第10讲：中考复习抛物线与最值问题综合(讲义+课后巩固+课后测+答案）

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模块1：抛物线与最短路径问题
模块2：抛物线与阿氏圆问题
模块3：抛物线与胡不归问题
【重要考点讲解】
模块1：抛物线与最短路径问题
【典例精讲】
例题1．（2023•宁夏改编）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值；
例题2．（2023•张家界改编）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点和点两点，与轴交于点．点为线段上的一动点．求周长的最小值．
例题3．（2022•桂林改编）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，长为1的线段（点位于点的上方）在轴上方的抛物线对称轴上运动．求的最小值．
例题4．（2023•金昌改编）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值．
例题5．（2022•淮安改编）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点．点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长．
模块2：抛物线与阿氏圆问题
例题6．（2023•烟台改编）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．
例题7．（2018•柳州改编）如图，抛物线与轴交于，，两点，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．
例题8．（2021•宜宾改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点，抛物线的顶点坐标为，连结、、．以为圆心，为半径作，在上是否存在点，使得的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
模块3：抛物线与胡不归问题
例题9．（2020•乐山改编）已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，如图所示．设是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连接、，求的面积的最大值；
②连接，求的最小值．
例题10．（2022•宜宾改编）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为点．在抛物线的对称轴上取一点，点为抛物线上一点，将点向下平移5个单位得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．
例题11．（2020•自贡改编）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，交轴于点，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点．如图1，连接，点是线段上方抛物线上一动点，于点，过点作轴于点，交于点．点是轴上一动点，当取最大值时：
①求的最小值；
②如图2，点为轴上一动点，请直接写出的最小值．
例题12．（2019•张家界改编）已知抛物线过点，两点，与轴交于点．若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
第10讲：抛物线与最值问题综合课后巩固
1．（2021•烟台改编）如图，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点， 点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点的坐标及的最小值；
2．（2018•南宁改编）如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，三点，点在轴上，，过点作轴交抛物线于点，点，分别是线段，上的动点，且，连接，，．试求出的最小值．
3．（2023•湖北改编）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．点为第一象限抛物线上的点，连接，，，．如图，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点，分别为的边，上的动点，且，记的最小值为．
①求的值；
②设的面积为，若，请直接写出的取值范围．
4．（2019•绵阳改编）如图，抛物线与轴交于点、，点为抛物线上一点．若点为轴上任意一点，求的最小值．
5．（2020•达州改编）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，过、两点的抛物线与轴交于另一点．点为直线下方抛物线上一点，点为轴上一点，当的面积最大时，求的最小值．
6．（2021•资阳改编）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，．如图，点是抛物线的顶点，将抛物线沿方向平移，使点落在点处，且，点是平移后所得抛物线上位于左侧的一点，轴交直线于点，连结．当的值最小时，求的长．
7．（2021•张家界）如图，已知二次函数的图象与轴交于原点及点．顶点为，若点为上的动点，且的半径为，一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段匀速运动到点，再以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动到点后停止运动，求点的运动时间的最小值．