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北师大版七年级数学下册高频考点专题突破 专题02 频率与概率 重难点题型-【高频考点】（原卷版+解析）
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这是一份北师大版七年级数学下册高频考点专题突破 专题02 频率与概率 重难点题型-【高频考点】（原卷版+解析），共42页。
专题02 频率与概率 重难点题型题型1 必然事件的识别【解题技巧】在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．1．（2021·河南九年级期末）下列事件中，必然事件为（ ）A．投掷一枚硬币，向上一面是正面B．经过有交通信号灯的路口；遇到红灯C．打开电视机，正在播放新闻联播D．口袋中装有2个红球和1个白球，从中任意摸出的2个球中有红球2．（2021·山东九年级期末）下列事件中，必然事件是（ ）A．未来一周都是好天气 B．假期出门遇见同学C．不在同一直线上的三个点确定一个圆 D．掷一次硬币，正面向上3．（2021·广西九年级一模）下列事件属于必然事件的是（ ）A．打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”B．将一组数据中的每一个数都加上同一个数，这组数据的方差不变C．一个命题的原命题和它的逆命题都是真命题D．在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数4．（2021·湖北孝感市·九年级期末）下列事件中，属于必然事件的是（ ）A．明天的最高气温将达35℃ B．经过任意三点能画一个圆C．掷两次质地均匀的骰子，其中有一次正面朝上 D．对顶角相等5．（2021·广东九年级期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 B．13个人中至少有两个人生肖相同C．车辆经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．明天一定会下雨6．（2021·湖北九年级二模）掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数．下列事件是必然事件的是（ ）A．掷两次骰子，朝上的一面的点数和大于1 B．掷一次骰子，朝上的一面的点数为7C．掷一次骰子，朝上的一面的点数为4 D．掷两次骰子，朝上的一面的点数都是3题型2 随机事件的识别【解题技巧】在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件.1．（2021·湖北武汉市·九年级月考）从1，3，5，7中任取两个数，则下列事件中是随机事件的是（ ）A．两个数的和为奇数 B．两个数的和为偶数C．两个数的积为偶数 D．两个数的积为3的倍数2．（2021·江苏淮安市·八年级期末）两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ）A．两个小球的标号之和等于1 B．两个小球的标号之和等于7C．两个小球的标号之和大于1 D．两个小球的标号之和等于53．（2021·天津九年级期末）两个不透明的口袋中分别装有两个完全相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1和2．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ）A．两个小球的标号之和等于3 B．两个小球的标号之和等于6C．两个小球的标号之和大于0 D．两个小球的标号之和等于14．（2021·河南郑州市·九年级期末）下列事件中，属于随机事件的是（ ）A．掷一枚硬币10次，仅有1次正面朝上 B．三角形的三个内角之和等于C．从装有5个红球的袋子里摸出一个白球 D．在地面向上抛出一个篮球还会下落5．（2021·山东七年级期中）小林同学做了3次投掷硬币试验，皆正面朝下．在他得到的下列结论中，正确的是（ ）．A．投掷硬币正面朝上是不可能事件 B．投掷硬币正面朝下的概率为1C．投掷硬币正面朝上是随机事件 D．继续第4次投掷一定是正面朝下6．（2021·陕西西安市·交大附中分校）下列事件，是随机事件的是（ ）A．两直线平行，内错角相等 B．两个负数相加，和为正数C．任意掷两枚质地均匀的骰子，面朝上的数字积为14 D．投掷一枚硬币，正面朝上题型3 不可能事件的识别【解题技巧】在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件．1．（2021·浙江台州市·九年级一模）有四张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字2，3，4．从中任意抽取两张，则下列事件为不可能事件的是（ ）A．两张卡片的数字之和等于4 B．两张卡片的数字之和等于5C．两张卡片的数字之和等于6 D．两张卡片的数字之和等于72．（2021·浙江杭州市·九年级期末）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）A．a是实数，则|a|≥0 B．任意一个三角形都有外接圆C．抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6 D．一匹马奔跑的速度是每秒100米3．（2020·江苏泰州市·八年级期中）不透明的袋子里装有3只相同的小球，给它们分别标上序号1、2、3后搅匀．事件“从中任意摸出1只小球，序号为4”是_____事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）．4．（2020·福建南安·初三其他）下列事件中，是不可能事件的是（ ）A．打开电视机，正在播放新闻 B．任意画一个三角形，其内角和为180°C．买一张彩票，中奖 D．从一副没有大小王的扑克牌中抽出两张，数字之和为275．（2020·辽宁建平·初一期末）事件：“在只装有2个红球和8个黑球的袋子里，摸出一个白球”是 A．可能事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．必然事件6．（2020•沭阳县期中）下列事件中是不可能事件的是（ ）A．降雨时水位上升 B．度量三角形的内角和，结果是360° C．打开电视，正在播广告 D．体育运动中肌肉拉伤题型4 可能性的大小【解题技巧】可能性等于所求情况数与总情况数之比．1．（2021·全国七年级课时练习）抛掷一个均匀的正方体骰子，下列事件中出现机会最小的是（ ）A．奇数朝上 B．偶数朝上 C．合数朝上 D．质数朝上2．（2021·全国七年级课时练习）打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶6次，若他们各射击一次，有1人中靶，1人没中靶，则（ ）A．中靶的人一定是甲，不中靶的人一定是乙 B．中靶的人一定是乙，不中靶的人一定是甲C．甲中靶的可能性要小于乙中靶的可能性 D．甲中靶的可能性要大于乙中靶的可能性3．（2021·全国七年级课时练习）甲组有5位女生和10位男生，乙组有8位女生和15位男生，以下说法正确的是（ ）A．在乙组中随机地抽调一人恰为女生的机会比在甲组中随机地抽调一人恰为女生的机会大B．在乙组中随机地抽调一人恰为男生的机会比在甲组中随机地抽调一人恰为男生的机会大C．在乙组中随机地抽调一人恰为女生的机会比在甲组中随机地抽调一人恰为男生的机会大D．在乙组中随机地抽调一人恰为男生的机会比在甲组中随机地抽调一人恰为女生的机会小4．（2021·全国七年级课时练习）在转盘游戏中，如果转出的第一个数是9，为使四位数最大，应将它填在（ ）A．第一格 B．第二格 C．第三格 D．第四格5．（2021·全国七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）A．班中50个同学中有2人生日相同，说明50人中2人生日相同的概率是1B．班中50个同学中若没有2人生日相同，说明50人中2人生日相同的概率是0C．300个人必有2人生日相同D．400个人必有2人生日相同6.（2021•泗阳县期末）估计下列事件发生的可能性的大小，①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；②抛掷1枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数；③调查商场中的1位顾客，他是闰年出生的；④随意调查一位青年，他接受过九年制义务教育；⑤在地面上抛掷1个小石块，石块会落下．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列，正确的是（ ）A．①②③④⑤ B．⑤④③②① C．⑤④②③① D．④⑤③②①题型5 概率的意义 【解题技巧】随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率.1．（2021·全国九年级课时练习）在学习掷硬币的概率时，老师说：“掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是”，小明做了下列三个模拟实验来验证．①取一枚新硬币，在桌面上进行抛掷，计算正面朝上的次数与总次数的比值；②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份，并依次标上奇数和偶数，转动转盘，计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值；③将一个圆形纸板放在水平的桌面上，纸板正中间放一个圆锥（如图），从圆锥的正上方往下撒米粒，计算其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值．上面的实验中，不科学的有（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．（2021·山东聊城市·九年级期末）下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ）A．“在地面向上抛石子后落在地上”是随机事件B．掷两枚硬币，朝上面是一正面一反面的概率为C．在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品D．彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖3．（2021·山东青岛市·九年级专题练习）抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为0.5，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，下列理解正确的是（ ）A．可能有50次反面朝上 B．每两次必有1次反面朝上C．必有50次反面朝上 D．不可能有100次反面朝上4．（2021·湖北襄阳市·九年级期末）事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，平均每5000次事件A发生的次数是_____．5．（2021·浙江宁波市·九年级期末）气象台预报明天下雨的概率为，则下列理解正确的是（ ）A．明天的地区不会下雨 B．明天下雨的可能性较大C．明天的时间会下雨 D．明天下雨是必然事件6．（2021·全国七年级课时练习）在某次摸奖活动中，李明通过调查并计算出每摸一次的平均收益是15元，其意思是（ ）A．摸奖一次，就能中15元 B．此次摸奖活动中，人人都能中奖C．若摸奖若干次，那么每摸一次所获金额的平均数为15元 D．每张奖券的面额是15元题型6 等可能事件的概率1．（2021·天津九年级一模）不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个绿球和6个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是_______．2．（2021·浙江温州市·九年级二模）在同一副扑克牌中抽取5张“方块”，3张“梅花”，2张“黑桃”．将这10张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“黑桃”的概率为（ ）A． B． C． D．3．（2021·辽宁大连市·九年级一模）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、2、3、3、3，掷小正方体后，向上一面的数字，出现“”的概率是（ ）A． B． C． D．4．（2021·四川九年级期末）在“我爱大运，我爱成都”这句话中任选一个汉字，这个字是“爱”的概率为（ ）A． B． C． D．5．（2021·黑龙江九年级期末）在分别写有数字1、2、3、4、5的5张小卡片中，随机地抽出1张卡片，则抽出卡片上的数字是1的概率为_________6．（2021·陕西榆林市·七年级期末）有7张纸签，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，小明从中任意抽取一张纸签（不放回），小颖从剩余的纸签中任意抽取一张，谁抽到的数字大谁就获胜，然后两人把抽到的纸签都放回，重新开始游戏．（1）现小明已经抽到数字4，然后小颖抽纸签，那么小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率又是多少？（2）若小明已经抽到数字6，小明、小颖获胜的概率分别是多少？若小明已经抽到数字1，情况又如何？题型7 概率（频率）与方程【解题技巧】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．1．（2021·河南平顶山市·九年级期末）一个口袋中装有n个红球和5个白球，它们除颜色外完全相同．在不允许将球倒出来的前提下，小明采取如下方法估计n的大小：从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色后再放回口袋中，不断重复上述过程，小明共摸了200次，其中50次摸到了白球，由此小明估计n的大小为（ ）A．14 B．15 C．16 D．172．（2020·浙江杭州市·九年级期末）在一只不透明的口袋中放入红球6个，黑球2个，黄球n个，这些球除颜色外，其它无差别．搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为，则口袋中的黄球总数n是（ ）A．3 B．4 C．5 D．63．（2020·四川米易·初三期末）不透明的口袋内装有红球和白球和黄球共20个，这些球除颜色外其它都相同，将口袋内的球充分搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复该摸球过程，共摸取2020次球，发现有505次摸到白球，则口袋中白球的个数是（ ）A．5 B．10 C．15 D．204．（2020·广东初三二模）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）A．20 B．24 C．28 D．305．（2021•厦门一模）一个不透明盒子里装有a只白球、b只黑球、c只红球，这些球仅颜色不同．从中随机摸出一只球，若P（摸出白球）＝，则下列结论正确的是（ ）A．a＝1 B．a＝3 C．a＝b＝c D．a＝（b+c）6．（2021·全国七年级课时练习）在水产养殖场进行一种鱼的人工孵化，10000个鱼卵能孵化出8500尾鱼苗，求下列各题：（1）这种鱼卵孵化的概率（孵化率）；（2）30000个鱼卵大概能孵化出多少尾鱼苗；（3）要孵化出5000尾鱼苗，大概要准备多少个鱼卵？题型8 几何概型【解题技巧】如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。几何概型的特点:1）试验中所有可能出现结果(基本事件)有无限多个.2)每个基本事件出现的可能性相等.1．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），则击中黑色区域的概率是____________．2．（2021·江苏）小红在地上画了半径为2m和3m的同心圆，如图，然后在一定距离外向圈内掷小石子，若每一次都掷在大圆形成的封闭区域内，则掷中阴影部分的概率是________________．3．（2021·辽宁鞍山·中考真题）一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是_________________．4．（2021·山东烟台市·七年级期末）由三个正方形彼此嵌套组成一个如图所示的图案，其中每个内层正方形的顶点都是其外层正方形边的中点，在该图案上任意取点，恰好取在空白区域的概率是（ ）A． B． C． D．5．（2021·四川九年级期末）将一个棱长为4的正方体的表面涂成灰色，再把它分割成棱长为1的小正方体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有灰色的概率为____．6.（2021·内蒙古）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，他们的两条直角边之比均为2：3，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（ ）A． B． C． D．题型9 频率与概率的区别1．（2020·江苏南京市·八年级期末）做“抛掷一枚质地均匀的硬币试验”，在大量重复试验中，对于事件“正面朝上”的频率和概率，下列说法正确的是（ ）A．概率等于频率 B．频率等于 C．概率是随机的 D．频率会在某一个常数附近摆动2．（2020·江苏徐州市·创新外国语学校八年级月考）在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ）A．概率是随机的，与频率无关 B．频率与试验次数无关C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D．频率就是概率3．（2021·江苏九年级专题练习）下列说法：①事件发生的概率与实验次数有关；②掷10次硬币，结果正面向上出现3次，反面向上出现7次，由此可得正面向上的概率是0.3；③如果事件A发生的概率为，那么大量反复做这种实验，事件A平均每100次发生5次．其中正确的个数为（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．（2021·全国七年级专题练习）学完《概率初步》这一章后，老师让同学结合实例说一说自己的认识，请你判断以下四位同学说法正确的是（ ）A．小智说，做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是B．小慧说，某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖C．小通说，射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是D．小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一5．（2020·全国九年级课时练习）在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是（ ）A．经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定B．抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率相同C．抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5D．若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率也为0.5186．（2020·辽宁阜新市·七年级期末）关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ）A．事件发生的频率就是它发生的概率B．在次试验中，事件发生了次，则比值称为事件发生的频率C．事件发生的频率与它发生的概率无关D．随着试验次数大量增加，事件发生的频率会在附近摆动7．（2021·江西九年级月考）下列说法正确的是（ ）A．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖B．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616C．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近D．试验得到的频率与概率不可能相等题型10 利用频率估计概率【解题技巧】概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.1．（2021·云南红河·九年级期末）小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个橡胶园，现在有一种橡胶树树苗，它的成活率如下表所示，则下面推断中，其中合理的是（ ）．下面有四个推断：①小张移植3500棵这种树苗，成活率肯定高于；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是；③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活率18000棵．A．①② B．①④ C．②③ D．②④2．（2021·北京交通大学附属中学）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的实验，结果如下表所示：下面有四个推断：①种子个数是700时，发芽种子的个数是624，所以种子发芽的概率是0.891；②随着参加实验的种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9（精确到0.1）；③实验的种子个数最多的那次实验得到的发芽种子的频率一定是种子发芽的概率；④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计种子中大约有的种子不能发芽.其中合理的是______.3．（2021·全国九年级课时练习）下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率一定等于；③频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是______(填序号)．4．（2021·陕西汉中市·七年级期末）某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下图是这种幼树在移植过程中成活情况的一组数据统计结果．下面三个推断：①当移植棵数是1500时，该幼树移植成活的棵数是1356，所以“移植成活”的概率是0．904；②随着移植棵数的增加，“移植成活”的频率总在0．880附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计这种幼树“移植成活”的概率是0．880；③若这种幼树“移植成活”的频率的平均值是0．875，则“移植成活”的概率是0．875．其中合理的是（ ）A．①③ B．②③ C．① D．②5．（2021·辽宁九年级二模）某市林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，实验结果统计如下：由此可以估计该种幼树移植成活的概率为__________．（结果保留小数点后两位）6.（2021•渝中区一模）如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个半径为2米的圆后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：（1）当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近 （结果精确到0.1）（2）若以小石子所落的有效区域为总数（即m+n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）；（3）请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留π） 移植棵数成活数成活率移植棵数成活数成活率504715001335270235350032034003690.923700063357506621400012628种子个数2003005007008009001000发芽种子个数187282435624718814901发芽种子率0.9350.9400.8700.8910.8980.9040.901移植总数（）50270400750150035007000900014000成活数（）47235369662133531806321807312628成活频率（）0.940.870.9230.8830.890.9080.9030.8970.902掷小石子落在不规则图形内的总次数50150300…小石子落在圆内（含圆上）的次数m2059123…小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n2991176… 专题02 频率与概率 重难点题型题型1 必然事件的识别【解题技巧】在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．1．（2021·河南九年级期末）下列事件中，必然事件为（ ）A．投掷一枚硬币，向上一面是正面B．经过有交通信号灯的路口；遇到红灯C．打开电视机，正在播放新闻联播D．口袋中装有2个红球和1个白球，从中任意摸出的2个球中有红球【答案】D【分析】根据必然事件的定义：事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，对各选项进行分析即可．【详解】解：A、投掷一枚硬币，向上一面是正面，是随机事件，故不符合；B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，故不符合；C、打开电视机，正在播放新闻联播，是随机事件，故不符合；D、口袋中装有2个红球和1个白球，从中任意摸出的2个球中有红球，是必然事件，故符合；故选：D．【点睛】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解答此题的关键．2．（2021·山东九年级期末）下列事件中，必然事件是（ ）A．未来一周都是好天气 B．假期出门遇见同学C．不在同一直线上的三个点确定一个圆 D．掷一次硬币，正面向上【答案】C【分析】根据随机事件，不可能事件，必然事件的意义进行判断即可．【详解】解：根据概念，知：A、未来一周都是好天气，是随机事件；B、假期出门遇见同学，是随机事件；C、不在同一直线上的三个点确定一个圆，是必然事件；D、掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上，是随机事件．故选：C．【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．①必然事件指在一定条件下一定发生的事件；②不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；③不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．（2021·广西九年级一模）下列事件属于必然事件的是（ ）A．打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”B．将一组数据中的每一个数都加上同一个数，这组数据的方差不变C．一个命题的原命题和它的逆命题都是真命题D．在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数【答案】B【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【详解】解：A、打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”，是随机事件；B、将一组数据中的每一个数都加上同一个数，这组数据的方差不变，是必然事件；C、一个命题的原命题和它的逆命题都是真命题，是随机事件；D、在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数，是随机事件；故选：B．【点睛】本题考查了随机事件和确定事件，解题关键是明确必然事件是一定发生的事件，准确理解题意，正确判断．4．（2021·湖北孝感市·九年级期末）下列事件中，属于必然事件的是（ ）A．明天的最高气温将达35℃ B．经过任意三点能画一个圆C．掷两次质地均匀的骰子，其中有一次正面朝上 D．对顶角相等【答案】D【分析】必然事件发生的可能性为100%，随机事件发生的可能性介在0～1之间，逐个分析发生的可能性，找到发生可能性为100%的选项即可．【详解】A、明天的最高气温将达35℃是随机事件，可能发生也可能不发生，不符合题意；B、经过任意三点能画一个圆是随机事件，可能发生也可能不发生，不符合题意；C、掷两次质地均匀的骰子，其中有一次正面朝上，可能为四分之一，是随机事件，可能发生也可能不发生，不符合题意；D、对顶角相等，是真命题，发生的可能性为100%，是必然事件．【点睛】本题考查了随机事件、必然事件的可能性，理解随机事件、必然事件是正确解答的关键．5．（2021·广东九年级期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 B．13个人中至少有两个人生肖相同C．车辆经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．明天一定会下雨【答案】B【分析】所谓必然事件是指一定发生的事件，根据此含义判断即可．【详解】A、是随机事件，故不符合题意；B、是必然事件，故符合题意；C、是随机事件，故不符合题意；D、不是必然事件，是随机事件，故不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了三种事件，有必然事件、随机事件、不可能事件，掌握三种事件的含义是关键．6．（2021·湖北九年级二模）掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数．下列事件是必然事件的是（ ）A．掷两次骰子，朝上的一面的点数和大于1 B．掷一次骰子，朝上的一面的点数为7C．掷一次骰子，朝上的一面的点数为4 D．掷两次骰子，朝上的一面的点数都是3【答案】A【分析】必然事件就是一定会发生的事件，即发生的概率是1的事件,据此判断即可．【详解】解：A、掷两次骰子，朝上的一面的点数和大于1是必然事件，故本选项符合题意；B、掷一次骰子，朝上的一面的点数为7是不可能事件，故本选项不符合题意；C、掷一次骰子，朝上的一面的点数为4是随机事件，故本选项不符合题意；D、掷两次骰子，朝上的一面的点数都是3是随机事件，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查随机事件，理解必然事件的概念是解答的关键．题型2 随机事件的识别【解题技巧】在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件.1．（2021·湖北武汉市·九年级月考）从1，3，5，7中任取两个数，则下列事件中是随机事件的是（ ）A．两个数的和为奇数 B．两个数的和为偶数C．两个数的积为偶数 D．两个数的积为3的倍数【答案】D【分析】根据从1，3，5，7中任取两个数的和、积的情况进行判断即可．【详解】解：由于1，3，5，7都是奇数，从中任取两个数，其和一定是偶数，不是奇数，因此两个数的和为奇数是不可能事件，选项A不符合题意；两个数的和为偶数是必然事件，因此选项B不符合题意；两个数的积为偶数是不可能事件，因此选项C不符合题意；两个数的积可能是3的倍数，有可能不是3的倍数，因此两个数的积为3的倍数是随机事件，所以选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查随机事件、必然事件、不可能事件，理解随机事件、必然事件、不可能事件的意义是正确判断的前提．2．（2021·江苏淮安市·八年级期末）两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ）A．两个小球的标号之和等于1 B．两个小球的标号之和等于7C．两个小球的标号之和大于1 D．两个小球的标号之和等于5【答案】D【分析】随机事件是指在某个条件下有可能发生有可能不会发生的事件，根据此定义即可求解．【详解】解：从两个口袋中各摸一个球，其标号之和最大为6，最小为2，选项A：“两个小球的标号之和等于1”为不可能事件，故选项A错误；选项B：“两个小球的标号之和等于7”为不可能事件，故选项B错误；选项C：“两个小球的标号之和大于1”为必然事件，故选项C错误；选项D：“两个小球的标号之和大于5”为随机事件，故选项D正确．故选：D．【点睛】本题考查了随机事件、不可能事件、必然事件的概念，熟练掌握各事件的定义是解决本题的关键．3．（2021·天津九年级期末）两个不透明的口袋中分别装有两个完全相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1和2．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ）A．两个小球的标号之和等于3 B．两个小球的标号之和等于6C．两个小球的标号之和大于0 D．两个小球的标号之和等于1【答案】A【分析】分别利用随机事件、必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．【详解】∵两个不透明的口袋中各有两个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，∴从这两个口袋中分别摸出一个小球，两个小球的标号之和等于3，是随机事件，符合题意；两个小球的标号之和等于6，是不可能事件，不符合题意；两个小球的标号之和大于0，是必然事件，不符合题意；两个小球的标号之和等于1，是不可能事件，不合题意；故选：A．【点评】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件，解决此类问题，要掌握三类事件的定义，学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．4．（2021·河南郑州市·九年级期末）下列事件中，属于随机事件的是（ ）A．掷一枚硬币10次，仅有1次正面朝上 B．三角形的三个内角之和等于C．从装有5个红球的袋子里摸出一个白球 D．在地面向上抛出一个篮球还会下落【答案】A【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件和概率的意义分别分析各选项，即可得出结论．【详解】A、掷一枚硬币10次，仅有1次正面朝上是随机事件，故本选项符合题意； B、三角形的三个内角之和等于180°是必然事件，故本选项不符合题意；C、从装有5个红球的袋子里摸出一个白球是不可能事件，故本选项不符合题意；D、在地面向上抛出一个篮球还会下落是必然事件，故本选项不符合题意；故答案为：A【点睛】此题主要考查了随机事件，必然事件，不可能事件和概率的意义，正确理解随机事件，必然事件，不可能事件和概率的意义是解题关键．5．（2021·山东七年级期中）小林同学做了3次投掷硬币试验，皆正面朝下．在他得到的下列结论中，正确的是（ ）．A．投掷硬币正面朝上是不可能事件 B．投掷硬币正面朝下的概率为1C．投掷硬币正面朝上是随机事件 D．继续第4次投掷一定是正面朝下【答案】C【分析】根据随机事件定义解答即可．【详解】解：硬币有两个面，正面朝下或朝上是随机事件．故选C．【点睛】本题主要考查了随机事件的定义，随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．6．（2021·陕西西安市·交大附中分校）下列事件，是随机事件的是（ ）A．两直线平行，内错角相等 B．两个负数相加，和为正数C．任意掷两枚质地均匀的骰子，面朝上的数字积为14 D．投掷一枚硬币，正面朝上【答案】D【分析】根据事件发生的可能性大小逐个判断即可．【详解】解：A、两直线平行，内错角相等，为必然事件，不符合题意；B、两个负数相加，和必定为负数，和为正数为不可能事件，不符合题意；C、任意掷两枚质地均匀的骰子，面朝上的数字积为14，骰子的数从1到6，积不可能为14，为不可能事件，不符合题意；D、投掷一枚硬币，可能是正面朝上，也可能是反面朝上，为随机事件，符合题意；故答案为D．【点睛】本题考查随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．题型3 不可能事件的识别【解题技巧】在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件．1．（2021·浙江台州市·九年级一模）有四张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字2，3，4．从中任意抽取两张，则下列事件为不可能事件的是（ ）A．两张卡片的数字之和等于4 B．两张卡片的数字之和等于5C．两张卡片的数字之和等于6 D．两张卡片的数字之和等于7【答案】A【分析】根据事件发生的可能性进行判断即可．【详解】解：A、两张卡片的数字之和等于4，是不可能事件，故此选项符合题意；B、两张卡片的数字之和等于5，是随机事件，故此选项不符合题意；C、两张卡片的数字之和等于6，是随机事件，故此选项不符合题意；D、两张卡片的数字之和等于7，是随机事件，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．（2021·浙江杭州市·九年级期末）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）A．a是实数，则|a|≥0 B．任意一个三角形都有外接圆C．抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6 D．一匹马奔跑的速度是每秒100米【答案】D【分析】根据不可能事件的概念判断即可．【详解】A. a是实数，则|a|≥0，是必然事件，不符合题意；B. 任意一个三角形都有外接圆，是必然事件，不符合题意；C. 抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6，是随机事件，不符合题意；D. 一匹马奔跑的速度是每秒100米，是不可能事件，不符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了不可能事件的概念，解题关键是理解不可能事件的意义，会区分不可能事件、随机事件、必然事件．3．（2020·江苏泰州市·八年级期中）不透明的袋子里装有3只相同的小球，给它们分别标上序号1、2、3后搅匀．事件“从中任意摸出1只小球，序号为4”是_____事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）．【答案】不可能【分析】根据三只小球中没有序号为4的小球进行判断即可求解．【详解】解：∵三只小球中没有序号为4的小球，∴事件“从中任意摸出1只小球，序号为4”是不可能事件，故答案为：不可能．【点睛】本题考查了事件发生的可能性．一定不可能发生的事件是不可能事件；一定会发生的事件是必然事件；有可能发生，也有可能不发生的事件是随机事件．4．（2020·福建南安·初三其他）下列事件中，是不可能事件的是（ ）A．打开电视机，正在播放新闻 B．任意画一个三角形，其内角和为180°C．买一张彩票，中奖 D．从一副没有大小王的扑克牌中抽出两张，数字之和为27【答案】D【分析】依据不可能事件的概念求解即可．【解析】解：A、打开电视机，正在播放新闻是随机事件，故A不合题意； B、任意画一个三角形，其内角和为180°是必然事件，故B不合题意； C、买一张彩票，中奖是随机事件，故C不合题意； D、从一副没有大小王的扑克牌中抽出两张，数字之和最大为13+13＝26，不可能为27，是不可能事件，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查的是不可能事件的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．5．（2020·辽宁建平·初一期末）事件：“在只装有2个红球和8个黑球的袋子里，摸出一个白球”是 A．可能事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．必然事件【答案】C【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．【解析】 “在只装有2个红球和8个黑球的袋子里，摸出一个白球”是不可能事件，故选C．【点睛】本题考查了随机事件，解本题的关键是掌握：必然事件指在一定条件下一定发生的事件;不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件;不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6．（2020•沭阳县期中）下列事件中是不可能事件的是（ ）A．降雨时水位上升 B．度量三角形的内角和，结果是360° C．打开电视，正在播广告 D．体育运动中肌肉拉伤【分析】分别利用随机事件以及不可能事件的定义分析得出答案．【答案】解：A、降雨时水位上升，是必然事件，故此选项错误；B、度量三角形的内角和，结果是360°，是不可能事件，正确；C、打开电视，正在播广告，是随机事件，故此选项错误；D、体育运动中肌肉拉伤，是随机事件，故此选项错误；故选：B．【点睛】此题主要考查了随机事件，正确把握定义是解题关键．题型4 可能性的大小【解题技巧】可能性等于所求情况数与总情况数之比．1．（2021·全国七年级课时练习）抛掷一个均匀的正方体骰子，下列事件中出现机会最小的是（ ）A．奇数朝上 B．偶数朝上 C．合数朝上 D．质数朝上【答案】C【分析】分别计算出奇数、偶数、合数、质数的个数，比较各种数的多少即可．【详解】解：、奇数有1，3，5三个，概率是；、偶数有2，4，6三个，概率是；、合数有4，6两个，概率是；、质数有2，3，5三个，概率是．出现机会最小的是，合数朝上．故选：．【点睛】可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．2．（2021·全国七年级课时练习）打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶6次，若他们各射击一次，有1人中靶，1人没中靶，则（ ）A．中靶的人一定是甲，不中靶的人一定是乙 B．中靶的人一定是乙，不中靶的人一定是甲C．甲中靶的可能性要小于乙中靶的可能性 D．甲中靶的可能性要大于乙中靶的可能性【答案】D【分析】根据甲乙两人相应的可能性得出结论；【详解】、虽然甲打中的概率乙打中的概率0.6，但是都有打中的可能性，故错误；、虽然甲打中的概率乙打中的概率0.6，但是都有打中的可能性，故错误；、甲打中的概率乙打中的概率0.6，甲中靶的可能性要大于乙中靶的可能性，故错误；、甲打中的概率乙打中的概率0.6，甲中靶的可能性要大于乙中靶的可能性，故正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了可能性的大小，准确分析判断是解题的关键．3．（2021·全国七年级课时练习）甲组有5位女生和10位男生，乙组有8位女生和15位男生，以下说法正确的是（ ）A．在乙组中随机地抽调一人恰为女生的机会比在甲组中随机地抽调一人恰为女生的机会大B．在乙组中随机地抽调一人恰为男生的机会比在甲组中随机地抽调一人恰为男生的机会大C．在乙组中随机地抽调一人恰为女生的机会比在甲组中随机地抽调一人恰为男生的机会大D．在乙组中随机地抽调一人恰为男生的机会比在甲组中随机地抽调一人恰为女生的机会小【答案】A【分析】此题要比较抽调学生为男生或者女生可能性的大小，只需要求出各自所占的比例大小即可，求比例时，应注意记清各自的数目；【详解】、在乙组中随机地抽调一人恰为女生的机会为，在甲组中随机地抽调一人恰为女生的机会为，正确；、在乙组中随机地抽调一人恰为男生的机会为，在甲组中随机地抽调一人恰为男生的机会为，故本选项错误；、在乙组中随机地抽调一人恰为女生的机会为，在甲组中随机地抽调一人恰为男生的机会为，故本选项错误；、在乙组中随机地抽调一人恰为男生的机会为，在甲组中随机地抽调一人恰为女生的机会为故本选项错误．故选：．【点睛】本题主要考查了可能性大小判断，准确分析判断是解题的关键．4．（2021·全国七年级课时练习）在转盘游戏中，如果转出的第一个数是9，为使四位数最大，应将它填在（ ）A．第一格 B．第二格 C．第三格 D．第四格【答案】A【分析】填在最高位即可．【详解】解：转盘中共有1至9位数，9在第一位时，数最大．故选．【点睛】解决本题的关键是理解最高位上的数越大，得到的数越大．5．（2021·全国七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）A．班中50个同学中有2人生日相同，说明50人中2人生日相同的概率是1B．班中50个同学中若没有2人生日相同，说明50人中2人生日相同的概率是0C．300个人必有2人生日相同D．400个人必有2人生日相同【答案】D【分析】根据随机事件和必然事件的概率判断即可．【详解】因为1年有365或366天，所以50人或300人有两人生日相同是随机事件，由于这个概率在0和1之间，故400人中必有2人生日相同．故选：．【点睛】本题考查了事件发生的可能性大小，理解相关事件发生的概率大小是解题的关键．6.（2021•泗阳县期末）估计下列事件发生的可能性的大小，①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；②抛掷1枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数；③调查商场中的1位顾客，他是闰年出生的；④随意调查一位青年，他接受过九年制义务教育；⑤在地面上抛掷1个小石块，石块会落下．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列，正确的是（ ）A．①②③④⑤ B．⑤④③②① C．⑤④②③① D．④⑤③②①【分析】根据其发生的概率即可比较出事件发生的可能性的大小．【答案】解：①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球的可能性为0；②抛掷1枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数的概率为；③调查商场中的1位顾客，他是闰年出生的概率为；④随意调查一位青年，他接受过九年制义务教育的概率较大，接近1；⑤在地面上抛掷1个小石块，石块会落下的概率为1，故大小排列为：⑤④②③①，故选：C．【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待，最准确的方法是计算出事件发生的概率进行比较．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．题型5 概率的意义 【解题技巧】随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率.1．（2021·全国九年级课时练习）在学习掷硬币的概率时，老师说：“掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是”，小明做了下列三个模拟实验来验证．①取一枚新硬币，在桌面上进行抛掷，计算正面朝上的次数与总次数的比值；②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份，并依次标上奇数和偶数，转动转盘，计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值；③将一个圆形纸板放在水平的桌面上，纸板正中间放一个圆锥（如图），从圆锥的正上方往下撒米粒，计算其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值．上面的实验中，不科学的有（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【分析】分析每个实验的概率后，与原来掷硬币的概率比较即可．【详解】解：①由于一枚质地均匀的硬币，只有正反两面，故正面朝上的概率是；②由于把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份，并依次标上奇数和偶数，标奇数和偶数的转盘各占一半．指针落在奇数区域的次数与总次数的比值为．③由于圆锥是均匀的，所以落在圆形纸板上的米粒的个数也是均匀的分布的，与纸板面积成正比，可验证其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值为．三个试验均科学．故选：A．【点睛】本题考查了概率个概念，能否区分出事件的可能性、逐一分析每个实验是解决本题关键．2．（2021·山东聊城市·九年级期末）下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ）A．“在地面向上抛石子后落在地上”是随机事件B．掷两枚硬币，朝上面是一正面一反面的概率为C．在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品D．彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖【答案】C【分析】直接利用概率的意义以及概率求法和利用样本估计总体等知识分别分析得出答案．【详解】解：A、“在地面向上抛石子后落在地上”是必然事件，故此选项错误；B、掷两枚硬币，朝上面是一正面一反面的概率为，故此选项错误；C、在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品，正确；D、彩票的中奖率为10%，则买100张彩票可能有10张中奖，故原说法错误．故选：C．【点睛】此题主要考查了概率的意义以及概率求法、利用样本估计总体等知识，正确理解相关性质是解题关键．3．（2021·山东青岛市·九年级专题练习）抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为0.5，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，下列理解正确的是（ ）A．可能有50次反面朝上 B．每两次必有1次反面朝上C．必有50次反面朝上 D．不可能有100次反面朝上【答案】A【分析】概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现，据此逐项判断即可．【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为0.5，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，可能有50次反面朝上，故选：A．【点睛】本题主要考查了概率的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．4．（2021·湖北襄阳市·九年级期末）事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，平均每5000次事件A发生的次数是_____．【答案】200【分析】根据概率的意义解答即可．【详解】解：事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，则事件A平均每100次发生的次数为：5000×＝200．故答案为：200．【点睛】本题考查了概率的意义，熟记概念是解题的关键．5．（2021·浙江宁波市·九年级期末）气象台预报明天下雨的概率为，则下列理解正确的是（ ）A．明天的地区不会下雨 B．明天下雨的可能性较大C．明天的时间会下雨 D．明天下雨是必然事件【答案】B【分析】根据概率的意义找到正确选项即可．【详解】解：天气台预报明天下雨的概率为70%，说明明天下雨的可能性很大，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查概率的意义理解，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．6．（2021·全国七年级课时练习）在某次摸奖活动中，李明通过调查并计算出每摸一次的平均收益是15元，其意思是（ ）A．摸奖一次，就能中15元 B．此次摸奖活动中，人人都能中奖C．若摸奖若干次，那么每摸一次所获金额的平均数为15元 D．每张奖券的面额是15元【答案】C【分析】根据概率的意义得出“每摸一次的平均收益”的意思得出答案即可．【详解】解：李明通过调查并计算出每摸一次的平均收益是15元，其意思是若摸奖若干次，那么每摸一次所获金额的平均数为15元．故选：．【点睛】此题主要考查了概率的意义，根据概率是对事件发生可能性大小的量的表现得出答案是解题关键．题型6 等可能事件的概率1．（2021·天津九年级一模）不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个绿球和6个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是_______．【答案】【分析】根据概率公式计算即可．【详解】解：袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个绿球和6个蓝球，从袋子中随机取出1个球，它是绿球的概率是：，故答案为：．【点睛】本题考查概率公式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．2．（2021·浙江温州市·九年级二模）在同一副扑克牌中抽取5张“方块”，3张“梅花”，2张“黑桃”．将这10张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“黑桃”的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用概率公式计算可得．【详解】解：在同一副扑克牌中抽取5张“方块”，3张“梅花”，2张“黑桃”，将这10张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“黑桃”的概率为＝．故选：D．【点睛】本题考查概率公式的基本应用，牢记概率公式是解题关键．3．（2021·辽宁大连市·九年级一模）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、2、3、3、3，掷小正方体后，向上一面的数字，出现“”的概率是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】用数字2的个数除以数字的总个数即可．【详解】解：∵共有6个数字，其中数字2有2个，∴掷小正方体后，向上一面的数字，出现“2”的概率是，故选：C．【点睛】本题主要考查了概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．4．（2021·四川九年级期末）在“我爱大运，我爱成都”这句话中任选一个汉字，这个字是“爱”的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】用爱字的个数除以所有文字的个数即可求得概率．【详解】解：∵在“我爱大运，我爱成都”8个文字中有2个爱字，∴任选一个汉字，这个字是“爱”的概率为＝，故选：A．【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．5．（2021·黑龙江九年级期末）在分别写有数字1、2、3、4、5的5张小卡片中，随机地抽出1张卡片，则抽出卡片上的数字是1的概率为_________【答案】【分析】随机事件概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．让1除以卡片总张数即为所求的概率．【详解】解：在分别写有数字1，2，3，4，5的5张小卡片中，随机地抽出1张卡片，则抽出卡片上的数字是1的概率为．故答案是：．【点睛】本题考查的是随机事件概率的求法，解决本题的关键是要熟练掌握随机事件概率的计算方法.6．（2021·陕西榆林市·七年级期末）有7张纸签，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，小明从中任意抽取一张纸签（不放回），小颖从剩余的纸签中任意抽取一张，谁抽到的数字大谁就获胜，然后两人把抽到的纸签都放回，重新开始游戏．（1）现小明已经抽到数字4，然后小颖抽纸签，那么小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率又是多少？（2）若小明已经抽到数字6，小明、小颖获胜的概率分别是多少？若小明已经抽到数字1，情况又如何？【答案】（1）小明获胜的概率是；小颖获胜的概率是；（2）小明已经抽到数字6，小明获胜的概率是；小颖获胜的概率是；小明已经抽到数字1，则小明获胜的概率是0，小颖获胜的概率是1．【分析】（1）根据题意列出可能性，根据概率公式即可求解；（2）根据题意列出可能性，根据概率公式即可求解．【详解】解：（1）共有7张纸签，小明已经抽到数字4，如果小明获胜的话，小颖只可能抽到数字1、2、3，所以小明获胜的概率是.如果小颖要获胜，抽到的数字只能是5、6、7，所以小颖获胜的概率是（2）若小明已经抽到数字6，如果小明获胜的话，小颖只可能抽到数字1，2、3、4，5，所以小明获胜的概率是.如果小颖要获胜，抽到的数字只能是7，所以小颖获胜的概率是.若小明已经抽到数字1，则小明获胜的概率是0，小颖获胜的概率是1．【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．题型7 概率（频率）与方程【解题技巧】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．1．（2021·河南平顶山市·九年级期末）一个口袋中装有n个红球和5个白球，它们除颜色外完全相同．在不允许将球倒出来的前提下，小明采取如下方法估计n的大小：从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色后再放回口袋中，不断重复上述过程，小明共摸了200次，其中50次摸到了白球，由此小明估计n的大小为（ ）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【分析】根据白球的个数÷球的总个数=摸到白球的频率求解即可．【详解】解：根据题意，得解得n=15，经检验，n=15是分式方程的解且符合题意．故选B．【点睛】本题考查了简单的概率公式．掌握概率公式是解题的关键．2．（2020·浙江杭州市·九年级期末）在一只不透明的口袋中放入红球6个，黑球2个，黄球n个，这些球除颜色外，其它无差别．搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为，则口袋中的黄球总数n是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】此题首先计算红球、黑球的比例，再根据红球、黑球总数求得口袋中球的总数，进而求得黄球数目．【详解】解法一：根据题意，得解得n=4 解法二：根据题意：从口袋中摸出一个恰好是黄球的概率为；∴口袋中摸出红球、黑球的概率为1-=；∵红球、黑球总数：6+2=8个，∴口袋中球的总数：8÷=12个，黄球的个数：12-8=4个．故选：B．【点睛】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．3．（2020·四川米易·初三期末）不透明的口袋内装有红球和白球和黄球共20个，这些球除颜色外其它都相同，将口袋内的球充分搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复该摸球过程，共摸取2020次球，发现有505次摸到白球，则口袋中白球的个数是（ ）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】A【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到白球的概率为0.25，然后根据概率公式计算这个口袋中白球的数量．【解析】设白球有x个，根据题意得：，解得：x=5，即白球有5个，故选A．【点睛】考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．4．（2020·广东初三二模）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）A．20 B．24 C．28 D．30【答案】D【解析】根据题意得=30%，解得n=30，所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．故选D．题型：利用频率估计概率．5．（2021•厦门一模）一个不透明盒子里装有a只白球、b只黑球、c只红球，这些球仅颜色不同．从中随机摸出一只球，若P（摸出白球）＝，则下列结论正确的是（ ）A．a＝1 B．a＝3 C．a＝b＝c D．a＝（b+c）【分析】根据概率公式得出＝，整理可得．【答案】解：由题意知＝，则3a＝a+b+c，∴2a＝b+c，∴a＝（b+c），故选：D．【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=．6．（2021·全国七年级课时练习）在水产养殖场进行一种鱼的人工孵化，10000个鱼卵能孵化出8500尾鱼苗，求下列各题：（1）这种鱼卵孵化的概率（孵化率）；（2）30000个鱼卵大概能孵化出多少尾鱼苗；（3）要孵化出5000尾鱼苗，大概要准备多少个鱼卵？【答案】（1）这种鱼卵孵化的概率（孵化率）为；（2）30000个鱼卵大概能孵化出25500尾鱼苗；（3）要孵化出5000尾鱼苗，大概要准备5883个鱼卵．【分析】（1）根据概率的定义，可得这种鱼卵的孵化概率为：；（2）30000个鱼卵大约能孵化鱼苗尾数为：30000×孵化率；（3）要孵化5000尾鱼苗，大概要准备鱼卵数：5000除以孵化率，可列方程解答．【详解】（1）这种鱼卵孵化的概率（孵化率）；（2），所以30000个鱼卵大概能孵化出25500尾鱼苗；（3）设要准备个鱼卵，根据题意得，解得，答：要孵化出5000尾鱼苗，大概要准备5883个鱼卵．【点睛】本题的考点是概率的意义，主要考查概率的统计定义，某事件的概率等于某事件所占的结果数与总的结果数之比，掌握概率公式是解题的关键．题型8 几何概型【解题技巧】如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。几何概型的特点:1）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. 2)每个基本事件出现的可能性相等.1．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），则击中黑色区域的概率是____________．【答案】【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】解：∵总面积为9个小等边形的面积，其中阴影部分面积为3个小等边形的面积，∴飞镖落在阴影部分的概率是＝，故答案为：．【点睛】本题主要考查了概率求解问题，准确分析计算是解题的关键．2．（2021·江苏）小红在地上画了半径为2m和3m的同心圆，如图，然后在一定距离外向圈内掷小石子，若每一次都掷在大圆形成的封闭区域内，则掷中阴影部分的概率是________________．【答案】【分析】用阴影部分的面积除以大圆的面积即可求得概率．【详解】解：S阴影＝π（32﹣22）＝5π（cm2），所以掷中阴影部分的概率是，故答案为：．【点睛】考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积，难度不大．3．（2021·辽宁鞍山·中考真题）一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是_________________．【答案】【分析】求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．【详解】解：由图可知：黑色方砖有8个小三角形，每4个三角形是大正方形面积的∴黑色方砖在整个地板中所占的比值，∴小球最终停留在黑色区域的概率，故答案为：．【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，解题的关键在于能够准确找出黑色方砖面积与整个区域面积的关系.4．（2021·山东烟台市·七年级期末）由三个正方形彼此嵌套组成一个如图所示的图案，其中每个内层正方形的顶点都是其外层正方形边的中点，在该图案上任意取点，恰好取在空白区域的概率是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设大正方形的边长为，求得空白区域的面积占整个面积的比，即可求解．【详解】解：设大正方形的边长为，则中间正方形的边长为，小正方形的边长为，整个区域的面积为，空白区域的面积为则空白区域占，故其概率等于．故选：B．【点睛】此题考查了概率的有关计算，掌握概率的计算方法并求得空白区域所占的比重是解题的关键．5．（2021·四川九年级期末）将一个棱长为4的正方体的表面涂成灰色，再把它分割成棱长为1的小正方体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有灰色的概率为____．【答案】【分析】直接根据题意得出恰有三个面涂有灰色的有8个，再利用概率公式求出答案．【详解】解：由题意可得：小立方体一共有64个，恰有三个面涂有灰色的有8个，故取得的小正方体恰有三个面涂有灰色的概率为＝，故答案为：．【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，正确得出三个面涂有灰色小立方体的个数是解题关键．6.（2021·内蒙古）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，他们的两条直角边之比均为2：3，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】针尖落在阴影区域的概率就是四个直角三角形的面积之和与大正方形面积的比．【详解】解：设两直角边分别是2x，3x，则斜边即大正方形的边长为，小正方形边长为3x－2x＝x，∴S大正方形＝13x2，S小正方形＝x2，∴S阴影＝12x2，∴针尖落在阴影区域的概率为＝．故选：D．【点睛】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比，也考查了勾股定理的应用．题型9 频率与概率的区别1．（2020·江苏南京市·八年级期末）做“抛掷一枚质地均匀的硬币试验”，在大量重复试验中，对于事件“正面朝上”的频率和概率，下列说法正确的是（ ）A．概率等于频率 B．频率等于 C．概率是随机的 D．频率会在某一个常数附近摆动【答案】D【分析】频率是在一次试验中某一事件出现的次数与试验总数的比值。概率是某一事件所固有的性质。频率是变化的每次试验可能不同，概率是稳定值不变。在一定条件下频率可以近似代替概率。【解析】A、概率不等于频率，A选项错误；B、频率等于 ，B选项错误C、概率是稳定值不变，C选项错误D、频率会在某一个常数附近摆动，D选项是正确的。故答案为：D【点睛】此题主要考查了概率公式，以及频率和概率的区别。2．（2020·江苏徐州市·创新外国语学校八年级月考）在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ）A．概率是随机的，与频率无关 B．频率与试验次数无关C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D．频率就是概率【答案】C【解析】A、概率是理论数据不是随机的，故错误；B、随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故错误；C、随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，正确； D、频率不直接等于概率，故错误．故选：C．3．（2021·江苏九年级专题练习）下列说法：①事件发生的概率与实验次数有关；②掷10次硬币，结果正面向上出现3次，反面向上出现7次，由此可得正面向上的概率是0.3；③如果事件A发生的概率为，那么大量反复做这种实验，事件A平均每100次发生5次．其中正确的个数为（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据概率的定义，概率与频率的关系依次作出判断即可．【详解】解：①事件发生的概率与实验次数无关，故①错误；②实验次数过少，且频率只能估计概率，故②错误；③如果事件A发生的概率为，那么大量反复做这种实验，事件A平均每100次发生5次，故③正确．故选：B．【点睛】本题考查概率的意义理解，关于频率与概率关系说法的正误．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．正确理解频率与概率的关系是解题关键．4．（2021·全国七年级专题练习）学完《概率初步》这一章后，老师让同学结合实例说一说自己的认识，请你判断以下四位同学说法正确的是（ ）A．小智说，做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是B．小慧说，某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖C．小通说，射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是D．小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一【答案】D【分析】试验次数足够大时，频率才可以表示概率，A选项试验次数过少，所以错误；5%是每张均有%的可能中奖，而不是100张彩票一定会有5张中奖，偷换概念；概率题一定要考虑样本空间，然后确定样本，C中还有脱靶的可能，所以错误；抛掷一枚均匀硬币，结果只有两种正面朝上和正面朝下，且每次发生的可能是相等的，每做一次，正面朝上的概率都是二分之一．【详解】小智说，做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，但是试验次数少，因此不能确定钉尖朝上的概率，所以A错误；小慧说，某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票不一定会有5张中奖，所以B错误；小通说，射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，还有脱靶的可能，所以C错误；小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一，所以D正确．故选：D．【点睛】本题考察了频率和概率的区别，等可能时间概率的计算；在初中课程中认为当试验次数足够大时，频率可以表示概率；等可能事件中，n件事发生的概率都是相等的，因此每件事发生的概率是．5．（2020·全国九年级课时练习）在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是（ ）A．经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定B．抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率相同C．抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5D．若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率也为0.518【答案】A【分析】根据频率的概念与计算公式逐项判断即可得．【详解】A、经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定，此项正确；B、抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率可能不同，此项错误；C、抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率约为，此项错误；D、若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是，则“正面向下”的频率为，此项错误；故选：A．【点睛】本题考查了频率的概念与计算公式，掌握理解频率的概念是解题关键．6．（2020·辽宁阜新市·七年级期末）关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ）A．事件发生的频率就是它发生的概率B．在次试验中，事件发生了次，则比值称为事件发生的频率C．事件发生的频率与它发生的概率无关D．随着试验次数大量增加，事件发生的频率会在附近摆动【答案】D【分析】根据概率的定义，以及概率与频率的关系，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：事件发生的频率不一定是它发生的概率；故A错误；在次试验中，事件发生了次，则比值称为事件发生的频率；故B错误；事件发生的频率与它发生的概率是有关系的，故C错误；随着试验次数大量增加，事件发生的频率会在附近摆动；故D正确；故选：D．【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确掌握频率与概率的关系是解题关键．7．（2021·江西九年级月考）下列说法正确的是（ ）A．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖B．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616C．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近D．试验得到的频率与概率不可能相等【答案】B【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，根据选项一一判断即可．【详解】某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，A错；某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是，B正确；当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，C错；试验得到的频率与概率有可能相等，D错．故选：B【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率．题型10 利用频率估计概率【解题技巧】概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.1．（2021·云南红河·九年级期末）小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个橡胶园，现在有一种橡胶树树苗，它的成活率如下表所示，则下面推断中，其中合理的是（ ）．下面有四个推断：①小张移植3500棵这种树苗，成活率肯定高于；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是；③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活率18000棵．A．①② B．①④ C．②③ D．②④【答案】C【分析】随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，据此进行判断即可．【详解】解：①当移植的树数是3500时，表格记录成活数率是0.915，且树苗成活的频率总在0.900附近摆动，这种树苗成活的概率不一定高于0.890，故错误；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，故正确；③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵，故正确；④若小张移植20000棵这种树苗，则不一定成活18000棵，故错误．故选C．【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．2．（2021·北京交通大学附属中学）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的实验，结果如下表所示：下面有四个推断：①种子个数是700时，发芽种子的个数是624，所以种子发芽的概率是0.891；②随着参加实验的种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9（精确到0.1）；③实验的种子个数最多的那次实验得到的发芽种子的频率一定是种子发芽的概率；④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计种子中大约有的种子不能发芽.其中合理的是______.【答案】②④【分析】根据某农科所在相同条件下作某作物种子发芽率的试验表,可得大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.9左右,于是得到种子发芽的概率约为0.9,据此求出1000kg种子中大约有100kg种子是不能发芽的即可.【详解】①需要大量试验才可估算发芽率,故错误;②正确;③频率与概率不一定相等,故错误;④正确;故答案为:②④.【点睛】本题考查频率与概率的区别,关键还是在概念上区别两种.3．（2021·全国九年级课时练习）下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率一定等于；③频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是______(填序号)．【答案】①③④【分析】利用频率与概率的意义即可得出．【详解】解：①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小，正确； ②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率为不是事件的概率，因为频率是可以改变的，而概率是一定的，故不正确； ③频率是不能脱离n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，正确；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，正确；故答案为：①③④【点睛】本题考查概率的意义，考查概率和频率之间的关系，正确理解概率和频率的关系，做一个实验事件发生频率是变化的，而概率是不变的，是一个确定的数值．4．（2021·陕西汉中市·七年级期末）某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下图是这种幼树在移植过程中成活情况的一组数据统计结果．下面三个推断：①当移植棵数是1500时，该幼树移植成活的棵数是1356，所以“移植成活”的概率是0．904；②随着移植棵数的增加，“移植成活”的频率总在0．880附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计这种幼树“移植成活”的概率是0．880；③若这种幼树“移植成活”的频率的平均值是0．875，则“移植成活”的概率是0．875．其中合理的是（ ）A．①③ B．②③ C．① D．②【答案】D【分析】根据统计图中的数据和频率与概率的关系，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．【详解】当移植棵数是1500时，该幼树移植成活的棵数是1356，所以此时“移植成活”的频率是0.904，但概率不一定是0.904，故①错误，随着移植棵数的增加，“移植成活”的频率总在0.880附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计这种幼树“移植成活”的概率是0.880，故②正确，若这种幼树“移植成活”的频率的平均值是0.875，则“移植成活”的概率也不一定是0.875，因为某一次或几次的频率太高或太低会影响估计概率，概率是一件事情发生的可能性，故③错误，故选：D.【点睛】此题考查频率与概率，统计图，解题关键在于看懂图中数据.5．（2021·辽宁九年级二模）某市林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，实验结果统计如下：由此可以估计该种幼树移植成活的概率为__________．（结果保留小数点后两位）【答案】0.90．【分析】概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．【详解】解：∵概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，∴所以这种幼树移植成活率的概率约为0.90，故答案为：0.90．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率等于所求情况数与总情况数之比．6.（2021•渝中区一模）如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个半径为2米的圆后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：（1）当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近 （结果精确到0.1）（2）若以小石子所落的有效区域为总数（即m+n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）；（3）请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留π）【分析】（1）根据提供的m和n的值，计算m：n后即可确定二者的比值逐渐接近的值；（2）大量试验时，频率可估计概率；（3）利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积．【答案】解：（1）20÷29≈0.69；48÷95≈0.65；89÷180≈0.69，…当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近0.7；（2）观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.4，（3）设封闭图形的面积为a，根据题意得：＝0.4，解得：a＝10π，故答案为：0.7，0.4，10π．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． 移植棵数成活数成活率移植棵数成活数成活率504715001335270235350032034003690.923700063357506621400012628种子个数2003005007008009001000发芽种子个数187282435624718814901发芽种子率0.9350.9400.8700.8910.8980.9040.901移植总数（）50270400750150035007000900014000成活数（）47235369662133531806321807312628成活频率（）0.940.870.9230.8830.890.9080.9030.8970.902掷小石子落在不规则图形内的总次数50150300…小石子落在圆内（含圆上）的次数m2059123…小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n2991176…
专题02 频率与概率 重难点题型题型1 必然事件的识别【解题技巧】在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．1．（2021·河南九年级期末）下列事件中，必然事件为（ ）A．投掷一枚硬币，向上一面是正面B．经过有交通信号灯的路口；遇到红灯C．打开电视机，正在播放新闻联播D．口袋中装有2个红球和1个白球，从中任意摸出的2个球中有红球2．（2021·山东九年级期末）下列事件中，必然事件是（ ）A．未来一周都是好天气 B．假期出门遇见同学C．不在同一直线上的三个点确定一个圆 D．掷一次硬币，正面向上3．（2021·广西九年级一模）下列事件属于必然事件的是（ ）A．打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”B．将一组数据中的每一个数都加上同一个数，这组数据的方差不变C．一个命题的原命题和它的逆命题都是真命题D．在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数4．（2021·湖北孝感市·九年级期末）下列事件中，属于必然事件的是（ ）A．明天的最高气温将达35℃ B．经过任意三点能画一个圆C．掷两次质地均匀的骰子，其中有一次正面朝上 D．对顶角相等5．（2021·广东九年级期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 B．13个人中至少有两个人生肖相同C．车辆经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．明天一定会下雨6．（2021·湖北九年级二模）掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数．下列事件是必然事件的是（ ）A．掷两次骰子，朝上的一面的点数和大于1 B．掷一次骰子，朝上的一面的点数为7C．掷一次骰子，朝上的一面的点数为4 D．掷两次骰子，朝上的一面的点数都是3题型2 随机事件的识别【解题技巧】在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件.1．（2021·湖北武汉市·九年级月考）从1，3，5，7中任取两个数，则下列事件中是随机事件的是（ ）A．两个数的和为奇数 B．两个数的和为偶数C．两个数的积为偶数 D．两个数的积为3的倍数2．（2021·江苏淮安市·八年级期末）两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ）A．两个小球的标号之和等于1 B．两个小球的标号之和等于7C．两个小球的标号之和大于1 D．两个小球的标号之和等于53．（2021·天津九年级期末）两个不透明的口袋中分别装有两个完全相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1和2．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ）A．两个小球的标号之和等于3 B．两个小球的标号之和等于6C．两个小球的标号之和大于0 D．两个小球的标号之和等于14．（2021·河南郑州市·九年级期末）下列事件中，属于随机事件的是（ ）A．掷一枚硬币10次，仅有1次正面朝上 B．三角形的三个内角之和等于C．从装有5个红球的袋子里摸出一个白球 D．在地面向上抛出一个篮球还会下落5．（2021·山东七年级期中）小林同学做了3次投掷硬币试验，皆正面朝下．在他得到的下列结论中，正确的是（ ）．A．投掷硬币正面朝上是不可能事件 B．投掷硬币正面朝下的概率为1C．投掷硬币正面朝上是随机事件 D．继续第4次投掷一定是正面朝下6．（2021·陕西西安市·交大附中分校）下列事件，是随机事件的是（ ）A．两直线平行，内错角相等 B．两个负数相加，和为正数C．任意掷两枚质地均匀的骰子，面朝上的数字积为14 D．投掷一枚硬币，正面朝上题型3 不可能事件的识别【解题技巧】在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件．1．（2021·浙江台州市·九年级一模）有四张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字2，3，4．从中任意抽取两张，则下列事件为不可能事件的是（ ）A．两张卡片的数字之和等于4 B．两张卡片的数字之和等于5C．两张卡片的数字之和等于6 D．两张卡片的数字之和等于72．（2021·浙江杭州市·九年级期末）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）A．a是实数，则|a|≥0 B．任意一个三角形都有外接圆C．抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6 D．一匹马奔跑的速度是每秒100米3．（2020·江苏泰州市·八年级期中）不透明的袋子里装有3只相同的小球，给它们分别标上序号1、2、3后搅匀．事件“从中任意摸出1只小球，序号为4”是_____事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）．4．（2020·福建南安·初三其他）下列事件中，是不可能事件的是（ ）A．打开电视机，正在播放新闻 B．任意画一个三角形，其内角和为180°C．买一张彩票，中奖 D．从一副没有大小王的扑克牌中抽出两张，数字之和为275．（2020·辽宁建平·初一期末）事件：“在只装有2个红球和8个黑球的袋子里，摸出一个白球”是 A．可能事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．必然事件6．（2020•沭阳县期中）下列事件中是不可能事件的是（ ）A．降雨时水位上升 B．度量三角形的内角和，结果是360° C．打开电视，正在播广告 D．体育运动中肌肉拉伤题型4 可能性的大小【解题技巧】可能性等于所求情况数与总情况数之比．1．（2021·全国七年级课时练习）抛掷一个均匀的正方体骰子，下列事件中出现机会最小的是（ ）A．奇数朝上 B．偶数朝上 C．合数朝上 D．质数朝上2．（2021·全国七年级课时练习）打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶6次，若他们各射击一次，有1人中靶，1人没中靶，则（ ）A．中靶的人一定是甲，不中靶的人一定是乙 B．中靶的人一定是乙，不中靶的人一定是甲C．甲中靶的可能性要小于乙中靶的可能性 D．甲中靶的可能性要大于乙中靶的可能性3．（2021·全国七年级课时练习）甲组有5位女生和10位男生，乙组有8位女生和15位男生，以下说法正确的是（ ）A．在乙组中随机地抽调一人恰为女生的机会比在甲组中随机地抽调一人恰为女生的机会大B．在乙组中随机地抽调一人恰为男生的机会比在甲组中随机地抽调一人恰为男生的机会大C．在乙组中随机地抽调一人恰为女生的机会比在甲组中随机地抽调一人恰为男生的机会大D．在乙组中随机地抽调一人恰为男生的机会比在甲组中随机地抽调一人恰为女生的机会小4．（2021·全国七年级课时练习）在转盘游戏中，如果转出的第一个数是9，为使四位数最大，应将它填在（ ）A．第一格 B．第二格 C．第三格 D．第四格5．（2021·全国七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）A．班中50个同学中有2人生日相同，说明50人中2人生日相同的概率是1B．班中50个同学中若没有2人生日相同，说明50人中2人生日相同的概率是0C．300个人必有2人生日相同D．400个人必有2人生日相同6.（2021•泗阳县期末）估计下列事件发生的可能性的大小，①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；②抛掷1枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数；③调查商场中的1位顾客，他是闰年出生的；④随意调查一位青年，他接受过九年制义务教育；⑤在地面上抛掷1个小石块，石块会落下．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列，正确的是（ ）A．①②③④⑤ B．⑤④③②① C．⑤④②③① D．④⑤③②①题型5 概率的意义 【解题技巧】随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率.1．（2021·全国九年级课时练习）在学习掷硬币的概率时，老师说：“掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是”，小明做了下列三个模拟实验来验证．①取一枚新硬币，在桌面上进行抛掷，计算正面朝上的次数与总次数的比值；②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份，并依次标上奇数和偶数，转动转盘，计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值；③将一个圆形纸板放在水平的桌面上，纸板正中间放一个圆锥（如图），从圆锥的正上方往下撒米粒，计算其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值．上面的实验中，不科学的有（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．（2021·山东聊城市·九年级期末）下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ）A．“在地面向上抛石子后落在地上”是随机事件B．掷两枚硬币，朝上面是一正面一反面的概率为C．在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品D．彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖3．（2021·山东青岛市·九年级专题练习）抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为0.5，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，下列理解正确的是（ ）A．可能有50次反面朝上 B．每两次必有1次反面朝上C．必有50次反面朝上 D．不可能有100次反面朝上4．（2021·湖北襄阳市·九年级期末）事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，平均每5000次事件A发生的次数是_____．5．（2021·浙江宁波市·九年级期末）气象台预报明天下雨的概率为，则下列理解正确的是（ ）A．明天的地区不会下雨 B．明天下雨的可能性较大C．明天的时间会下雨 D．明天下雨是必然事件6．（2021·全国七年级课时练习）在某次摸奖活动中，李明通过调查并计算出每摸一次的平均收益是15元，其意思是（ ）A．摸奖一次，就能中15元 B．此次摸奖活动中，人人都能中奖C．若摸奖若干次，那么每摸一次所获金额的平均数为15元 D．每张奖券的面额是15元题型6 等可能事件的概率1．（2021·天津九年级一模）不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个绿球和6个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是_______．2．（2021·浙江温州市·九年级二模）在同一副扑克牌中抽取5张“方块”，3张“梅花”，2张“黑桃”．将这10张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“黑桃”的概率为（ ）A． B． C． D．3．（2021·辽宁大连市·九年级一模）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、2、3、3、3，掷小正方体后，向上一面的数字，出现“”的概率是（ ）A． B． C． D．4．（2021·四川九年级期末）在“我爱大运，我爱成都”这句话中任选一个汉字，这个字是“爱”的概率为（ ）A． B． C． D．5．（2021·黑龙江九年级期末）在分别写有数字1、2、3、4、5的5张小卡片中，随机地抽出1张卡片，则抽出卡片上的数字是1的概率为_________6．（2021·陕西榆林市·七年级期末）有7张纸签，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，小明从中任意抽取一张纸签（不放回），小颖从剩余的纸签中任意抽取一张，谁抽到的数字大谁就获胜，然后两人把抽到的纸签都放回，重新开始游戏．（1）现小明已经抽到数字4，然后小颖抽纸签，那么小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率又是多少？（2）若小明已经抽到数字6，小明、小颖获胜的概率分别是多少？若小明已经抽到数字1，情况又如何？题型7 概率（频率）与方程【解题技巧】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．1．（2021·河南平顶山市·九年级期末）一个口袋中装有n个红球和5个白球，它们除颜色外完全相同．在不允许将球倒出来的前提下，小明采取如下方法估计n的大小：从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色后再放回口袋中，不断重复上述过程，小明共摸了200次，其中50次摸到了白球，由此小明估计n的大小为（ ）A．14 B．15 C．16 D．172．（2020·浙江杭州市·九年级期末）在一只不透明的口袋中放入红球6个，黑球2个，黄球n个，这些球除颜色外，其它无差别．搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为，则口袋中的黄球总数n是（ ）A．3 B．4 C．5 D．63．（2020·四川米易·初三期末）不透明的口袋内装有红球和白球和黄球共20个，这些球除颜色外其它都相同，将口袋内的球充分搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复该摸球过程，共摸取2020次球，发现有505次摸到白球，则口袋中白球的个数是（ ）A．5 B．10 C．15 D．204．（2020·广东初三二模）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）A．20 B．24 C．28 D．305．（2021•厦门一模）一个不透明盒子里装有a只白球、b只黑球、c只红球，这些球仅颜色不同．从中随机摸出一只球，若P（摸出白球）＝，则下列结论正确的是（ ）A．a＝1 B．a＝3 C．a＝b＝c D．a＝（b+c）6．（2021·全国七年级课时练习）在水产养殖场进行一种鱼的人工孵化，10000个鱼卵能孵化出8500尾鱼苗，求下列各题：（1）这种鱼卵孵化的概率（孵化率）；（2）30000个鱼卵大概能孵化出多少尾鱼苗；（3）要孵化出5000尾鱼苗，大概要准备多少个鱼卵？题型8 几何概型【解题技巧】如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。几何概型的特点:1）试验中所有可能出现结果(基本事件)有无限多个.2)每个基本事件出现的可能性相等.1．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），则击中黑色区域的概率是____________．2．（2021·江苏）小红在地上画了半径为2m和3m的同心圆，如图，然后在一定距离外向圈内掷小石子，若每一次都掷在大圆形成的封闭区域内，则掷中阴影部分的概率是________________．3．（2021·辽宁鞍山·中考真题）一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是_________________．4．（2021·山东烟台市·七年级期末）由三个正方形彼此嵌套组成一个如图所示的图案，其中每个内层正方形的顶点都是其外层正方形边的中点，在该图案上任意取点，恰好取在空白区域的概率是（ ）A． B． C． D．5．（2021·四川九年级期末）将一个棱长为4的正方体的表面涂成灰色，再把它分割成棱长为1的小正方体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有灰色的概率为____．6.（2021·内蒙古）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，他们的两条直角边之比均为2：3，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（ ）A． B． C． D．题型9 频率与概率的区别1．（2020·江苏南京市·八年级期末）做“抛掷一枚质地均匀的硬币试验”，在大量重复试验中，对于事件“正面朝上”的频率和概率，下列说法正确的是（ ）A．概率等于频率 B．频率等于 C．概率是随机的 D．频率会在某一个常数附近摆动2．（2020·江苏徐州市·创新外国语学校八年级月考）在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ）A．概率是随机的，与频率无关 B．频率与试验次数无关C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D．频率就是概率3．（2021·江苏九年级专题练习）下列说法：①事件发生的概率与实验次数有关；②掷10次硬币，结果正面向上出现3次，反面向上出现7次，由此可得正面向上的概率是0.3；③如果事件A发生的概率为，那么大量反复做这种实验，事件A平均每100次发生5次．其中正确的个数为（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．（2021·全国七年级专题练习）学完《概率初步》这一章后，老师让同学结合实例说一说自己的认识，请你判断以下四位同学说法正确的是（ ）A．小智说，做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是B．小慧说，某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖C．小通说，射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是D．小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一5．（2020·全国九年级课时练习）在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是（ ）A．经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定B．抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率相同C．抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5D．若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率也为0.5186．（2020·辽宁阜新市·七年级期末）关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ）A．事件发生的频率就是它发生的概率B．在次试验中，事件发生了次，则比值称为事件发生的频率C．事件发生的频率与它发生的概率无关D．随着试验次数大量增加，事件发生的频率会在附近摆动7．（2021·江西九年级月考）下列说法正确的是（ ）A．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖B．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616C．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近D．试验得到的频率与概率不可能相等题型10 利用频率估计概率【解题技巧】概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.1．（2021·云南红河·九年级期末）小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个橡胶园，现在有一种橡胶树树苗，它的成活率如下表所示，则下面推断中，其中合理的是（ ）．下面有四个推断：①小张移植3500棵这种树苗，成活率肯定高于；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是；③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活率18000棵．A．①② B．①④ C．②③ D．②④2．（2021·北京交通大学附属中学）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的实验，结果如下表所示：下面有四个推断：①种子个数是700时，发芽种子的个数是624，所以种子发芽的概率是0.891；②随着参加实验的种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9（精确到0.1）；③实验的种子个数最多的那次实验得到的发芽种子的频率一定是种子发芽的概率；④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计种子中大约有的种子不能发芽.其中合理的是______.3．（2021·全国九年级课时练习）下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率一定等于；③频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是______(填序号)．4．（2021·陕西汉中市·七年级期末）某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下图是这种幼树在移植过程中成活情况的一组数据统计结果．下面三个推断：①当移植棵数是1500时，该幼树移植成活的棵数是1356，所以“移植成活”的概率是0．904；②随着移植棵数的增加，“移植成活”的频率总在0．880附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计这种幼树“移植成活”的概率是0．880；③若这种幼树“移植成活”的频率的平均值是0．875，则“移植成活”的概率是0．875．其中合理的是（ ）A．①③ B．②③ C．① D．②5．（2021·辽宁九年级二模）某市林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，实验结果统计如下：由此可以估计该种幼树移植成活的概率为__________．（结果保留小数点后两位）6.（2021•渝中区一模）如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个半径为2米的圆后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：（1）当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近 （结果精确到0.1）（2）若以小石子所落的有效区域为总数（即m+n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）；（3）请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留π） 移植棵数成活数成活率移植棵数成活数成活率504715001335270235350032034003690.923700063357506621400012628种子个数2003005007008009001000发芽种子个数187282435624718814901发芽种子率0.9350.9400.8700.8910.8980.9040.901移植总数（）50270400750150035007000900014000成活数（）47235369662133531806321807312628成活频率（）0.940.870.9230.8830.890.9080.9030.8970.902掷小石子落在不规则图形内的总次数50150300…小石子落在圆内（含圆上）的次数m2059123…小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n2991176… 专题02 频率与概率 重难点题型题型1 必然事件的识别【解题技巧】在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．1．（2021·河南九年级期末）下列事件中，必然事件为（ ）A．投掷一枚硬币，向上一面是正面B．经过有交通信号灯的路口；遇到红灯C．打开电视机，正在播放新闻联播D．口袋中装有2个红球和1个白球，从中任意摸出的2个球中有红球【答案】D【分析】根据必然事件的定义：事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，对各选项进行分析即可．【详解】解：A、投掷一枚硬币，向上一面是正面，是随机事件，故不符合；B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，故不符合；C、打开电视机，正在播放新闻联播，是随机事件，故不符合；D、口袋中装有2个红球和1个白球，从中任意摸出的2个球中有红球，是必然事件，故符合；故选：D．【点睛】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解答此题的关键．2．（2021·山东九年级期末）下列事件中，必然事件是（ ）A．未来一周都是好天气 B．假期出门遇见同学C．不在同一直线上的三个点确定一个圆 D．掷一次硬币，正面向上【答案】C【分析】根据随机事件，不可能事件，必然事件的意义进行判断即可．【详解】解：根据概念，知：A、未来一周都是好天气，是随机事件；B、假期出门遇见同学，是随机事件；C、不在同一直线上的三个点确定一个圆，是必然事件；D、掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上，是随机事件．故选：C．【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．①必然事件指在一定条件下一定发生的事件；②不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；③不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．（2021·广西九年级一模）下列事件属于必然事件的是（ ）A．打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”B．将一组数据中的每一个数都加上同一个数，这组数据的方差不变C．一个命题的原命题和它的逆命题都是真命题D．在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数【答案】B【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【详解】解：A、打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”，是随机事件；B、将一组数据中的每一个数都加上同一个数，这组数据的方差不变，是必然事件；C、一个命题的原命题和它的逆命题都是真命题，是随机事件；D、在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数，是随机事件；故选：B．【点睛】本题考查了随机事件和确定事件，解题关键是明确必然事件是一定发生的事件，准确理解题意，正确判断．4．（2021·湖北孝感市·九年级期末）下列事件中，属于必然事件的是（ ）A．明天的最高气温将达35℃ B．经过任意三点能画一个圆C．掷两次质地均匀的骰子，其中有一次正面朝上 D．对顶角相等【答案】D【分析】必然事件发生的可能性为100%，随机事件发生的可能性介在0～1之间，逐个分析发生的可能性，找到发生可能性为100%的选项即可．【详解】A、明天的最高气温将达35℃是随机事件，可能发生也可能不发生，不符合题意；B、经过任意三点能画一个圆是随机事件，可能发生也可能不发生，不符合题意；C、掷两次质地均匀的骰子，其中有一次正面朝上，可能为四分之一，是随机事件，可能发生也可能不发生，不符合题意；D、对顶角相等，是真命题，发生的可能性为100%，是必然事件．【点睛】本题考查了随机事件、必然事件的可能性，理解随机事件、必然事件是正确解答的关键．5．（2021·广东九年级期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 B．13个人中至少有两个人生肖相同C．车辆经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．明天一定会下雨【答案】B【分析】所谓必然事件是指一定发生的事件，根据此含义判断即可．【详解】A、是随机事件，故不符合题意；B、是必然事件，故符合题意；C、是随机事件，故不符合题意；D、不是必然事件，是随机事件，故不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了三种事件，有必然事件、随机事件、不可能事件，掌握三种事件的含义是关键．6．（2021·湖北九年级二模）掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数．下列事件是必然事件的是（ ）A．掷两次骰子，朝上的一面的点数和大于1 B．掷一次骰子，朝上的一面的点数为7C．掷一次骰子，朝上的一面的点数为4 D．掷两次骰子，朝上的一面的点数都是3【答案】A【分析】必然事件就是一定会发生的事件，即发生的概率是1的事件,据此判断即可．【详解】解：A、掷两次骰子，朝上的一面的点数和大于1是必然事件，故本选项符合题意；B、掷一次骰子，朝上的一面的点数为7是不可能事件，故本选项不符合题意；C、掷一次骰子，朝上的一面的点数为4是随机事件，故本选项不符合题意；D、掷两次骰子，朝上的一面的点数都是3是随机事件，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查随机事件，理解必然事件的概念是解答的关键．题型2 随机事件的识别【解题技巧】在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件.1．（2021·湖北武汉市·九年级月考）从1，3，5，7中任取两个数，则下列事件中是随机事件的是（ ）A．两个数的和为奇数 B．两个数的和为偶数C．两个数的积为偶数 D．两个数的积为3的倍数【答案】D【分析】根据从1，3，5，7中任取两个数的和、积的情况进行判断即可．【详解】解：由于1，3，5，7都是奇数，从中任取两个数，其和一定是偶数，不是奇数，因此两个数的和为奇数是不可能事件，选项A不符合题意；两个数的和为偶数是必然事件，因此选项B不符合题意；两个数的积为偶数是不可能事件，因此选项C不符合题意；两个数的积可能是3的倍数，有可能不是3的倍数，因此两个数的积为3的倍数是随机事件，所以选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查随机事件、必然事件、不可能事件，理解随机事件、必然事件、不可能事件的意义是正确判断的前提．2．（2021·江苏淮安市·八年级期末）两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ）A．两个小球的标号之和等于1 B．两个小球的标号之和等于7C．两个小球的标号之和大于1 D．两个小球的标号之和等于5【答案】D【分析】随机事件是指在某个条件下有可能发生有可能不会发生的事件，根据此定义即可求解．【详解】解：从两个口袋中各摸一个球，其标号之和最大为6，最小为2，选项A：“两个小球的标号之和等于1”为不可能事件，故选项A错误；选项B：“两个小球的标号之和等于7”为不可能事件，故选项B错误；选项C：“两个小球的标号之和大于1”为必然事件，故选项C错误；选项D：“两个小球的标号之和大于5”为随机事件，故选项D正确．故选：D．【点睛】本题考查了随机事件、不可能事件、必然事件的概念，熟练掌握各事件的定义是解决本题的关键．3．（2021·天津九年级期末）两个不透明的口袋中分别装有两个完全相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1和2．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ）A．两个小球的标号之和等于3 B．两个小球的标号之和等于6C．两个小球的标号之和大于0 D．两个小球的标号之和等于1【答案】A【分析】分别利用随机事件、必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．【详解】∵两个不透明的口袋中各有两个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，∴从这两个口袋中分别摸出一个小球，两个小球的标号之和等于3，是随机事件，符合题意；两个小球的标号之和等于6，是不可能事件，不符合题意；两个小球的标号之和大于0，是必然事件，不符合题意；两个小球的标号之和等于1，是不可能事件，不合题意；故选：A．【点评】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件，解决此类问题，要掌握三类事件的定义，学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．4．（2021·河南郑州市·九年级期末）下列事件中，属于随机事件的是（ ）A．掷一枚硬币10次，仅有1次正面朝上 B．三角形的三个内角之和等于C．从装有5个红球的袋子里摸出一个白球 D．在地面向上抛出一个篮球还会下落【答案】A【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件和概率的意义分别分析各选项，即可得出结论．【详解】A、掷一枚硬币10次，仅有1次正面朝上是随机事件，故本选项符合题意； B、三角形的三个内角之和等于180°是必然事件，故本选项不符合题意；C、从装有5个红球的袋子里摸出一个白球是不可能事件，故本选项不符合题意；D、在地面向上抛出一个篮球还会下落是必然事件，故本选项不符合题意；故答案为：A【点睛】此题主要考查了随机事件，必然事件，不可能事件和概率的意义，正确理解随机事件，必然事件，不可能事件和概率的意义是解题关键．5．（2021·山东七年级期中）小林同学做了3次投掷硬币试验，皆正面朝下．在他得到的下列结论中，正确的是（ ）．A．投掷硬币正面朝上是不可能事件 B．投掷硬币正面朝下的概率为1C．投掷硬币正面朝上是随机事件 D．继续第4次投掷一定是正面朝下【答案】C【分析】根据随机事件定义解答即可．【详解】解：硬币有两个面，正面朝下或朝上是随机事件．故选C．【点睛】本题主要考查了随机事件的定义，随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．6．（2021·陕西西安市·交大附中分校）下列事件，是随机事件的是（ ）A．两直线平行，内错角相等 B．两个负数相加，和为正数C．任意掷两枚质地均匀的骰子，面朝上的数字积为14 D．投掷一枚硬币，正面朝上【答案】D【分析】根据事件发生的可能性大小逐个判断即可．【详解】解：A、两直线平行，内错角相等，为必然事件，不符合题意；B、两个负数相加，和必定为负数，和为正数为不可能事件，不符合题意；C、任意掷两枚质地均匀的骰子，面朝上的数字积为14，骰子的数从1到6，积不可能为14，为不可能事件，不符合题意；D、投掷一枚硬币，可能是正面朝上，也可能是反面朝上，为随机事件，符合题意；故答案为D．【点睛】本题考查随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．题型3 不可能事件的识别【解题技巧】在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件．1．（2021·浙江台州市·九年级一模）有四张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字2，3，4．从中任意抽取两张，则下列事件为不可能事件的是（ ）A．两张卡片的数字之和等于4 B．两张卡片的数字之和等于5C．两张卡片的数字之和等于6 D．两张卡片的数字之和等于7【答案】A【分析】根据事件发生的可能性进行判断即可．【详解】解：A、两张卡片的数字之和等于4，是不可能事件，故此选项符合题意；B、两张卡片的数字之和等于5，是随机事件，故此选项不符合题意；C、两张卡片的数字之和等于6，是随机事件，故此选项不符合题意；D、两张卡片的数字之和等于7，是随机事件，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．（2021·浙江杭州市·九年级期末）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）A．a是实数，则|a|≥0 B．任意一个三角形都有外接圆C．抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6 D．一匹马奔跑的速度是每秒100米【答案】D【分析】根据不可能事件的概念判断即可．【详解】A. a是实数，则|a|≥0，是必然事件，不符合题意；B. 任意一个三角形都有外接圆，是必然事件，不符合题意；C. 抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6，是随机事件，不符合题意；D. 一匹马奔跑的速度是每秒100米，是不可能事件，不符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了不可能事件的概念，解题关键是理解不可能事件的意义，会区分不可能事件、随机事件、必然事件．3．（2020·江苏泰州市·八年级期中）不透明的袋子里装有3只相同的小球，给它们分别标上序号1、2、3后搅匀．事件“从中任意摸出1只小球，序号为4”是_____事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）．【答案】不可能【分析】根据三只小球中没有序号为4的小球进行判断即可求解．【详解】解：∵三只小球中没有序号为4的小球，∴事件“从中任意摸出1只小球，序号为4”是不可能事件，故答案为：不可能．【点睛】本题考查了事件发生的可能性．一定不可能发生的事件是不可能事件；一定会发生的事件是必然事件；有可能发生，也有可能不发生的事件是随机事件．4．（2020·福建南安·初三其他）下列事件中，是不可能事件的是（ ）A．打开电视机，正在播放新闻 B．任意画一个三角形，其内角和为180°C．买一张彩票，中奖 D．从一副没有大小王的扑克牌中抽出两张，数字之和为27【答案】D【分析】依据不可能事件的概念求解即可．【解析】解：A、打开电视机，正在播放新闻是随机事件，故A不合题意； B、任意画一个三角形，其内角和为180°是必然事件，故B不合题意； C、买一张彩票，中奖是随机事件，故C不合题意； D、从一副没有大小王的扑克牌中抽出两张，数字之和最大为13+13＝26，不可能为27，是不可能事件，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查的是不可能事件的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．5．（2020·辽宁建平·初一期末）事件：“在只装有2个红球和8个黑球的袋子里，摸出一个白球”是 A．可能事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．必然事件【答案】C【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．【解析】 “在只装有2个红球和8个黑球的袋子里，摸出一个白球”是不可能事件，故选C．【点睛】本题考查了随机事件，解本题的关键是掌握：必然事件指在一定条件下一定发生的事件;不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件;不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6．（2020•沭阳县期中）下列事件中是不可能事件的是（ ）A．降雨时水位上升 B．度量三角形的内角和，结果是360° C．打开电视，正在播广告 D．体育运动中肌肉拉伤【分析】分别利用随机事件以及不可能事件的定义分析得出答案．【答案】解：A、降雨时水位上升，是必然事件，故此选项错误；B、度量三角形的内角和，结果是360°，是不可能事件，正确；C、打开电视，正在播广告，是随机事件，故此选项错误；D、体育运动中肌肉拉伤，是随机事件，故此选项错误；故选：B．【点睛】此题主要考查了随机事件，正确把握定义是解题关键．题型4 可能性的大小【解题技巧】可能性等于所求情况数与总情况数之比．1．（2021·全国七年级课时练习）抛掷一个均匀的正方体骰子，下列事件中出现机会最小的是（ ）A．奇数朝上 B．偶数朝上 C．合数朝上 D．质数朝上【答案】C【分析】分别计算出奇数、偶数、合数、质数的个数，比较各种数的多少即可．【详解】解：、奇数有1，3，5三个，概率是；、偶数有2，4，6三个，概率是；、合数有4，6两个，概率是；、质数有2，3，5三个，概率是．出现机会最小的是，合数朝上．故选：．【点睛】可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．2．（2021·全国七年级课时练习）打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶6次，若他们各射击一次，有1人中靶，1人没中靶，则（ ）A．中靶的人一定是甲，不中靶的人一定是乙 B．中靶的人一定是乙，不中靶的人一定是甲C．甲中靶的可能性要小于乙中靶的可能性 D．甲中靶的可能性要大于乙中靶的可能性【答案】D【分析】根据甲乙两人相应的可能性得出结论；【详解】、虽然甲打中的概率乙打中的概率0.6，但是都有打中的可能性，故错误；、虽然甲打中的概率乙打中的概率0.6，但是都有打中的可能性，故错误；、甲打中的概率乙打中的概率0.6，甲中靶的可能性要大于乙中靶的可能性，故错误；、甲打中的概率乙打中的概率0.6，甲中靶的可能性要大于乙中靶的可能性，故正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了可能性的大小，准确分析判断是解题的关键．3．（2021·全国七年级课时练习）甲组有5位女生和10位男生，乙组有8位女生和15位男生，以下说法正确的是（ ）A．在乙组中随机地抽调一人恰为女生的机会比在甲组中随机地抽调一人恰为女生的机会大B．在乙组中随机地抽调一人恰为男生的机会比在甲组中随机地抽调一人恰为男生的机会大C．在乙组中随机地抽调一人恰为女生的机会比在甲组中随机地抽调一人恰为男生的机会大D．在乙组中随机地抽调一人恰为男生的机会比在甲组中随机地抽调一人恰为女生的机会小【答案】A【分析】此题要比较抽调学生为男生或者女生可能性的大小，只需要求出各自所占的比例大小即可，求比例时，应注意记清各自的数目；【详解】、在乙组中随机地抽调一人恰为女生的机会为，在甲组中随机地抽调一人恰为女生的机会为，正确；、在乙组中随机地抽调一人恰为男生的机会为，在甲组中随机地抽调一人恰为男生的机会为，故本选项错误；、在乙组中随机地抽调一人恰为女生的机会为，在甲组中随机地抽调一人恰为男生的机会为，故本选项错误；、在乙组中随机地抽调一人恰为男生的机会为，在甲组中随机地抽调一人恰为女生的机会为故本选项错误．故选：．【点睛】本题主要考查了可能性大小判断，准确分析判断是解题的关键．4．（2021·全国七年级课时练习）在转盘游戏中，如果转出的第一个数是9，为使四位数最大，应将它填在（ ）A．第一格 B．第二格 C．第三格 D．第四格【答案】A【分析】填在最高位即可．【详解】解：转盘中共有1至9位数，9在第一位时，数最大．故选．【点睛】解决本题的关键是理解最高位上的数越大，得到的数越大．5．（2021·全国七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）A．班中50个同学中有2人生日相同，说明50人中2人生日相同的概率是1B．班中50个同学中若没有2人生日相同，说明50人中2人生日相同的概率是0C．300个人必有2人生日相同D．400个人必有2人生日相同【答案】D【分析】根据随机事件和必然事件的概率判断即可．【详解】因为1年有365或366天，所以50人或300人有两人生日相同是随机事件，由于这个概率在0和1之间，故400人中必有2人生日相同．故选：．【点睛】本题考查了事件发生的可能性大小，理解相关事件发生的概率大小是解题的关键．6.（2021•泗阳县期末）估计下列事件发生的可能性的大小，①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；②抛掷1枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数；③调查商场中的1位顾客，他是闰年出生的；④随意调查一位青年，他接受过九年制义务教育；⑤在地面上抛掷1个小石块，石块会落下．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列，正确的是（ ）A．①②③④⑤ B．⑤④③②① C．⑤④②③① D．④⑤③②①【分析】根据其发生的概率即可比较出事件发生的可能性的大小．【答案】解：①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球的可能性为0；②抛掷1枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数的概率为；③调查商场中的1位顾客，他是闰年出生的概率为；④随意调查一位青年，他接受过九年制义务教育的概率较大，接近1；⑤在地面上抛掷1个小石块，石块会落下的概率为1，故大小排列为：⑤④②③①，故选：C．【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待，最准确的方法是计算出事件发生的概率进行比较．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．题型5 概率的意义 【解题技巧】随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率.1．（2021·全国九年级课时练习）在学习掷硬币的概率时，老师说：“掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是”，小明做了下列三个模拟实验来验证．①取一枚新硬币，在桌面上进行抛掷，计算正面朝上的次数与总次数的比值；②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份，并依次标上奇数和偶数，转动转盘，计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值；③将一个圆形纸板放在水平的桌面上，纸板正中间放一个圆锥（如图），从圆锥的正上方往下撒米粒，计算其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值．上面的实验中，不科学的有（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【分析】分析每个实验的概率后，与原来掷硬币的概率比较即可．【详解】解：①由于一枚质地均匀的硬币，只有正反两面，故正面朝上的概率是；②由于把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份，并依次标上奇数和偶数，标奇数和偶数的转盘各占一半．指针落在奇数区域的次数与总次数的比值为．③由于圆锥是均匀的，所以落在圆形纸板上的米粒的个数也是均匀的分布的，与纸板面积成正比，可验证其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值为．三个试验均科学．故选：A．【点睛】本题考查了概率个概念，能否区分出事件的可能性、逐一分析每个实验是解决本题关键．2．（2021·山东聊城市·九年级期末）下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ）A．“在地面向上抛石子后落在地上”是随机事件B．掷两枚硬币，朝上面是一正面一反面的概率为C．在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品D．彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖【答案】C【分析】直接利用概率的意义以及概率求法和利用样本估计总体等知识分别分析得出答案．【详解】解：A、“在地面向上抛石子后落在地上”是必然事件，故此选项错误；B、掷两枚硬币，朝上面是一正面一反面的概率为，故此选项错误；C、在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品，正确；D、彩票的中奖率为10%，则买100张彩票可能有10张中奖，故原说法错误．故选：C．【点睛】此题主要考查了概率的意义以及概率求法、利用样本估计总体等知识，正确理解相关性质是解题关键．3．（2021·山东青岛市·九年级专题练习）抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为0.5，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，下列理解正确的是（ ）A．可能有50次反面朝上 B．每两次必有1次反面朝上C．必有50次反面朝上 D．不可能有100次反面朝上【答案】A【分析】概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现，据此逐项判断即可．【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为0.5，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，可能有50次反面朝上，故选：A．【点睛】本题主要考查了概率的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．4．（2021·湖北襄阳市·九年级期末）事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，平均每5000次事件A发生的次数是_____．【答案】200【分析】根据概率的意义解答即可．【详解】解：事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，则事件A平均每100次发生的次数为：5000×＝200．故答案为：200．【点睛】本题考查了概率的意义，熟记概念是解题的关键．5．（2021·浙江宁波市·九年级期末）气象台预报明天下雨的概率为，则下列理解正确的是（ ）A．明天的地区不会下雨 B．明天下雨的可能性较大C．明天的时间会下雨 D．明天下雨是必然事件【答案】B【分析】根据概率的意义找到正确选项即可．【详解】解：天气台预报明天下雨的概率为70%，说明明天下雨的可能性很大，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查概率的意义理解，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．6．（2021·全国七年级课时练习）在某次摸奖活动中，李明通过调查并计算出每摸一次的平均收益是15元，其意思是（ ）A．摸奖一次，就能中15元 B．此次摸奖活动中，人人都能中奖C．若摸奖若干次，那么每摸一次所获金额的平均数为15元 D．每张奖券的面额是15元【答案】C【分析】根据概率的意义得出“每摸一次的平均收益”的意思得出答案即可．【详解】解：李明通过调查并计算出每摸一次的平均收益是15元，其意思是若摸奖若干次，那么每摸一次所获金额的平均数为15元．故选：．【点睛】此题主要考查了概率的意义，根据概率是对事件发生可能性大小的量的表现得出答案是解题关键．题型6 等可能事件的概率1．（2021·天津九年级一模）不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个绿球和6个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是_______．【答案】【分析】根据概率公式计算即可．【详解】解：袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个绿球和6个蓝球，从袋子中随机取出1个球，它是绿球的概率是：，故答案为：．【点睛】本题考查概率公式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．2．（2021·浙江温州市·九年级二模）在同一副扑克牌中抽取5张“方块”，3张“梅花”，2张“黑桃”．将这10张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“黑桃”的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用概率公式计算可得．【详解】解：在同一副扑克牌中抽取5张“方块”，3张“梅花”，2张“黑桃”，将这10张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“黑桃”的概率为＝．故选：D．【点睛】本题考查概率公式的基本应用，牢记概率公式是解题关键．3．（2021·辽宁大连市·九年级一模）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、2、3、3、3，掷小正方体后，向上一面的数字，出现“”的概率是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】用数字2的个数除以数字的总个数即可．【详解】解：∵共有6个数字，其中数字2有2个，∴掷小正方体后，向上一面的数字，出现“2”的概率是，故选：C．【点睛】本题主要考查了概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．4．（2021·四川九年级期末）在“我爱大运，我爱成都”这句话中任选一个汉字，这个字是“爱”的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】用爱字的个数除以所有文字的个数即可求得概率．【详解】解：∵在“我爱大运，我爱成都”8个文字中有2个爱字，∴任选一个汉字，这个字是“爱”的概率为＝，故选：A．【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．5．（2021·黑龙江九年级期末）在分别写有数字1、2、3、4、5的5张小卡片中，随机地抽出1张卡片，则抽出卡片上的数字是1的概率为_________【答案】【分析】随机事件概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．让1除以卡片总张数即为所求的概率．【详解】解：在分别写有数字1，2，3，4，5的5张小卡片中，随机地抽出1张卡片，则抽出卡片上的数字是1的概率为．故答案是：．【点睛】本题考查的是随机事件概率的求法，解决本题的关键是要熟练掌握随机事件概率的计算方法.6．（2021·陕西榆林市·七年级期末）有7张纸签，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，小明从中任意抽取一张纸签（不放回），小颖从剩余的纸签中任意抽取一张，谁抽到的数字大谁就获胜，然后两人把抽到的纸签都放回，重新开始游戏．（1）现小明已经抽到数字4，然后小颖抽纸签，那么小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率又是多少？（2）若小明已经抽到数字6，小明、小颖获胜的概率分别是多少？若小明已经抽到数字1，情况又如何？【答案】（1）小明获胜的概率是；小颖获胜的概率是；（2）小明已经抽到数字6，小明获胜的概率是；小颖获胜的概率是；小明已经抽到数字1，则小明获胜的概率是0，小颖获胜的概率是1．【分析】（1）根据题意列出可能性，根据概率公式即可求解；（2）根据题意列出可能性，根据概率公式即可求解．【详解】解：（1）共有7张纸签，小明已经抽到数字4，如果小明获胜的话，小颖只可能抽到数字1、2、3，所以小明获胜的概率是.如果小颖要获胜，抽到的数字只能是5、6、7，所以小颖获胜的概率是（2）若小明已经抽到数字6，如果小明获胜的话，小颖只可能抽到数字1，2、3、4，5，所以小明获胜的概率是.如果小颖要获胜，抽到的数字只能是7，所以小颖获胜的概率是.若小明已经抽到数字1，则小明获胜的概率是0，小颖获胜的概率是1．【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．题型7 概率（频率）与方程【解题技巧】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．1．（2021·河南平顶山市·九年级期末）一个口袋中装有n个红球和5个白球，它们除颜色外完全相同．在不允许将球倒出来的前提下，小明采取如下方法估计n的大小：从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色后再放回口袋中，不断重复上述过程，小明共摸了200次，其中50次摸到了白球，由此小明估计n的大小为（ ）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【分析】根据白球的个数÷球的总个数=摸到白球的频率求解即可．【详解】解：根据题意，得解得n=15，经检验，n=15是分式方程的解且符合题意．故选B．【点睛】本题考查了简单的概率公式．掌握概率公式是解题的关键．2．（2020·浙江杭州市·九年级期末）在一只不透明的口袋中放入红球6个，黑球2个，黄球n个，这些球除颜色外，其它无差别．搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为，则口袋中的黄球总数n是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】此题首先计算红球、黑球的比例，再根据红球、黑球总数求得口袋中球的总数，进而求得黄球数目．【详解】解法一：根据题意，得解得n=4 解法二：根据题意：从口袋中摸出一个恰好是黄球的概率为；∴口袋中摸出红球、黑球的概率为1-=；∵红球、黑球总数：6+2=8个，∴口袋中球的总数：8÷=12个，黄球的个数：12-8=4个．故选：B．【点睛】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．3．（2020·四川米易·初三期末）不透明的口袋内装有红球和白球和黄球共20个，这些球除颜色外其它都相同，将口袋内的球充分搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复该摸球过程，共摸取2020次球，发现有505次摸到白球，则口袋中白球的个数是（ ）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】A【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到白球的概率为0.25，然后根据概率公式计算这个口袋中白球的数量．【解析】设白球有x个，根据题意得：，解得：x=5，即白球有5个，故选A．【点睛】考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．4．（2020·广东初三二模）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（ ）A．20 B．24 C．28 D．30【答案】D【解析】根据题意得=30%，解得n=30，所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．故选D．题型：利用频率估计概率．5．（2021•厦门一模）一个不透明盒子里装有a只白球、b只黑球、c只红球，这些球仅颜色不同．从中随机摸出一只球，若P（摸出白球）＝，则下列结论正确的是（ ）A．a＝1 B．a＝3 C．a＝b＝c D．a＝（b+c）【分析】根据概率公式得出＝，整理可得．【答案】解：由题意知＝，则3a＝a+b+c，∴2a＝b+c，∴a＝（b+c），故选：D．【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=．6．（2021·全国七年级课时练习）在水产养殖场进行一种鱼的人工孵化，10000个鱼卵能孵化出8500尾鱼苗，求下列各题：（1）这种鱼卵孵化的概率（孵化率）；（2）30000个鱼卵大概能孵化出多少尾鱼苗；（3）要孵化出5000尾鱼苗，大概要准备多少个鱼卵？【答案】（1）这种鱼卵孵化的概率（孵化率）为；（2）30000个鱼卵大概能孵化出25500尾鱼苗；（3）要孵化出5000尾鱼苗，大概要准备5883个鱼卵．【分析】（1）根据概率的定义，可得这种鱼卵的孵化概率为：；（2）30000个鱼卵大约能孵化鱼苗尾数为：30000×孵化率；（3）要孵化5000尾鱼苗，大概要准备鱼卵数：5000除以孵化率，可列方程解答．【详解】（1）这种鱼卵孵化的概率（孵化率）；（2），所以30000个鱼卵大概能孵化出25500尾鱼苗；（3）设要准备个鱼卵，根据题意得，解得，答：要孵化出5000尾鱼苗，大概要准备5883个鱼卵．【点睛】本题的考点是概率的意义，主要考查概率的统计定义，某事件的概率等于某事件所占的结果数与总的结果数之比，掌握概率公式是解题的关键．题型8 几何概型【解题技巧】如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。几何概型的特点:1）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. 2)每个基本事件出现的可能性相等.1．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），则击中黑色区域的概率是____________．【答案】【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】解：∵总面积为9个小等边形的面积，其中阴影部分面积为3个小等边形的面积，∴飞镖落在阴影部分的概率是＝，故答案为：．【点睛】本题主要考查了概率求解问题，准确分析计算是解题的关键．2．（2021·江苏）小红在地上画了半径为2m和3m的同心圆，如图，然后在一定距离外向圈内掷小石子，若每一次都掷在大圆形成的封闭区域内，则掷中阴影部分的概率是________________．【答案】【分析】用阴影部分的面积除以大圆的面积即可求得概率．【详解】解：S阴影＝π（32﹣22）＝5π（cm2），所以掷中阴影部分的概率是，故答案为：．【点睛】考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积，难度不大．3．（2021·辽宁鞍山·中考真题）一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在黑色区域的概率是_________________．【答案】【分析】求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．【详解】解：由图可知：黑色方砖有8个小三角形，每4个三角形是大正方形面积的∴黑色方砖在整个地板中所占的比值，∴小球最终停留在黑色区域的概率，故答案为：．【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，解题的关键在于能够准确找出黑色方砖面积与整个区域面积的关系.4．（2021·山东烟台市·七年级期末）由三个正方形彼此嵌套组成一个如图所示的图案，其中每个内层正方形的顶点都是其外层正方形边的中点，在该图案上任意取点，恰好取在空白区域的概率是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设大正方形的边长为，求得空白区域的面积占整个面积的比，即可求解．【详解】解：设大正方形的边长为，则中间正方形的边长为，小正方形的边长为，整个区域的面积为，空白区域的面积为则空白区域占，故其概率等于．故选：B．【点睛】此题考查了概率的有关计算，掌握概率的计算方法并求得空白区域所占的比重是解题的关键．5．（2021·四川九年级期末）将一个棱长为4的正方体的表面涂成灰色，再把它分割成棱长为1的小正方体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有灰色的概率为____．【答案】【分析】直接根据题意得出恰有三个面涂有灰色的有8个，再利用概率公式求出答案．【详解】解：由题意可得：小立方体一共有64个，恰有三个面涂有灰色的有8个，故取得的小正方体恰有三个面涂有灰色的概率为＝，故答案为：．【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，正确得出三个面涂有灰色小立方体的个数是解题关键．6.（2021·内蒙古）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，他们的两条直角边之比均为2：3，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】针尖落在阴影区域的概率就是四个直角三角形的面积之和与大正方形面积的比．【详解】解：设两直角边分别是2x，3x，则斜边即大正方形的边长为，小正方形边长为3x－2x＝x，∴S大正方形＝13x2，S小正方形＝x2，∴S阴影＝12x2，∴针尖落在阴影区域的概率为＝．故选：D．【点睛】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比，也考查了勾股定理的应用．题型9 频率与概率的区别1．（2020·江苏南京市·八年级期末）做“抛掷一枚质地均匀的硬币试验”，在大量重复试验中，对于事件“正面朝上”的频率和概率，下列说法正确的是（ ）A．概率等于频率 B．频率等于 C．概率是随机的 D．频率会在某一个常数附近摆动【答案】D【分析】频率是在一次试验中某一事件出现的次数与试验总数的比值。概率是某一事件所固有的性质。频率是变化的每次试验可能不同，概率是稳定值不变。在一定条件下频率可以近似代替概率。【解析】A、概率不等于频率，A选项错误；B、频率等于 ，B选项错误C、概率是稳定值不变，C选项错误D、频率会在某一个常数附近摆动，D选项是正确的。故答案为：D【点睛】此题主要考查了概率公式，以及频率和概率的区别。2．（2020·江苏徐州市·创新外国语学校八年级月考）在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ）A．概率是随机的，与频率无关 B．频率与试验次数无关C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D．频率就是概率【答案】C【解析】A、概率是理论数据不是随机的，故错误；B、随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故错误；C、随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，正确； D、频率不直接等于概率，故错误．故选：C．3．（2021·江苏九年级专题练习）下列说法：①事件发生的概率与实验次数有关；②掷10次硬币，结果正面向上出现3次，反面向上出现7次，由此可得正面向上的概率是0.3；③如果事件A发生的概率为，那么大量反复做这种实验，事件A平均每100次发生5次．其中正确的个数为（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据概率的定义，概率与频率的关系依次作出判断即可．【详解】解：①事件发生的概率与实验次数无关，故①错误；②实验次数过少，且频率只能估计概率，故②错误；③如果事件A发生的概率为，那么大量反复做这种实验，事件A平均每100次发生5次，故③正确．故选：B．【点睛】本题考查概率的意义理解，关于频率与概率关系说法的正误．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．正确理解频率与概率的关系是解题关键．4．（2021·全国七年级专题练习）学完《概率初步》这一章后，老师让同学结合实例说一说自己的认识，请你判断以下四位同学说法正确的是（ ）A．小智说，做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是B．小慧说，某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖C．小通说，射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是D．小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一【答案】D【分析】试验次数足够大时，频率才可以表示概率，A选项试验次数过少，所以错误；5%是每张均有%的可能中奖，而不是100张彩票一定会有5张中奖，偷换概念；概率题一定要考虑样本空间，然后确定样本，C中还有脱靶的可能，所以错误；抛掷一枚均匀硬币，结果只有两种正面朝上和正面朝下，且每次发生的可能是相等的，每做一次，正面朝上的概率都是二分之一．【详解】小智说，做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，但是试验次数少，因此不能确定钉尖朝上的概率，所以A错误；小慧说，某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票不一定会有5张中奖，所以B错误；小通说，射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，还有脱靶的可能，所以C错误；小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一，所以D正确．故选：D．【点睛】本题考察了频率和概率的区别，等可能时间概率的计算；在初中课程中认为当试验次数足够大时，频率可以表示概率；等可能事件中，n件事发生的概率都是相等的，因此每件事发生的概率是．5．（2020·全国九年级课时练习）在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是（ ）A．经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定B．抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率相同C．抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5D．若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率也为0.518【答案】A【分析】根据频率的概念与计算公式逐项判断即可得．【详解】A、经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定，此项正确；B、抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率可能不同，此项错误；C、抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率约为，此项错误；D、若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是，则“正面向下”的频率为，此项错误；故选：A．【点睛】本题考查了频率的概念与计算公式，掌握理解频率的概念是解题关键．6．（2020·辽宁阜新市·七年级期末）关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ）A．事件发生的频率就是它发生的概率B．在次试验中，事件发生了次，则比值称为事件发生的频率C．事件发生的频率与它发生的概率无关D．随着试验次数大量增加，事件发生的频率会在附近摆动【答案】D【分析】根据概率的定义，以及概率与频率的关系，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：事件发生的频率不一定是它发生的概率；故A错误；在次试验中，事件发生了次，则比值称为事件发生的频率；故B错误；事件发生的频率与它发生的概率是有关系的，故C错误；随着试验次数大量增加，事件发生的频率会在附近摆动；故D正确；故选：D．【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确掌握频率与概率的关系是解题关键．7．（2021·江西九年级月考）下列说法正确的是（ ）A．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖B．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616C．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近D．试验得到的频率与概率不可能相等【答案】B【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，根据选项一一判断即可．【详解】某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，A错；某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是，B正确；当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，C错；试验得到的频率与概率有可能相等，D错．故选：B【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率．题型10 利用频率估计概率【解题技巧】概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.1．（2021·云南红河·九年级期末）小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个橡胶园，现在有一种橡胶树树苗，它的成活率如下表所示，则下面推断中，其中合理的是（ ）．下面有四个推断：①小张移植3500棵这种树苗，成活率肯定高于；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是；③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活率18000棵．A．①② B．①④ C．②③ D．②④【答案】C【分析】随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，据此进行判断即可．【详解】解：①当移植的树数是3500时，表格记录成活数率是0.915，且树苗成活的频率总在0.900附近摆动，这种树苗成活的概率不一定高于0.890，故错误；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，故正确；③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵，故正确；④若小张移植20000棵这种树苗，则不一定成活18000棵，故错误．故选C．【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．2．（2021·北京交通大学附属中学）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的实验，结果如下表所示：下面有四个推断：①种子个数是700时，发芽种子的个数是624，所以种子发芽的概率是0.891；②随着参加实验的种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9（精确到0.1）；③实验的种子个数最多的那次实验得到的发芽种子的频率一定是种子发芽的概率；④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计种子中大约有的种子不能发芽.其中合理的是______.【答案】②④【分析】根据某农科所在相同条件下作某作物种子发芽率的试验表,可得大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.9左右,于是得到种子发芽的概率约为0.9,据此求出1000kg种子中大约有100kg种子是不能发芽的即可.【详解】①需要大量试验才可估算发芽率,故错误;②正确;③频率与概率不一定相等,故错误;④正确;故答案为:②④.【点睛】本题考查频率与概率的区别,关键还是在概念上区别两种.3．（2021·全国九年级课时练习）下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率一定等于；③频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是______(填序号)．【答案】①③④【分析】利用频率与概率的意义即可得出．【详解】解：①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小，正确； ②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率为不是事件的概率，因为频率是可以改变的，而概率是一定的，故不正确； ③频率是不能脱离n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，正确；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，正确；故答案为：①③④【点睛】本题考查概率的意义，考查概率和频率之间的关系，正确理解概率和频率的关系，做一个实验事件发生频率是变化的，而概率是不变的，是一个确定的数值．4．（2021·陕西汉中市·七年级期末）某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下图是这种幼树在移植过程中成活情况的一组数据统计结果．下面三个推断：①当移植棵数是1500时，该幼树移植成活的棵数是1356，所以“移植成活”的概率是0．904；②随着移植棵数的增加，“移植成活”的频率总在0．880附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计这种幼树“移植成活”的概率是0．880；③若这种幼树“移植成活”的频率的平均值是0．875，则“移植成活”的概率是0．875．其中合理的是（ ）A．①③ B．②③ C．① D．②【答案】D【分析】根据统计图中的数据和频率与概率的关系，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．【详解】当移植棵数是1500时，该幼树移植成活的棵数是1356，所以此时“移植成活”的频率是0.904，但概率不一定是0.904，故①错误，随着移植棵数的增加，“移植成活”的频率总在0.880附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计这种幼树“移植成活”的概率是0.880，故②正确，若这种幼树“移植成活”的频率的平均值是0.875，则“移植成活”的概率也不一定是0.875，因为某一次或几次的频率太高或太低会影响估计概率，概率是一件事情发生的可能性，故③错误，故选：D.【点睛】此题考查频率与概率，统计图，解题关键在于看懂图中数据.5．（2021·辽宁九年级二模）某市林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，实验结果统计如下：由此可以估计该种幼树移植成活的概率为__________．（结果保留小数点后两位）【答案】0.90．【分析】概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．【详解】解：∵概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，∴所以这种幼树移植成活率的概率约为0.90，故答案为：0.90．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率等于所求情况数与总情况数之比．6.（2021•渝中区一模）如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个半径为2米的圆后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：（1）当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近 （结果精确到0.1）（2）若以小石子所落的有效区域为总数（即m+n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）；（3）请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留π）【分析】（1）根据提供的m和n的值，计算m：n后即可确定二者的比值逐渐接近的值；（2）大量试验时，频率可估计概率；（3）利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积．【答案】解：（1）20÷29≈0.69；48÷95≈0.65；89÷180≈0.69，…当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近0.7；（2）观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.4，（3）设封闭图形的面积为a，根据题意得：＝0.4，解得：a＝10π，故答案为：0.7，0.4，10π．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． 移植棵数成活数成活率移植棵数成活数成活率504715001335270235350032034003690.923700063357506621400012628种子个数2003005007008009001000发芽种子个数187282435624718814901发芽种子率0.9350.9400.8700.8910.8980.9040.901移植总数（）50270400750150035007000900014000成活数（）47235369662133531806321807312628成活频率（）0.940.870.9230.8830.890.9080.9030.8970.902掷小石子落在不规则图形内的总次数50150300…小石子落在圆内（含圆上）的次数m2059123…小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n2991176…
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