2023-2024学年福建省福州十五中、格致鼓山中学、教院二附中、福州铜盘中学、福州十中高一上学期期中联考数学试题（含解析）

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这是一份2023-2024学年福建省福州十五中、格致鼓山中学、教院二附中、福州铜盘中学、福州十中高一上学期期中联考数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M=-1,1,2,3，N=-1,1，下列结论成立的是
( )
A. M⊆NB. M∩N=-1C. M∪N=MD. ∁MN=1,2,3
2.已知a，b，c满足c( )
A. ab>acB. c(b-a)<0C. b20
3.若函数y=f(x)的定义域M={x|-2≤x≤2}，值域N={y|0≤y≤2}，则函数y=f(x)的图象可能是
( )
A. B.
C. D.
4.已知p:x<-1，则p的一个充分不必要条件为( )
A. x<-1B. x<2C. -85.已知幂函数的图象经过点P(8,14)，则该幂函数的大致图象是
A. B.
C. D.
6.若关于x的不等式kx2-kx<1的解集是全体实数，则实数k的取值范围是
( )
A. (-4,0)B. (-4,0]
C. (-∞,-4)∪(0,+∞)D. (-∞,-4)∪[0，+∞)
7.已知f( x)=-x-2 x+3，则f(x)的值域为( )
A. (-∞,4]B. (-∞,3]C. [0,3]D. [0,4]
8.已知函数f(x)=(a-3)x+5,x≤12ax,x>1，若对R上的任意实数x1，x2(x1≠x2)，恒有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，那么a的取值范围是( )
A. (0,3)B. (0,3]C. [2,3)D. (0,2]
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.在下列四组函数中表示同一函数的是( )
A. fx=x-1，gx=x2-1x+1
B. fx=x+1，gx= x+1,x≥-1, -1-x,x<-1
C. fx=1，gx=x+10
D. fx=2x2,gt=2t2
10.下列命题正确的有
．( )
A. 若命题p:∃x∈R，x2+x+1<0，则¬p:∀x∈R，x2+x+1≥0
B. 不等式x2-4x+5>0的解集为R
C. x>1是x-1x+2>0的充分不必要条件
D. ∀x∈R， x2=x
11.已知a>0，函数fx=x+ax，当x>0时，f(x)的最小值为 6，下列结论正确的是
( )
A. f(x)是奇函数B. f(x)是偶函数
C. f(x)在(-1,0)上单调递减D. f(x)在(1,+∞)上单调递增
12.德国著名数学家狄利克雷Dirichlet,1805∼1859在数学领域成就显著．19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：Dx=1,x∈Q0,x∉Q，则关于函数Dx有如下四个命题，其中是真命题的为
( )
A. 函数Dx是偶函数B. 函数Dx是奇函数
C. 方程Dx-x3=0有1个实数根D. 对任意x∈R，都有DDx=1
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.函数y= 7+6x-x2的定义域是．
14.已知函数fx在0,+∞上单调递减，且为偶函数，则fπ、f-13、f3之间的大小关系是__________.(用“>”连接)
15.已知集合A={0,2a-1,a2}，B={a-5,1-a,9}，且9∈(A∩B)，则a= ．
16.已知函数f(x)=2x，g(x)为偶函数，且当x≥0时，g(x)=x2-4x.记max{a,b}=a,a⩾b,b,a四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知全集U=R，集合A=x-2(1)若m=1，求A∪∁UB；
(2)若A∩B=A，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
(1)已知x>3，求4x-3+x的最小值；
(2)已知x，y是正实数，且x+y=4，求1x+3y的最小值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=x+1x+2．
(1)求f[f(1)]的值；
(2)判断函数f(x)在区间(-2,+∞)上的单调性，并用定义加以证明．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2-3x+b，不等式f(x)<0的解集为{x|1(1)求b和t的值；
(2)若x∈[1,4]时，函数y=f(x)的图象恒在y=kx2图象的上方，求实数k的取值范围．
21.(本小题12分)
某企业为生产某种产品，每月需投入固定成本2万元，每生产x万件该产品，需另投入流动成本W(x)万元，且W(x)=13x2+x,0(1)写出月利润L(x)(单位：万元)关于月产量x(单位：万件)的函数关系式；
(2)试问当月产量为多少万件时，企业所获月利润最大？最大利润是多少？
22.(本小题12分)
已知函数y=f(x)(x∈R)是偶函数.当x≥0时，f(x)=x2-2x．
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)在区间[a,a+2]上单调，求实数a的取值范围;
(3)设g(x)=-f(x)+1，求g(x)在区间[a,a+2]上的最大值，其中a>-1．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查集合的运算和子集，属于基础题．
由已知，利用子集、交、并、补集运算逐个判断即可．
【解答】
解：集合M={-1,1,2,3}，N={-1,1}，不满足M⊆N，则A错;
M∩N={-1,1}，则B错;
M∪N={-1,1,2,3}=M，则C正确;
∁MN={2,3}，则D错．
故选C．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了不等式的基本性质，属基础题．
先研究a，b，c满足c【解答】解：由ac<0c0,c<0.
又b>c，
∴ab>ac，故A正确．
∵b-a<0，c<0，
∴c(b-a)>0，故B错误．
若b2=0，可验证C不正确，
而ac<0，a-c>0，
∴ac(a-c)<0，故D错误．
故选A．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数的概念及图像，属于基础题．
解题时，根据函数的定义及定义域与值域，逐一判断即可求解
【解答】
解：选项A，定义域为-2,0，与条件不符，故A错误；
选项B，定义域、值域均与条件相符，故B正确；
选项C，不符合函数的定义，在-2,2内的任一x的值，在0,2内并非只有唯一的y值与之对应，故C错误；
选项D，值域与条件不符，故D错误．
综上所述，正确选项为B．
故选：B．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查充分不必要条件的应用，属基础题．
设A={x|x<-1}，则p的一个充分不必要条件为A的真子集所表示的数的范围，结合选项即可得解．
【解答】
解：p:x<-1，设A={x|x<-1}，
则p的一个充分不必要条件为A的真子集所表示的数的范围，
由选项可知D符合，
故选D．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查幂函数的解析式及幂函数的图象，属于基础题．
【解答】
解：设幂函数的解析式为y=xa，因为该幂函数的图象经过点P(8,14)，所以8a=14，即23a=2-2，解得a=-23，即函数y=x-23，也即y=13x2，则函数的定义域为{x|x≠0}，y=13x2为偶函数，且y=13x2在(0,+∞)上为减函数．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了不等式恒成立的问题，属于基础题．
分别对k=0和k≠0的情况进行讨论即可．
【解答】
解：当k=0时，0< 1恒成立，
当k≠0时，要使kx2-kx-1<0的解集是全体实数，只需满足
k<0,(-k)2+4k<0,解得-4故实数k的取值范围是(-4,0]．
故选B
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数在闭区间上的值域问题，涉及换元法，属于基础题．
设 x=t(t≥0)则有f(t)=-(t+1)2+4，再根据二次函数的性质解题即可．
【解答】
解：设 x=t(t≥0)，则f(t)=-t2-2t+3=-(t+1)2+4(t⩾0)，
由二次函数的图象及性质可知，f(t)在[0,+∞)上的值域为(-∞,3],
即f(x)的值域为(-∞,3]．
故选B．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了分段函数的单调性问题，考查了学生解不等式的问题，属于基础题．
利用分段函数的单调性的判断方法，建立不等式即可求解．
【解答】
解：由已知可得函数f(x)是R上单调递减函数，
则函数f(x)满足：a-3<02a>0a-3+5≥2a1，解得0所以实数a的取值范围为：(0,2]，
故选：D．
9.【答案】BD
【解析】【分析】根据两个函数的定义域与对应法则均相同为同一函数判断.，逐一分析即可．
解：对于A，函数fx的定义域为R，gx的定义域为xx≠-1，fx与gx的定义域不相同，则不是同一函数；
对于B，函数fx的定义域为R，gx的定义域为R，fx与gx的定义域相同，
fx=x+1= x+1,x≥-1, -1-x,x<-1,对应关系相同，则fx与gx是同一函数；
对于C，函数fx的定义域为R，gx的定义域为xx≠-1，
fx与gx的定义域不相同，则不是同一函数；
对于D，两个函数的定义域和对应关系都相同，所以两个函数是同一函数．
故选：BD．
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查了含有全称量词命题的否定、一元二次不等式和充分不必要条件的应用，属于基础题．
对A，由含有一个量词命题的否定即可判断；对B，结合二次函数的图象即可判断；对C，先求出x-1x+2>0的解集，再由充分条件，必要条件的定义即可判断；对D，由特殊值即可判断．
【解答】
解：
对于选项A，若命题p:∃x∈R，x2+x+1<0，则¬p:∀x∈R，x2+x+1≥0，
故A正确；
对于选项B，∵x2-4x+5>0，
令y=x2-4x+5，
则Δ=16-4×5=-4<0，
又∵y=x2-4x+5的图象开口向上，
∴不等式x2-4x+5>0的解集为R；
故B正确；
对于选项C，由x-1x+2>0，
解得：x<-2或x>1，
设A=1,+∞，B=-∞,-2∪1,+∞，
则A⫋B，故x>1是x-1x+2>0的充分不必要条件，
故C正确；
对于选项D，当x=-1时， -12=1≠-1
故D错误．
故选：ABC．
11.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
由基本不等式可求得a的值，故可得函数的单调区间，同时求得函数的奇偶性，故可判断各选项．
【解答】
解：对于f(x)，定义域为x≠0，f(-x)=-f(x)，是奇函数，不是偶函数．
当x>0时，
由基本不等式f(x)=x+ax⩾2 x·ax=2 a= 6，解得a=32，
易知f(x)在(-∞,- 62)和( 62,+∞)上递增，在(- 62,0)和(0, 62)上递减，
所以C正确，D不正确，
故本题选AC．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义可判断AB选项；分x∈Q、x∉Q两种情况解方程Dx-x3=0，可判断C选项；利用题中定义分x∈Q、x∉Q两种情况计算DDx，可判断D选项．
解：对于AB选项，若x∈Q，则-x∈Q，此时Dx=1=D-x，
若x∉Q，则-x∉Q，此时Dx=0=D-x，
综上所述，对任意的x∈R，D-x=Dx，故函数Dx是偶函数，A对B错；
对于C选项，若x∈Q，则Dx-x3=1-x3=0，解得x=1，合乎题意，
若x∉Q，则Dx-x3=-x3=0，解得x=0，不合乎题意，
综上所述，方程Dx-x3=0有1个实数根，C对；
对于D选项，若x∈Q，则DDx=D1=1，
若x∉Q，则DDx=D0=1，
综上所述，对任意的 x∈R，DDx=1，D对．
故选：ACD．
13.【答案】[-1,7]
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．
根据函数令7+6x-x2≥0即可得到定义域．
【解答】
解：∵函数y= 7+6x-x2，
∴要使其有意义，即7+6x-x2≥0，得x2-6x-7≤0，
解得：-1≤x≤7．
∴函数y= 7+6x-x2的定义域是[-1,7]．
故答案为[-1,7]．
14.【答案】f-13>f3>fπ
【解析】【分析】由偶函数的定义和单调性的定义，可得结论．解：函数fx在0,+∞上单调递减，且为偶函数，则f-13=f13，
因为π>3>13>0，可得f13>f3>fπ，即为f-13>f3>fπ，
故答案为：f-13>f3>fπ．
15.【答案】5或-3
【解析】【分析】
本题考查元素与集合的关系，交集的概念及运算，集合元素的互异性．
由9∈(A∩B)便得到9=2a-1或9=a2，这样求出a，并验证是否满足条件，以及是否满足集合元素的互异性，从而得出a的值．
【解答】
解：9∈(A∩B)；∴9∈A；∴2a-1=9，或a2=9；
∴a=5，或a=±3；
①a=5时，A={0,9,25}，B={0,-4,9}，满足条件；
②a=3时，B={-2,-2,9}，不满足集合元素的互异性；
③a=-3时，A={0,-7,9}，B={-8,4,9}，满足条件；
故答案为5或-3．
16.【答案】①③
【解析】【分析】
本题考查了函数的图象与性质，考查函数的单调性和奇偶性以及函数最值，考查分段函数解析式的求法，考查了数形结合思想、推理能力与计算能力，属于较难题．
根据题意得到g(x)={x2+4x,x<0x2-4x,x⩾0,F(x)=max{f(x),g(x)}(x∈R)={x2+4x,x⩽-22x,-2【解答】
解：当x<0时，-x>0，g(-x)=-x2-4-x=x2+4x，
又因为g(x)为偶函数，所以当x<0时，g(x)=g(-x)=x2+4x，
因此，g(x)=x2+4x,x<0x2-4x,x≥0,
F(x)=max{f(x),g(x)}(x∈R)=x2+4x,x≤-22x,-2画出F(x)的大致图象，
由图象可得：①当x≥6时，∵x2-4x≥2x，∴F(x)=x2-4x，故正确；
②由图象可得：函数F(x)不为奇函数，故错误；
③由图象知函数F(x)在[-2,6]上是增函数，因此函数F(x)在[-2,2]上为增函数，故正确；
④由图象易知函数F(x)的最小值为F(-2)=-4，无最大值，故错误．
其中正确的是①③．
故答案为：①③．
17.【答案】(1)
解：当m=1时，B=xx-1<0=xx<1，因为全集U=R，则∁UB=xx≥1，
又因为A=x-2则A∪∁UB=xx>-2．
(2)
解：B=xx-m<0=xx因为A∩B=A，则A⊆B，且A=x-2则m≥4，
因此，实数m的取值范围是mm≥4．

【解析】【分析】(1)当m=1时，求出集合B，利用补集和并集的定义可求得集合A∪∁UB；
(2)解出集合B，由A∩B=A可得出A⊆B，由此可得出实数m 的取值范围．
18.【答案】解：(1)∵x>3，∴x-3>0，
∴f(x)=4x-3+x=4x-3+(x-3)+3⩾2 (x-3)·4x-3+3=7，
当且仅当4x-3=x-3，即x=5时取等号，
∴f(x)的最小值为7．
(2)法一∵x>0，y>0，
∴(x+y)(1x+3y)=4+(yx+3xy)≥4+2 3．
当且仅当yx=3xy，即x=2( 3-1)，y=2(3- 3)时取“=”号．
又x+y=4，∴1x+3y≥1+ 32，
故1x+3y的最小值为1+ 32．
法二∵x>0，y>0，且x+y=4，
∴1x+3y=x+y4x+3(x+y)4y=1+y4x+3x4y≥1+2 y4x·3x4y=1+ 32．
当且仅当y4x=3x4y，即x=2( 3-1)，y=2(3- 3)时取“=”号．
∴1x+3y的最小值为1+ 32．
【解析】本题主要考查了基本不等式问题，利用基本不等式求最值问题，属于中档题；
(1)化简得f(x)=4x-3+(x-3)+3，再由基本不等式求出最小值即可；
(2)法一：由(x+y)(1x+3y)=4+(yx+3xy)，然后展开式子，利用基本不等式求解即可；
法二：直接变化分子，对原式进行变形1x+3y=x+y4x+3(x+y)4y，然后展开式子，利用基本不等式求解即可．
19.【答案】解：(1)
因为f(1)=1+11+2=23，所以f[f(1)]=f23=23+123+2=58；
(2)
设x1而f(x1)-f(x2)=x1+1x1+2-x2+1x2+2=x1+1x2+2-x2+1x1+2x1+2x2+2
=x1x2+2x1+x2+2-x1x2-2x2-x1-2x1+2x2+2
=x1-x2x1+2x2+2
因为x1-x2<0,x1+2>0,x2+2>0，所以x1-x2x1+2x2+2<0，
所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在区间(-2,+∞)上单调递增．

【解析】【分析】(1)根据函数解析式代入计算即可求出结果；
(2)设x120.【答案】解：(1)∵f(x)=x2-3x+b<0的解集为{x|1∴1和t是方程x2-3x+b=0的两根，
∴1×t=b1+t=3，解得b=t=2，
(2)由题意可得，x∈[1,4]时，x2-3x+2>kx2，
即k<2x2-3x+1，
令m=1x，则k<2m2-3m+1，m∈[14,1]，
∵令g(m)=2m2-3m+1，则g(m)=2m2-3m+1=2(m-34)2-18，m∈[14,1]，
当m=34时，g(m)min=-18，
∴k<-18．
【解析】(1)由题意可得，1和t是方程x2-3x+b=0的两根，然后结合方程的根与系数关系可求，
(2)由题意可得，x∈[1,4]时，x2-3x+2>kx2，分离参数后利用换元，然后结合二次函数的性质即可求解．
本题主要考查了二次函数与二次方程及不等式的关系的应用，还考查了不等式的恒成立与最值求解的相互转化关系的应用，体现了转化思想的应用．
21.【答案】解：(1)因为每件产品的售价为4.75元，所以x万件产品的销售收入为4.75x万元，
当0当x≥9时，L(x)=4.75x-(5x+81x-18)-2=16-(x4+81x)，
所以L(x)=-x23+154x-2,0(2)当0此时，当x=458时，L(x)取得最大值54764(万元)，
当x≥9时，L(x)=16-(x4+81x)≤16-2 x4⋅81x=7，
此时，当且仅当x4=81x，即x=18时，L(x)取得最大值7(万元)，
因为54764>7，所以当月产量为458万件时，企业所获月利润最大，最大利润为54764万元．
【解析】本题考查分段函数求解析式，及函数的最值，属于中档题．
(1)由题意将函数写出分段函数的形式即可;
(2)在(1)的函数解析式中，对函数求最值即可．
22.【答案】解：(1)设x<0，则-x>0，f-x=-x2-2-x=x2+2x，
又f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)，
于是x<0时，fx=x2+2x，
所以f(x)=x2-2x,x≥0x2+2x,x<0；
(2)由(1)及二次函数知，f(x)的增区间为[1,+∞)，[-1,0]，
单调减区间是(-∞,-1]，[0,1]，
又函数f(x)在区间[a,a+2]上具有单调性，且a+2-a=2，
所以[a,a+2]⊆(-∞,-1]或[a,a+2]⊆[1,+∞),
即a+2≤-1或a≥1，
解得a≤-3或a≥1．
故实数a的取值范围是aa≤-3或a≥1．
(3)由(1)可知，gx=1-x2-2x,x<01-x2+2x,x≥0由于a>-1，
当-1作出gx在 a,a+2上的草图，如下图：
由图象可知，gxmax=g1=2；
当0由图象可知，gxmax=g1=2；
当a>1时，a+2>3，作出gx在 a,a+2上的草图，如下图：
由图象可知，gxmax=ga=1-a2+2a；
综上所述：
当-1当a>1时，gxmax=1-a2+2a．

【解析】本题主要考查函数的奇偶性及单调性，同时考查分段函数与二次函数，属于较难题．
(1)设x<0，则-x>0，由偶函数及已知解析式即可求解;
(2)由二次函数得出f(x)的单调区间，由于[a,a+2]的区间长度为2，所以[a,a+2]⊆(-∞,-1]或[a,a+2]⊆[1,+∞)，建立不等式求解可．
(3)根据二次函数性质，根据a的取值情况求解函数最值．