2023-2024学年福建省福州市（华侨、金山、教院附中等八校）高二上学期期中联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州市（华侨、金山、教院附中等八校）高二上学期期中联考数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若直线l的一个方向向量为 3,-1，则它的倾斜角为
( )
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘
2.直线l过点1,-2且与直线-2x+3y+1=0垂直，则l的方程为
( )
A. 3x+2y-1=0B. 3x+2y+1=0C. 2x+3y+4=0D. 2x-3y-8=0
3.在空间直角坐标系O-xyz中，设点B是点A2,3,4关于坐标平面xOy的对称点，则AB=( )
A. 8B. 2 2C. 29D. 29
4.已知圆的方程x2+y2+2ax+9=0，半径为4，则实数a为
( )
A. -5B. - 5C. -5或5D. - 5或 5
5.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是
( )
A. 2x+y+5=0或2x+y-5=0B. 2x+y+ 5=0或2x+y- 5=0
C. 2x-y+5=0或2x-y-5=0D. 2x-y+ 5=0或2x-y- 5=0
6.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pii=1,2,⋅⋅⋅,8是上底面上其余的八个点，则集合yy=AB⋅APi,i=1,2,3,⋅⋅⋅,8中的元素个数是
( )
A. 7B. 5C. 3D. 1
7.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B-2,0，若将军从山脚下的点A-13,0处出发，河岸线所在直线方程为x+2y=3，则“将军饮马”的最短总路程为( )
A. 1453B. 5C. 1353D. 163
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，F在棱C1D1上，下列判断不正确的是
( )
A. 若B1F//平面A1BE，则F为C1D1的中点
B. 平面ADC1B1⊥平面A1BE
C. 若AB=1，则VA1-B1BE=16
D. 异面直线A1B与CE所成角的余弦值13
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知向量a=1,1,-2,b=1,-3,-3，则下列结论正确的是
( )
A. a+b=2,-2,-5B. a-b=0,-2,1
C. a⋅b=4D. a=6
10.已知直线l1:x+ay-a=0和直线l2:ax-2a-3y-1=0，下列说法正确的是
( )
A. 直线l1始终过定点0,1B. 若l1//l2，则a=1或a=-3
C. 若l⊥l2，则a=2D. 当a>0时，l1始终不过第三象限
11.关于曲线C:x2+y2=x+y，给出下列四个命题：
( )
①曲线C关于x轴对称；②曲线C关于直线y=x对称；
③曲线C关于原点对称；④曲线C所围成的区域面积大于6
其中正确的为
( )
A. ①B. ②C. ③D. ④
12.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AD//BC，点E为PA的中点．AB=BC=1，AD=2,PA= 2，则
( )
A. BE⋅CP=3
B. 点B到平面PCD的距离为13
C. 异面直线BE与CD所成角的余弦值为 33
D. BC与平面PCD所成的角为π6
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若直线l经过两点-1,2,3,-3，则直线l的斜率为______
14.已知向量a=(x,2,-1)，b=(2,1,0)，|a|= 5，则a⋅b= ．
15.已知空间中三点A(1,1, 3)，B(1,-1,2)，C(0,0,0)，则点A到直线BC的距离为 ．
16.已知圆C1:(x-a)2+y2=4与C2:x2+(y-b)2=1(a,b∈R)交于A，B两点.若存在a，使得|AB|=2，则b的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD是正方形，AD=AB=1，AA1=2，，A1C1=3NC1，D1B=2MB，设AB=a，AD=b，AA1=c．
(1)试用{a、b、c}表示AN；
(2)求MN的长度．
18.(本小题12分)
已知直线2x-3y+1=0和直线x+y-2=0的交点为P．
(1)求过点P且与直线3x-y-1=0平行的直线方程；
(2)若直线l1与直线3x-y-1=0垂直，且P到l1的距离为2 105，求直线l1的方程．
19.(本小题12分)
已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线m：x+2y+7=0相切，过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M、N两点．
(1)求圆A的方程；
(2)当MN=2 19时，求直线l的方程．
20.(本小题12分)
在▵ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知a=6,b=2c,csA=-14．
(1)求c的值；
(2)求sinB的值；
(3)求sin(2A-B)的值．
21.(本小题12分)
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=BC=1,PC= 3．

(1)求证：BC⊥平面PAB；
(2)求二面角A-PC-B的大小．
22.(本小题12分)
如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点．
(1)证明：OE/​/平面PAC;
(2)若∠ABO=∠CBO=30∘，PO=3，PA=5，求二面角C-AE-B正弦值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】由直线的方向向量可知直线的斜率，进而求出直线的倾斜角．
解：由直线的方向向量可知直线的斜率 k=-1 3=- 33 ，
设直线的倾斜角为 α ，且 α∈0,π ，
可知 k=tanα=- 33 ，可得 α=56π ，
即 α=150∘ ．
故选：D．
2.【答案】B
【解析】【分析】由点斜式方程即可得出答案．
解：直线 -2x+3y+1=0 的斜率为 k=23 ，
直线 l 过点 1,-2 且与直线 -2x+3y+1=0 垂直，
所以 y+2=-32x-1 ，化简为： 3x+2y+1=0 ．
故答案为：B．
3.【答案】A
【解析】【分析】根据题意求出点 B 的坐标，可得 AB 的坐标，则答案可求．
解：因为点 B 是点 A2,3,4 关于坐标平面 xOy 的对称点，
所以点 B2,3,-4 ，
∴ AB=(0,0,-8) ，则 |AB|=8 ．
故选：A．
4.【答案】C
【解析】【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可．
解：圆的方程 x2+y2+2ax+9=0 ，即 x+a2+y2=-9+a2 ，
因为半径为4，所以 -9+a2=42 ，解得 a=±5 ．
故选：C．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题．
设出所求直线方程为2x+y+b=0，利用圆心到直线的距离等于半径，求出b，即可求出直线方程．
【解答】
解：设所求直线方程为2x+y+b=0，
由于该直线与圆x2+y2=5相切，
所以|b| 5= 5，
所以b=±5，
所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y-5=0，
故选A．
6.【答案】D
【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，向量的垂直和向量的数量积即可求出解
解：由图可知， APi=AB+BPi ，
则 AB⋅APi=AB⋅AB+BPi=AB2+AB⋅BPi ，
因为棱长为 1,AB⊥BPi ，
所以 AB⋅BPi=0,AB⋅APi=AB2+AB⋅BPi=1+0=1 ，
故集合 yy=AB⋅APi,i=1,2,3,⋅⋅⋅,8 中的元素个数为1，
故选：D．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了数学文化问题，点关于直线的对称问题，最短距离问题，属于基础题．
先求出点A关于直线x+2y=3的对称点A'，则“将军饮马”的最短总路程为A'与B之间的距离．
【解答】
解：设点A关于直线x+2y=3的对称点A'(a,b)，
AA'的中点为(a-132,b2)，kAA'=ba+13，故ba+13·-12=-1a-132+2·b2=3，解得a=1b=83,
要使从点A到军营总路程最短，
即为点A'到军营最短的距离，军营所在位置为B(-2,0)，
“将军饮马”的最短总路程为 (1+2)2+(83)2= 1453．
故选A．
8.【答案】D
【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，由 B1F⋅n=2x-2+2=0 ，解得 x=1 ，判断A选项；利用两平面法向量垂直判断B选项；利用锥体体积公式判断C选项，利用空间向量夹角公式判断D选项．
解：根据题意，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的边长为2，
所以 A10,0,2,B2,0,0,C2,2,0,D0,2,0 ，
E0,2,1,B12,0,2,Fx,2,2x∈0,2,
对于A选项，所以 A1B=2,0,-2,A1E=0,2,-1,B1F=x-2,2,0 ，
设 n=x1,y1,z1 是平面 A1BE 的法向量，
则 A1B⋅n=0A1E⋅n=0 ，即 x1=z12y1=z1 ，故令 y1=1 ，则 n=2,1,2 ，
所以 B1F⋅n=2x-2+2=0 ，解得 x=1 ，此时 F 为 C1D1 的中点，故A选项正确；
对于B选项，设 m=x2,y2,z2 是平面 ADC1B1 的法向量，
由于 AD=0,2,0,AB1=2,0,2 ，则 AB1⋅m=0AD⋅m=0 ，即 y2=0x2=-z2 ，
令 z2=1 得 m=-1,0,1 ，由于 n=2,1,2 ，
所以 n⋅m=0 ，所以平面 ADC1B1⊥ 平面 A1BE ，故B选项正确；
对于C选项，若 AB=1 ，则 VA1-B1BE=VE-A1B1B=13×12×1×1×1=16 ，故C选项正确；
对于D选项， A1B=2,0,-2,CE=-2,0,1 ，
所以 cs⟨A1B,CE⟩=CE⋅A1BCE⋅A1B=-62 2× 5=-3 1010 ，
所以异面直线 A1B 与 CE 所成角的余弦值为 3 1010 ，故D选项错误
故选：D．
9.【答案】AC
【解析】【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果．
解：因为 a=1,1,-2,b=1,-3,-3 ，
则 a+b=2,-2,-5 ，故A正确；
a-b=0,4,1 ，故B错误；
a⋅b=1×1+1×-3+-2×-3=4 ，故C正确；
a= 1+1+4= 6 ，故D错误；
故选：AC
10.【答案】AD
【解析】【分析】根据已知条件，直接求出直线 l1 的定点，即可判断A，再结合直线平行、垂直的性质判断B、C，将直线方程化为斜截式，即可判断D．
解：对于A：直线 l1:x+ay-a=0 ，即 x+a(y-1)=0 ，
令 x=0y-1=0 ，解得 x=0y=1 ，故直线 l1 过定点 0,1 ，故A正确；
对于B：若 l1//l2 ，则 -2a-3=a2 ，解得 a=1 或 a=-3 ，
当 a=1 时， l1:x+y-1=0 ， l2:x+y-1=0 ，则 l1 与 l2 重合，故舍去，
当 a=-3 时，易得 l1//l2 ，所以 a=-3 ，故B错误；
对于C：若 l1⊥l2 ，则 a-a2a-3=0 ，解得 a=0 或 a=2 ，故C错误；
对于D：当 a>0 时，直线 l1:y=-1ax+1 始终过点 0,1 ，且斜率为负，
故该直线过第一、二、四象限，不过第三象限，故D正确．
故选：AD．
11.【答案】ABC
【解析】【分析】将 y 用 -y 代替，可判断①正确；将 y 用 x 代替，可判断②正确；将 x 用 -x 代替， y 用 -y 代替，可判断③正确；求出曲线 C 所围成的区域面积可判断④错误．
解：曲线 C:x2+y2=x+y 中，
将 y 用 -y 代替，可得 x2+-y2=x+-y ，即 x2+y2=x+y ，
则曲线 C 关于 x 轴对称，故①正确；
将 y 用 x 代替， x 用 y 代替，可得 y2+x2=y+x ，即 x2+y2=x+y ，
则曲线 C 关于 y=x 对称，故②正确；
将 x 用 -x 代替， y 用 -y 代替，可得 -x2+-y2=-x+-y ，即 x2+y2=x+y ，
则曲线 C 关于原点对称，故③正确；
当 x≥0,y≥0 时， x2+y2=x+y⇒x2-x+y2-y=0 ，
即为 x-122+y-122=12 ，
表示圆心为 12,12 ，半径为 22 的圆的一部分，
其面积为 π× 222×12+12×1×1=π+24 ，
结合对称性，可知曲线 C 所围成的区域面积为 π+24×4=π+2<6 ，故④错误；
故选：ABC．
12.【答案】CD
【解析】【分析】建立空间直角坐标系 A-xyz ，利用空间向量数量积公式判断A；利用空间点到面的距离公式判断B；利用空间向量夹角公式判断C；利用空间向量求出线面角的正弦判断D．
解：以 A 为原点，以 AB,AD,AP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间
直角坐标系 A-xyz ，
则 A0,0,0,B1,0,0,C1,1,0,D0,2,0,P0,0, 2,E0,0, 22 ．
CD=-1,1,0,CP=-1,-1, 2,BE=-1,0, 22,BC=0,1,0 ，
则 BE⋅CP=1+0+1=2 ，A错误；
cs⟨BE,CD⟩=CD⋅BECDBE=1 2× 32= 33 ，
则异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为 33 ，C正确．
设平面 PCD 的法向量为 m=x,y,z ，
则 CD⋅m=0,CP⋅m=0,-x+y=0,-x-y+ 2z=0, 解得 y=x,z= 2x,
令 x=1 ，则 y=1,z= 2 ，所以平面 PCD 的一个法向量为 m=1,1, 2 ，
∴ 点 B 到平面 PCD 的距离为 |BC⋅m||m|=1 1+1+2=12 ，即选项B错误；
设 BC 与平面 PCD 所成的角为 θ ，则 sinθ=|BC⋅m||BC|⋅|m|=1 4=12 ，
BC 与平面 PCD 所成的角为 π6 ，即选项 D 正确．
故选：CD．
13.【答案】-54
【解析】【分析】根据已知条件，利用斜率公式即可求解．
解：直线 l 经过两点 -1,2,3,-3 ，
则直线 l 的斜率为 2+3-1-3=-54 ，
故答案为： -54
14.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查空间向量模的坐标运算，考查数量积的坐标运算，属于基础题．
由向量模的坐标公式运算可求得x，再由向量数量积的坐标运算计算出数量积．
【解答】
解：由题意|a|= x2+22+(-1)2= 5，解得x=0，
a⋅b=0×2+2×1+(-1)×0=2．
故答案为2．
15.【答案】 3
【解析】【分析】
本题考查空间距离的求法，考查计算能力，属于基础题．
先求出向量csCA,CB，然后求出向量的夹角的正弦值，进而根据d=|CA|sinCA,CB求解即可．
【解答】
解：由题意，可得 CA=(1,1, 3)， CB=(1,-1,2)，
，
∴sinCA,CB= 155，
所以点A到直线BC的距离
d=|CA|·sinCA,CB= 3．
故答案为： 3．
16.【答案】- 3, 3
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系的应用，属于中档题．
由题意结合圆与圆的位置关系可得公共弦|AB|为圆C2的直径，进一步分析可得a2+b2=3，计算即可．
【解答】
解：由题意得，圆C1的圆心为(a,0)，半径恒为2，是在x轴上移动的动圆，
圆C2的圆心为(0,b)，半径恒为1，是在y轴上移动的动圆，
若存在a，使得两圆的公共弦AB=2，则该公共弦必过圆C2的圆心，也即公共弦|AB|为圆C2的直径，
如图
圆C1：x2+y2-2ax+a2-4=0，圆C2：x2+y2-2by+b2-1=0，
两式相减得，公共弦AB的方程为2ax-2by+b2-a2+3=0，
直线AB过点(0,b)，
所以a2+b2=3，
所以b2=3-a2⩽3，
则b∈- 3, 3．
故答案为：- 3, 3．
17.【答案】解：(1)AN=AA1+A1N=AA1+23(A1B1+A1D1)
=c+23(a+b)=23a+23b+c，
(2)AM=12a+12b+12c，MN=AN-AM=16a+16b+12c，
由底面ABCD是正方形，AD=AB=1，AA1=2，∠A1AB=∠DAA1=60°，
得a⋅b=0,a⋅c=b⋅c=1
所以|MN|= (16a+16b+12c)2
= 136a2+136b2+14c2+118a·b+16a·c+16b·c
=5 26．
【解析】本题考查向量的表示，考查线段长的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
(1)AN=AA1+A1N=c+23(a+b)=23a+23b+c，由此能求出结果．
(2)由题意，结合MN2=(16a+16b+12c)2，由此能求出MN的长度．
18.【答案】解：联立2x-3y+1=0x+y-2=0,
解得x=1y=1,可知交点P(1,1)，
(1)设与直线3x-y-1=0平行的直线方程为3x-y+c1=0 (c1≠-1)，
把交点P(1,1)代入可得3-1+c1=0，
∴c1=-2，
∴所求的直线方程为3x-y-2=0．
(2)设与直线3x-y-1=0垂直的直线方程为l1:x+3y+c2=0，
∵P(1,1)到l1的距离为|1+3+c2| 10=2 105，
解得c2=0或-8，
∴直线l1的方程为：x+3y=0或x+3y-8=0．
【解析】本题考查直线的一般式方程、直线的平行与垂直的判定、点到直线的距离公式．
(1)联立两直线方程，求出交点P的坐标，设与直线3x-y-1=0平行的直线方程为3x-y+c1=0，将点P代入求出c1，则可得答案；
(2)设与直线3x-y-1=0垂直的直线方程为l1:x+3y+c2=0，利用点到直线的距离公式求出c2，则可得答案．
19.【答案】解：(1)由题意知A(-1,2)到直线x+2y+7=0的距离为圆A的半径r，
∴r=-1+4+7 5=2 5，
∴圆A方程为(x+1)2+(y-2)2=20；
(2)设MN中点为Q，则由垂径定理可知∠MQA=90°，且MQ= 19，
在Rt△AMQ中，由勾股定理易知AQ= AM2-MQ2=1，
当直线l的斜率不存在时，直线l方程为x=-2，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设动直线l方程为：y=k(x+2)，
由A(-1,2)到l距离为1，知|-k+2k-2| 1+k2=1，解得k=34， 此时直线l方程为3x-4y+6=0．
∴直线l方程为3x-4y+6=0或x=-2．
【解析】本题考查圆的标准方程及直线与圆相交时的弦长问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
(1)利用点到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；
(2)根据垂径定理和勾股定理，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程．
20.【答案】解：(1)因为 a2=b2+c2-2bccsA ，即 6=b2+c2+12bc ，而 b=2c ，
代入得 6=4c2+c2+c2 ，解得： c=1 ．
(2)由(1)可求出 b=2 ，而 0所以 sinA=1-cs2A=154 ，又 asinA=bsinB ，
所以 sinB=bsinAa=2×1546=104 ．
(3)因为 csA=-14 ，所以 π2又 sinA=1-cs2A=154 ，
所以 sin2A=2sinAcsA=2×-14×154=-158 ， cs2A=2cs2A-1=2×116-1=-78 ，而 sinB=104 ，
所以 csB=1-sin2B=64 ，
故 sin(2A-B)=sin2AcsB-cs2AsinB=-158×64+78×104=108 ．

【解析】本题考查利用余弦定理和正弦定理解三角形，三角恒等变换的综合应用，以及由一个三角函数值求其他三角函数值，属于中档题．
(1)根据余弦定理 a2=b2+c2-2bccsA 以及 b=2c 解方程组即可求出；
(2)由(1)可求出 b=2 ，再根据正弦定理即可解出；
(3)先根据二倍角公式求出 sin2A,cs2A ，再根据两角差的正弦公式即可求出．
21.【答案】解：(1)因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC，
所以PA⊥BC，同理PA⊥AB，
所以▵PAB为直角三角形，
又因为PB= PA2+AB2= 2，BC=1,PC= 3，
所以PB2+BC2=PC2，则▵PBC为直角三角形，故BC⊥PB，
又因为BC⊥PA，PA∩PB=P，
所以BC⊥平面PAB．
(2)由(1)BC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，则BC⊥AB，
以A为原点，AB为x轴，过A且与BC平行的直线为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),B(1,0,0)，
所以AP=(0,0,1),AC=(1,1,0),BC=(0,1,0),PC=(1,1,-1)，
设平面PAC的法向量为m=x1,y1,z1，则m⋅AP=0m⋅AC=0，即z1=0,x1+y1=0,
令x1=1，则y1=-1，所以m=(1,-1,0)，
设平面PBC的法向量为n=x2,y2,z2，则n⋅BC=0n⋅PC=0，即y2=0x2+y2-z2=0,
令x2=1，则z2=1，所以n=(1,0,1)，
所以csm,n=m⋅nmn=1 2× 2=12，
又因为二面角A-PC-B为锐二面角，
所以二面角A-PC-B的大小为π3．

【解析】本题考查了线面垂直的判断，平面与平面所成角的向量求法．
(1)先由线面垂直的性质证得PA⊥BC，再利用勾股定理证得BC⊥PB，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；
(2)结合(1)中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC与平面PBC的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解．
22.【答案】解：(1)法一：连接OA、OB，
因为PO是三棱锥P-ABC的高，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，
所以∠POA=∠POB=90∘，又PA=PB，PO=PO，所以△POA≌△POB，所以OA=OB，
作AB中点D，连接OD、DE，则有OD⊥AB，又AB⊥AC，所以OD/​/AC，
又因为OD⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，所以OD/​/平面PAC，
又D、E分别为AB、PB的中点，所以，在△BPA中，DE/​/PA
又因为DE⊄̸平面PAC，PA⊂平面PAC，所以DE/​/平面PAC，
又OD、DE⊂平面ODE，OD∩DE=D，所以平面ODE/​/平面PAC，
又OE⊂平面ODE，所以OE/​/平面PAC;
法二：(1)连接OA、OB，
因为PO是三棱锥P-ABC的高，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，
所以∠POA=∠POB=90∘，又PA=PB，PO=PO，所以△POA≌△POB，
所以OA=OB，又AB⊥AC，在Rt△ABF，O为BF中点，
延长BO，交AC于F，连接PF，
所以在△PBF中，O、E分别为BF、PB的中点，所以EO//PF，
因为EO⊄平面PAC，PF⊂平面PAC，所以EO//平面PAC;
(2)法一：过点D作DF//OP，以DB为x轴，DO为y轴，DF为z轴．
建立如图所示的空间直角坐标系．
因为PO=3，PA=5，由(1)OA=OB=4，
又∠ABO=∠CBO=30∘，所以OD=2，DB=2 3，
所以P(0,2,3)，B(2 3,0,0)，A(-2 3,0,0)，E( 3,1,32)，
设AC=a，则C(-2 3,a,0)，
平面AEB的法向量设为n1=(x1,y1,z1)，直线AB的方向向量可设为a=(1,0,0)，
直线DP⊂平面AEB，直线DP的方向向量为b=(0,2,3)
a⋅n1=0b⋅n1=0，所以x1=02y1+3z1=0,
所以x1=0，设y1=3，则z1=-2，所以n1=(0,3,-2);
平面AEC的法向量设为n2=(x2,y2,z2)，AC=(0,a,0)，AE=(3 3,1,32)
AC⋅n2=0AE⋅n2=0，所以ay2=03 3x2+y2+32z2=0，所以y2=0，设x2= 3，则z2=-6，
所以n2=( 3,0,-6);
所以cs=n1·n2|n1|⋅|n2|=12 13× 39=1213 3=4 313，
二面角C-AE-B的平面角为θ，则sinθ= 1-cs2θ=1113，
所以二面角C-AE-B的正弦值为1113
法二：(2)过点A作AF//OP，以AB为x轴，AC为y轴，AF为z轴
建立所示的空间直角坐标系．
因为PO=3，PA=5，由(1)OA=OB=4，
又∠ABO=∠CBO=30°，所以，AB=4 3，所以P(2 3,2,3)，B(4 3,0,0)，
A(0,0,0)，E(3 3,1,32)，设AC=a，则C(0,a,0)，
平面AEB的法向量设为n1=(x1,y1,z1)，AB=(4 3,0,0)，AE=(3 3,1,32)
AB⋅n1=0AE⋅n1=0，所以4 3x1=03 3x1+y1+32z1=0，所以x1=0设z1=-2，则y1=3，
所以n1=(0,3,-2);
平面AEC的法向量设为n2=(x,y,z)，AC=(0,a,0)，AE=(3 3,1,32)
AC⋅n2=0AE⋅n2=0，所以ay2=03 3x2+y2+32z2=0,
所以y2=0，设x2= 3，则z2=-6，所以n2=( 3,0,-6);
所以cs=n1·n2|n1|⋅|n2|=12 13× 39= 1213 3=4 313
二面角C-AE-B的平面角为θ，则sinθ= 1-cs2θ=1113，
所以二面角C-AE-B的正弦值为1113．
【解析】本题考查线面平行与二面角的求解，考查学生的空间想象与计算能力，有一定的难度．