2023-2024学年浙江省杭州市西湖区景汇中学九年级上学期12月月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市西湖区景汇中学九年级上学期12月月考数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了抛物线的顶点坐标是，在中，，，，则的长为等内容，欢迎下载使用。

一．选择题：有10个小题，每小题3分，共30分．
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（1，2）
2．任意抛掷一枚均匀的骰子， 结果朝上一面的点数为2的倍数的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．在中，，，，则的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
4．如图，直线，如果，那么DE的长是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，已知⊙O的直径，是⊙O的弦，，垂足为M，，则的长为（ ）
A．2B．C．4D．
6．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元B．720元C．1080元D．2160元
7．已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．图象关于直线对称B．函数的最小值是C．当时，D．当时，y随x的增大而减小
8．如图，，相似比为2，已知的长为2，则的长为（ ）
A．8B．C．6D．4
9．如图，内接于圆，，，若，则弧的长为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结相交于点P，连接．已知于点E，．下列结论：①； ②；③若，则；④若点P为的中点，则．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④
二．填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其余差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为 ．
12．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝10．则AP＝ （结果保留根号）．
13．若点在抛物线上，则 （填“＞”，“＝”或“＜”）．
14．如图，四边形为的内接四边形，已知，则的度数为 ．
15．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B处有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，则正方形城池的边长为 步．

16．如图，在中，，的平分线交于点D，且，则的长为 ．
三．解答题：本大题有8个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）计算：．
（2）已知，且，求a，b的值．
18．现有三位“抗疫”英雄（依次标记为，，）．为了让同学们了解他们的英雄事迹，张老师设计了如下活动：取三张完全相同的卡片，分别在正面写上，，三个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应“抗疫”英雄资料．
(1)求班长在这三种卡片中随机抽到标号为的概率；
(2)用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同“抗疫”英雄标号的概率．
19．如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且．
(1)求证：；
(2)求与四边形的面积比．
20．把一根长为米的铁丝折成一个矩形，矩形的一边长为米，面积为S米，
(1)求S关于的函数表达式和的取值范围
(2)为何值时，S最大？最大为多少？
21．已知：等腰三角形中，，是锐角，且．
(1)求；
(2)若，求的长．
22．已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，BC=，求CD的长．

23．【问题初探】
（1）综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：已知二次函数，当时，y的取值范围为 ；

①小伟同学经过分析后，将原二次函数配方成形式，确定抛物线对称轴为直线，通过、h和2的大小关系，分别确定了最大值和最小值，进而求出y的取值范围；
②小军同学画出如图的函数图象，通过观察图象确定了y的取值范围；请你根据上述两名同学的分析写出y的取值范围是 ；
【类比分析】
（2）张老师发现两名同学分别从“数”和“形”的角度分析、解决问题，为了让同学们更好感悟“数形结合”思想，张老师将前面问题变式为下面问题，请你解答：已知二次函数，当时，求y的取值范围；
【学以致用】
（3）已知二次函数，当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，求a的值．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标为、、，点D是线段的一动点，它以每秒2个单位速度从A点向O点运动，连接过点D作的垂线交于E点，设D点的运动时间为t秒（）．
(1)当D点到达的中点时，________；
(2)请用t的代数式表示的长度，并求出t为何值时，有最小值，是多少？
(3)若已知F点在直线上，，P为x轴上一点且于点P，请直接写出满足此条件的P点坐标．
答案与解析
1．D
【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解.
【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线的顶点坐标是（1，2）．
故选：D．
2．D
【分析】根据题意得出一共有6种等可能的结果，满足题意的有3种，运用概率公式求得概率即可．
【详解】解：∵任意抛掷一枚均匀的骰子，
结果朝上一面的点数可能为：1，2，3，4，5，6，6种等可能的结果，
其中结果朝上一面的点数为2的倍数的有3种，
∴满足题意的概率为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了运用概率公式求解随机事件的概率，准确掌握概率公式是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查了勾股定理以及角的正弦值，根据得出，结合即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
解得：，
故选：C
4．A
【分析】根据题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：∵直线，
∴，
∵，
∴，即；
故选A．
【点睛】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键．
5．D
【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，根据求出，再由即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵直径，
∴
∵，，
∴
∵，
∴
故选：D
6．C
【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．
【详解】3m×2m=6m2，
∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，
将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
则面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，
∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080元，
故选C．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7．C
【分析】本题考查的是二次函数的图象和性质，根据函数图象确定对称轴、最大值、增减性判断即可，理解二次函数的对称轴、最值、二次函数的增减性是解题的关键．
【详解】A、图象关于直线对称，A说法正确，故不符合题意；
B、函数的最小值是，B说法正确，故不符合题意；
C、由图可得：抛物线与x轴的另一交点为，当时，；当时，，C说法错误，故符合题意；
D、当时，y随x的增大而减小，D说法正确，故不符合题意；
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据即可求解．
【详解】解：∵，相似比为2，
∴
∵的长为2，
∴，，
故选：A
9．A
【分析】连接OB，OC．首先证明△OBC是等腰直角三角形，求出OB即可解决问题．
【详解】连接OB，OC．
∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-65°-70°=45°，
∴∠BOC=90°，
∵BC=2，
∴OB=OC=2，
∴的长为=π，
故选A．
【点睛】本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识
10．B
【分析】①可证得，根据即可判断；②根据条件可推出，无法得；③可证得是等边三角形即可判断；④可证得，根据即可判断．
【详解】解：∵是的直径，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∵
∴,
根据条件无法证明，故②错误；
∵，
∴
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵
∴，故③正确；
若点P为的中点，则，
∵，
∴，
∴
∵，为的中点，
∴，
∴，故④正确；
故选：B
【点睛】本题以圆作为几何背景，考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、中位线定理等知识点，熟记相关几何结论是解题关键．
11．
【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果，找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：两次摸球的所有的可能性树状图如下：
由图知：共有4种等可能结果，其中两次都摸到红球的只有1种结果，
所以两次都摸到红球的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
12．5﹣5
【分析】根据黄金分割比的定义计算即可．
【详解】根据黄金分割比，有

故答案为：．
【点睛】本题主要考查黄金分割比，掌握黄金分割比的定义是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据题意得出对称轴，开口向上的抛物线，离对称轴越远的点，其纵坐标越大，据此即可求解．
【详解】解：抛物线的对称轴为：直线，
∵，
且抛物线开口向上，
∴
故答案为：
14．##110度
【分析】此题考查了圆内接四边形的性质和同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，再由圆内接四边形的对角互补，即可求出的度数，解题的关键是利用圆内接四边形的性质求出的度数．
【详解】∵四边形是内接四边形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．300．
【分析】设正方形城池的边长为步, 根据比例性质求.
【详解】解：设正方形城池的边长为步,
即正方形城池的边长为300步．
故答案为300．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：构建三角形相似，利用相似比计算对应的线段长．
16．
【分析】本题考查了勾股定理以及全等三角形的判定与性质等知识点，作可证得，；设，则
，根据即可求解．
【详解】解：作，如图所示：
∵平分，，
∴
∵，
∴
∴
设，则
∴
∵
∴，
解得：
∴
故答案为：
17．（1）；（2）
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算、比例的性质等知识点，熟记相关结论即可．
（1），据此即可求解；
（2）由已知得，据此即可求解．
【详解】解：（1）原式
（2）∵，
∴
∵，
∴
解得：
∴
18．(1)
(2)
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，统计小明和小亮抽到的是不同英雄的结果有几种，再由概率公式求解；
【详解】（1）解：）∵共有三张卡片，分别是，，三个标号，
∴班长在三种卡片中随机抽到标号为的概率是；
故答案为：；
（2）解：根据题意画树状图如下：
共有9种等可能的结果数，其中小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同英雄的有6种结果．则小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同英雄的概率为．
【点睛】此题考查的是用树状图法求解概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；所求概率=所求情况数与总情况数之比．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．
（1）根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可求证；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，据此即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴
（2）解：∵，，
∴
∴
20．(1) S=-+2x (0【分析】（1）根据矩形周长为米，一边长为x，得出另一边为2-x，再根据矩形的面积公式即可得出答案;
（2）根据（1）得出的关系式，利用配方法进行整理，可求出函数的最大值，从而得出答案．
【详解】解：（1）∵矩形的一边长为x米，
∴另一边长为2-x米，
∴S=x（2-x）=-x2+2x(0即S=-x2+2x(0（2）根据（1）得：S=-x2+2x =-（x-1）2+1，
∴矩形一边长为1米时，面积最大为1米2，
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用以及矩形面积的计算公式，关键是根据矩形的面积公式构建二次函数解决最值问题．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理及解三角形，作垂线构造直角三角形是解题关键．
（1）作，设，根据求出即可求解；
（2）由（1）可得，根据即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：作，
∵，
∴设
则
∴
（2）解：由（1）得：，
∴
∵，，
∴，
解得：（舍去）
∴
22．（1）证明过程见解析；（2）
【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C，由圆外接四边形的性质得到∠EDC=∠B，由此推得∠B=∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论；
（2）连接AE，由AB为直径，可证得AE⊥BC，由（1）知AB=AC，由“三线合一”定理得到BE=CE=BC=，由相似三角形的判定及性质即可得出结果．
【详解】（1）∵ED=EC
∴∠EDC=∠C，
∵∠EDC=∠B
∴∠B=∠C
∴AB=AC；
（2）连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
由（1）知AB=AC，
∴BE=CE=BC=，
∠C=∠C，∠EDC=∠B
△CDE∽△CBA，
∵AC=AB=4，
∴
∴CD=．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定及性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．(1);（2）；（3）或
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，开口方向、对称轴以及自变量的取值范围是求最值的三要素，掌握分类讨论的思想思想是解决第三问的关键．
（1）配方得到抛物线对称轴为直线，结合图象可知当时，y有最小值；当时，y有最大值；
（2）配方得到抛物线对称轴为直线，画出函数图象可知，当时，y有最小值；当时，y有最大值；
（3）配方得到抛物线对称轴为直线，分类讨论若时若时若时（i）时（ii）时，画出对应函数图象即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴抛物线对称轴为直线，
结合图象可知，当时，y有最小值；
当时，y有最大值；
∴y的取值范围为：
故答案为：
（2）∵，
∴抛物线对称轴为直线，
图象如图所示：
结合图象可知，当时，y有最小值；
当时，y有最大值；
∴y的取值范围为：
（3）∵，
∴抛物线对称轴为直线，
若，即：时：

结合图象可知，当时，y有最小值，
∴；
当时，y有最大值，
∴；
∴
解得：（舍去）
若时：

结合图象可知，当时，y有最小值，
∴；
当时，y有最大值，
∴；
∴
解得：（舍去）
若时：
（i）时：

结合图象可知，当时，y有最小值，
∴；
当时，y有最大值，
∴；
∴
解得：（舍去）
（ii）时：

结合图象可知，当时，y有最小值，
∴；
当时，y有最大值，
∴；
∴
解得：（舍去）
综上所述，或
24．(1)
(2)6
(3)或或
【分析】（1）先证明，再根据相似三角形的性质即可求解；
（2）证明，根据相似三角形的性质即可求解，然后得出，由，根据二次函数的性质即可求解；
（3）分点F在线段上，在的延长线上，在的延长线上，进行分类讨论，结合根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵A、B、C三点的坐标为、、，
∴，
∴四边形是菱形，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴，
解得：，
∴．
（2）解：∵，
∴
∴，
∴
∵，
所以当时，有最大值，最大值为2
此时的值最小，最小值为6；
（3）解：设，则．
如图，当点F在线段上时，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
当点F在的延长线上时，即为，连接，，
因为，
所以，
则,
即，
所以这种情况不符合条件，
当点F在的延长线上时，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（如图中的点），
即或
综上所述，满足条件的点的坐标为或或．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质与判定，坐标与图形，根据题意分类讨论是解题的关键．