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2023届新高考数学解析几何专题讲义 第7讲 抛物线焦点弦的性质及应用
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这是一份2023届新高考数学解析几何专题讲义 第7讲 抛物线焦点弦的性质及应用
第7讲 抛物线焦点弦的性质及应用一、问题综述解析几何的选填题目都很小巧灵活，既考查运算功底（通法），也考查思维的灵活性（小题小做）。为了不“小题大做”，熟悉一些常见的二级结论尤为重要。解析几何问题本质上还是“几何”问题，特别是与焦点弦相关的性质，尤其如此。本文对涉及到的结论，从几何的角度做出了证明，以“形”助“数”，与代数角度（这个大家自己可以证明）做个对比，以期大家更好的记忆和运用相关结论。均出自本人原创，还希望大家不要外传（湖北孝感王凯）。二、抛物线焦点弦的性质及其纯几何证明如图，是抛物线的焦点弦，为弦的中点，分别过、作准线的垂线，垂足为、，为的中点．设、，倾斜角为，则有如下结论：1．4种相切，即：（1）以为直径的圆与切于中点；（2）以为直径的圆与切于焦点；（3）以焦半径为直径的圆与（轴）切于中点；（4）以焦半径为直径的圆与（轴）切于中点；证明如下：（1）以为直径的圆与切于其中点；证明：由抛物线的定义知，，所以，、、在一个以为圆心，为直径的圆上，又（为梯形中位线）．即证．（2）以为直径的圆与切于焦点；证明：先证，得三点共圆；再证．一方面，由抛物线的定义，得，，所以，，易得平分，平分，从而，为平角的一半，故，所以三点在一个以为圆心，为直径的圆上．另一方面，，所以．即证．（3）易证且交点恰为的中点，仿照（1），可证．（4）与（3）类似。2．焦半径、焦点弦公式及焦比（1）焦半径：，；（2）焦点弦：；（3）焦比：．证明：由抛物线定义可得，，同理，，作，垂足为，则同理，3．两个特殊数列(1)等差数列：,即的倒数成等差数列．(2)等比数列：,即三点到轴的距离成等比数列．等差数列的证明，由焦半径公式取倒数相加即可。等比数列的证明看4．4．两个定值(1),即焦点弦端点的横坐标之积为定值． (2),即焦点弦端点的纵坐标之积也为定值．证明：在中，由射影定理可得，从而，说明：抓住“定值”这一不变性，可结合“通径”来记忆．事实上，这一不变性，对非焦点弦也是满足的．结论如下：过定点的直线与抛物线交于两点、，则（距离成等比数列），．有兴趣的朋友可以自证．当这五个值时，可以得到有意思的五个点，过这五点的弦均有某些独特的性质． 可以看到，当时，就是焦点弦的结论．当时，就是下面的结论：5．一个梯形和两个共线（1）三点共线；（2）三点共线．证明：，又，所以∽，所以三点共线．同理可证，三点共线． 6．几个特殊的三角形（1）的两边总关于轴对称；(因为)此即为时的特性：（与关于轴的对称）若一条过点的弦交抛物线与两点，则共线． （2）；证明：．（3）当时，的弦张角．讲了，顺带也讲下．点是抛物线上一点到点的距离是否单调变化的分界点．如果，即当点在点的左侧时，单调递增，此时原点到点的距离最小；如果，即当点在点的右侧时，先减后增，此时原点到点的距离并非是最小的．三、典例分析类型1：焦半径和焦点弦【例1】过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于两点，若，则（ ）A．2 B． C．1 D．【答案】B【解析】由焦半径公式求倾斜角，或直接用 的倒数等差数列．【法1】如图所示，设，则 解得，， ，故选B．【法2】由可得，．【例2】若过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，若，则实数的值为（ ）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】法1、常规思路——通法（此法主要为了做个比较，后续题目不会用通法）解：易得，设直线方程为，(此题中)，，可得，，由韦达定理可得，，，又，法2、由结论可知，，故选B．【例3】已知F为抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线与直线，直线与抛物线交于A、B两点，直线与抛物线交于C、D两点，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】D【解析】根据抛物线焦点弦弦长公式表示再求最小值．解：由，设直线倾斜角为，则直线倾斜角为，由焦点弦弦长公式得 ，，所以，当且仅当时取等号的最小值为．故选D．【例4】已知抛物线，过焦点F作直线与抛物线交于点，设，，则的最小值为（ ）A． B． C． D． 【答案】D【解析】由题，，所以，．选D．【例5】若抛物线,过其焦点的直线与抛物线交于两点,则的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由 的倒数等差数列及基本不等式可解．由题，，又，由权方和不等式可得，，所以，．点评：两个焦半径和焦点弦，知其一,或者知两者的某个关系式，另两个必定可求，同时也可以求焦点弦的斜率．类型2：焦比【例1】已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，若弦的长为，则（ ）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【解析】先根据弦长求出直线的倾斜角，再利用焦半径之比可求出．解：设直线的倾斜角为，则，所以，可得，或．所以，或．故选C．【例2】已知点F为抛物线的焦点．若过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，交该抛物线的准线于点M，且，，则（ ）A． B． C． D． 【答案】C【解析】法1、特值法：取得倾斜角为，易得．故选C．法2、如图，易知，，．结合抛物线的定义可得，，由又，所以,化简得，故选C．类型3：一个梯形和两个共线【例1】如图，已知分别为抛物线的顶点和焦点，斜率为的直线经过点与抛物线交于两点，连接，并延长分别交抛物线的准线于点，则（ ）A． B． C． D． 【答案】B【解析】由抛物线的几何性质可知．【例2】已知抛物线，为其焦点，为其准线，过任作一条直线交抛物线于两点，，分别为在上的射影，为的中点，给出下列命题：①；②；③；④与的交点在轴上；⑤与交于原点．其中真命题是__________．（写出所有真命题的序号）【答案】①②③④⑤【解析】结合之前几何性质的证明，可知①②③④⑤类型4：4种相切【例1】设拋物线的焦点为，直线，若过焦点的直线与抛物线相交于两点，则以线段为直径的圆与直线的位置关系为（ ）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三个答案均有可能【答案】C【解析】根据结论知道以为直径的圆和准线相切，该抛物线的准线为，故这个圆和直线相离．故选C．【例2】如图，过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，以为直径的圆与准线的公共点为，若，则的大小为（ ）A．15° B．30° C．45° D．不确定【答案】B【解析】如图，取AB中点，连结，则以AB为直径的圆与准线切于点，由根据抛物线性质， 轴，且，，，，故选B．【例3】过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，以、为直径的圆分别与轴相切于点，，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】法1、由抛物线的几何性质可知，法2、代数法设，，则，，直线的方程为：，联立，可得，∴，，∴，故选D．点评：焦点弦、焦半径的切线圆有必要记忆，对一些小题可以事半功倍．类型5：以焦点为重心的【例1】(2018·太原一模)已知抛物线的焦点为，的顶点都在抛物线上，且满足，则 ( )A． B． C． D． 【答案】A【解析】设， ， ．∵抛物线的焦点为，∴∵，∴∴∵，同理， ．∴，故选A．【例2】设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若则（ ）A． B． C． D． 【答案】A【解析】设， ， ．∵抛物线的焦点为，∴∵，∴∴，．类型6：点线转化【例1】已知点，抛物线的焦点是，若抛物线上存在一点，使得最小，则最小值为__________；此时点的坐标为__________．【答案】 【解析】如上图，过作于，则由抛物线的定义得所以，由图形得当、、三点共线时， 最小，又最小值为到准线的距离此时最小值为，此时点的纵坐标为，所以，即点的坐标为．【例2】抛物线的准线与轴交于点，焦点为，点是抛物线上的任意一点，令，当取得最大值时，直线的斜率是 （ ）A． B． C． D． 【答案】B【解析】如图，抛物线上一点到焦点的距离等于抛物线上一点到准线的距离，根据抛物线的对称性，所以设点P在第一象限，,当最小时，最大，所以当直线与抛物线相切时，最小，设直线：与抛物线方程联立，，由，解得，故选B．点评：结合抛物线的定义，将“点点距”“点线距”可以极大利用几何关系,使问题顺利解决．【巩固练习】1．已知直线与抛物线及其准线分别交于两点，为抛物线的焦点，若，则等于______．【答案】2．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若的最小值为19，则抛物线的标准方程为_______．【答案】3．已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点作直线与抛物线交于两点．若以为直径的圆过点，则的值为________．【答案】 4．直线与抛物线交于两点，若，则弦的中点到准线的距离为_____．【答案】 5．已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于两点，,为的准线上的一点，则的面积为______．【答案】6．已知抛物线的方程为，过其焦点的直线与抛物线交于两点，若,则_________．【答案】163．7．抛物线的焦点为F， 为抛物线上的两点，以为直径的圆过点F，过AB的中点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最大值为_______．【答案】【解析】由抛物线定义得=,即的最大值为．8．已知直线与抛物线交于， 两点，则弦的长为__________．【答案】89．已知F是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则______．【答案】610．设过抛物线的焦点的一条直线和抛物线有两个交点，且两个交点的纵坐标为，则_______．【答案】11．设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于两点，且点恰为的中点，则__________．【答案】7【解析】 12．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于两点（点在轴上方），__________．【答案】13．抛物线准线与轴交于点，过焦点作倾斜角为的直线与C交于两点，则 ．【答案】4314．．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，若，则实数的值为（ ）A． B． C． D．【答案】C15．已知是抛物线的焦点，过点且斜率为的直线交抛物线于， 两点，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】B16．已知不过原点的直线l与抛物线C：交于A，B两点，若，且，则直线l的斜率为 A． B． C． D．【答案】C17．抛物线焦点为,过点作直线．．交抛物线于两点,则的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】A18．已知抛物线的焦点和准线，过点的直线交于点，与抛物线的一个交点为，且，则（ ）A． B． C． D．【答案】A19．过抛物线的焦点F作互相垂直的弦，则点所构成四边形的面积的最小值为A．16 B．32 C．48 D．64【答案】B【解析】解：由抛物线的几何性质可知： ，据此可得，点A，B，C，D所构成四边形的面积的最小值为 ．20．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，弦的中点到抛物线的准线的距离为5，则直线的斜率为（ ）A． B． C． D．【答案】B21．点是抛物线（）上的一点，点是焦点，则以线段为直径的圆与轴位置关系是( )A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种均有可能【答案】B22．已知抛物线：的焦点为，过的直线与抛物线交于、两点，若以为直径的圆与抛物线的准线相切于，则（ ）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】B23．已知抛物线,其准线与轴的交点为,过焦点的弦交抛物线于两点,且,则( )A． B． C． D．【答案】C24．已知抛物线：，若直线：被抛物线截得的弦长为17，则与抛物线相切且平行于直线的直线方程为( )A． B．C． D．【答案】B25．已知（，…， ）是抛物线： 上的点， 是抛物线的焦点，若，则等于（ ）A．1008 B．1009 C．2017 D．2018【答案】D【解析】设的横坐标为（，…， ）由抛物线的焦半径公式可得∵∴，即∴ 故选D
第7讲 抛物线焦点弦的性质及应用一、问题综述解析几何的选填题目都很小巧灵活，既考查运算功底（通法），也考查思维的灵活性（小题小做）。为了不“小题大做”，熟悉一些常见的二级结论尤为重要。解析几何问题本质上还是“几何”问题，特别是与焦点弦相关的性质，尤其如此。本文对涉及到的结论，从几何的角度做出了证明，以“形”助“数”，与代数角度（这个大家自己可以证明）做个对比，以期大家更好的记忆和运用相关结论。均出自本人原创，还希望大家不要外传（湖北孝感王凯）。二、抛物线焦点弦的性质及其纯几何证明如图，是抛物线的焦点弦，为弦的中点，分别过、作准线的垂线，垂足为、，为的中点．设、，倾斜角为，则有如下结论：1．4种相切，即：（1）以为直径的圆与切于中点；（2）以为直径的圆与切于焦点；（3）以焦半径为直径的圆与（轴）切于中点；（4）以焦半径为直径的圆与（轴）切于中点；证明如下：（1）以为直径的圆与切于其中点；证明：由抛物线的定义知，，所以，、、在一个以为圆心，为直径的圆上，又（为梯形中位线）．即证．（2）以为直径的圆与切于焦点；证明：先证，得三点共圆；再证．一方面，由抛物线的定义，得，，所以，，易得平分，平分，从而，为平角的一半，故，所以三点在一个以为圆心，为直径的圆上．另一方面，，所以．即证．（3）易证且交点恰为的中点，仿照（1），可证．（4）与（3）类似。2．焦半径、焦点弦公式及焦比（1）焦半径：，；（2）焦点弦：；（3）焦比：．证明：由抛物线定义可得，，同理，，作，垂足为，则同理，3．两个特殊数列(1)等差数列：,即的倒数成等差数列．(2)等比数列：,即三点到轴的距离成等比数列．等差数列的证明，由焦半径公式取倒数相加即可。等比数列的证明看4．4．两个定值(1),即焦点弦端点的横坐标之积为定值． (2),即焦点弦端点的纵坐标之积也为定值．证明：在中，由射影定理可得，从而，说明：抓住“定值”这一不变性，可结合“通径”来记忆．事实上，这一不变性，对非焦点弦也是满足的．结论如下：过定点的直线与抛物线交于两点、，则（距离成等比数列），．有兴趣的朋友可以自证．当这五个值时，可以得到有意思的五个点，过这五点的弦均有某些独特的性质． 可以看到，当时，就是焦点弦的结论．当时，就是下面的结论：5．一个梯形和两个共线（1）三点共线；（2）三点共线．证明：，又，所以∽，所以三点共线．同理可证，三点共线． 6．几个特殊的三角形（1）的两边总关于轴对称；(因为)此即为时的特性：（与关于轴的对称）若一条过点的弦交抛物线与两点，则共线． （2）；证明：．（3）当时，的弦张角．讲了，顺带也讲下．点是抛物线上一点到点的距离是否单调变化的分界点．如果，即当点在点的左侧时，单调递增，此时原点到点的距离最小；如果，即当点在点的右侧时，先减后增，此时原点到点的距离并非是最小的．三、典例分析类型1：焦半径和焦点弦【例1】过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于两点，若，则（ ）A．2 B． C．1 D．【答案】B【解析】由焦半径公式求倾斜角，或直接用 的倒数等差数列．【法1】如图所示，设，则 解得，， ，故选B．【法2】由可得，．【例2】若过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，若，则实数的值为（ ）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】法1、常规思路——通法（此法主要为了做个比较，后续题目不会用通法）解：易得，设直线方程为，(此题中)，，可得，，由韦达定理可得，，，又，法2、由结论可知，，故选B．【例3】已知F为抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线与直线，直线与抛物线交于A、B两点，直线与抛物线交于C、D两点，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】D【解析】根据抛物线焦点弦弦长公式表示再求最小值．解：由，设直线倾斜角为，则直线倾斜角为，由焦点弦弦长公式得 ，，所以，当且仅当时取等号的最小值为．故选D．【例4】已知抛物线，过焦点F作直线与抛物线交于点，设，，则的最小值为（ ）A． B． C． D． 【答案】D【解析】由题，，所以，．选D．【例5】若抛物线,过其焦点的直线与抛物线交于两点,则的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由 的倒数等差数列及基本不等式可解．由题，，又，由权方和不等式可得，，所以，．点评：两个焦半径和焦点弦，知其一,或者知两者的某个关系式，另两个必定可求，同时也可以求焦点弦的斜率．类型2：焦比【例1】已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，若弦的长为，则（ ）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【解析】先根据弦长求出直线的倾斜角，再利用焦半径之比可求出．解：设直线的倾斜角为，则，所以，可得，或．所以，或．故选C．【例2】已知点F为抛物线的焦点．若过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，交该抛物线的准线于点M，且，，则（ ）A． B． C． D． 【答案】C【解析】法1、特值法：取得倾斜角为，易得．故选C．法2、如图，易知，，．结合抛物线的定义可得，，由又，所以,化简得，故选C．类型3：一个梯形和两个共线【例1】如图，已知分别为抛物线的顶点和焦点，斜率为的直线经过点与抛物线交于两点，连接，并延长分别交抛物线的准线于点，则（ ）A． B． C． D． 【答案】B【解析】由抛物线的几何性质可知．【例2】已知抛物线，为其焦点，为其准线，过任作一条直线交抛物线于两点，，分别为在上的射影，为的中点，给出下列命题：①；②；③；④与的交点在轴上；⑤与交于原点．其中真命题是__________．（写出所有真命题的序号）【答案】①②③④⑤【解析】结合之前几何性质的证明，可知①②③④⑤类型4：4种相切【例1】设拋物线的焦点为，直线，若过焦点的直线与抛物线相交于两点，则以线段为直径的圆与直线的位置关系为（ ）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三个答案均有可能【答案】C【解析】根据结论知道以为直径的圆和准线相切，该抛物线的准线为，故这个圆和直线相离．故选C．【例2】如图，过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，以为直径的圆与准线的公共点为，若，则的大小为（ ）A．15° B．30° C．45° D．不确定【答案】B【解析】如图，取AB中点，连结，则以AB为直径的圆与准线切于点，由根据抛物线性质， 轴，且，，，，故选B．【例3】过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，以、为直径的圆分别与轴相切于点，，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】法1、由抛物线的几何性质可知，法2、代数法设，，则，，直线的方程为：，联立，可得，∴，，∴，故选D．点评：焦点弦、焦半径的切线圆有必要记忆，对一些小题可以事半功倍．类型5：以焦点为重心的【例1】(2018·太原一模)已知抛物线的焦点为，的顶点都在抛物线上，且满足，则 ( )A． B． C． D． 【答案】A【解析】设， ， ．∵抛物线的焦点为，∴∵，∴∴∵，同理， ．∴，故选A．【例2】设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若则（ ）A． B． C． D． 【答案】A【解析】设， ， ．∵抛物线的焦点为，∴∵，∴∴，．类型6：点线转化【例1】已知点，抛物线的焦点是，若抛物线上存在一点，使得最小，则最小值为__________；此时点的坐标为__________．【答案】 【解析】如上图，过作于，则由抛物线的定义得所以，由图形得当、、三点共线时， 最小，又最小值为到准线的距离此时最小值为，此时点的纵坐标为，所以，即点的坐标为．【例2】抛物线的准线与轴交于点，焦点为，点是抛物线上的任意一点，令，当取得最大值时，直线的斜率是 （ ）A． B． C． D． 【答案】B【解析】如图，抛物线上一点到焦点的距离等于抛物线上一点到准线的距离，根据抛物线的对称性，所以设点P在第一象限，,当最小时，最大，所以当直线与抛物线相切时，最小，设直线：与抛物线方程联立，，由，解得，故选B．点评：结合抛物线的定义，将“点点距”“点线距”可以极大利用几何关系,使问题顺利解决．【巩固练习】1．已知直线与抛物线及其准线分别交于两点，为抛物线的焦点，若，则等于______．【答案】2．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若的最小值为19，则抛物线的标准方程为_______．【答案】3．已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点作直线与抛物线交于两点．若以为直径的圆过点，则的值为________．【答案】 4．直线与抛物线交于两点，若，则弦的中点到准线的距离为_____．【答案】 5．已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于两点，,为的准线上的一点，则的面积为______．【答案】6．已知抛物线的方程为，过其焦点的直线与抛物线交于两点，若,则_________．【答案】163．7．抛物线的焦点为F， 为抛物线上的两点，以为直径的圆过点F，过AB的中点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最大值为_______．【答案】【解析】由抛物线定义得=,即的最大值为．8．已知直线与抛物线交于， 两点，则弦的长为__________．【答案】89．已知F是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则______．【答案】610．设过抛物线的焦点的一条直线和抛物线有两个交点，且两个交点的纵坐标为，则_______．【答案】11．设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于两点，且点恰为的中点，则__________．【答案】7【解析】 12．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于两点（点在轴上方），__________．【答案】13．抛物线准线与轴交于点，过焦点作倾斜角为的直线与C交于两点，则 ．【答案】4314．．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，若，则实数的值为（ ）A． B． C． D．【答案】C15．已知是抛物线的焦点，过点且斜率为的直线交抛物线于， 两点，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】B16．已知不过原点的直线l与抛物线C：交于A，B两点，若，且，则直线l的斜率为 A． B． C． D．【答案】C17．抛物线焦点为,过点作直线．．交抛物线于两点,则的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】A18．已知抛物线的焦点和准线，过点的直线交于点，与抛物线的一个交点为，且，则（ ）A． B． C． D．【答案】A19．过抛物线的焦点F作互相垂直的弦，则点所构成四边形的面积的最小值为A．16 B．32 C．48 D．64【答案】B【解析】解：由抛物线的几何性质可知： ，据此可得，点A，B，C，D所构成四边形的面积的最小值为 ．20．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，弦的中点到抛物线的准线的距离为5，则直线的斜率为（ ）A． B． C． D．【答案】B21．点是抛物线（）上的一点，点是焦点，则以线段为直径的圆与轴位置关系是( )A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种均有可能【答案】B22．已知抛物线：的焦点为，过的直线与抛物线交于、两点，若以为直径的圆与抛物线的准线相切于，则（ ）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】B23．已知抛物线,其准线与轴的交点为,过焦点的弦交抛物线于两点,且,则( )A． B． C． D．【答案】C24．已知抛物线：，若直线：被抛物线截得的弦长为17，则与抛物线相切且平行于直线的直线方程为( )A． B．C． D．【答案】B25．已知（，…， ）是抛物线： 上的点， 是抛物线的焦点，若，则等于（ ）A．1008 B．1009 C．2017 D．2018【答案】D【解析】设的横坐标为（，…， ）由抛物线的焦半径公式可得∵∴，即∴ 故选D
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