高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积第二课时课时作业

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积第二课时课时作业，共6页。
[A组 必备知识练]
1．把直径分别为6 cm，8 cm，10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为( )
A．3 cm B．6 cm
C．8 cm D．12 cm
解析：由题意三个小铁球的半径分别为3 cm，4 cm，5 cm，
则大铁球的体积为V＝ eq \f(4,3)πR3＝ eq \f(4,3)π×33＋ eq \f(4,3)π×43＋ eq \f(4,3)π×53＝ eq \f(4×216π,3)，
∴R＝6 cm.
答案：B
2．木星的体积约是地球体积的240 eq \r(30)倍，则它的表面积约是地球表面积的( )
A．60倍 B．60 eq \r(3)倍
C．120倍 D．120 eq \r(30)倍
解析：由球的体积、表面积公式可得两个球的体积比是球半径的立方比，表面积比是半径的平方比．设木星、地球的半径分别为R，r，
则V木星∶V地球＝R3∶r3＝240 eq \r(30)∶1，
∴R∶r＝2 eq \r(30)∶1，
∴S木星∶S地球＝R2∶r2＝120∶1.
答案：C
3．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )
A． eq \f(3,16) B． eq \f(9,16)
C． eq \f(3,8) D． eq \f(9,32)
解析：设截面圆的半径为r，球半径为R，则球心到截面圆的距离d＝ eq \f(R,2)，
∴R2＝r2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,2))) eq \s\up12(2)，
∴r＝ eq \f(\r(3),2)R，
∴S截面∶S球＝πr2∶4πR2＝ eq \f(3,4)πR2∶4πR2＝3∶16.
答案：A
4．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为________．
解析：设两个球的半径分别为R，r(R＞r).
由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4πR2－4πr2＝48π，,2πR＋2πr＝12π，))
∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(R2－r2＝12，,R＋r＝6，))
∴R－r＝2.
答案：2
5．底面半径为 eq \r(3)，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为________．
解析：由题意，圆锥轴截面的顶角为120°，如图所示．
设该圆锥的底面圆心为O′，球O的半径为R，
则O′O＝VO－VO′＝R－1，
∴OA2＝O′O2＋O′A2，
∴R2＝(R－1)2＋3，
∴R＝2，
∴S球＝4πR2＝16π.
答案：16π
6．一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为________．
解析：由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为 eq \f(4π,3).
答案： eq \f(4π,3)
7．已知球的表面积为64π，求它的体积．
解：设球半径为r.
∵S球＝4πr2＝64π，
∴r＝4，
∴V球＝ eq \f(4,3)πr3＝ eq \f(4,3)π×64＝ eq \f(256π,3).
8．一个正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积．
解：如图，设球心为O，半径为R.
正四棱锥高h＝VO1＝4，AO1＝ eq \f(1,2)AC＝ eq \r(2)，
∴R2＝OA2＝O1A2＋OO eq \\al(2,1)＝2＋(4－R)2，
∴R＝ eq \f(9,4)，
∴球的表面积S＝4πR2＝ eq \f(81π,4).
[B组 关键能力练]
9．已知底面半径为3的圆锥SO(S为顶点，O为底面圆心)的体积为12π.若球O1在圆锥SO内，则球O1的表面积的最大值为( )
A．9π B． eq \f(9π,2)
C． eq \f(32π,3) D．12π
解析：如图所示，圆锥SO的轴截面为等腰三角形SAB.因为底面半径为3，所以底面积为9π.又因为圆锥SO的体积为12π，所以圆锥的高h＝ eq \f(3×12π,9π)＝4，母线长为 eq \r(32＋42)＝5.当球O1的表面积最大时，球O1的轴截面是△SAB的内切圆，设球O1的半径为r，所以S△SAB＝ eq \f(1,2)AB·h＝ eq \f(1,2)·(SA＋SB＋AB)·r，解得r＝ eq \f(3,2)，所以球O1的表面积的最大值为4π× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))) eq \s\up12(2)＝9π.
答案：A
10.如图，已知正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是( )
A． eq \f(7π,4) B．2π
C． eq \f(9π,4) D．3π
解析：设正三角形ABC的中心为O1，连接O1A，OA，OO1，OE，O1E(图略).∵O1是正三角形ABC的中心，∴O1O⊥平面ABC.∵球的半径R＝2，球心O到平面ABC的距离为1，即O1O＝1，∴在Rt△O1OA中，O1A＝ eq \r(OA2－OO eq \\al(2,1))＝ eq \r(3)，O1E＝ eq \f(\r(3),2)，OE＝ eq \r(OO eq \\al(2,1)＋O1E2)＝ eq \f(\r(7),2).过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，即截面圆的面积最小，此时截面圆的半径为 eq \r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(7),2)))\s\up12(2))＝ eq \f(3,2)，截面面积S＝ eq \f(9π,4).
答案：C
11．若一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，则圆柱、圆锥、球的表面积之比为________.
解析：设球的直径为2R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，圆锥的底面半径为R，高为2R，母线长为 eq \r(5)R.则圆柱的表面积为2πR2＋2πRh＝2πR2＋4πR2＝6πR2.
圆锥的表面积为πR2＋πRl＝πR2＋ eq \r(5)πR2＝(1＋ eq \r(5))πR2.
球的表面积为4πR2.
∴圆柱、圆锥、球的表面积之比为6∶(1＋ eq \r(5))∶4.
答案：6∶(1＋ eq \r(5))∶4
12．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝2 eq \r(3)，AC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为___________________．
解析：取PC的中点O，连接OA，OB，如图．
由题意∠PAC＝90°，∠PBC＝90°，
∴OA＝ eq \f(1,2)PC＝OB，
即OA＝OB＝OP＝OC，
∴O即为三棱锥P­ABC的外接球的球心．
∵PA＝2 eq \r(3)，AC＝2，∴PC＝4，
∴三棱锥P­ABC的外接球的半径为 eq \f(PC,2)＝ eq \f(4,2)＝2，
则三棱锥P­ABC的外接球的表面积为4πR2＝16π.
答案：16π
13．轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球．若圆锥的底面半径为2，求球的体积．
解：如图所示，作出轴截面．
因为△ABC是正三角形，所以CD＝ eq \f(1,2)AC＝2，
所以AC＝4，AD＝ eq \f(\r(3),2)×4＝2 eq \r(3).
因为Rt△AOE∽Rt△ACD，
所以 eq \f(OE,AO)＝ eq \f(CD,AC).
设OE＝R，则AO＝2 eq \r(3)－R，
所以 eq \f(R,2\r(3)－R)＝ eq \f(1,2)，所以R＝ eq \f(2\r(3),3)，
所以V球＝ eq \f(4,3)πR3＝ eq \f(4,3)π· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3))) eq \s\up12(3)＝ eq \f(32\r(3)π,27)，
所以球的体积等于 eq \f(32\r(3)π,27).
[C组 素养培优练]
14．在直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A．4π B． eq \f(9π,2)
C．6π D． eq \f(32π,3)
解析：∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，
∴直角三角形ABC的内切圆半径为r＝ eq \f(6×8,6＋8＋10)＝2.
由题意可得若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切．
若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2.
球的直径为4，超过直三棱柱的高，此时这个球不在直三棱柱内，不合题意．
若球与上、下底面都相切，此时球的半径为R＝ eq \f(3,2)＜2，
此时该球的体积最大，为Vmax＝ eq \f(4,3)πR3＝ eq \f(4,3)π× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))) eq \s\up12(3)＝ eq \f(9π,2).
故V的最大值是 eq \f(9π,2).
答案：B