠P的度数；（2）若点F是直线AE上一动点（点F与点A不重合），请直接写出∠P与∠AFB之间的数量关系．变式4.（2021·湖南益阳市期末）如图，，点为直线上一定点，为直线上的动点，在直线与之间且在线段的右方作点，使得．设为锐角)．(1)求与的和； (2)当点在直线上运动时，试说明；(3)当点在直线上运动的过程中，若平分，也恰好平分，请求出此时的值专题03 平行线四大模型与动态角度问题 专题讲练平行线与动态角度问题在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，该份资料就平行线的四大模型（铅笔模型、猪蹄模型、拐弯模型、“5”字模型）和动态角度问题（翻折、旋转、动点）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1：猪蹄模型（M型）【解题技巧】如图，①已知：AB∥CD，结论：∠APC=∠A+∠C；②已知：∠APC=∠A+∠C，结论：AB∥CD. 图①、图② 图③③已知：AB∥CD，结论：∠A+∠P2+∠C=∠P1+∠P3. 例1、（2022.广东省初一月考）如图所示，已知：AB∥CD，求证：∠APC=∠A+∠C；【解析】方法一（破角）:过点P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PQ∴∠1=∠2，∠3=∠4∴∠APC=∠2+∠3=∠1+∠4.方法二（添角）: 连接AC，∵AB∥CD ∴∠1+∠3+∠2+∠4=180°，又∠2+∠3+∠APC=180° ∴∠APC=∠1+∠4.变式1.（2021·山东青岛期末）如图，，点在上，，，则下列结论正确的个数是（ ）（1）；（2）；（3）；（4）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B.【解析】解：过点E作EF∥AB，（1）无法判断；（2）∵AB//CD，AB//EF，∴EF//CD，∴∠AEF=70°，∠DEF=15°，∴∠AED=85°，正确；（3）由（2）得：∠A=∠CEF=∠CED+∠DEF，∠DEF=∠D∴∠A=∠CED+∠D，正确；（4）无法判断；故答案为：B．变式2.（2021.湖北七年级期中）如图，，，则，，之间的关系是（ ）A． B． C． D．【答案】C.【解析】解：分别过C、D作AB的平行线CM和DN，则AB∥CM∥DN∥EF ∴∠α=∠BCM，∠DCM=∠CDN，∠NDE=∠γ而∠β=∠CDN+∠NDE=∠DCM+∠γ=90°－∠BCM+∠γ=90°－∠α+∠γ.即∠α+∠β－∠γ=90°，故答案为：C．变式3.（2021·渝中区期末）如图，，，，则（ ）A． B． C． D．【答案】D.【解析】解：过点E作EF∥AB，可得：AB∥EF∥CD∴∠AEF+∠A=180°，∠FEC=∠C，∴∠A+∠AEC－∠C=180°∴120°+∠AEC－40°=180°，即∠AEC=100°，故答案为：D．例2．（2021·浙江杭州七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由；（2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由；（3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）∠E=∠B+∠D，理由如下：过点E作直线a∥AB，则a∥AB∥CD，则∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D . （2）∠E+∠B+∠D =360°，理由如下：过点E作直线b∥AB，则b∥AB∥CD∴∠B+∠3=180°，∠4+∠D=180°∴∠B+∠3+∠4+∠D =360°即∠E+∠B+∠D =360°.（3）∠B+∠F+∠D=∠E+∠G，理由如下：过点E，F，G作直线c∥AB，d∥AB，e∥AB，则c∥AB∥d∥e∥CD，则∠B=∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∠10=∠D∴∠B+∠EFG+∠D=∠5+∠7+∠8+∠10=∠5+∠6+∠9+∠10=∠BEF+∠FGD.变式4.（2021·山西八年级期末）综合与探究问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．（1）如图1，，点分别为直线上的一点，点为平行线间一点且，求度数；问题迁移：（2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交于点，直线分别交于点，点在射线上运动．①当点在（不与重合）两点之间运动时，设．则之间有何数量关系？②若点不在线段上运动时（点与点三点都不重合），请你直接写出间的数量关系．【答案】（1）110°；（2）①∠CPD=α+β；②当P在BA延长线时，∠CPD=β－α；；当P在OB之间时，∠CPD=α－β.【解析】解：（1）过P作PG∥EF，则PG∥EF∥MN，∴∠PAF+∠GPA=180°，∠PBN+∠GPB=180°∴∠GPA=180°－130°=50°，∠GPB=180°－∠PBN=60°∴∠APB=∠GPA +∠GPB=50°+60°=110°.（2）①∠CPD=∠α+∠β. ②当P在BA延长线时，∠CPD=β－α.过P作PE∥AD交AD于E，∵AD∥BC，∴∠DPE=α，∠CPE=β ∴∠CPD=β－α. 当P在OB之间时，∠CPD=α－β 过P作PE∥AD交CD于E，同理，得：∠CPD=α－β.变式5.（2021·河南七年级期末）把一块含60°角的直角三角尺放在两条平行线之间．（1）如图1，若三角形的60°角的顶点放在上，且，求的度数；（2）如图2，若把三角尺的两个锐角的顶点分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系；（3）如图3，若把三角尺的直角顶点放在上，30°角的顶点落在上，请直接写出与的数量关系．【答案】（1）40°；（2）∠AEF+∠FGC=90°；（3）∠AEG+∠CFG=300°.【解析】解：(1)∵AB∥CD，∴∠1=∠EGD，∵∠2+∠FGE+∠EGD=180°，∠2=2∠1，∴2∠1+60°+∠1=180°，∴∠1=40°；(2)过点F作FP∥AB，∵CD∥AB，∴FP∥AB∥CD，∴∠AEF=∠EFP，∠FGC=∠GFP.∴∠AEF+∠FGC=∠EFP+∠GFP=∠EFG，∵∠EFG=90°，∴∠AEF+∠FGC=90°；(3) ∠AEG+∠CFG =300°，理由如下∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE=180°，即∠AEG −30°+∠CFG −90°=180°，整理得：∠AEG+∠CFG =300°．模型2：铅笔头模型【解题技巧】如图，①已知：AB∥CD，结论：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；②已知：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°，结论：AB∥CD. 图①、图② 图③③已知：AB∥CD，结论：∠1+∠2+…+∠n=180（n－1）.例1、（2021.河北七年级月考）如图，已知：AB∥CD，求证：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；【解析】方法一（破角）:过点P作PQ∥AB则AB∥CD∥PQ ∴∠BAP+∠APQ=180°，∠CPQ+∠PCD=180°∴∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=360° 即∠PAB+∠APB+∠PCD=360°.方法二（添角）:连接AC，易知，∠1+∠4=180°，∠2+∠3+∠P=180°∴∠1+∠4+∠2+∠3+∠P=360°即∠PAB+∠APB+∠PCD=360°.变式1．（2021·陕西咸阳市期末）如图，，直线分别交AB、DE于点F、G．若，则___________．【答案】70°．【解析】解：如图，过C作CH∥AB， ∵AB∥CH，∴∠B+∠BCH=180°，∵∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°，∴∠D+∠DCH=180°，∴CH∥DE，∴AB∥DE，∴∠1=∠3=110°，∴∠2=180°-∠3=70°故答案为70°．变式2．（2021·黑龙江·七年级期中）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案．【详解】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，∴=∠BCD+∠DCM=，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．例2．（2021·福建泉州七年级期末）问题情境：我市某中学班级数学活动小组遇到问题：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．经过讨论形成的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．（1）按该数学活动小组的思路，请你帮忙求出∠APC的度数；（2）问题迁移：如图3，∥，点在、两点之间运动时， ，．请你判断 、、 之间有何数量关系？并说明理由；（3）拓展应用：如图4，已知两条直线∥，点在两平行线之间，且的平分线与 ∠DFP的平分线相交于点Q，求的度数．【答案】（1）110°；（2）∠CPD＝α＋β，见解析；（3）360°.【解析】解：（1）过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD．∴∠A＋∠APE＝180°，∠C＋∠CPE＝180°∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝110°．（2）∠CPD＝α＋β，理由如下：过P作PE∥AD交CD于E．∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠DPE＝α，∠CPE＝β，∴∠CPD＝∠DPE＋∠CPE＝α＋β．（3）由（1）可得，∠P+∠BEP+∠DFP=360° 又∵QE平分∠PEB，QF平分∠PFQ∴∠BEP=2∠BEQ，∠DFP=2∠DFQ ∴∠P+2∠Q=∠P+2（∠BEQ+∠DFQ）=∠P+∠BEP+∠DFP=360°. 变式3．（2021·佛山顺德区月考）问题情境1：如图1，AB∥CD，P是ABCD内部一点，P在BD的右侧，探究∠B，∠P，∠D之间的关系？小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠B，∠P，∠D之间满足　 　关系．（直接写出结论）问题情境2：如图3，AB∥CD，P是AB，CD内部一点，P在BD的左侧，可得∠B，∠P，∠D之间满足　 　关系．（直接写出结论）问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F（1）如图4，若∠E＝80°，求∠BFD的度数；（2）如图5中，∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，设∠E＝m°，用含有n，m°的代数式直接写出∠M＝　 　．【答案】问题情境1：∠B+∠BPD+∠D＝360°，∠P＝∠B+∠D；（1）140°；（2）∠E+∠M＝60°（3）.【解析】（1）∵BF、DF分别是∠ABE和∠CDE的平分线，∴∠EBF＝∠ABE，∠EDF＝∠CDE，由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∵∠E＝80°，∴∠ABE+∠CDE＝280°，∴∠EBF+∠EDF＝140°，∴∠BFD＝360°﹣80°﹣140°＝140°；（2）∠E+∠M＝60°，理由是：设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∴6x+6y+∠E＝360°，即∠E＝60﹣x﹣y，∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，∴∠M＝x+y，∴∠E+∠M＝60°；（3）设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝（n﹣1）x，∠EBF＝nx，∠FDM＝（n﹣1）y，∠EDF＝ny，由问题情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∴2nx+2ny+∠E＝360°，∴x+y＝，∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴2nx+2ny+∠E＝∠M+（2n﹣1）x+（2n﹣1）y+∠E，∴∠M＝；故答案为：∠M＝．变式4．（2021·湖北七年级月考）如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°．（1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，在（1）的结论下，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD．当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；（3）如图3，在（1）的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时（点C除外），∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？直接写出结论，其数量关系为 ．【答案】（1）平行，理由见解析（2）∠BAE＋∠MCD＝90°，理由见解析（3）∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP【分析】（1）由角平分线的性质得出∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，推出∠BAC＋∠ACD＝180°，即可得出结论；（2）过E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，得出∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，由∠AEC＝90°，推出∠BAE＋∠ECD＝90°，∠ECD＝∠MCD，得出∠BAE＋∠MCD＝90°；（3）由平行线的性质得出∠BAC＋∠ACD＝180°，由三角形内角和定理得出∠CPQ＋∠CQP＋∠PCQ＝180°，即可得出结果．【详解】（1）AB∥CD；理由如下：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，∵∠EAC＋∠ACE＝90°，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，∴AB∥CD；（2）∠BAE＋∠MCD＝90°；理由如下：过E作EF∥AB，如图2所示：∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，∵∠AEC＝90°，∴∠BAE＋∠ECD＝90°，∵∠MCE＝∠ECD∴∠ECD＝∠MCD∴∠BAE＋∠MCD＝90°；（3）∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP；理由如下：∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，∵∠CPQ＋∠CQP＋∠PCQ＝180°，即（∠CPQ＋∠CQP）＋∠ACD＝180°，∴∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．例3．（2021·西安七年级月考）下列各图中的MA1与NAn平行．（1）图①中的∠A1+∠A2= 度，图②中的∠A1+∠A2+∠A3= 度，图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4= 度，图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5= 度，…，第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10= 度（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An= ．【答案】（1）180；360；540；720；1620；（2）180°（n﹣1）．【解析】解：（1）∵MA1∥NA2，∴∠A1+∠A2=180°，如图，分别过A2、A3、A4作MA1的平行线，图②中的∠A1+∠A2+∠A3=360°，图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°，图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=720°，…，第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10=1620°；（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=180°（n﹣1）．故答案为180，360，540，720，1620；180°（n﹣1）．变式5．（2021·山东七年级月考）如图，两直线、平行，则（ ）．A．630° B．720° C．800° D．900°【答案】D【详解】分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB观察图形可知，图中有5组同旁内角，则故选D【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键变式6．（2021·贵州遵义市·七年级期末）[问题解决]（1）如图1，AB∥CD，点E、F分别是AB、CD上的点，连接OE、OF，探求∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由．[拓展延伸]（2）如图2，上述结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请写出它们的关系．[拓展应用]（3）如图3，已知AB∥CD，∠AE1E2的角平分线与∠CEnEn﹣1的角平分线交于点O．若∠E1OEn＝m°，直接写出∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣2）+∠（n﹣1）的度数．（用含m、n的代数式表示）【答案】（1）∠1+∠2+∠3＝360°；（2）∠1＝∠2+∠3；（3）（n﹣1）•180°﹣2m°.【解析】解：[问题解决]∠1+∠2+∠3＝360°．理由如下：过点O作OH∥AB，如图，∴∠1+∠EOH＝180°， ∵AB∥CD，∴OH∥CD，∴∠2+∠FOH＝180°，∴∠1+∠EOH+2+∠FOH＝360°，即∠1+∠2+∠3＝360°；[拓展延伸]∠1＝∠2+∠3．理由如下：过点O作OH∥AB，∴∠1＝∠EOH，∵AB∥CD，∴OH∥CD，∴∠2＝∠FOH，又∵∠EOH＝∠3+∠FOH，∴∠1＝∠2+∠3；[拓展应用]过E2点作E2H2∥AB，过E3作E3H3∥AB，…，过点En﹣2作En﹣2Hn﹣2∥AB，过点En﹣1作En﹣1Hn﹣1∥AB，过点O作OH∥AB，∴∠AE1E2+∠E1E2H2＝∠H2E2E3+∠H3E3E2＝…＝∠Hn﹣2En﹣2+∠Hn﹣1En﹣1En﹣2＝∠Hn﹣1En﹣1En+∠En﹣1EnC＝180°，∴∠AE1E2+∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣2）+∠（n﹣1）+∠CEnEn﹣1＝（n﹣1）•180°，∵∠AE1E2的角平分线与∠CEnEn﹣1的角平分线交于点O，∠E1OEn＝m°，∴∠AE1E2+∠CEnEn﹣1＝2（∠AE1O+∠CEnEn﹣1），∴∠AE1O＝∠E1OH，∵AB∥CD，∴OH∥CD，∴∠CEnO＝∠En﹣1OH，∴∠AE1O+∠CEnO＝∠E1OEn＝m°，∴∠AE1E2+∠CEnEn﹣1＝2m°，∴∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣2）+∠（n﹣1）═（n﹣1）•180°﹣2m°．模型3：拐弯模型【解题技巧】类型1（鸟嘴形）：如图，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3.类型2（骨折形）：如图，AB∥CD，结论：∠2=∠1+∠3. 例1．（2021.广东省七年级期中）如图，已知AB∥CD，求证：∠1=∠2+∠3.【解析】证法1（添角）：过点P作PQ∥AB，则AB∥CD∥PQ ∴∠2+∠3+∠4=180°，∠1+∠4=180°∴∠1=∠2+∠3.证法2：延长AB交PD于Q，则∠2=∠4，∠1+∠5=180°，∠5+∠3+∠4=180°∴∠1=∠3+∠4=∠2+∠3.变式1.（2021·余干县期末）如图1，ADBC，的平分线交BC于点G，．（1）求证：；（2）如图2，若，的平分线交于点E，交射线GA于点F，的度数．【答案】（1）见解析；（2）20°.【解析】解：（1）∵DA∥BC ∴∠DAG=∠AGB∵AC平分∠BAD∴∠BAG=∠DAG∴∠BAG=∠AGB.（2）∵∠ABC=50°∴∠BGA=∠BAG=65°，∴∠AGC=115°∵CE平分∠DCB∴∠ECB=45°，∴∠AFC=180°－∠AGC－∠ECB=20°.变式2．（2021·保定市期中）（1）已知：如图1，，易知______．（2）如图2，，，是直线上的两点，猜想，，，，这四个角之间的关系，写出以下三种情况中这四个角之间的关系，并选择其中之一进行说明． 图2①图中四个角的关系：______②图中四个角的关系：______③图中四个角的关系：______【答案】（1）∠A+∠C；（2）①∠AP1P2+∠P1P2C-∠A-∠C=180°，∠A+∠AP1P2+∠P1P2C-∠C=180°，③∠AP1P2+∠P1P2C-∠A+∠C=180°．【解析】解：（2）①∠AP1P2+∠P1P2C-∠A-∠C=180°，过P1作P1B∥AE，过P2作P2G∥CF， ∵P1B∥AE，∴∠BP1A=∠A，∵P2G∥CF，∴∠GP2C=∠C，∵P1B∥AE，P2G∥CF，AE∥CF，∴P1B∥P2G，∴∠BP1P2+∠GP2P1=180°，∴∠AP1P2+∠P1P2C=∠AP1B+∠BP1P2+∠P1P2G+∠GP2C=180°+∠A+∠C，∴∠AP1P2+∠P1P2C-∠A-∠C=180°；②∠A+∠AP1P2+∠P1P2C-∠C=180°，过P2作GP2∥CF，则∠GP2C=∠C， ∵AE∥CF，∴AE∥GP2，∴∠AEF+∠GP2E=180°，∵∠AEF=∠A+∠AP1P2，∴∠AEF+∠P1P2C=180°+∠GP2C，∴∠A+∠AP1P2+∠P1P2C=180°+∠C，∴∠A+∠AP1P2+∠P1P2C-∠C=180°；③∠AP1P2+∠P1P2C-∠A+∠C=180°，过P1作P1G∥CF，则∠GP1F+∠CFP1=180°，∵AE∥CF，∴AE∥GP1，∴∠A=∠AP1G，∵∠EFC=∠C+∠P1P2C，∴∠AP1P2+∠EFC=180°+∠AP1G，∴∠AP1P2+∠C+∠P1P2C=180°+∠A，∴∠AP1P2+∠P1P2C-∠A+∠C=180°．例2. （2021·忠县七年级月考）如图，已知直线l1//l2，l3、和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系； （3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；（4）若点P在线段DC延长线上运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．【答案】（1）见详解；（2）∠3＝∠2﹣∠1；（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2；（4）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．【解析】（1）证明：过P作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2，∴∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF∵∠EPF＝∠QPE+∠QPF，∴∠EPF＝∠1+∠2． （2）∠3＝∠2﹣∠1；过P作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2，则：∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF∵∠EPF＝∠QPF﹣∠QPE，∴∠EPF＝∠2﹣∠1．（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．过P作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2，∴∠EPQ+∠1＝180°，∠FPQ+∠2＝180°，∵∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ；∴∠EPQ +∠FPQ +∠1+∠2＝360°，即∠EPF＝360°﹣∠1﹣∠2； （4）点P在线段DC延长线上运动时，∠3＝∠1﹣∠2．过P作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2，∴∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；∵∠QPE﹣∠QPF=∠EPF；∴∠3＝∠1﹣∠2．变式3．（2021·余干县期末）已知直线AB∥CD，（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为　 　；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则 =　 　．【答案】(1) ∠E=∠END﹣∠BME (2) ∠E+2∠NPM=180°（3） 【分析】（1）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.（2）根据平行线的性质，三角形外角定理，角平分线的性质即可解答.（3）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.【详解】（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠END=∠EFB，∵∠EFB是△MEF的外角，∴∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME，（2）如图2，∵AB∥CD，∴∠CNP=∠NGB，∵∠NPM是△GPM的外角，∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，∴∠CNE=2∠CNP，∠FME=2∠BMQ=2∠PMA，∵AB∥CD，∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP，∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE=180°，∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2（∠PMA+∠CNP）=180°，∴∠E+2∠NPM=180°；（3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，∵AB∥CD，∴∠CDG=∠AGE，∵∠ABE是△BEG的外角，∴∠E=∠ABE﹣∠AGE=∠ABE﹣∠CDE，①∵∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，∴∠ABM=∠ABE=∠CHB，∠CDN=∠CDE=∠FDH，∵∠CHB是△DFH的外角，∴∠F=∠CHB﹣∠FDH=∠ABE﹣∠CDE=（∠ABE﹣∠CDE），②由①代入②，可得∠F=∠E，即.点睛：本题考查了三角形外角定理，平行线的性质，角平分线的定义.变式4．（2021·湖南株洲市期末）已知直线a∥b，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．（1）如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1+∠3=∠2；（提示：过点P作PM∥a）（2）当点P在线段EF外运动时有两种情况，①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明．②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．【答案】（1）见解析；（2）①∠2＝∠3-∠1；②∠2＝∠3-∠1.【解析】解：（1）证明：作PM∥a，则∠1＝∠APM， ∵PM∥a，a∥b，∴PM∥b，∴∠MPB＝∠3，∴∠APB＝∠APM＋∠MPB＝∠1＋∠3，即∠1+∠3=∠2；（2）①结论：∠2＝∠3−∠1．理由：作PM∥a，则∠1＝∠APM，∵PM∥a，a∥b，∴PM∥b，∴∠MPB＝∠3，∴∠APB＝∠MPB−∠MPA＝∠3−∠1，即∠2＝∠3-∠1；②结论：∠2＝∠3−∠1.模型4：“5”字模型基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°.例1.（2021.浙江七年级期中）如图，AB∥CD，求证：∠1+∠3－∠2=180°.【解析】过P作PQ∥AB，则AB∥CD∥PQ∴∠1+∠4=180°，∠4+∠5=∠3，∠5=∠2 ∴∠1+∠3－∠2=180°.变式1．（2021.北京七年级期中）如图，已知AB∥CD, EF∥CD，则下列结论中一定正确的是( )A．∠BCD= ∠DCE; B．∠ABC+∠BCE+∠CEF=360;C．∠BCE+∠DCE=∠ABC+∠BCD; D．∠ABC+∠BCE -∠CEF=180.【分析】根据平行线的性质，找出图形中的同旁内角、内错角即可判断.【解析】延长DC到H。∵AB∥CD，EF∥CD ∴∠ABC+∠BCH=180°∠ABC=∠BCD ∠CE+∠DCE=180° ∠ECH=∠FEC∴∠ABC+∠BCE+∠CEF=180°+∠FEC∠ABC+∠BCE -∠CEF=∠ABC+∠BCH+∠ECH-∠CEF=180°. 故选D.点拨：此题主要考查了平行线的性质，关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，同位角相等.变式2．（2021·江苏七年级期末）如图，AB∥CD，则∠1+∠3－∠2的度数等于 __________．【答案】180°.【解析】解：∵AB∥CD∴∠1=∠EFD∵∠2+∠EFC=∠3，∠EFD=180°－∠EFC∴∠1+∠3－∠2=180°故答案为：180°.变式3.（2021·河北七年级月考）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，则∠CDE=__________度． 【答案】20.【解析】解：过点C作CF∥AB，由题意知，AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠BCF+∠ABC=180°，∴∠BCF=60°，∴∠DCF=20°，∴∠CDE=∠DCF=20°．故答案为：20．例2．（2021·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为______．【答案】∠P＝360°﹣2a【分析】根据角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，平行线的性质得出∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，进而根据三角形内角和得出∠5、∠FED，再得到∠P和a的关系，然后即可用 a表示∠P．【详解】解：延长AB交PD于点G，延长FE交CD于点H，∵BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵AB∥CD，∴∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，∵∠PBG＝180°﹣2∠1，∴∠PBG＝180°﹣2∠5，∴∠5＝90°﹣∠PBG，∵∠FED＝180°﹣∠HED，∠5＝180°﹣∠EHD，∠EHD＋∠HED＋∠3＝180°，∴180°﹣∠5＋180°﹣∠FED＋∠3＝180°，∴∠FED＝180°﹣∠5＋∠3，∴∠FED＝180°﹣（90°﹣∠PBG）＋∠6＝90°＋（∠PBG＋∠6）＝90°＋（180°﹣∠P）＝180°﹣∠P，∵∠FED＝a，∴a＝180°﹣∠P∴∠P＝360°﹣2a．故答案为：∠P＝360°﹣2a．【点睛】此题考查了角平分线的性质和平行线的性质及三角形内角和，有一定的综合性，认真找出角的关系是关键．变式4．（2021·黑龙江·七年级月考）如图，，E是上的点，过点E作，若，平分，，，则_______．【答案】【分析】延长AB交HP于点M；根据平分，得；根据，得，从而推导得；结合，得；再根据以及，结合三角形内角和性质，即可完成求解．【详解】如图，延长AB交HP于点M∵平分∴ ∴∵∴∵∴ ∴∵∴ ∴∵∴∴ ∵∴ ∴ 故答案为：．【点睛】本题考查了三角形内角和、平行线、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握了三角形内角和、平行线、角平分线的性质，从而完成求解．变式5.（2021·江苏七年级期中）如图所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．则∠C等于（   ）A．20° B．25° C．30° D．40°【答案】B【分析】根据AB∥CD，∠A=50°，所以∠A=∠AOC．又因为∠C=∠E，∠AOC是外角，所以可求得∠C．【详解】解：∵AB∥CD，∠A=50°，∴∠A=∠AOC（内错角相等），又∵∠C=∠E，∠AOC是外角，∴∠C=50°÷2=25°．故选B．例3．（2021·河南驻马店七年级期中）如图1，已知AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝110°．（1）若∠E＝50°，请直接写出∠F的度数；（2）探索∠E与∠F之间满足的数量关系，并说明理由；（3）如图2，EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，FG的反向延长线交EP于点P，求∠P的度数．【答案】（1）100°；（2）∠F＝∠E+50°；（3）∠P＝25°.【解析】解：（1）分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB， ∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，∵∠D＝110°，∴∠DFN＝70°，∴∠BEF＝∠MEF+20°，∠EFD＝∠EFN+70°，∴∠EFD＝∠MEF+70°∴∠EFD＝∠BEF+50°＝100°；故答案为：100°；（2）分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，又∵∠D＝110°，∴∠DFN＝70°，∴∠BEF＝∠MEF+20°，∠EFD＝∠EFN+70°，∴∠EFD＝∠MEF+70°，∴∠EFD＝∠BEF+50°；（3）过点F作FH∥EP，由（2）知，∠EFD＝∠BEF+50°，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+50）°，∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，∴∠PEF＝∠BEF＝x°，∠EFG＝∠EFD＝（x+25）°，∵FH∥EP，∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，∵∠HFG＝∠EFG﹣∠EFH＝25°，∴∠P＝25°．变式6．（2021·湖北咸宁市期末）（感知）如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连结AE、BE，试说明∠BAE+∠DCE=∠AEC；（探究）当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠AEC+∠BAE+∠DCE=360°；（应用）点E、F、G在直线AB与CD之间，连结AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图③，若∠EFG=36°，则∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=______°.【答案】【感知】见解析；【探究】∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°；【应用】396°.【解析】解：【感知】过E点作EF//AB ∵AB//CD∴EF//CD∵AB//CD∴∠BAE=∠AEF∵EF//CD∴∠CEF=∠DCE∴∠BAE+∠DCE=∠AEC.【探究】过E点作AB//EG.∵AB//CD∴EG//CD∵AB//CD∴∠BAE+∠AEG=180°∵EG//CD∴∠CEG+∠DCE=180°∴∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°.【应用】过点F作FH∥AB.∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠BAE+∠AEF+∠EFH=360°，∠HFG+∠FGC+∠GCD=360°，∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD=720°，∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD+∠EFG=720°+36°，∴∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=720°-360°+36°=396°故答案为396°.动态角度1 ：折叠问题例1．（2021·江苏镇江七年级期中）如图，将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果∠1＝55°，那么∠2＝_____°．【答案】110.【解析】解：由折叠的性质可得，∠1＝∠3，∵∠1＝55°，∴∠1＝∠3＝55°，由平行线性质知：∠2＝∠1+∠3，∴∠2＝110°，故答案为：110．变式1．（2021·宜兴市北郊中学初二期中）如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）A．102° B．108° C．124° D．128°【答案】A【分析】先由矩形的性质得出∠BFE=∠DEF=26°，再根据折叠的性质得出∠CFG=180°-2∠BFE，∠CFE=∠CFG-∠EFG即可．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BFE=∠DEF=26°，∴∠CFE=∠CFG-∠EFG=180°-2∠BFE-∠EFG=180°-3×26°=102°，故选：A．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、平行线的性质；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．变式2．（2021·广东佛山市七年级期中）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED′=30°，则∠BFC′的度数为_________．【答案】30°．【解析】解：∵∠AED′=30°，∴∠DED′=180°-∠AED′=180°-30°=150°，由折叠知：∠DEF=∠D′EF，∴∠DEF=∠DED′=×150°=75°．∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=75°，∠DEF+∠EFC=180°，∴∠EFC=105°，由折叠知：∠EFC=∠EF C′=105°，∴∠BFC′=∠EF C′-∠EFB=105°-75°30°. 故答案为30°．例2．（2021·全国·八年级单元测试）在△ABC中，将∠B、∠C按如图方式折叠，点B、C均落于边BC上一点G处，线段MN、EF为折痕．若∠A＝80°，则∠MGE＝_____°．【答案】80【分析】由折叠的性质可知：∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，根据三角形的内角和为180°，可求出∠B＋∠C的度数，进而得到∠MGB＋∠EGC的度数，问题得解．【详解】解：∵线段MN、EF为折痕，∴∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，∵∠A＝80°，∴∠B＋∠C＝180°﹣80°＝100°，∴∠MGB＋∠EGC＝∠B＋∠C＝100°，∴∠MGE＝180°﹣100°＝80°，故答案为：80．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，解题的关键是利用整体思想得到∠MGB＋∠EGC的度数．变式3．（2021·浙江杭州·七年级期中）在“妙折生平——折纸与平行”的拓展课上，小潘老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片ABC，，，点D是AB边上的固定点（），请在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，使EF与三角形ABC的一边平行，则为________度．【答案】35°或75°或125°【分析】由于EF不与BC平行，则分EF∥AB和EF∥AC，画出图形，结合折叠和平行线的性质求出∠BDE的度数．【详解】解：当EF∥AB时，∠BDE=∠DEF，由折叠可知：∠DEF=∠DEB，∴∠BDE=∠DEB，又∠B=30°，∴∠BDE=（180°-30°）=75°； 当EF∥AC时，如图，∠C=∠BEF=50°，由折叠可知：∠BED=∠FED=25°，∴∠BDE=180°-∠B=∠BED=125°；如图，EF∥AC，则∠C=∠CEF=50°，由折叠可知：∠BED=∠FED，又∠BED+∠CED=180°，则∠CED+50°=180°-∠CED，解得：∠CED=65°，∴∠BDE=∠CED-∠B=65°-30°=35°；综上：∠BDE的度数为35°或75°或125°．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和，折叠问题，解题的关键是注意分类讨论，画图图形推理求解．变式4．（2021·重庆南开中学八年级开学考试）如图，在中，，在边上取点，使得，连接．点、分别为、边上的点，且，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若，则的度数为_______． 【答案】【分析】根据题意可得，设，是的一个外角，可得，根据三角形内角和定理可得，即，联立解方程组即可求得．【详解】折叠，设，，是的一个外角即①即即② ②-①得即故答案为：【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，三角形的外角性质，解二元一次方程组，理清角度之间的关系，设未知数列方程组是解题的关键．例3．（2021·河南襄城·七年级月考）（1）学习了平行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）．①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b，使直线b经过点P，且，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果．无需写画法：②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的 线．（2）已知，如图3，，BE平分，CF平分．求证：（写出每步的依据）．【答案】（1）①见解析；②垂；（2）见解析【分析】（1）①过点折纸，使痕迹垂直直线，然后过点折纸使痕迹与前面的痕迹垂直，从而得到直线；②步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线．（2）先根据平行线的性质得到，再利用角平分线的定义得到，然后根据平行线的判定得到结论．【详解】（1）解：①如图2所示：②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线．故答案为垂；（2）证明：平分，平分（已知），，（角平分线的定义），（已知），（两直线平行，内错角相等），（等量代换），（等式性质），（内错角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质与判定．变式5.（2021·广东深圳市七年级期末）如图①，在长方形中，点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中，则的度数为______度.【答案】30+.【解析】解：如图：∵∠ABE=30°，∴∠BEA'=∠BAE=60°，∵A'D'∥BC，∴∠BCE=∠CED'，∵∠CED'=∠CED，∴∠BCE=∠CED'=∠CED，∵∠DEC=∠DED'，∴∠DEC=（180°-∠A'EA+∠AED）=（180°-120°+n°）=（30+）°，∴∠BCE=（30+）°故答案为：（30+）．变式6. （2021·上海市七年级月考）已知，如图1，四边形，，点在边上，为边上一动点，过点作，交直线于点．（1）当时，求；（2）当时，求；（3）如图3，将沿翻折使点的对应点落在边上，当时，请直接写出的度数，答：______．【答案】（1）20°；（2）72°；（3）65°.【解析】解：（1）∵∠D=∠C=90°∴∠D+∠C=180°∴AD∥BC∴∠APE=∠PEC=70°又∵PQ⊥PE∴∠EPQ=90°∴∠APE+∠DPQ=90°∴∠DPQ=20°（2）由（1）可知∠APE=∠PEC，∠APE+∠DPQ=90°，∵∠PEC=4∠DPQ∴4∠DPQ+∠DPQ=90°∴∠DPQ=18°∴∠APE=∠PEC=4∠DPQ=72°（3）由折叠的性质得：∠D'=∠D=90°，∠DPQ=∠D'PQ∴∠QD'C+∠PD'E=90°∵∠QD'C=40°∴∠PD'E=50°由（1）可知AD∥BC，∠APE+∠DPQ=90°，∠APE=∠PEC∴∠DPD'=∠PD'E=50°∴∠DPQ=∠DPD'=25°∴∠PEC=∠APE=65°.动态角度2: 旋转问题例1．（2021·湖南岳阳·七年级期末）如图，将一副三角板按如图所示放置，，，，且，则下列结论中：①；②若平分，则有；③将三角形绕点旋转，使得点落在线段上，则此时；④若，则．其中结论正确的选项有______．（写出所有正确结论的序号）【答案】②③④【分析】①根据同角的余角相等得∠1=∠3，但不一定得45°；②都是根据角平分线的定义、内错角相等，两条直线平行，可得结论；③根据对顶角相等和三角形的外角等于不相邻的两个内角得和，可得结论；④根据三角形内角和定理及同角的余角相等，可得结论．【详解】解：①如图，∵∠CAB=∠DAE=90°，即∠1+∠2=∠3+∠2+90°，∴∠1=∠3≠45°，故①不正确；②∵AD平分∠CAB，∴∠1=∠2=45°，∵∠1=∠3，∴∠3=45°，又∵∠C=∠B=45°，∴∠3=∠B，∴BC∥AE，故②正确；③将三角形ADE绕点A旋转，使得点D落在线段AC上，则∠4=∠ADE-∠ACB=60°-45°=15°，故③正确；④∵∠3=2∠2，∠1=∠3，∴∠1=2∠2，∠1+∠2=90°，∴3∠2=90°，∴∠2=30°，∴∠3=60°，又∠E=30°，设DE与AB交于点F，则∠AFE=90°，∵∠B=45°，∴∠4=45°，∴∠C=∠4，故④正确，故答案为：②③④．【点睛】本题主要考查了同角的余角相等、角平分线定义、平行线的判定的运用，解题关键是熟练掌握同角的余角相等及平行线的判定．变式1．（2021·辽宁建昌·七年级期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），下列条件①∠BAD＝30°；②∠BAD＝60°；③∠BAD＝120°；④∠BAD＝150°中，能得到的CD∥AB的有__________．（填序号）【答案】①④【分析】分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．【详解】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD=∠D=30°； 如图所示，当AB∥CD时，∠C=∠BAC=60°，∴∠BAD=60°+90°=150°；∴∠BAD=150°或∠BAD =30°．故答案为：①④．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系．变式2．（2021·重庆·西南大学附中七年级期中）如图，△OAB为等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD为等边三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），满足OC＞OA，△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法正确的是（　　）A．当α＝15°时，DC∥ABB．当OC⊥AB时，α＝45°C．当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15°D．整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行【答案】A【分析】设OC与AB交点为M，OD与AB交点为N，当α＝15°时，可得∠OMN＝α+∠A＝60°，可证DC∥AB；当OC⊥AB时，α+∠A＝90°，可得α＝30°；当边OB与边OD在同一直线上时，应分两种情况，则直线DC与直线AB相交形成的锐角也有两种情况；整个旋转过程，因OC、OB、OD、OA都有交点，只有AB和CD存在平行，根据图形的对称性可判断有两个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行．【详解】解：设OC与AB交点为M，OD与AB交点为N，当α＝15°时，∠OMN＝α+∠A＝60°，∴∠OMN＝∠C，∴DC∥AB，故A正确；当OC⊥AB时，α+∠A＝90°或α﹣180°＝90°﹣∠A，∴α＝45°或225°，故B错误；当边OB与边OD在同一直线上时，应分两种情况，则直线DC与直线AB相交形成的锐角也有两种情况，故C错误；整个旋转过程，因OC、OB、OD、OA都有交点，只有AB和CD存在平行，根据图形的对称性可判断有两个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行，故D错误；故选A．【点睛】本题考查平行线的性质与判定，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.例2. （2021·浙江七年级期中）已知直线AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向每秒1°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．（1）若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转时间30秒时，PB'与QC'的位置关系为_____；（2）若射线QC先转45秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为_____秒时，PB′∥QC′．【答案】PB′⊥QC′；15秒或63秒或135秒． 【解析】解：（1）当旋转时间30秒时，由已知得：∠BPB′＝4°×30＝120°，∠CQC′＝30°， 过E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠PEF＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QEF＝∠CQC′＝30°，∴∠PEQ＝90°，∴PB′⊥QC′，故答案为：PB′⊥QC′；（2）①第一次平行时，如图则∠BPB′＝4t°，∠CQC′＝45°+t°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，即4t＝45+t，解得：t＝15（s）；②第二次平行时，如图 则∠APB′＝4t﹣180°，∠CQC'＝t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′， ∴∠APB′＝∠PED＝180°﹣∠CQC′，即4t﹣180＝180﹣（45+t），解得：t＝63（s）；③第三次平行时，如图，则∠BPB′＝4t﹣360°，∠CQC′＝t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，即4t﹣360＝t+45，解得：t＝135（s）；故答案为：15秒或63秒或135秒．变式3.（2021·江苏泰兴市月考）某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行，即PQ∥MN． 如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． 若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动_________秒，两灯的光束互相平行．【答案】30或110.【解析】解：设灯转动t秒，两灯的光束互相平行，即AC∥BD，①如图所示，∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA， ∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，∴∠PBD＝∠CAM则2t＝30＋t解得：t＝30，②如图所示，∵PQ∥MN，∴∠PBD＋∠BDA＝180°，∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDA，∴∠PBD＋∠CAN＝180°，∴30＋t＋（2t－180）＝180解得：t＝110 故答案为：30或110.变式4（2021.江苏镇江七年级期中）镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B灯每秒转动4°．B灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是　 　．【答案】6秒或19.5秒.【解析】解：设A灯旋转t秒，两灯的光束平行 图，∠MAM'＝∠PBP'，12t＝4（12+t），解得t＝6； ②如图，∠NAM'+∠PBP'＝180°，12t﹣180+4（12+t）＝180，解得t＝19.5；故答案为：6秒或19.5秒．例3.（2021.绵阳市七年级期中）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．（1）填空：∠BAN=______°；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD=120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．【答案】（1）60；（2）t=30秒或110秒；（3）见解析.【解析】解：（1）∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1，∴∠BAN=180°×=60°，故答案为：60；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①如图，∵PQ∥MN，∴∠PBD=∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM=∠BDA， ∴∠CAM=∠PBD∴2t=30+t，解得：t=30； ②如图，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA=180°，∵AC∥BD，∴∠CAN=∠BDA∴∠PBD+∠CAN=180°∴30+t+（2t-180）=180，解得：t=110，综上所述，当t=30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化，设灯A射线转动时间为t秒，∵∠CAN=180°-2t，∴∠BAC=60°-（180°-2t）=2t-120°，∵∠ABC=120°-t，∴∠BCA=180°-∠ABC-∠BAC=180°-t，∠ACD=120°，∴∠BCD=120°-∠BCA=120°-（180°-t）=t-60°，∴∠BAC：∠BCD=2：1，即∠BAC=2∠BCD.变式5.（2021·山东德州市七年级期中）如图，PQ∥MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．（友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向）（1）a＝　 　，b＝　 　；（2）若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直．（3）若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？【答案】（1）a＝5，b＝1；（2）t＝15（s）；（3）15，22.5.【解析】解：（1）|a﹣5|+（b﹣1）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣1＝0，∴a＝5，b＝1，故答案为：5，1；（2）设至少旋转t秒时，射线AM、射线BQ互相垂直．如图，设旋转后的射线AM、射线BQ交于点O，则BO⊥AO，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∵PQ∥MN，∴∠ABQ+∠BAM＝180°，∴∠OBQ+∠OAM＝90°，又∵∠OBQ＝t°，∠OAM＝5t°，∴t+5t＝90，∴t＝15（s）；（3）设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行．如图，射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'＝18×5＝90°，分两种情况：①∠QBQ'＝t°，∠M'AM“＝5t°， ∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM“＝5t﹣45°，当∠ABQ'＝∠BAM“时，BQ'∥AM“， 此时，45°﹣t°＝5t﹣45°，解得：t＝15；②∠QBQ'＝t°，∠NAM“＝5t°﹣90°，∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM“＝45°﹣（5t°﹣90°）＝135°﹣5t°，当∠ABQ'＝∠BAM“时，BQ'∥AM“，此时，45°﹣t°＝135°﹣5t，解得：t＝22.5.动态角度3：动点问题例1.（2021·山西七年级期中）如图，射线AB∥CD，P为一动点，∠BAP与∠DCP的平分线AE与CE交于点E.(1)当P在线段AC上运动时（如图1）,即∠APC=180,则∠AEC＝______；(2)当P运动到图2的位置时，猜想∠AEC与∠APC 的关系，并说明理由；(3)当P运动到图3的位置时,（2）中的结论还成立吗?(不要求说明理由)【答案】（1）90°；（2）∠AEC=∠APC；（3）∠AEC=180°-∠APC．【解析】解：（1）过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠DCA=180°，∵∠BAP与∠DCP的平分线AE与CE交于E，∴∠BAE=∠EAC，∠DCE=∠ACE，∴∠BAE+∠CEF=90°；∴∠AEC=180°，∠AEC=90°；（2）作EM∥BA，PN∥BA，∴∠BAE=∠AEM，∠MEC=∠ECD，∠APN=∠BAP，∠NPC=∠PCD，∵∠BAE=∠EAP，∠PCE=∠ECD，∵∠AEC=∠AEM+∠MEC，∠APC=∠APN+∠NPC，∴∠AEC=∠APC；（3）作EW∥AB，EP∥AB，同理得：2∠AEC=360°-∠APC，∴∠AEC=180°-∠APC．变式1.（2021.安徽合肥七年级期末）已知，直线，、分别是和上的动点，点为直线、之间任一点，且，则与之间的数量关系为______．【答案】∠AMP+∠CNP=90°或∠AMP+∠CNP=270°或∠AMP－∠CNP=90°或∠CNP－∠AMP =90°. 【解析】解：分4种情况讨论，以A、B与C、D位置不同作出图形如下： 图1 过P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，易证：∠AMP=∠MPQ，∠QPN=∠CNP，而∠MPQ+∠QPN=90° ∴∠AMP+∠CNP=90°图2 图3图4同理，可得另三种情况的结论；故答案为：∠AMP+∠CNP=90°或∠AMP+∠CNP=270°或∠AMP－∠CNP=90°或∠CNP－∠AMP =90°. 变式2.（2021·浙江湖州市月考）如图1，已知直线EF分别与直线相交于点平平分(本题可能用到的结论：三角形三个角之和为)（1）求证：；（2）如图2，若平分交的延长线于点，且与的比为，求的度数．（3）如图3，若点是射线之间一动点，平分过点作于点，请猜想与的关系，并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）75°；（3）∠EHF=2∠FGQ.【解析】解：（1）∵AB∥CD∴∠BEF+∠DFE=180°∵ME，FM分别平分∠BEF，∠EFD∴∠BEF=2∠MEF，∠DFE=2∠EFM∴2∠MEF+2∠EFM=180°即∠MEF+∠EFM=90° ∴∠EMF=90° 即EM⊥FM.（2）设∠BEN=4x，∠EFN=3x，由∠EMF=90°，知∠EFM=90－4x∴∠NFM=∠NFD=7x-90∵∠MFE=∠MFD∴90-4x=2（7x-90），解得：x=15故∠MFN=15°，∠N=75°（3）∠EHF=2∠FGQ.∵GQ⊥FM∴∠GFQ+∠FGQ=90°，∠GFQ=90°－∠FGQ∵FG平分∠HFE, FM平分∠EFD∴∠GFQ=∠GFE+∠QFE=（∠HFE+∠EFD）=∠HFD∴∠HFD=2∠GFQ∵AB∥CD ∴∠EHF+∠HFD=180°∴∠EHF=180°－∠HFD=180－2（90-∠FGQ）=2∠FGQ. 例2.（2021·达州市七年级期中）已知：如图所示，直线MN∥GH，另一直线交GH于A，交MN于B，且∠MBA＝80°，点C为直线GH上一动点，点D为直线MN上一动点，且∠GCD＝50°．（1）如图1，当点C在点A右边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；（2）如图2，当点C在点A右边且点D在点B右边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；（3）当点C在点A左边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线所在直线交于点P，请直接写出∠BPC的度数，不说明理由．【答案】（1）∠BPC＝65°；（2）∠BPC＝155°；（3）∠BPC＝155°.【解析】解：（1）如图，过点P作PE∥MN ∵PB平分∠DBA，∴∠DBP=∠PBA=40°，∵PE∥MN，∴∠BPE=∠DBP=40°，同理可证：∠CPE=25°，∴∠BPC＝40°+25°＝65°；（2）过点P作PE∥MN．∵∠MBA＝80°．∴∠DBA＝180°−80°＝100°．∵BP平分∠DBA．∴∠DBP=50°，∵MN∥PE，∴∠BPE＝180°−∠DBP＝130°，∵PC平分∠DCA．∴∠PCA=25°，∵MN∥PE，MN∥GH，∴PE∥GH，∴∠EPC=∠PCA=25°，∴∠BPC＝130°+25°＝155°；（3）过点P作PE∥MN．∵BP平分∠DBA．∴∠DBP＝∠PBA=40°，∵PE∥MN，∴∠BPE=∠DBP=40°，∵CP平分∠DCA，∠DCA＝180°−∠DCG＝130°，∴∠PCA=65°，∵PE∥MN，MN∥GH，∴PE∥GH，∴∠CPE＝180°－∠PCA＝115°，∴∠BPC＝40°+115°＝155°．变式3.（2021·重庆沙坪坝区期末）如图1，AB∥CD，直线AE分别交AB、CD于点A、E．点F是直线AE上一点，连结BF，BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，BP与EP交于点P．（1）若点F是线段AE上一点，且BF⊥AE，求∠P的度数；（2）若点F是直线AE上一动点（点F与点A不重合），请直接写出∠P与∠AFB之间的数量关系．【答案】（1）45°；（2）当E点在A点上方时，∠BPE＝∠AFB，当E点在A点下方时，∠BPE＝90°﹣∠AFB.【解析】解：（1）过点P作PQ∥AB，过点F作FH∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PQ∥FH，∴∠ABP＝∠BPQ，∠CEP＝∠EPQ，∠ABF＝∠BFH，∠CEF＝∠EFH，∴∠ABP+∠CEP＝∠BPQ+∠EPQ＝∠BPE，∠ABF+∠CEF＝∠BFH+∠EFH＝∠BFE，∵BF⊥AE，∴∠ABF+∠CEF＝∠BFE＝90°，∵BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，∴∠ABP+∠CEP＝（∠ABF+∠CEF）＝45°，∴∠BPE＝45°；（2）①当点F在EA的延长线上时，∠BPE＝∠AFB过点P作PQ∥AB，过点F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PQ∥FH，∴∠ABP＝∠BPQ，∠CEP＝∠EPQ，∠ABF＝∠BFH，∠CEF＝∠EFH，∴∠CEP﹣∠ABP＝∠EPQ﹣∠BPQ＝∠BPE，∠CEF﹣∠ABF＝∠EFH﹣∠BFH＝∠BFE，∵BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，∴∠CEP﹣∠ABP＝（∠CEF﹣∠ABF）＝∠BFE＝∠AFB，∴∠BPE＝∠AFB；②当点F在线段AE上（不与A点重合）时，∠BPE＝90°﹣∠AFB； 过点P作PQ∥AB，过点F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PQ∥FH，∴∠ABP＝∠BPQ，∠CEP＝∠EPQ，∠ABF＝∠BFH，∠CEF＝∠EFH，∴∠ABP+∠CEP＝∠BPQ+∠EPQ＝∠BPE，∠ABF+∠CEF＝∠BFH+∠EFH＝∠BFE，∵BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，∴∠ABP+∠CEP＝（∠ABF+∠CEF），∴∠BPE＝∠BFE∴∠BFE＝180°﹣∠AFB，∴∠BPE＝90°﹣∠AFB；③当点F在AE的延长线上时，∠BPE＝90°﹣∠AFB过点P作PQ∥AB，过点F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PQ∥FH，∴∠ABP＝∠BPQ，∠CEP＝∠EPQ，180°﹣∠ABF＝∠BFH，∠AEC＝∠EFH，∴∠CEP+∠ABP＝∠EPQ+∠BPQ＝∠BPE，∠BFH﹣∠EFH＝180°﹣∠ABF﹣∠AEC＝∠AFB，∵BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，∴∠CEP+∠ABP＝（∠AEC+∠ABF）＝（180°﹣∠AFB），∴∠BPE＝90°﹣∠AFB；当E点在A点上方时，∠BPE＝∠AFB，当E点在A点下方时，∠BPE＝90°﹣∠AFB．变式4.（2021·湖南益阳市期末）如图，，点为直线上一定点，为直线上的动点，在直线与之间且在线段的右方作点，使得．设为锐角)．(1)求与的和； (2)当点在直线上运动时，试说明；(3)当点在直线上运动的过程中，若平分，也恰好平分，请求出此时的值【答案】（1）∠NAD＋∠PBD=90°；（2）见解析；（3）30°.【解析】解：（1）过点D作EF∥MN ∵MN∥OP∴EF∥OP∴∠NAD=∠ADE，∠PBD=∠BDE∵AD⊥BD∴∠ADB=90°∴∠ADE＋∠BDE=∠ADB=90°∴∠NAD＋∠PBD=90°.（2）∵∠NAD＋∠PBD=90°∴∠PBD=90°－∠NAD∵∠OBD＋∠PBD=180°，∴∠OBD＋90°－∠NAD=180° 即∠OBD －∠NAD=90°；（3）∵AD平分∠NAB，AB平分∠OBD， ∴∠NAD=∠DAB=α，∠NAB=2α，∠OBD=2∠OBA∵MN∥OP∴∠OBA=∠NAB=2α∴∠OBD=4α 由（2）知∠OBD －∠NAD=90°即4α－α=90解得：α=30.