福建省福州格致鼓山中学、教院二附中、铜盘中学、十五中、十中2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题

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（满分：150分；考试时间：120分钟）
班级 姓名 座号
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知数列，则该数列的第项为（ ）
A．B．C．D．
2．若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
3．在长方体中，，，，则和所成的角是（ ）
A．60°B．45°C．30°D．90°
4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了
A．60里B．48里C．36里D．24里
5．已知直线被圆：所截得的弦长为，则（ ）
A．B．C．D．
6．抛物线，过抛物线焦点斜率为1的直线与该抛物线交于、两点，则线段的中点到抛物线准线的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．6
7．已知数列为等差数列，公差不为，中的部分项组成的数列、、、…、、…..恰为等比数列，其中，，，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
8.已知椭圆：，，为椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于，两点，，，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．若构成空间的一个基底，则下列向量不能构成空间的一个基底的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
10．若为等差数列，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是数列中的项
C．数列单调递减
D．数列前7项和最大
11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下面结论中正确的有（ ）
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥平面CB1D1
C．异面直线AC与A1B成60°角
D．AC1与底面ABCD所成角的正切值是
12．已知双曲线的左､右焦点分别为､，左右顶点分别为，点是双曲线上的点（异于），则下列结论正确的是（ ）
A．该双曲线的离心率为2
B．该双曲线的渐近线方程为
C．若，则的面积为16
D．点到两点的连线斜率乘积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在等差数列中，， .
14．已知函数的导函数是，且，则 .
15．如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于 ．
16．在一个有穷数列的每相邻两项之间揷入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“TC拓展”．如数列1，2第1次“TC拓展”后得到数列1，3，2；第2次“TC拓展”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a、b、c经过第n次“TC拓展”后所得数列的项数记为，则 ；若，使得恒成立，则正整数n的最小值为
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
18．已知圆.
（1）求圆心的坐标和半径的值；
（2）若直线与圆相交于两点，求。
19． 已知直线被抛物线C：截得的弦长.
(Ⅰ)求抛物线C的方程；
(Ⅱ)若抛物线C的焦点为F，求三角形ABF的面积.
20．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
21．已知数列的通项公式为，等比数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，的前n项和分别为，，求满足（）的所有数对．
22．已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，短轴长为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l与椭圆C相切于点A，A关于原点O的对称点为点B，过点B作，垂足为M，求面积的最大值.