高中数学6.4 平面向量的应用第三课时免费当堂达标检测题

这是一份高中数学6.4 平面向量的应用第三课时免费当堂达标检测题，共5页。
[A组 必备知识练]
1．在△ABC中，a＝2，b＝3，C＝30°，则S△ABC＝( )
A．1 B． eq \f(\r(3),2)
C． eq \f(3,2) D． eq \f(3\r(3),2)
解析：S△ABC＝ eq \f(1,2)ab sin C＝ eq \f(1,2)×2×3× eq \f(1,2)＝ eq \f(3,2).
答案：C
2．在△ABC中，若a cs C＋c cs A＝b sin B，则此三角形为( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：由射影定理，得b＝b sin B，∴sin B＝1.
又0＜B＜π，∴B＝ eq \f(π,2)，△ABC为直角三角形．
答案：C
3．在△ABC中，b＝ eq \r(13)，a＝1，B＝60°，则△ABC的面积为( )
A． eq \r(3) B．2
C．2 eq \r(3) D．3
解析：由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cs B，得13＝1＋c2－2c cs 60°，即c2－c－12＝0，解得c＝4或c＝－3(舍去)，则S△ABC＝ eq \f(1,2)ac sin B＝ eq \f(1,2)×1×4×sin 60°＝ eq \r(3).
答案：A
4．在△ABC中，A＝60°，c＝4，a＝2 eq \r(7)，则 eq \f(sin A,sin B)＝( )
A．3 B． eq \r(7)
C． eq \f(\r(7),3) D． eq \f(2,3)
解析：由余弦定理得28＝b2＋16－4b，即b2－4b－12＝0，解得b＝6或b＝－2(舍去)，故 eq \f(sin A,sin B)＝ eq \f(a,b)＝ eq \f(2\r(7),6)＝ eq \f(\r(7),3).
答案：C
5．在△ABC中，a＝2b cs C，则△ABC的形状是________．
解析：由射影定理，得a＝b cs C＋c cs B＝2b cs C，
∴b cs C＝c cs B.
由正弦定理，得sin B cs C＝sin C cs B，即sin (B－C)＝0.又－π＜B－C＜π，
∴B－C＝0，即B＝C，
∴△ABC为等腰三角形．
答案：等腰三角形
6．在△ABC中，AB＝ eq \r(3)，AC＝1，B＝30°，S△ABC＝ eq \f(\r(3),2)，则C＝________．
解析：在△ABC中，AB＝ eq \r(3)，AC＝1，B＝30°，
S△ABC＝ eq \f(1,2)AB·AC sin A＝ eq \f(\r(3),2)，可得sin A＝1.
因为0°＜A＜180°，所以A＝90°，所以C＝180°－A－B＝60°.
答案：60°
7．在△ABC中，若 eq \f(a2,b2)＝ eq \f(tan A,tan B)，试判断△ABC的形状．
解：∵ eq \f(a2,b2)＝ eq \f(tan A,tan B)，∴由正弦定理得 eq \f(sin2A,sin2B)＝ eq \f(tanA,tan B)，即 eq \f(sin2A,sin2B)＝ eq \f(sinA,cs A)· eq \f(cs B,sin B).
∵sin A＞0，sin B＞0，
∴sin A cs A＝sin B cs B，
即sin 2A＝sin 2B.
∵0＜A＜π，0＜B＜π，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＝ eq \f(π,2)－B，
故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
8．在钝角△ABC中，AB＝1，BC＝ eq \r(2)，S△ABC＝ eq \f(1,2)，求AC.
解：由三角形面积公式，得S＝ eq \f(1,2)AB·BC·sin B＝ eq \f(1,2).
又∵AB＝1，BC＝ eq \r(2)，∴sin B＝ eq \f(\r(2),2).∵B∈(0，π)，∴B＝ eq \f(π,4)或B＝ eq \f(3π,4).由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cs B．当B＝ eq \f(π,4)时，得AC＝1，这时不符合钝角三角形的要求，故舍去；当B＝ eq \f(3π,4)时，得AC＝ eq \r(5).
[B组 关键能力练]
9．在△ABC中，a＝1，b＝3，D是AB上的点，CD平分∠ACB，且 eq \r(3)cs C＝c sin A，则△ACD的面积为( )
A． eq \f(9\r(3),32) B． eq \f(9\r(3),16)
C． eq \f(9\r(3),4) D． eq \f(9\r(3),2)
解析：由正弦定理可知a sin ∠ACB＝c sin ∠BAC，
所以 eq \r(3)cs ∠ACB＝c sin ∠BAC＝a sin ∠ACB＝sin ∠ACB，故tan ∠ACB＝ eq \r(3).
又∠ACB∈(0，π)，所以∠ACB＝ eq \f(π,3).
由D是AB上的点，CD平分∠ACB及角平分线定理可知， eq \f(AD,BD)＝ eq \f(AC,BC)＝ eq \f(b,a)＝3，故AD＝ eq \f(3,4)AB，即S△ACD＝ eq \f(3,4)S△ABC＝ eq \f(3,4)× eq \f(1,2)ab sin ∠ACB＝ eq \f(3,4)× eq \f(1,2)×1×3×sin eq \f(π,3)＝ eq \f(9\r(3),16).
答案：B
10．在△ABC中，若sin A＝ eq \r(3)sin C，B＝30°，b＝2，则△ABC的面积为( )
A．1 B． eq \r(3)
C．2 D．4
解析：因为sin A＝ eq \r(3)sin C，由正弦定理可得a＝ eq \r(3)c.又由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cs B，即4＝3c2＋c2－2× eq \r(3)c2· eq \f(\r(3),2)，解得c＝2(负值舍去)，所以a＝2 eq \r(3)，所以△ABC的面积S＝ eq \f(1,2)ac sin B＝ eq \f(1,2)×2 eq \r(3)×2× eq \f(1,2)＝ eq \r(3).
答案：B
11．在△ABC中，2cs2 eq \f(A,2)＝ eq \f(\r(3),3)sinA，a＝2 eq \r(3)，则△ABC周长的取值范围为________．
解析：由2cs2 eq \f(A,2)＝ eq \f(\r(3),3)sinA，得1＋cs A＝ eq \f(\r(3),3)sin A，即 eq \f(\r(3),3)sin A－cs A＝1，
∴ eq \f(2\r(3),3)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,3)))＝1，即sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,3)))＝ eq \f(\r(3),2).
∵0＜A＜π，∴－ eq \f(π,3)＜A－ eq \f(π,3)＜ eq \f(2π,3)，∴A－ eq \f(π,3)＝ eq \f(π,3)，即A＝ eq \f(2π,3).
由正弦定理得 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C)＝ eq \f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝4，∴b＝4sin B，c＝4sin C，
则b＋c＝4sin B＋4sin C＝4sin B＋4sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－B))
＝4sin B＋4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs B－\f(1,2)sin B))
＝2sin B＋2 eq \r(3)cs B＝4sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,3))).
∵0＜B＜ eq \f(π,3)，∴ eq \f(π,3)＜B＋ eq \f(π,3)＜ eq \f(2π,3)，
∴ eq \f(\r(3),2)＜sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,3)))≤1，
即2 eq \r(3)＜4sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,3)))≤4，
∴2 eq \r(3)＜b＋c≤4，则4 eq \r(3)＜a＋b＋c≤4＋2 eq \r(3).
即△ABC的周长的取值范围是(4 eq \r(3)，4＋2 eq \r(3)].
答案：(4 eq \r(3)，4＋2 eq \r(3)]
12．在△ABC中，已知(a2＋b2)sin (A－B)＝(a2－b2)sin (A＋B)，求△ABC的形状．
解：因为(a2＋b2)sin (A－B)＝(a2－b2)sin (A＋B)，
所以b2[sin (A＋B)＋sin (A－B)]＝a2[sin (A＋B)－sin (A－B)]，
所以2sin A cs B·b2＝2cs A sin B·a2，
即a2cs A sin B＝b2sin A cs B.
由正弦定理知a＝2R sin A，b＝2R sin B(R为△ABC外接圆的半径)，
所以sin2A csA sin B＝sin2B sinA cs B.
又sin A sin B≠0，所以sin A cs A＝sin B cs B，
所以sin 2A＝sin 2B.
因为在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，
所以2A＝2B或2A＝π－2B，所以A＝B或A＋B＝ eq \f(π,2).
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
13．在△ABC中，a＝3，b＝2，sin A＋sin B＝ eq \f(5\r(21),14).
(1)求sin B的值；
(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC的面积．
解：(1)由正弦定理，sin A＋sin B＝ eq \f(5\r(21),14)可化为 eq \f(a,2R)＋ eq \f(b,2R)＝ eq \f(5\r(21),14)(R为△ABC外接圆的半径)，解得2R＝ eq \f(2\r(21),3)，则sin B＝ eq \f(b,2R)＝ eq \f(2,\f(2\r(21),3))＝ eq \f(\r(21),7).
(2)因为△ABC为锐角三角形，所以cs B＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(21),7)))\s\up12(2))＝ eq \f(2\r(7),7).
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cs B，
即 eq \r(7)c2－12c＋5 eq \r(7)＝0，解得c＝ eq \r(7)或c＝ eq \f(5\r(7),7).
当c＝ eq \f(5\r(7),7)时，a2＞b2＋c2，此时A为钝角，舍去；
当c＝ eq \r(7)时，a＞c，且a2＜b2＋c2，所以此时△ABC为锐角三角形，
所以c＝ eq \r(7)，则△ABC的面积S＝ eq \f(1,2)ac sin B＝ eq \f(1,2)×3× eq \r(7)× eq \f(\r(21),7)＝ eq \f(3\r(3),2).
[C组 素养培优练]
14．(多选)如图，在△ABC中， eq \r(3)(a cs C＋c cs A)＝2b sin B，且∠CAB＝ eq \f(π,3).若D是△ABC外一点，DC＝1，AD＝3，则下列说法中正确的是( )
A．△ABC的内角B＝ eq \f(π,3)
B．∠ACB＝ eq \f(π,3)
C．四边形ABCD面积的最大值为 eq \f(5\r(3),2)＋3
D．四边形ABCD的面积无最大值
解析：∵ eq \r(3)(a cs C＋c cs A)＝2b sin B，∴由正弦定理可得 eq \r(3)(sin A cs C＋sin C cs A)＝2sin2B，∴ eq \r(3)sin(A＋C)＝2sin2B，∴ eq \r(3)sinB＝2sin2B.又∵sinB≠0，∴sin B＝ eq \f(\r(3),2).∵∠CAB＝ eq \f(π,3)，∴B∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，∴B＝ eq \f(π,3)，∴∠ACB＝π－∠CAB－B＝ eq \f(π,3)，因此A，B正确．四边形ABCD的面积等于S△ABC＋S△ACD＝ eq \f(\r(3),4)AC2＋ eq \f(1,2)AD·DC·sin ∠ADC＝ eq \f(\r(3),4)(AD2＋DC2－2AD·DC·cs ∠ADC)＋ eq \f(1,2)AD·DC·sin ∠ADC＝ eq \f(\r(3),4)×(9＋1－6cs ∠ADC)＋ eq \f(1,2)×3×1·sin ∠ADC＝ eq \f(5\r(3),2)＋3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∠ADC－\f(π,3)))≤ eq \f(5\r(3),2)＋3，当且仅当∠ADC－ eq \f(π,3)＝ eq \f(π,2)，即∠ADC＝ eq \f(5π,6)时，等号成立，因此C正确，D错误．
答案：ABC