2022-2023学年黑龙江省牡丹江第三高级中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年黑龙江省牡丹江第三高级中学高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  从甲地出发前往乙地，一天中有趟汽车、趟火车和趟航班可供选择．某人某天要从甲地出发，去乙地旅游，则所有不同走法的种数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  袋中装有个除颜色外质地、大小都相同的球，其中有个红球，个黑球．若从中一次性抽取个球，则恰好抽到个红球的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知随机变量，随机变量，若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知三个正态密度函数的图像如图所示，则(    )

 

A. ， B. ，
C. ， D. ，

5.  回文联是我国对联中的一种，它是用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味．相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的正整数，被称为“回文数”，如，，等．那么用数字，，，，可以组成位“回文数”的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某学校高一、高二、高三的学生人数之比为：：，这三个年级分别有，，的学生获得过奖学金，现随机选取一名学生，此学生恰好获得过奖学金，则该学生是高二年级学生的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知件产品中，有件合格品，件次品，若从中任意抽取件产品进行检查，则抽取的件产品中恰好有件次品的抽法有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列说法正确的有(    )

A. 若事件与事件互斥，则
B. 若，，，则
C. 若随机变量服从正态分布，，则
D. 这组数据，，，，的分位数为

10.  下列说法正确的有(    )

A. 数据，，，，，，，的第百分位数为
B. 线性回归模型中，相关系数的绝对值越大，则这两个变量线性相关性越强
C. 回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越大，拟合效果越好
D. 根据分类变量与的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，没有充分证据推断原假设不成立，即可认为与独立

11.  已知展开式中的二项式系数和为，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

12.  现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到，，，，五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则(    )

A. 所有可能的安排方法有种
B. 若医院必须有专家去，则不同的安排方法有种
C. 若专家甲必须去医院，则不同的安排方法有种
D. 若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有种

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  二项式的展开式中的常数项为______ ．

14.  若，则______．

15.  已知随机变量，若，则______．

16.  某城市的电力供应由号和号两个负荷相同的核电机组并联提供．当一个机组发生故障时，另一机组能在这段时间内满足城市全部供电需求的概率为已知每个机组发生故障的概率均为，且相互独立，则机组发生故障的概率是______如果机组发生故障，那么供电能满足城市需求的概率是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
书架上有本不同的语文书，本不同的数学书，本不同的英语书，将这些书全部竖起排成一排，如果同类书不能分开，一共有多少种不同的排法？
某学校要安排位同学表演文艺节目的顺序，要求甲既不能第一个出场，也不能最后一个出场，则共有多少种不同的安排方法？

18.  本小题分
设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
求进入商场的位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
求进入商场的位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．

19.  本小题分
某产品的广告费用支出单位：万元与销售额单位：万元的数据如下表．

在给出的坐标系中画出散点图；
建立销售额关于广告费用支出的一元线性回归模型；
利用所建立的模型，预测当广告费用支出为万元时，销售额为多少．
参考公式：线性回归方程中的系数，

20.  本小题分
为了研究高三年级学生的性别与体重是否超过的关联性，某机构调查了某中学所有高三年级的学生，整理得到如下列联表．
单位：人

依据小概率值的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与体重有关联？
按性别采用分层随机抽样的方式在该中学高三年级体重超过的学生中抽取人，再从这人中任意选取人，记选中的女生数为，求的分布列与期望．
参考公式和数据：．

21.  本小题分
已知．
求展开式中含的项的系数；
设的展开式中前三项的二项式系数的和为，的展开式中各项系数的和为，若，求实数的值．

22.  本小题分
某地区为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的理念，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗，，，经引种试验后发现，引种树苗的自然成活率为，引种树苗，的自然成活率均为．
若，任取树苗，，各一棵，求只有一棵树苗自然成活的概率；
任取树苗，，各一棵，记自然成活的棵数为，求的分布列及数学期望，若，求的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据分类加法计数原理，可知共有种不同的走法．
故选：．
利用分类加法计数原理计算即可．
本题考查分类加法计数原理，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由古典概型的概率公式可知，恰好抽到个红球的概率是，
故选：．
利用古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，所以，，
因为，所以，解得，
又，即，解得．
故选：．
根据二项分布的和方差公式，结合期望和方差的性质即可求解．
本题考查二项分布相关知识，属于中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由正态分布曲线的对称性可得，
又曲线与一样瘦高，而曲线矮胖，
则．
故选：．
由正态分布曲线的对称性可比较均值的大小，图像胖瘦判断标准差的大小．
本题考查正态分布曲线的特点和均值、标准差的大小，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：第一步选择个位数，有种方法；第二步选择十位数，有种方法．
则个位和千位，十位和百位数字相同，
则利用分步乘法计数原理，共有个．
故选：．
根据回文数的定义，只要个位和千位，十位和百位数字相同即可．
本题主要考查简单的计数问题，根据回文数的定义，利用分步计数原理进行计算是解决本题的关键，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：设事件为被选到的学生获得过奖学金，事件为该学生是高二年级学生，
高一、高二、高三的学生人数之比为：：，这三个年级分别有，，的学生获得过奖学金，
．
故选：．
根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：令得：，
令得：，
两式相加得：，当时，，
所以．
故选：．
根据给定条件，利用赋值法列式计算作答．
本题考查二项式定理，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意，分步进行分析：
、从件次品中抽取件次品，有种抽取方法，
、从件正品中抽取件正品，有种抽取方法，
则抽取的件产品中恰好有件次品的抽法有种；
故选：．
根据题意，分步进行分析，第一步从件次品中抽取件次品，第二步从件正品中抽取件正品，根据乘法原理计算求得．
本题考查排列组合的实际应用，注意是一次性抽取，抽出的件产品步需要进行排列．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，若事件与事件互斥，
则，故A错误；
对于，，，，
事件，相互独立，
故，故B正确；
对于，随机变量服从正态分布，，
则，
故，故C正确；
对于，将数据，，，，进行排序，，，，，，共个，
，
这种数据，，，，的分位数为，故D错误．
故选：．
对于，结合互斥事件的定义，即可求解；
对于，结合独立事件的定义，即可求解；
对于，结合正态分布的对称性，即可求解；
对于，结合百分位数的定义，即可求解．
本题主要考查命题的真假判断与应用，考查转化能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，将数据从小到大排列为：，，，，，，，，共个，，其第百分位数为，A正确；
对于，线性回归模型中，相关系数的绝对值越大，则这两个变量线性相关性越强，B正确；
对于，回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好，C错误；
对于，由独立性检验知识，由于，可认为与独立，D正确．
故选：．
根据题意，由百分位数的计算公式可得A正确，由线性回归分析可得B正确，C错误，由独立性检验知识可得D正确，综合可得答案．
本题考查命题真假的判断，涉及线性回归分析、百分位数的计算等，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由二项式系数和公式可得，解得，故A正确，
令，则，故B正确，
二项式的展开式中含的项的系数为，故C错误，
令，则，故D正确，
故选：．
根据二项式系数和公式建立方程即可求出的值，由此即可判断，令即可判断，根据二项式定理求出含的项，由此即可判断，令，即可判断．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，名专家，每名专家有种选择，则所有可能的安排方法有种，故A正确；
对于，由选项A知，所有可能的方法有种，医院没有专家去的方法有种，所以医院必须有专家去的不同的安排方法有种，B正确；
对于，专家甲必须去医院，则专家乙、丙专家每人有种选择，则安排方法有种，C错误；
对于，名专家分配到家医院，三名专家所选医院各不相同的安排方法有种，D错误．
故选：．
根据排列组合的公式逐项计算即可判断．
本题考查排列组合的应用，是基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由于二项式的通项公式为，，，，，．
令，求得，
可得展开式中的常数项为．
故答案为：．
由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由，得，解得．
故答案为：．
利用排列数和组合数公式，直接求解即可．
本题考查了排列数和组合数公式，考查运算能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，解得或舍去，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式，求出，再结合对立事件概率和为，即可求解．
本题主要考查二项分布的期望与方差公式，属于基础题．
 

16.【答案】  

【解析】解：机组不发生故障的概率为，所以机组发生故障的概率是，
一台机组发生故障的概率为，
所以如果机组发生故障，那么供电能满足城市需求的概率是，
故答案为：；．
先求出组不发生故障的概率，结合对立事件的概率关系即可求出机组发生故障的概率，先求出一台机组发生故障的概率，利用独立事件的概率公式可求出如果机组发生故障，那么供电能满足城市需求的概率．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
 

17.【答案】解：用“捆绑法”将同类的书“捆绑在一起”进行排列，有种不同的排法，
再将同类书进行排列，有种不同的排法，
所以一共有种不同的排法．
先排两端的节目有种顺序，
再排其余个位置的节目，有种顺序，
所以一共有种不同的安排方法． 

【解析】用“捆绑法”将同类的书“捆绑在一起”进行排列；
先排两端的节目，再安排中间三个节目，由分步计数原理计算．
本题考查了排列数的应用，利用捆绑法解决相邻问题是解决本题的关键，属于基础题．
 

18.【答案】解：进入商场的位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率为；
“进入商场的位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”的对立事件为“进入商场的位顾客既不购买甲商品也不购买乙商品”，
则“进入商场的位顾客既不购买甲商品也不购买乙商品”的概率为，
“进入商场的位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”的概率为． 

【解析】购买甲不购买乙的概率与购买乙不购买甲的概率之和即可；
求得对立事件的概率，用减去对立事件的概率即可．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
 

19.【答案】解：如图所示，

由表格中的数据求得，，
，
，
则，，
销售额关于广告费用支出的一元线性回归为；
由得，当时，，
则当广告费用支出为万元时，销售额为万元． 

【解析】根据表中数据直接描点即可；
根据公式求出所要求的数据，分别求出，即可得出答案；
根据回归方程，将代入即可得解．
本题考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力．是基础题．
 

20.【答案】解：根据列联表中的数据，可得：

根据小概率值的独立性检验，认为该中学高三年级学生的性别与体重有关联．
由题可知，抽取的人中，男生有人，女生有人，
从中任意选取人，则的取值可能为，，，，
且．
则的分布列为：

故． 

【解析】根据给定数表，求出观测值，再与临界值表比对即可作答；
求出抽取的人中男女生人数，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列、计算期望作答．
本题考查独立性检验与离散型随机变量的概率分布列与期望，是中档题．
 

21.【答案】解：的展开式的通项为．
令，则，
展开式中含的项为，
展开式中含的项的系数为．
由题意可知，，
，
，解得或． 

【解析】求出展开式的通项公式，令的指数为，可求出值，从而得解；
求出的展开式中前三项的二项式系数和，再令，求出的展开式中各项系数的和，然后建立方程即可求解．
本题主要考查二项式定理，考查转化能力，属于基础题．
 

22.【答案】解：根据题意，用表示只有一棵树苗自然成活为事件．
则．
根据题干可得，的可能取值为，，，，
故：．
．
，．
故得到的分布列为

．
，当时，取得最大值，最大值为：． 

【解析】利用互斥事件及独立事件概率公式即得；
由题可知的可取，，，，分别计算概率的分布列，然后利用期望公式即得．
本题主要考查离散型随机变量的分布列和方差，属于基础题．