浙江省杭州市西湖区公益中学2023—-2024学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份浙江省杭州市西湖区公益中学2023—-2024学年上学期九年级期中数学试卷，共30页。试卷主要包含了若，则的值是，如图，在矩形中，等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）若，则的值是
A．B．C．3D．
2．（3分）将抛物线向上平移4个单位，得到的抛物线是
A．B．C．D．
3．（3分）一枚质地均匀的骰子六面分别标有1到6的一个自然数，任意投掷一次，向上一面的数字是偶数的概率为
A．B．C．D．
4．（3分）如图，若点是线段的黄金分割点，，则的长度是
A．5B．C．D．
5．（3分）二次函数的图象与轴有两个不同交点，则可以是
A．0B．1C．2D．3
6．（3分）如图，在矩形中，．对角线与相交于点，过点作的垂线，交于点，．则的值为
A．4B．C．D．
7．（3分）如图，在中，中线与中线相交于点，连接．下列结论成立的是
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，在中，，点在边上，线段绕点顺时针旋转，点恰巧落在边上的点处．如果，．那么与满足的关系式是
A．B．C．D．
9．（3分）两个不相等的正数满足，，设，则关于的函数图象是
A．射线（不含端点）B．线段（不含端点）
C．直线D．抛物线的一部分
10．（3分）如图，在边长为4的正方形内有一个小正方形和矩形，它们的顶点均在大正方形边上，若，则图中阴影部分的面积为
A．5B．C．D．
二.填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）函数的顶点坐标是 ．
12．（4分）一个布袋里放有5个红球，3个球黄球和2个黑球，它们除颜色外其余都相同，则任意摸出一个球是黑球的概率是 ．
13．（4分）两个相似五边形，一组对应边的长分别为和，若它们的面积之和为，则较小五边形的面积是 ．
14．（4分）如图，梯子斜靠在墙上，梯子底端离墙脚的距离，梯子上一点离墙的距离．若，则梯子的长为 ．
15．（4分）如图是一边长为6的菱形纸片，将纸片沿折叠，使点落在边上，点，的对应点分别为点，，交于点．若，，则与相等的角是 （写出一个即可），的长为 ．
16．（4分）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且，，．
（1）若点在点的右侧，且，则二次函数的对称轴是 ．
（2）若点，均在二次函数图象上，当且当时，有，则实数的取值范围是 ．
三.解答题（本题有8个小题，共66分，6+6+6+8+8+10+10+12）
17．（6分）如图是小杭和小益共同设计的自由转动的转盘，转盘被等分成6份，上面写有6个自然数．转动转盘，若指针指向两个扇形的交线时，则重转一次，直到指针指向某个扇形区域为止．
（1）求指针指向偶数的概率；
（2）若指针指向的数小于6的数则小杭胜，指针指向其他数，则小益胜，这个游戏对双方公平吗？说明理由．
18．（6分）如图，已知．它们依次交直线，，于点，，和点，，．
（1）如果，，，求的长．
（2）如果，，线段是线段和线段的比例中项，求的值．
19．（6分）已知：二次函数中的和满足下表：
（1）的值为 ；
（2）求出这个二次函数的解析式；
（3）当时，则的取值范围为 ．
20．（8分）如图，在的方格中，的顶点均在格点上．
（1）请在图中的线段上找到一点，连结，使得．
（2）请在图中画出格点线段（端点在格点上），且分别交线段，于点，，作出．
21．（8分）如图，在四边形中，平分，，，点为的中点．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
22．（10分）今年双十一期间，某淘宝店铺《水浒传》一书的销售日益火爆，进价40元，规定销售单件不低于44元，且不高于52元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销量减少10本．现商家决定提价销售，设每天销售量为本，销售单价为元．
（1）当售价定为50元时，求此时每天的销量和每本书的利润？
（2）请你求出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（3）当《水浒传》的销售单价定为多少元时，商家每天销售《水浒传》获得的利润最大？最大利润是多少元？
23．（10分）如图，在正方形中，点是边上的一点（不与、重合），点在边延长线上，且满足，联结，，与边交于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：；
（3）交点，若，则 （直接写答案、用含的代数式表示）．
24．（12分）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．
（1）请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式；
（2）若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为，与直线交于点．当时，求点的坐标；
（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．
2023-2024学年浙江省杭州市西湖区公益中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）若，则的值是
A．B．C．3D．
【分析】根据比例的性质用表示出，然后代入比例式进行计算即可得解．
【解答】解：，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟记性质用表示出是解题的关键．
2．（3分）将抛物线向上平移4个单位，得到的抛物线是
A．B．C．D．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律写出平移抛物线解析式．
【解答】解：由题意：由函数图象平移原则：左加右减，下加下减原则，所以将抛物线向上平移4个单位，得到的抛物线是．
故选：．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
3．（3分）一枚质地均匀的骰子六面分别标有1到6的一个自然数，任意投掷一次，向上一面的数字是偶数的概率为
A．B．C．D．
【分析】一枚质地均匀的骰子六面分别标有1到6的一个自然数，任意投掷一次共有6种等可能结果，其中向上一面的数字是偶数的有3种结果，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：一枚质地均匀的骰子六面分别标有1到6的一个自然数，任意投掷一次共有6种等可能结果，其中向上一面的数字是偶数的有3种结果，
所以向上一面的数字是偶数的概率为，
故选：．
【点评】本题主要考查概率公式，随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
4．（3分）如图，若点是线段的黄金分割点，，则的长度是
A．5B．C．D．
【分析】根据点是线段的黄金分割点，可得，进一步求解即可．
【解答】解：点是线段的黄金分割点，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金比是解题的关键．
5．（3分）二次函数的图象与轴有两个不同交点，则可以是
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据判别式的意义得到△，解得的取值范围，再结合选项得出结论．
【解答】解：二次函数的图象与轴有两个不同交点，
△，
解得且，
故选：．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．
6．（3分）如图，在矩形中，．对角线与相交于点，过点作的垂线，交于点，．则的值为
A．4B．C．D．
【分析】根据矩形的性质可得，，从而求出，的长，然后根据射影定理证明，从而可得，即可解答．
【解答】解：四边形是矩形，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
7．（3分）如图，在中，中线与中线相交于点，连接．下列结论成立的是
A．B．
C．D．
【分析】由，是的中线，得到是的中位线，推出，，由相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：，是的中线，
是的中位线，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
结论成立的是，
故选：．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的性质．
8．（3分）如图，在中，，点在边上，线段绕点顺时针旋转，点恰巧落在边上的点处．如果，．那么与满足的关系式是
A．B．C．D．
【分析】过点作于点，如图，先利用旋转的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，接着利用平行线分线段成比例定理得到，然后利用等线段代换得到，从而得到．
【解答】解：过点作于点，如图，
线段绕点顺时针旋转，点恰巧落在边上的点处，
，
，
，，
，
，
，
即，
，，
，
即．
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了旋转的性质和等腰三角形的性质．
9．（3分）两个不相等的正数满足，，设，则关于的函数图象是
A．射线（不含端点）B．线段（不含端点）
C．直线D．抛物线的一部分
【分析】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
【解答】解：首先根据题意，消去字母和，得到和的关系式．
．
然后根据题意，因为，所以，又因为，故；
①又因为，所以，所以．
②由①②得，故关于的函数图象是一条不含端点的线段．
故选：．
【点评】本题考查了有自变量取值范围的函数的图象．
10．（3分）如图，在边长为4的正方形内有一个小正方形和矩形，它们的顶点均在大正方形边上，若，则图中阴影部分的面积为
A．5B．C．D．
【分析】先由得到，，然后由矩形得到，进而利用型相似证明，设，则，然后利用相似三角形的性质得到的长，即可得到、、的长，记与的交点为点，然后利用“8”字型相似证明，设，得到、的长，再利用相似三角形的性质求得的长，即可得到的长，从而得到的面积，最后求得阴影部分的面积．
【解答】解：四边形是边长为4的正方形，
，，
，
小正方形和矩形的四个顶点在正方形的边上，
，，，
，，
，，
，
，
设，则，
，
解得：，
，，
，，
，，
记与的交点为点，
，，
，
，
设，则，，
，
解得：（舍或，
，，
，
故选：．
【点评】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是利用相似三角形的性质求得线段和的长．
二.填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）函数的顶点坐标是 ．
【分析】根据题目中函数的解析式直接得到此二次函数的顶点坐标．
【解答】解：二次函数顶点式解析式为，
二次函数的图象的顶点坐标是，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解顶点式和顶点坐标的关系．
12．（4分）一个布袋里放有5个红球，3个球黄球和2个黑球，它们除颜色外其余都相同，则任意摸出一个球是黑球的概率是 ．
【分析】根据概率公式，求摸到黑球的概率，即用黑球除以小球总个数即可得出得到黑球的概率．
【解答】解：在一个布袋里放有5个红球，3个球黄球和2个黑球，它们除了颜色外其余都相同，
从布袋中任意摸出一个球是黑球的概率为：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，由已知求出小球总个数再利用概率公式求出是解决问题的关键．
13．（4分）两个相似五边形，一组对应边的长分别为和，若它们的面积之和为，则较小五边形的面积是 ．
【分析】根据相似多边形相似比即对应边的比，面积的比等于相似比的平方，即可解决．
【解答】解：设较小五边形与较大五边形的面积分别是，．
则，因而．
根据面积之和是，得到，
解得：，
则．
即较小五边形的面积分别是．
故答案为：．
【点评】本题考查相似多边形的性质．掌握相似多边形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
14．（4分）如图，梯子斜靠在墙上，梯子底端离墙脚的距离，梯子上一点离墙的距离．若，则梯子的长为 3 ．
【分析】根据题意可得：，，从而可得，然后证明字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意可得：，，
，
，
，
，
，
解得：，
梯子的长为，
故答案为：3．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键．
15．（4分）如图是一边长为6的菱形纸片，将纸片沿折叠，使点落在边上，点，的对应点分别为点，，交于点．若，，则与相等的角是 （写出一个即可），的长为 ．
【分析】延长、交于点，由菱形的性质得，，，则，，由折叠得，，，所以，由，得，所以，即可证明，根据相似三角形的性质得到，对应边成比例求得．
【解答】解：延长、交于点，
四边形是边长为6的菱形，
，，，
，
，，
，
由折叠得，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；2.8．
【点评】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键．
16．（4分）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且，，．
（1）若点在点的右侧，且，则二次函数的对称轴是 直线 ．
（2）若点，均在二次函数图象上，当且当时，有，则实数的取值范围是 ．
【分析】（1）利用的线段长度和点的坐标求得点的坐标，然后求得二次函数的对称轴；
（2）先求出对称轴，然后利用对称性求出点的对称点坐标，再利用已知条件和二次函数的增减性与对称性，对情况讨论即可．
【解答】解：（1）①，，当在右侧时，
，
对称轴为直线，
故答案为：直线；
（2）令，则，
或，
函数图象与轴的两个交点坐标为，，
由，设，则，
将代入得，，
，
，．
抛物线的对称轴为：直线，
由题意得，关于对称轴的对称点，，
，时，有，
，
，
时，点与点重合，不符合条件，舍去，
．
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的交点式、二次函数的对称性、二次函数的增减性，解题的关键是学会用含有未知数的式子表示线段或点的坐标．
三.解答题（本题有8个小题，共66分，6+6+6+8+8+10+10+12）
17．（6分）如图是小杭和小益共同设计的自由转动的转盘，转盘被等分成6份，上面写有6个自然数．转动转盘，若指针指向两个扇形的交线时，则重转一次，直到指针指向某个扇形区域为止．
（1）求指针指向偶数的概率；
（2）若指针指向的数小于6的数则小杭胜，指针指向其他数，则小益胜，这个游戏对双方公平吗？说明理由．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）分别计算出小杭胜和小益胜的概率，然后比较两概率的大小可判断这个游戏对双方是否公平．
【解答】解：（1）指针指向偶数的概率；
（2）这个游戏对双方不公平．
理由如下：
指针指向的数小于6的数的结果数为4，
所以小杭胜的概率，
指针指向不小于6的数的结果数为2，
所以小益胜的概率，
因为，
所以这个游戏对双方不公平．
【点评】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了概率公式．
18．（6分）如图，已知．它们依次交直线，，于点，，和点，，．
（1）如果，，，求的长．
（2）如果，，线段是线段和线段的比例中项，求的值．
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列方程，解方程求出；
（2）根据平行线分线段成比例定理求出，再根据比例中项的概念计算即可．
【解答】解：（1），
，即，
解得：；
（2），
，即，
解得；，
，
．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理、比例中项的概念，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
19．（6分）已知：二次函数中的和满足下表：
（1）的值为 3 ；
（2）求出这个二次函数的解析式；
（3）当时，则的取值范围为 ．
【分析】（1）根据表格数据和二次函数的对称性可得值；
（2）将、、代入求出、、即可；
（3）根据二次函数函数对称性和性质写出函数取值范围即可．
【解答】解：（1）根据表格数据和函数的对称性可知，函数的对称轴是直线，
点和点关于对称轴对称，
，
故答案为：3．
（2）将、、代入得：
，
解得，
二次函数解析式为：；
（3）当时，当时，，当时，，
当时，．
故答案为：．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
20．（8分）如图，在的方格中，的顶点均在格点上．
（1）请在图中的线段上找到一点，连结，使得．
（2）请在图中画出格点线段（端点在格点上），且分别交线段，于点，，作出．
【分析】（1）取上的格点，连接，点即为所求；
（2）取格点，，连接交于，交于，线段即为所求（答案不唯一）．
【解答】解：（1）取上的格点，连接，如图：
点即为所求；
理由：由图可得，，，，
，
，
；
（2）取格点，，连接交于，交于，如图：
线段即为所求（答案不唯一）．
理由：由图可知，，
．
【点评】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是掌握网格的特征，作出图形．
21．（8分）如图，在四边形中，平分，，，点为的中点．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据相似三角形的判定定理证明；
（2）根据相似三角形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明，然后根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：平分，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知：，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质、平行线的判定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
22．（10分）今年双十一期间，某淘宝店铺《水浒传》一书的销售日益火爆，进价40元，规定销售单件不低于44元，且不高于52元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销量减少10本．现商家决定提价销售，设每天销售量为本，销售单价为元．
（1）当售价定为50元时，求此时每天的销量和每本书的利润？
（2）请你求出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（3）当《水浒传》的销售单价定为多少元时，商家每天销售《水浒传》获得的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据销售单价每上涨1元，每天销量减少10本，当售价定为50元时，在44元销售300本的基础上减少了60本，从而可得销量；用可得每本的利润；
（2）根据销售量可得函数解析式，再根据销售单件不低于44元，且不高于52元，求出的取值范围；
（3）根据每天的利润每本书的利润销售量，列出函数解析式，再由函数的性质和自变量的取值范围求函数最值．
【解答】解：（1）根据题意，当售价定为50元时，
每天的销量为：（本，
每本书的利润为：（元，
当售价定为50元时，每天的销量为240本，每本书的利润为10元；
（2）根据题意得：，
与之间的函数关系式为；
销售单件不低于44元，且不高于52元，
自变量的取值范围为；
（3）由题意得：
，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，有最大值，最大值为2640，
当《水浒传》的销售单价定为52元时，商家每天销售《水浒传》获得的利润最大，最大利润是2640元．
【点评】本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
23．（10分）如图，在正方形中，点是边上的一点（不与、重合），点在边延长线上，且满足，联结，，与边交于点．
（1）求证：；
（2）如果，求证：；
（3）交点，若，则 （直接写答案、用含的代数式表示）．
【分析】（1）由正方形的性质可得，由“”可证，可得；
（2）由题意可得，，即可证，即可证，再根据可得结论；
（3）过点作交于点，设，由，，，再根据可得答案．
【解答】证明（1）四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，，
，
．
（2），，
，
，
，，
，
，
，
，，
；
（3）．
理由：如图，过点作交于点，
设，
，
，，
即，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出是解本题的关键．
24．（12分）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．
（1）请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式；
（2）若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为，与直线交于点．当时，求点的坐标；
（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．
【分析】（1）令，得，得到，，由待定系数法即可求函数表达式；
（2）当时，此时，点是的中点，即可求解；
（3）当点在轴正半轴上时，则，得到进而求解；当点在轴负半轴上时，则，得到，进而求解．
【解答】解：（1）令，得：，
解得，，
，，
设直线的解析式为：，
把，代入得：
，解得：，
直线的解析式为：；
（2）如图，设点的坐标为（其中，
则，．
当时，此时，点是的中点，
则，
解得：（负值已舍去），
即点；
（3）直线与轴交于点，
点坐标为．
分两种情况：
①如图，当点在轴正半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为．
在△中，，
在中，，
，，
，
．
又，，
，
，
．
连接，点，点为抛物线上的对称点，
轴，
，，，
．
．
点的坐标为；
②如图，当点在轴负半轴上时，记为点．过点作，垂足为，
在△中，，
在中，，
，，
．
又，，
，
，
．
由①可知，．
，，
．
，
点的坐标为．
综上所述：点的坐标为或．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．0
1
2
3
4
5
3
0
0
8
0
1
2
3
4
5
3
0
0
8