高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第一课时免费课后测评

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[A组 必备知识练]
1．下列说法中错误的是( )
A．在三角形中，已知两边及其中一边的对角，不能用余弦定理解三角形
B．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形
C．利用余弦定理可以解决已知三角形三边求角的问题
D．在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例
解析：已知两边及其中一边的对角，可用余弦定理先解得另一边，从而解三角形．
答案：A
2．在△ABC中，a＝1，b＝2，c＝2，则cs B＝( )
A． eq \f(1,6) B． eq \f(1,3)
C． eq \f(1,4) D．1
解析：由余弦定理得cs B＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝ eq \f(12＋22－22,2×1×2)＝ eq \f(1,4).
答案：C
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3 eq \r(3)，c＝2，A＋C＝ eq \f(5π,6)，则b＝( )
A． eq \r(13) B．6
C．7 D．8
解析：∵A＋C＝ eq \f(5π,6)，∴B＝π－(A＋C)＝ eq \f(π,6).∵a＝3 eq \r(3)，c＝2，
∴由余弦定理得b＝ eq \r(a2＋c2－2ac cs B)＝ eq \r((3\r(3))2＋22－2×3\r(3)×2×\f(\r(3),2))＝ eq \r(13).
答案：A
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析：由余弦定理可知b2＝a2＋c2－2ac cs B，而B＝60°，b2＝ac，所以ac＝a2＋c2－2ac· eq \f(1,2)，即(a－c)2＝0，所以a＝c.又B＝60°，所以△ABC一定是等边三角形．
答案：D
5．在△ABC中，A＝30°，BC＝1，AC＝2，则AB＝________．
解析：因为在△ABC中，A＝30°，BC＝1，AC＝2，所以由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs 30°，即1＝AB2＋4－2 eq \r(3)AB，解得AB＝ eq \r(3).
答案： eq \r(3)
6．求边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和．
解：边长为7的边所对的角α满足cs α＝ eq \f(52＋82－72,2×5×8)＝ eq \f(1,2).∵0°＜α＜180°，∴α＝60°，
∴边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是180°－60°＝120°.
7．在△ABC中，a＝2，b＝ eq \r(2)，B＝30°，c＞a，解此三角形．
解：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cs B，即2＝4＋c2－2×2c× eq \f(\r(3),2)，
∴c2－2 eq \r(3)c＋2＝0.又c＞a，∴c＝ eq \r(3)＋1.
由余弦定理的推论，得cs A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝ eq \f(2＋(\r(3)＋1)2－4,2×\r(2)×(\r(3)＋1))＝ eq \f(\r(2),2).
又0°＜A＜180°，∴A＝45°，C＝180°－(A＋B)＝105°，
故A＝45°，C＝105°，c＝ eq \r(3)＋1.
[B组 关键能力练]
8．在△ABC中，已知C＝ eq \f(π,3)，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－13x＋40＝0的两根，则AB的长度为( )
A．2 B．4
C．6 D．7
解析：∵a，b是方程x2－13x＋40＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系有a＋b＝13，ab＝40，∴a＝5，b＝8或a＝8，b＝5.由余弦定理得AB2＝a2＋b2－2ab cs C＝25＋64－2×5×8× eq \f(1,2)＝49，则AB＝7.
答案：D
9．在△ABC中，B＝ eq \f(π,4)，BC边上的高等于 eq \f(1,3)BC，则cs A＝( )
A． eq \f(3\r(10),10) B． eq \f(\r(10),10)
C．－ eq \f(\r(10),10) D．－ eq \f(3\r(10),10)
解析：过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD＝BD＝ eq \f(1,3)BC，则CD＝ eq \f(2,3)BC，AB＝ eq \f(\r(2),3)BC，AC＝ eq \f(\r(5),3)BC.在△ABC中，由余弦定理的推论，得cs ∠BAC＝ eq \f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝ eq \f(\f(2,9)BC2＋\f(5,9)BC2－BC2,2×\f(\r(2),3)BC×\f(\r(5),3)BC)＝－ eq \f(\r(10),10).
答案：C
10．在△ABC中，cs2 eq \f(A,2)＝ eq \f(b＋c,2c)(a，b，c分别为角A，B，C所对的边)，则△ABC的形状为________________．
解析：因为cs2 eq \f(A,2)＝ eq \f(b＋c,2c)，
所以 eq \f(1＋csA,2)＝ eq \f(b,2c)＋ eq \f(1,2)，所以cs A＝ eq \f(b,c).
由余弦定理的推论cs A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，得 eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝ eq \f(b,c)，
所以b2＋c2－a2＝2b2，所以a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．
答案：直角三角形
11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cs 2C－cs (A＋B)＝0.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝ eq \r(7)，2a＝3b，求△ABC的面积．
解：(1)由cs 2C－cs (A＋B)＝0得2cs2C＋csC－1＝0，解得cs C＝ eq \f(1,2)或cs C＝－1.
因为C∈(0，π)，所以cs C＝ eq \f(1,2)，则C＝ eq \f(π,3).
(2)由已知条件可得a＝ eq \f(3,2)b.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cs C，即7＝ eq \f(9,4)b2＋b2－2× eq \f(3,2)b×b× eq \f(1,2)＝ eq \f(7,4)b2，所以b＝2，所以a＝ eq \f(3,2)b＝3.过点A作AD垂直于BC，垂足为D(图略)，则AD＝AC·sin C＝ eq \r(3)，所以S△ABC＝ eq \f(1,2)AD·BC＝ eq \f(1,2)× eq \r(3)×3＝ eq \f(3\r(3),2).
12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝2，2cs2 eq \f(A＋B,2)－cs2C＝1.
(1)求C的大小；
(2)求 eq \f(c,b)的值．
解：(1)在△ABC中，∵2cs2 eq \f(A＋B,2)－cs2C＝1，
∴2sin2 eq \f(C,2)－cs2C＝1，
∴cs 2C＋1－2sin2 eq \f(C,2)＝cs2C＋cs C＝0，
∴2cs2C＋csC－1＝0，
解得cs C＝ eq \f(1,2)或cs C＝－1(舍去).
又∵0＜C＜π，∴C＝ eq \f(π,3).
(2)∵a＝3，b＝2，
∴在△ABC中，由余弦定理得c＝ eq \r(a2＋b2－2ab cs C)＝ eq \r(9＋4－6)＝ eq \r(7)，∴ eq \f(c,b)＝ eq \f(\r(7),2).
[C组 素养培优练]
13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cs2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))＋csA＝ eq \f(5,4).
(1)求A；
(2)若b－c＝ eq \f(\r(3),3)a，证明：△ABC是直角三角形．
(1)解：因为cs2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))＋csA＝ eq \f(5,4)，
所以sin2A＋csA＝ eq \f(5,4)，
即1－cs2A＋csA＝ eq \f(5,4)，解得cs A＝ eq \f(1,2).
又0＜A＜π，所以A＝ eq \f(π,3).
(2)证明：由(1)知cs A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝ eq \f(1,2)，
即b2＋c2－a2＝bc.①
又b－c＝ eq \f(\r(3),3)a，②
将②代入①，得b2＋c2－3(b－c)2＝bc，
整理可得2b2－5bc＋2c2＝0，
解得b＝2c或b＝ eq \f(c,2).
又因为b－c＝ eq \f(\r(3),3)a＞0，所以b＝2c，
所以a＝ eq \r(3)c，故b2＝a2＋c2，所以△ABC是直角三角形．