第1讲：中考复习抛物线图象与性质综合(讲义+课后巩固+课后测+答案）

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模块1：二次函数的图象和性质
模块2：系数和二次函数图象的关系
模块3：二次函数最值讨论
模块4：二次函数图象变换
模块5：二次函数新定义问题
【重要考点讲解】
模块1：二次函数的图象和性质
【知识精讲】
【典例精讲】
例题1．（1）（2023•兰州）已知二次函数，下列说法正确的是
A．对称轴为直线B．顶点坐标为
C．函数的最大值是D．函数的最小值是
（2）（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数为常数）的图象经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有
A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值
（3）（2023•杭州）设二次函数，，是实数），则
A．当时，函数的最小值为
B．当时，函数的最小值为
C．当时，函数的最小值为
D．当时，函数的最小值为
（4）（2023•广东）如图，抛物线经过正方形的三个顶点，，，点在轴上，则的值为
A．B．C．D．
例题2．（1）（2022•株洲）已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为
A．B．C．D．
（2）（2021•江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是
A．B．C．D．
（3）（2021•深圳）二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A．B．C．D．
例题3．（1）（2021•常州）已知二次函数，当时，随增大而增大，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
（2）（2014•三明）已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
（3）（2022•陕西）已知二次函数的自变量，，对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是
A．B．C．D．
（4）（2023•福建）已知抛物线经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ．
（5）（2022•南充）已知点，，，在抛物线上，当且时，都有，则的取值范围为
A．B．C．D．
例题4．（2023•北京）在平面直角坐标系中，，，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为．
（1）若对于，，有，求的值；
（2）若对于，，都有，求的取值范围．
模块2：系数和二次函数图象的关系
【知识精讲】
【典例精讲】
例题5．（1）（2023•达州）如图，抛物线，，为常数）关于直线对称．下列五个结论：
①；②；③；④；⑤．其中正确的有
A．4个B．3个C．2个D．1个
（2）（2022•日照）已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列结论：①；②若点，，是抛物线上的两点，则；③；④若，则．其中正确的有
A．1个B．2个
C．3个D．4个
（3）（2023•枣庄）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程必有一个根大于2且小于3；③若，，是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确结论的个数是
A．5B．4C．3D．2
（4）（2016•达州）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：
①
②
③
④
⑤．
其中含所有正确结论的选项是
A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤
模块3：二次函数最值讨论
【知识精讲】
【典例精讲】
例题6．（1）（2023•大连）已知二次函数，当时，函数的最大值为
A．B．C．0D．2
（2）（2022•长春）已知二次函数，当时，函数值的最小值为1，则的值为 ．
（3）（2022•衢州）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为
A．或4B．或C．或4D．或4
（4）（2016•浙江）二次函数，当且时，的最小值为，最大值为，则的值为
A．B．2C．D．
（5）（2018•泸州）已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而增大，且时，的最大值为9，则的值为
A．1或B．或C．D．1
例题7．（1）（2017•乐山）已知二次函数为常数），当时，函数值的最小值为，则的值是
A．B．C．或D．或
（2）（2022•岳阳）已知二次函数为常数，，点，是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是
A．或B．C．或D．
（3）（2014•舟山）当时，二次函数有最大值4，则实数的值为
A．B．或C．2或D．2或或
模块4：二次函数图象变换
【知识精讲】
【典例精讲】
例题8．（1）（2023•广西）将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是
A．B．C．D．
（2）（2023•南充）若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是
A．B．C．D．
（3）（2022•玉林）小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法：
①向右平移2个单位长度
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度
④沿轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
（4）（2021•黔东南州）如图，抛物线与轴只有一个公共点，与轴交于点，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为
A．1B．2C．3D．4
（5）（2020•孝感）将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为
A．B．C．D．
（6）（2022•荆州）规定：两个函数，的图象关于轴对称，则称这两个函数互为“函数”．例如：函数与的图象关于轴对称，则这两个函数互为“函数”．若函数为常数）的“函数”图象与轴只有一个交点，则其“函数”的解析式为 ．
（7）（2015•湖州）如图，已知抛物线和都经过原点，顶点分别为，，与轴的另一交点分别为，，如果点与点，点与点都关于原点成中心对称，则称抛物线和为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线和，使四边形恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是 和 ．
例题9．（2022•岳阳）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，作抛物线，使它与抛物线关于原点成中心对称，请直接写出抛物线的解析式；
（3）如图3，将（2）中抛物线向上平移2个单位，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）．
①求点和点的坐标；
②若点，分别为抛物线和抛物线上，之间的动点（点，与点，不重合），试求四边形面积的最大值．
模块5：二次函数新定义问题
【典例精讲】
例题10．（1）（2023•菏泽）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则的取值范围是
A．B．C．D．
（2）（2023•岳阳）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数，为常数，总有两个不同的倍值点，则的取值范围是
A．B．C．D．
（3）（2023•济南）定义：在平面直角坐标系中，对于点，，当点，满足时，称点，是点，的“倍增点”．已知点，有下列结论：
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点是点的“倍增点”，则点的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点是点的“倍增点”，则的最小值是；
其中，正确结论的个数是
A．1B．2C．3D．4
例题11．（2023•南通）定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”．
（1）函数的图象上是否存在点的“级变换点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（2）点与其“级变换点” 分别在直线，上，在，上分别取点，，，．若，求证：；
（3）关于的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求的取值范围．
第1讲：抛物线图象与性质综合课后巩固
1．（2023•贵州）已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2021•东营）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A．B．C．D．
3．（2019•湖州）已知，是非零实数，，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象不可能是
A．B．C．D．
4．（2020•南京）下列关于二次函数为常数）的结论：①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，随的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图象上．其中所有正确结论的序号是 ．
5．（2021•长春）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点、在线段上，分别过点、作轴的垂线交抛物线于、两点．当四边形为正方形时，线段的长为 ．
6．（2015•常州）已知二次函数，当时，随的增大而增大，而的取值范围是
A．B．C．D．
7．（2022•宁波）点，都在二次函数的图象上．若，则的取值范围为
A．B．C．D．
8．（2020•福建）已知，，，是抛物线上的点，下列命题正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
9．（2019•福建）若二次函数的图象经过、、、，、，则、、的大小关系是
A．B．C．D．
10．（2022•贺州）已知二次函数在时，取得的最大值为15，则的值为
A．1B．2C．3D．4
11．（2018•黄冈）当时，函数的最小值为1，则的值为
A．B．2C．0或2D．或2
12．已知关于的二次函数，当时，随的增大而增大，且时，的最大值为10，则的值为
A．B．3C．D．
13．已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法项正确的是
A．若，函数有最大值5B．若，函数有最小值5
C．若，函数有最小值1D．若，函数无最大值
14．当时，二次函数有最大值6，则实数的值为 ．
15．（2023•西藏）将抛物线平移后，得到抛物线的解析式为，则平移的方向和距离是
A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
16．（2022•黔东南州）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ．
17．（2021•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为
A．B．C．D．
18．（2019•牡丹江）将抛物线沿轴翻折后，再向右平移2个单位长度，此时抛物线与轴交点坐标是 ．
19．（2017•盐城）如图，将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是
A．B．
C．D．
20．（2021•岳阳）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是
A．4，B．，C．4，0D．，
21．（2021•雅安）定义：，，若函数，，则该函数的最大值为
A．0B．2C．3D．4
22．（2021•济南）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是
A．B．C．D．
定义
形如的函数．
解析式
①一般式：；
= 2 \* GB3 ②顶点式：或；
= 3 \* GB3 ③交点式：，其中是方程的两实根．
开口情况
，开口向上
，开口向下
图像
对称轴
①直接运用公式求解：；
②配方法：将一般式化为顶点式，则对称轴为直线；
= 3 \* GB3 ③，、是关于对称轴对称的两点横坐标．
顶点坐标
①直接运用顶点公式求解；
②配方法：将一般式化为顶点式，则顶点坐标；
= 3 \* GB3 ③将对称轴代入函数解析式求得对应的，则顶点坐标为．
增减性
对称轴左侧，随的增大而减小；
对称轴右侧，随的增大而增大．
对称轴左侧，随的增大而增大；
对称轴右侧，随的增大而减小．
最值
当时，有最小值．
当时，有最大值．
系数和二次函数图像的关系
①的符号：，开口向上，，开口向下；
②的大小：越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大；相等，则其开口大小相同．
= 3 \* GB3 ③的值：当时，抛物线的对称轴为轴；当、同号时，对称轴在轴的左侧；
当、异号时，对称轴在轴的右侧．简称“左同右异” ．
④的值：当时，抛物线与轴的交点为原点；当时，交点在轴的正半轴；
当时，交点在轴的负半轴．
⑤的值：，抛物线与轴有个交点；，抛物线与轴有个交点；，抛物线与没有交点．
⑥的符号对称轴与比较；的符号对称轴与比较；
的符号的函数值符号；的符号的函数值符号．
二次函数最值问题处理策略
对于二次函数（表示的最大值，表示的最小值）
（1）若自变量的取值范围为全体实数，如图1，函数在顶点处时，取到最值．
（2）若，如图2，当，；当，．
（3）若，如图3，当，；当，．
（4）若，且，，如图4，当，；当，．
（5）若，且，，如图5，当，；当，．
二次函数图象的平移变换
上、下平移
二次函数的图象向上（或下）平移个单位得到（或）．
二次函数的图象向上（或下）平移个单位得到（或）．
右、左平移
二次函数的图像向左（或右）平移个单位得（或）．
二次函数的图像向左（或右）平移个单位得的解析式是（或）．
总结
在原有的函数基础上，“左加右减，上加下减”
二次函数图象的对称变换
关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
关于点对称
关于点对称后，得到的解析式是．
总结
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变，求抛物线对称抛物线的表达式时，可以根据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）顶点坐标及开口的方向，再确定顶点的坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．