2023-2024学年黑龙江省牡丹江第二高级中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省牡丹江第二高级中学高一（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数y=3cs(4x+π3)的最小正周期是( )
A. 2πB. π2C. π3D. π
2.已知函数f(x)=4x−12,x≤1−x+3,x>1，则f(f(52))=( )
A. −12B. 32C. 92D. 52
3.已知cs(π4−α)=13，则sin2α的值为( )
A. −79B. 79C. 23D. −23
4.已知tan(α+π4)=13，则tan2α=( )
A. 23B. −23C. 43D. −43
5.函数f(x)=ln(1+2cs2x)的定义域是( )
A. (−2π3+kπ,2π3+kπ)(k∈Z)B. (−π3+kπ,π3+kπ)(k∈Z)
C. (−2π3+2kπ,2π3+2kπ)(k∈Z)D. (−π3+2kπ,π3+2kπ)(k∈Z)
6.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，如果x1,x2∈(−π6,π3)，且f(x1)=f(x2)，则f(x1+x2)=( )
A. 12
B. 22
C. 32
D. 1
7.计算tan12°− 3(4cs212°−2)sin12°=( )
A. 4B. −2C. −4D. 2
8.已知函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)在区间(π6,π2)上单调递减，则ω的取值范围是( )
A. [0,73]B. [1,73]C. [1,3]D. [0,3]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知x∈R，则下列等式恒成立的是( )
A. sin(−x)=sinxB. sin(3π2−x)=csx
C. cs(π2+x)=−sinxD. cs(x−π)=−csx
10.已知2x−2=(12)y，则3x+3y的值可以为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
11.设函数f(x)=sin(2x+π3)，给出下列命题，不正确的是( )
A. f(x)的图象关于直线x=π3对称
B. f(x)的图象关于点(π12,0)对称
C. 把f(x)的图象向左平移π12个单位长度，得到一个偶函数的图象
D. f(x)的最小正周期为π，且在[0,π6]上为增函数
12.一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每30秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则( )
A. 点P第一次到达最高点需要10秒
B. 当水轮转动35秒时，点P距离水面2米
C. 当水轮转动25秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D. 点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h=4sin(π30t+π6)+2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.计算：(14)0+lg22= ______．
14.tan105°=______．
15.已知α∈(0,π2)，tanα=2，则cs(α−π4)= ．
16.已知函数f(x)=cs2x+asinx−1，若不等式|f(x)|≤1任意的x∈[0,π]恒成立，则实数a的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=lgax(a>0且a≠1)的图象过点(9,2)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(3x−1)>f(−x+5)．
18.(本小题12分)
(1)计算：sin24°cs6°−sin66°sin6°sin21∘cs39∘−cs21∘sin39∘；
(2)已知tanα=3.求sin(π2+α)+3sin(π+α)cs(3π2−α)−cs(5π+α)的值．
19.(本小题12分)
已知函数，x∈R．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数f(x)在区间[−π8,π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+π,−2).若将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于原点对称．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数y=f(kx)+1(k>0)的周期为2π3，当x∈[0,π3]时，方程f(kx)+1=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
21.(本小题12分)
已知函数g(x)=ax2−2ax−1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)=g(x)x．
(1)求a，b的值；
(2)若不等式f(2x)−k⋅2x≥0在x∈[−1,1]上有解，求实数k的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=4sin2(π4+x2)sinx+(csx+sinx)(csx−sinx)−1．
(1)求f(x)的对称中心；
(2)设常数ω>0，若函数f(ωx)在区间[−π2,2π3]上是增函数，求ω的取值范围；
(3)若函数g(x)=12[f(2x)+af(x)−af(π2−x)−a]−1在区间[−π4,π2]上的最大值为2，求a的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由于函数y=3cs(4x+π3)的最小正周期T=2π4=π2．
故选：B．
由题意，根据余弦型函数y=Acs(ωx+φ)的最小正周期T=2π|ω|，进而即得．
本题主要考查余弦函数的周期性，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查分段函数的求值，涉及函数的解析式，属于基础题．
根据题意，由函数的解析式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数f(x)=4x−12(x≤1)−x+3(x>1)，
则f(52)=−52+3=12，
则f(f(52))=f(12)=2−12=32，
故选B．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了诱导公式，考查了余弦的二倍角公式，属于基础题．
由sin2α=sin[π2−2(π4−α)]，结合余弦的二倍角公式求解即可．
【解答】
解：已知cs(π4−α)=13，
则sin2α=sin[π2−2(π4−α)]=cs[2(π4−α)]=2cs2(π4−α)−1=2×19−1=−79，
故选：A．
4.【答案】D
【解析】解：由tan(α+π4)=13可得tanα+tanπ41−tanαtanπ4=13，
即tanα+11−tanα=13，解得tanα=−12，
所以可得tan2α=2tanα1−tan2α=−12×21−(−12)2=−43．
故选：D．
利用两角和的正切公式可求得tanα=−12，再利用二倍角的正切公式代入计算可得结果．
本题主要考查了两角和及二倍角的正切公式的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：依题意，1+2cs2x>0，即cs2x>−12，
∴2kπ−2π3<2x<2kπ+2π3，k∈Z，
解得：kπ−π3∴函数f(x)=ln(1+2cs2x)的定义域是(−π3+kπ,π3+kπ)(k∈Z)，
故选：B．
根据给定条件，列出不等式，求解即可得到函数f(x)的定义域．
本题主要考查了求函数的定义域，考查了解三角函数不等式，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象，可得A=1，T2=πω=π3+π6，∴ω=2，
结合五点法作图可得2⋅(−π6)+φ=0，∴φ=π3，f(x)=sin(2x+π3).
如果x1,x2∈(−π6,π3)，且f(x1)=f(x2)，结合2x+π3∈(0,π)，可得2x1+π3+(2x2+π3)2=π2，
∴x1+x2=π6，∴f(x1+x2)=f(π6)=sin(π3+π3)= 32，
故选：C．
由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．再由条件利用正弦函数的图象的对称性，求得f(x1+x2)的值．
本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．还考查了正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：tan12°− 3(4cs212°−2)sin12°
=sin12°cs12∘− 32(2cs212°−1)sin12°
=sin12°− 3cs12°2cs24°sin12°cs12°
=2(12sin12°− 32cs12°)12sin48°
=2sin(12°−60°)12sin48∘
=−4．
故选：C．
根据已知条件，结合三角函数的二倍角公式，以及两角和公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的二倍角公式，以及两角和公式，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)在区间(π6,π2)上单调递减，
令：π2+2kπ≤ωx+π3≤2kπ+3π2(k∈Z)，
整理得π6ω+2kπω≤x≤2kπω+7π6ω(k∈Z)；
函数在区间(π6,π2)上单调递减，
故π6ω+2kπω≤π6故π6ω+2kπω≤π6 π2≤2kπω+7π6ω (k∈Z)；
整理得：1≤ω≤73．
故ω的取值范围是[1,73]．
故选：B．
直接利用正弦型函数的性质函数的单调性的应用求出结果．
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
9.【答案】CD
【解析】解：根据诱导公式可知：
因为sin(−x)=−sinx，所以A不正确；
因为sin(3π2−x)=−csx，所以B不正确；
因为cs(π2+x)=−sinx，所以C正确；
因为cs(x−π)=−csx，所以D正确．
故选：CD．
利用诱导公式，判断各个选项中的式子是否成立，从而得出结论．
本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．
10.【答案】CD
【解析】解：由2x−2=(12)y得：2x−2=2−y，解得x−2=−y，即x+y=2，
由于3x>0，3y>0，3x+3y≥2 3x⋅3y=2 3x+y=6，当且仅当3x=3y(即x=y=1)时取得等号．
故选：CD．
先由等式2x−2=(12)y得到x+y=2，再应用基本不等式求得3x+3y的范围，结合选项判断即可．
本题考查的知识要点：基本不等式的运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于选项A，令2x+π3=π2+kπ，k∈Z，则x=π12+kπ2，k∈Z，
∴函数f(x)的图象关于直线x=π12+kπ2，k∈Z对称，即选项A不正确；
对于选项B，令2x+π3=kπ，k∈Z，则x=−π6+kπ2，k∈Z，
∴函数f(x)的图象关于点(−π6+kπ2,0)k∈Z对称，即选项B不正确；
对于选项C，把f(x)的图象向左平移π12个单位长度，
得到y=sin[2(x+π12)+π3]=sin(2x+π2)=cs2x是偶函数，即选项C正确；
对于选项D，最小正周期T=2π2=π，
令2x+π3∈[−π2+kπ,π2+kπ]，k∈Z，则x∈[−5π12+kπ2,π12+kπ2]，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递增区间为[−5π12+kπ2,π12+kπ2]，k∈Z，
当k=0时，函数f(x)的增区间为[−5π12,π12]，而[0,π6]不是[−5π12,π12]的子区间，即选项D不正确．
故选：ABD．
根据正弦函数的中心对称、轴对称、周期性和单调性可分别判断选项A，B和D；选项C，由函数图象的平移变换法则可判断选项C．
本题考查三角函数的图象与性质，以及图象的平移变换，熟练掌握正弦函数的对称性、周期性和单调性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】AC
【解析】解：设点P距离水面的高度h(米)和时间t(秒)的函数解析式为h=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)，
由题意得：A+B=6−A+B=−2，解得A=4，B=2，
又因为T=30，所以ω=2πT=π15；
又因为h(0)=4sinφ+2=0，解得sinφ=−12，
因为|φ|<π2，所以φ=−π6，
所以h=4sin(π15t−π6)+2；
对于A，令h=6，代入h=4sin(π15t−π6)+2，即6=4sin(π15t−π6)+2，
即sin(π15t−π6)=1，解得：t=10，选项A正确；
对于B，令t=35，代入h=4sin(π15t−π6)+2，解得：h=4，选项B错误；
对于C，令t=25，代入h=4sin(π15t−π6)+2，解得：h=−2，选项C正确；
对于D，由函数h的解析式知，选项D错误．
故选：AC．
设点P距离水面的高度h(米)和时间t(秒)的函数解析式为h=Asin(ωt+φ)+B，根据题意求出A，ω，φ，B的值，对照选项判断正误即可．
本题考查了三角函数模型的简单应用问题，是中档题．
13.【答案】2
【解析】解：因为：(14)0=1，lg22=1，所以原式=1+1=2．
故答案为：2．
直接利用零指数幂的意义和底的对数等于1得到结果．
本题主要考查了指数及对数的运算，属于基础题．
14.【答案】−(2+ 3)
【解析】解：tan105°=tan(180°−75°)=−tan75°
=−tan(45°+30°)=−tan45°+tan30°1−tan45∘tan30∘
=−1+ 331−1× 33=−(2+ 3)．
故答案为：−(2+ 3).
利用诱导公式得tan105°=−tan75°，再由两角和的正切求值．
本题考查诱导公式化简求值，考查了两角和的正切，是基础的计算题．
15.【答案】3 1010
【解析】【分析】
本题考查同角三角函数关系式和两角和与差的三角函数公式，属中档题．
利用同角三角函数关系式和角的范围先求出角α的正弦与余弦，再用两角和与差的三角函数公式化简即可．
【解答】
解：因为α∈(0,π2)，所以sinα>0，csα>0．
由tan α=sin αcs α=2,sin2α+cs2α=1,得sin α=2 55,cs α= 55.
所以cs(α−π4)=csαcsπ4+sinαsinπ4
= 22(sinα+csα)=3 1010．
故答案为3 1010．
16.【答案】[1,2 2]
【解析】解：函数f(x)=cs2x+asinx−1=asinx−2sin2x，
令t=sinx(0≤t≤1)，设g(t)=at−2t2，
不等式|f(x)|≤1任意的x∈[0,π]恒成立，等价为−1≤at−2t2≤1在t∈[0,1]恒成立．
当t=0时，−1≤0≤1成立；
当0由y=2t−1t在t∈(0,1]递增，可得y=2t−1t的最大值为1，
由y=2t+1t≥2 2t⋅1t=2 2，当且仅当2t=1t，即t= 22∈(0,1]时，取得等号．
又不等式2t−1t≤a≤2t+1t在t∈(0,1]恒成立，等价为(2t−1t)max≤a≤(2t+1t)min，
所以1≤a≤2 2．
故答案为：[1,2 2].
由二倍角的余弦公式和正弦函数的单调性，可得不等式|f(x)|≤1任意的x∈[0,π]恒成立，等价为−1≤at−2t2≤1在t∈[0,1]恒成立．验证t=0成立，再考虑0本题考查三角函数的二倍角公式和正弦函数的单调性的运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为函数f(x)=lgax(a>0且a≠1)的图象过点(9,2)，
所以lga9=2，解得a=3，
所以f(x)=lg3x；
(2)因为f(x)=lg3x是定义域(0,+∞)上的单调递增函数，
所以不等式f(3x−1)>f(−x+5)等价于3x−1>−x+5>0，
解得32所以不等式f(3x−1)>f(−x+5)的解集是(32,5)．
【解析】(1)根据函数f(x)的图象过点(9,2)列方程求出a的值即可；
(2)根据f(x)的单调性，把不等式化为3x−1>−x+5>0，求出解集即可．
本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化思想，是基础题．
18.【答案】解：(1)sin24°cs6°−sin66°sin6°sin21∘cs39∘−cs21∘sin39∘=sin24°cs6°−sin(90°−24°)sin6°sin(21∘−39∘)=sin24°cs6°−cs24°sin6°sin(21∘−39∘)=sin(24°−6°)sin(−18∘)=sin18°−sin18∘=−1；
(2)已知tanα=3，
则sin(π2+α)+3sin(π+α)cs(3π2−α)−cs(5π+α)=csα−3sinα−sinα+csα=1−3tanα−tanα+1=1−3×3−3+1=4．
【解析】(1)由诱导公式及两角差的正弦公式化简求值即可；
(2)先由诱导公式进行化简，再由商数关系求值即可．
本题考查了诱导公式及两角差的正弦公式，属基础题．
19.【答案】解：(1)f(x)的最小正周期T=2π|ω|=2π2=π，
当2kπ≤2x−π4≤2kπ+π，
即kπ+π8≤x≤kπ+5π8，k∈Z时，f(x)单调递减，
∴f(x)的单调递减区间是[kπ+π8,kπ+5π8]，k∈Z．
(2)∵x∈[−π8,π2]，则2x−π4∈[−π2,3π4]，
故cs(2x−π4)∈[− 22,1]，
∴f(x)max= 2，此时2x−π4=0，即x=π8；
f(x)min=−1，此时2x−π4=3π4，即x=π2．
【解析】本题考查复合三角函数的单调性，着重考查余弦函数的周期公式及单调性与最值的应用，属于中档题．
(1)由余弦函数的周期公式T=2π|ω|即可求得答案；
(2)x∈[−π8,π2]⇒2x−π2∈[−3π4,π2]，利用余弦函数的单调性即可求得其最小值和最大值及取得最值时x的值．
20.【答案】解：(1)∵函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+π,−2)，
∴A=2，T2=π，即T=2π=2πω，则ω=1，即f(x)=2sin(x+φ)，
若将函数f(x)的图象向左平移π3个单位后所得函数图象关于原点对称，
即y=2sin(x+π3+φ)是奇函数，∵|φ|<π2，∴−π2<φ<π2，
则−π6<φ+π3<5π6，则φ+π3=0，即φ=−π3，
则函数f(x)的解析式为，f(x)=2sin(x−π3)；
(2)函数y=f(kx)+1=2sin(kx−π3)+1，
∵函数y=f(kx)+1(k>0)的周期为2π3，∴2πk=2π3，解得k=3，
则y=f(3x)+1=2sin(3x−π3)+1，即f(3x)=2sin(3x−π3)，
设h(x)=2sin(3x−π3)
若x∈[0,π3]，则3x∈[0,π]，3x−π3∈[−π3,2π3]，
则当x=π3时，y=2sin2π3=2× 32= 3，
则要使方程f(kx)=m恰有两个不同的根，则 3≤m<2，即{m| 3≤m<2}．
【解析】本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数性质的考查，根据条件求出A，ω和φ的值是解决本题的关键，属于中档题．
(1)根据函数的图象坐标求出函数的周期和振幅，结合函数是奇偶性进行求解即可．
(2)根据函数是周期求出k的值，利用函数与方程之间的关系进行求解即可．
21.【答案】解：(1)g(x)的对称轴为在直线x=1，开口向上，
∴g(x)在区间[2,3]上是增函数，
∴g(2)=−1+b=1g(3)=3a−1+b=4，解得a=1b=2．
(2)由(1)可得g(x)=x2−2x+1，则f(x)=x+1x−2，
∴f(2x)=2x+12x−2，
∵f(2x)−k⋅2x≥0在x∈[−1,1]上有解，
即2x+12x−2≥k⋅2x在x∈[−1,1]上有解，
∴1+(12x)2−2⋅12x≥k在x∈[−1,1]上有解，
令12x=t，则k≤t2−2t+1，
∵x∈[−1,1]，∴t∈[12,2]，记h(t)=t2−2t+1=(t−1)2，
∵不等式f(2x)−k⋅2x≥0在x∈[−1,1]上有解，
∴k小于h(t)在t∈[12,2]上的最大值即可，
h(t)在[12,2]上先减后增，
∵h(12)=14，h(2)=1，
∴h(t)max=h(2)=1，
∴k≤1．
【解析】本题考查了函数的单调性，函数存在性问题与函数最值的关系，属于中档题．
(1)根据g(x)的单调性和最值列方程组解出a，b的值；
(2)分离参数可得k≤(12x)2−22x+1，利用换元法求出右侧函数的最大值即可得出k的范围．
22.【答案】解：(1)f(x)=2[1−cs(π2+x)]⋅sinx+cs2x−sin2x−1
=sinx(2+2sinx)+1−2sin2x−1=2sinx．
对称中心(kπ,0)，k∈Z．
(2)∵f(ωx)=2sinωx，由−π2+2kπ≤ωx≤π2+2kπ，
解得−π2ω+2kπω≤x≤π2ω+2kπω，
∴f(ωx)的增区间为[−π2ω+2kπω,π2ω+2kπω],k∈Z，
∵f(ωx)在[−π2,2π3]上是增函数，
∴当k=0时，有[−π2,2π3]⊆[−π2ω,π2ω]，
∴ω>0−π2ω≤−π2π2ω≥2π3，解得0<ω≤34，
∴ω的取值范围是(0,34]．
(3)g(x)=sin2x+asinx−acsx−12a−1，
令sinx−csx=t，则sin2x=1−t2，
∴y=1−t2+at−12a−1=−(t−a2)2+a24−12a，
∵t=sinx−csx= 2sin(x−π4)，
∵x∈[−π4,π2],∴x−π4∈[−π2,π4],∴− 2≤t≤1．
①当a2<− 2时，即a<−2 2时，ymax=−(− 2−a2)2+a24−a2=− 2a−a2−2，
令− 2a−a2−2=2，解得a=−82 2+1(舍)．
②当− 2≤a2≤1时，即−2 2≤a≤2时，
ymax=a24−a2，令a24−a2=2，
解得a=−2或a=4(舍)，
③当a2>1时，即a>2时，ymax=a2−1，
由a2−1=2，解得a=6，
因此a=−2或6．
【解析】本题考查三角函数的图象与性质，属于较难题．
(1)把函数化简为f(x)=2sinx。即可得对称中心；
(2)求出函数的增区间，根据[−π2,2π3]是其子区间解不等式得解；
(3)化简g(x)=sin 2x+asinx−acsx−12a−1。通过换元法转化，根据二次函数的最值求参数的取值．