福建省福州市鼓山中学2023-2024学年高一上学期12月适应性训练数学试题（Word版附解析）

这是一份福建省福州市鼓山中学2023-2024学年高一上学期12月适应性训练数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，三象限；，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本大题共8小题，每小题40分．
1. 已知角的顶点是坐标原点，始边与轴非负半轴重合，若终边交单位圆于点，则（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函数的定义计算并判断即可.
【详解】因为角终边交单位圆于点，
所以解得，所以，
所以，，，故选项C正确，选项B、D错误;
因为，所以，故选项A错误.
故选：C.
2. 已知，且，则为（ ）
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
【答案】B
【解析】
【分析】直接由三角函数乘积的符号得到所在的象限，进而得到答案．
【详解】因为，所以的终边可能在第二、三象限；
因为，所以的终边可能在第二、四象限.
要同时满足,，则为第二象限角.
故选：B.
3. 函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.
【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，排除AC；
当时， ，所以，排除D.
故选：B.
4. 设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.
【详解】因为，
，
，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
5. 已知函数的定义域为，则的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得：，解不等式组即可求函数的定义域.
【详解】由题意可得： ，解得：且，
故的定义域是，
故选：D
6. 已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合二次函数知识及题意画出图形，数形结合可得答案．
【详解】结合题意：函数
所以图象是开口向上抛物线,其对称轴方程为，
所以，易知：，
由图可知,要使函数的定义域是，值域为，
则的取值范围是，
故选：B.
7. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.
8. 已知的值域为，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得时的值域，再根据题意，当时，值域最小需满足，分析整理，即可得结果.
【详解】当，，
所以当时，，
因为的值域为R，
所以当时，值域最小需满足
所以，解得，
故选：C
【点睛】本题考查已知函数值域求参数问题，解题要点在于，根据时的值域，可得时的值域，结合一次函数的图像与性质，即可求得结果，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，漏选2分，选错得0分．
9. 下列结论正确的有（ ）
A. 第三象限角
B. 若角的终边在直线上，则
C. 函数的定义域为
D. 已知，且，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据象限角的定义可判断A选项；求出终边在直线上的角的值，可判断B选项；利用正切型函数的定义域可判断C选项；利用同角三角函数的平方关系可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，且是第二象限角，则是第二象限角，A错；
对于B选项，若角的终边在射线上，则，
若角的终边在射线上，则，
因为，
所以，若角的终边在直线上，则，B对；
对于C选项，对于函数，有，
解得，
故函数的定义域为，C对；
对于D选项，已知，且，
则，
但、的大小关系不确定，则，D错.
故选：BC.
10. 下列四个命题中，真命题是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用不等式的性质分别对选项进行验证，即可得到答案.
【详解】对于A选项，当时，，故A错误； 已知，即，左右两边同时平方即可得到，故B正确.；当同号时， ，当异号时，，故C错误； ，故D正确.
故选：BD.
11. 若实数，满足，以下选项中正确的有（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为15D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用基本不等式解决含有条件的最值问题，求解和为定值或乘积为定值.
【详解】对于选项A:因为实数，满足，所以，
即，当且仅当时，即时，取得最大值，故A正确；
对于选项B: 因为实数，满足，
所以，
当且仅当时，即时，取得最小值， 故B错误；
对于选项C: 因为实数，满足，所以，
当且仅当时，即时，又，所以，故C错误；
对于选项D:因为实数，满足，
所以，
则，当且仅当时，即时，取得最小值为，故D正确；
故选：AD.
12. 下列命题中真命题的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 若是偶函数，则的图像关于直线轴对称
C. 若，则的图像关于点中心对称
D. ，使得方程有解的充要条件是
【答案】AD
【解析】
【分析】解不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可判断A；
根据偶函数的图像的特征及函数与函数图像的关系即可判断B；
由，可得，再根据函数与函数图像的关系即可判断C；
根据方程有解，求得的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可判断D.
【详解】解：对于A，由，得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；
对于B，若是偶函数，则的图像关于轴对称，的图像是由函数向右平移1个单位得到的，所以函数的图像关于直线轴对称，故B错误；
对于C，若，所以，令，则，所以函数关于原点对称，
又是由函数向右平移1个单位得到的，所以函数的图像关于点中心对称，故C错误；
对于D，，使得方程有解，
当时，不成立，舍去，
当时，即，则，所以，
综上所述，所以，使得方程有解的充要条件是，故D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为____．
【答案】2
【解析】
【详解】试题分析：由题意可得：．
考点：扇形的面积公式．
14. 下列命题中为真命题的是________.（填写序号）
①若，则；②若，则；③若且，则；④若且.则
【答案】②③④
【解析】
【分析】逐一分析，对①取值即可,根据不等式的性质可知③，然后利用作差可知②④，最后可得结果.
【详解】对①，当时，不符合，故错；
对②，，由，所以，，故对；
对③由，所以，所以，又，所以，故对；
对④，，因为，所以，所以，故对；
故答案为：②③④
15. 设函数，若，则________．
【答案】2024
【解析】
【分析】构造新函数，利用新函数的奇偶性进行求解即可.
【详解】函数的定义域为，令，，
则，所以为奇函数，
又，所以，
所以．
故答案为：2024
16. 已知函数若，是互不相同的正数，且，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】画出函数图象，运用对数函数的图象，结合对数运算性质，可得，由二次函数的性质可得，运用基本不等式和二次函数的性质，即可得到所求范围．
【详解】先画出函数的图象，如图所示：
因为互不相同，不妨设，且，
而，即有，可得，则，
由，且，可得，
且，
当时，，此时，但此时b，c相等，
故的范围为．
故答案为．
【点睛】本题考查了利用函数图象分析解决问题的能力，以及对数函数图象的特点，注意体会数形结合思想在本题中的运用．
四、解答题：本题共6小题，第17题共10分，第18-22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先分别求出，然后根据集合的并集的概念求解出的结果；
（2）根据，进而先讨论的情况，再讨论的情况，进而得答案；
【小问1详解】
解：当时，，
∴；
【小问2详解】
解：因为，
所以，当时， ，解得，满足；
当时，若满足，则，该不等式无解；
综上，若，实数的取值范围是
18. 已知是第三象限角，且
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】18.
19.
【解析】
【分析】（1）借助诱导公式和同角三角函数的基本关系化简即可;
（2）构造齐次式，将弦化切，代入计算即可
【小问1详解】
由题意可得：
即，是第三象限角，.
【小问2详解】
结合（1）问可得：，
是第三象限角,，
.
19. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值．
【答案】（1）单调递增区间为；单调递减区间为；
（2）最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】（1）解不等式可得出函数的单调递增区间，解不等式可得出函数的单调递减区间；
（2）由可求得的取值范围，利用余弦型函数的基本性质可求得函数在区间上的最小值和最大值.
【小问1详解】
解：因为，
令，，得，，
令，，得，，
故函数的递调递增区间为；单调递减区间为.
【小问2详解】
解：当时，，
当时，函数取最小值，即，
当时，函数取最大值，即.
因此，函数在区间上的最小值为，最大值为.
20. 已知函数.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明在其定义域上的单调性.
【答案】（1）详见解答；（2）详见解答.
【解析】
【分析】（1）求出判断与的关系，即可得出结论；
（2）将分离常数，任取，用作差法比较大小，即可得出结论.
【详解】（1）的定义域为实数集，
，
所以是奇函数；
（2），设，
，
，
所以在实数集上增函数.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的证明，意在考查逻辑推理能力，属于基础题.
21. 某科研团队对某一生物生长规律进行研究,发现其生长蔓延的速度越来越快.开始在某水域投放一定面积的该生物,经过2个月其覆盖面积为18平方米,经过3个月其覆盖面积达到27平方米.该生物覆盖面积(单位：平方米)与经过时间个月的关系有两个函数模型与可供选择.
（1）试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的函数解析式;
（2）问约经过几个月,该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍(参考数据:)
【答案】（1）答案见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）因为函数中,随的增长而增长的速度越来越快,而函数中,随的增长而增长的速度越来越慢,根据已知条件应选更合适,结合已知,即可求得该模型的函数解析式;
（2）由（Ⅰ）知,当时,,所以原先投放的此生物的面积为8平方米,设经过个月该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍,则有,即可求得答案.
【详解】（1） 函数中,随的增长而增长的速度越来越快,
而函数中,随的增长而增长的速度越来越慢,
根据已知条件应选更合适
由已知得,解得
函数解析式为
（2）由（1）知,当时,,所以原先投放的此生物的面积为8平方米;
设经过个月该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍,
有
解得
约经过个月,该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍.
【点睛】本题考查了求解模型解析式和求解指数方程,解题关键是掌握函数的基础知识解题关键,考查了分析能力和计算能力.
22. 已知函数对任意实数恒有，且当时，，又．
（1）判断的奇偶性；
（2）判断在上的单调性，并证明你的结论；
（3）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）为奇函数；
（2）在上的单调递减，证明见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）通过特殊值以及函数的奇偶性的定义判断即可；
（2）判断函数的单调性，利用单调性的定义证明即可；
（3）结合已知利用函数的单调性化简不等式，分离参数，转化为最值求解即可．
【小问1详解】
结合题意：由函数的定义域为,且，
取，则，即，
取，则，所以，
所以为奇函数.
【小问2详解】
任取,且，则，
令，则，
因为为奇函数，所以，
因为当时，，所以，
即，所以在上的单调递减.
【小问3详解】
由，得，
因为，所以，
因为在上的单调递减，所以，
即时，恒成立，
等价于对任意时，恒成立，
令，则，
所以，
要使，都有恒成立，只需即可,
故实数的取值范围.
【点睛】关键点睛：解题关键是利用,进行恰当的赋值,转化为函数的单调性与奇偶性问题,最后一问主要是借助单调性,并进行分参，将恒成立问题转化为最值问题.