第4讲：中考复习抛物线与交点问题(讲义+课后巩固+课后测+答案）

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模块1：抛物线与直线的交点问题
模块2：抛物线与线段的交点问题
模块3：抛物线交点综合问题
【重要考点讲解】
模块1：抛物线与直线的交点问题
【知识精讲】
【典例精讲】
题型1：抛物线与轴的交点问题
例题1．（1）（2023•郴州）已知抛物线与轴有且只有一个交点，则 ．
【解答】解：抛物线与轴有且只有一个交点，
方程有唯一解．
即△，
解得：．
故答案为：9．
（2）（2023•泰州）二次函数的图象与轴有一个交点在轴右侧，则的值可以是 （填一个值即可）
【解答】解：设二次函数的图象与轴交点的横坐标为、，
即二元一次方程的根为、，
由根与系数的关系得：，，
二次函数的图象与轴有一个交点在轴右侧，
，为异号，
，
故答案为：（答案不唯一）．
（3）（2022•大庆）已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数的值为 ．
【解答】解：当时，，与坐标轴只有一个交点，不符合题意．
当时，函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，
①过坐标原点，，，
②与、轴各一个交点，
△，，
，
解得（舍去）或，
综上所述：的值为1或．
（4）（2022•福建）已知抛物线与轴交于，两点，抛物线与轴交于，两点，其中．若，则的值为 ．
【解答】方法1、解：针对于抛物线，
令，则，
，
针对于抛物线，
令，则，
，
抛物线，
抛物线的顶点坐标为，
抛物线，
抛物线的顶点坐标为，
抛物线与抛物线的开口大小一样，与轴相交于同一点，顶点到轴的距离相等，
，
，
抛物线与轴的交点在左侧，在右侧，抛物线与轴的交点在左侧，在右侧，
，，，，，，，，
，，
，
，
故答案为：8．
方法2、，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
抛物线的图象可由的图象向右平移两个单位得到，
，
，
两函数的图象如图所示：
由平移得，，
，，
，
，
点，关于直线对称，
，
点在抛物线上，
，
，
故答案为：8．
题型2：抛物线与轴的交点问题
例题2．（1）（2020•娄底）二次函数与轴的两个交点的横坐标分别为和，且，下列结论正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：二次函数与轴交点的横坐标为、，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数的图象，如图所示．
观察图象，可知：．
故选：．
（2）（2021•铜仁市）已知抛物线与轴有两个交点，，抛物线与轴的一个交点是，则的值是
A．5B．C．5或1D．或
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，
当点平移后的对应点为，则；
当点平移后的对应点为，则，
即的值为5或1．
故选：．
（3）（2021•泸州）直线过点且与轴垂直，若二次函数（其中是自变量）的图象与直线有两个不同的交点，且其对称轴在轴右侧，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：直线过点且与轴垂直，
直线为：，
二次函数的图象与直线有两个不同的交点，
，
整理得：，
△，
，
又二次函数对称轴在轴右侧，
，
，
，
故选：．
（4）（2020•长春）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为 ．
【解答】解：点的坐标为，点的坐标为，
，
抛物线、为常数）与线段交于、两点，且，
设点的坐标为，则点的坐标为，，
，
解得，．
（5）（2022•荆门）如图，函数的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线为常数）相交于三个不同的点，，，，，．设，则的取值范围是 ．
【解答】解：由二次函数可知：图象开口向上，对称轴为，
当时函数有最小值为2，，
由一次函数可知当时有最大值3，当时，
直线为常数）相交于三个不同的点，，，，，，
，，
，
，
．
故答案为：．
题型3：抛物线与的交点问题
例题3．（1）（2021•铜仁市）已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为
A．0个B．1个C．2个D．1个或2个
【解答】解：直线过一、二、三象限．
．
联立直线与抛物线组成方程组得：
．
．
．
△
．
△．
直线与抛物线的交点个数为2个．
故选：．
（2）（2023•岳阳）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数，为常数，总有两个不同的倍值点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：将代入二次函数，得，整理得．
是关于的一元二次方程，总有两个不同的实根，
△．
令
，
△，
即△，解得．
故选：．
（3）（2021•广元）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，的值为
A．或B．或C．或D．或
【解答】解：二次函数解析式为，
抛物线的顶点坐标为，
当时，，解得，，
则抛物线与轴的交点为，，
把抛物线图象轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标，
如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，
，解得；
当直线与抛物线相切时，直线与该新图象恰好有三个公共点，
即有相等的实数解，整理得，△，解得，
所以的值为或，
故选：．
（4）（2018•兰州）如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与轴交于点、，若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：抛物线与轴交于点、
，
抛物线向左平移4个单位长度
平移后解析式
当直线过点，有2个交点
当直线与抛物线相切时，有2个交点
相切
△
如图
若直线与、共有3个不同的交点，
故选：．
模块2：抛物线与线段的交点问题
【知识精讲】
【典例精讲】
题型3：抛物线与线段交点问题
例题4．（1）（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为和，抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是 ．
【解答】解：抛物线的对称轴为：，
当时，，
抛物线与轴的交点坐标为，顶点坐标为，直线的表达式，
当时，且抛物线过点时，
，
解得：（不符合题意，舍去），
当抛物线经过点时，
，
解得：（不符合题意，舍去），
当且抛物线的顶点在线段上时，
，
解得：，
当时，且抛物线过点时，
，
解得：，
当抛物线经过点时，
，
解得：（舍去），
综上，的取值范围为或，
故答案为：或．
（2）（2023•青秀三中期中）如图，抛物线与轴交于，两点，线段，端点坐标为，，，，若抛物线与两条线段和总共有且仅有一个交点，则的取值范围为 ．
【解答】解：或．
例题5．（2022•广西改编）已知，两点，将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，若抛物线与线段只有一个交点，请直接写出的取值范围．
【解答】解：可得，，
当时，
，
抛物线的顶点为：，
当时，只有一个公共点，
，
当时，，
，
，
或，
当时，
，
，
综上所述：或或．
例题6．（1）（2018•湖州）在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是
A．或B．
C．或D．或
解答】解：抛物线的解析式为．
观察图象可知当时，时，时，且，满足条件，可得；
当时，时，，且抛物线与直线有交点，且满足条件，
，
直线的解析式为，
由，消去得到，，
△，
，
满足条件，
综上所述，满足条件的的值为或，
故选：．
（2）（2018•乐山）二次函数的图象与一次函数的图象有且仅有一个交点，则实数的取值范围是
A．B．
C．或D．或
【解答】解：由题意可知：方程在上只有一个解，
即在上只有一个解，
当△时，
即
当时，
此时，不满足题意，
当时，
此时，满足题意，
当△时，
令，
令，，
令，
解得：，
当时，此时或3，满足题意；
当时，此时或，不满足题意，
综上所述，或，
故选：．
模块3：抛物线交点综合问题
【典例精讲】
例题7．（2021•河南改编）如图，抛物线与直线相交于点和点．点是直线上的一个动点，将点向左平移3个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．
【解答】解：当点在线段上时，线段与抛物线只有一个公共点，
，的距离为3，而、的水平距离是3，故此时只有一个交点，即；
当点在点的左侧时，线段与抛物线没有公共点；
当点在点的右侧时，当时，抛物线和交于抛物线的顶点，即时，线段与抛物线只有一个公共点，
综上所述，或．
例题8．（2023•三美西附3月份联考）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过点，，点是直线上的动点，过点作轴，垂足为，交抛物线于点．将点向右平移5个单位长度得到点，当线段与抛物线只有一个交点时，求点横坐标的取值范围．
【解答】解：，
抛物线的顶点，，
点横坐标，
，则，
如图1，当经过抛物线的顶点时，
，
解得，
此时线段与抛物线有一个交点；
如图2，当点与点重合时，
，
解得，
当点与点重合时，，
时，此时线段与抛物线有一个交点；
综上所述：或时，此时线段与抛物线有一个交点，
例题9．（2023•南宁一模改编）如图，已知抛物线．将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到新的抛物线，点为抛物线与的交点．设点到轴的距离为，求关于的函数关系式，并直接写出当随的增大而减小时，的取值范围．
【解答】解：由题意知，新抛物线的顶点为，
．
当时，，
化简得：．
又，
．
．
当时，
解得；，
，
抛物线开口向下．
当时，，．
当时，，．
综上所述（或．
当时，随的增大而减小．
第4讲：抛物线与交点问题课后巩固
1．（2022•潍坊）抛物线与轴只有一个公共点，则的值为
A．B．C．D．4
【解答】解：抛物线与轴只有一个公共点，
方程有两个相等的实数根，
△，
．
故选：．
2．（2022•无锡）把二次函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么应满足条件： ．
【解答】解：把二次函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，
平移后的解析式为：，
平移后的解析式为：，
对称轴为直线，
平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
△，
，
故答案为：．
3．（2021•淄博）对于任意实数，抛物线与轴都有公共点，则的取值范围是 ．
【解答】解：对于任意实数，抛物线与轴都有交点，
△，则，
整理得，
，
的最小值为，
，
故答案为．
4．（2023•河北）已知二次函数和是常数）的图象与轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为
A．2B．C．4D．
【解答】解：令，则和，
或或或，
这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，
若，则，
，
若时，则，
．
抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，
这两个函数图象对称轴之间的距离．
故选：．
5．（2019•淄博）将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：，
将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的函数解析式为，即，
将代入，得，即，
由题意，得△，解得．
故选：．
6．（2014•济宁）“如果二次函数的图象与轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若、是关于的方程的两根，且，则、、、的大小关系是
A．B．C．D．
【解答】解：依题意，画出函数的图象，如图所示．
函数图象为抛物线，开口向上，与轴两个交点的横坐标分别为，．
方程
转化为，
方程的两根是抛物线与直线的两个交点．
由，可知对称轴左侧交点横坐标为，右侧为．
由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，随增大而减少，则有；在对称轴右侧，随增大而增大，则有．
综上所述，可知．
故选：．
7．（2023•广西八大校5月份联考）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小腾同学画出了“鹊桥”函数的图象如图所示，并给出下列五个结论：①图象与轴的交点为和；②当或时，函数值随的增大而增大；③当时，函数有最大值4；④若函数图象与直线有4个公共点，则的取值范围是，其中正确结论的个数是
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：①点，都满足函数，
图象与轴的交点为和，故①正确；
②根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值随值的增大而增大，故②正确；
③由图象可知，当时，函数值随的减小而增大，当时，函数值随的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当时的函数值4并非最大值，故③错误．
④由图象可知，函数与直线有4个公共点，则的取值范围是，故④正确．
故选：．
8．（2022•湘西州）已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是 ．
【解答】解：如图，当时，，解得，，则，，
将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方的部分图象的解析式为，
即，
当直线经过点时，，解得；
当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数解，解得，
所以当直线与新图象有4个交点时，的取值范围为．
故答案为：．
9．（2020•梧州）二次函数的图象与轴有两个公共点，取满足条件的最小整数，将图象在轴上方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线与新图象恰有三个公共点时，则的值不可能是
A．B．C．1D．2
【解答】解：二次函数的图象与轴有两个公共点，
则△且，
当△时，解得，
取满足条件的最小整数，而，
故，
当时，，
设原抛物线交轴于点、，交轴于点，将图象在轴上方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象，如图所示，
对于，令，则，解得或2，令，则，
故点、、的坐标分别为、、，
由直线知，该直线过点，
①当时，
直线与新图象恰有三个公共点时，
则此时直线过点、，
将点的坐标代入得：，
解得；
②当时，
直线与新图象恰有三个公共点时，
则此时直线过、点或直线与只有一个交点，
当直线过点、时，
将点的坐标代入直线表达式得：，
解得，
当直线与只有一个交点时，
联立直线和抛物线的表达式得：，即，
则△，
解得，
综上，或或，
故选：．
10．（2019•贵阳）在平面直角坐标系内，已知点，点都在直线上，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是
A．B．C．或D．
【解答】解：抛物线与线段有两个不同的交点，
令，则
△
①当时，
此时函数的对称轴在轴左侧，
当抛物线过点时，为两个函数有两个交点的临界点，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得，
故
②当时，
此时函数的对称轴在轴右侧，
当抛物线过点时，为两个函数有两个交点的临界点，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得，
即：
综上所述：或
故选：．
11．（2023•济南改编）在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．抛物线与轴交于点和点．若抛物线与正方形恰有两个交点，求的取值范围．
【解答】解：将代入 得，
，
顶点坐标为，
①当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，
，
解得，
②当抛物线与直线交点在点上方，且与直线交点在点下方时，与正方形有两个交点，
，
解得
综上所述，的取值范围为 或．
12．（2023•南宁二中3月份月考）如图，二次函数的图象交轴于点，两点，交轴于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点为直线下方二次函数图象上一个动点，连接，，求面积的最大值；
（3）点为直线上一个动点，将点向右平移6个单位长度得到点，设点的横坐标为，若线段与二次函数的图象只有一个交点，直接写出的取值范围．
【解答】解：（1）将，代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）当时，，
，
设直线的解析式为：，
将代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为：，
，
．
过点作轴，垂足为，交直线于点，设，如图，
，，
，
，
，，
当时，面积的最大值为8；
（3）若线段与二次函数的图象只有一个交点，则的取值范围或．理由：
①当点在线段上时，
，的距离为6，而，的水平距离是4，
此时只有一个交点，即；
线段与抛物线只有一个公共点；
②当点在点的右侧时，线段与抛物线没有公共点；
③当点在点的左侧时，
，
抛物线的顶点为，
令，
解得：，
，
当时，抛物线和交于抛物线的顶点，
即时，线段与抛物线只有一个公共点，
综上，或．抛物线与直线的交点问题
与轴的交点问题
，抛物线与轴有个交点；
，抛物线与轴有个交点；
，抛物线与没有交点．
与的交点问题
方法1：联立直线方程和抛物线方程，，消去之后转化为一元二次方程解的个数问题；
方法2：数形结合分析，利用直线与抛物线的图像研究交点问题．
与的交点问题
联立直线方程和抛物线方程，，消去之后转化为一元二次方程解的个数问题．
抛物线与线段的交点问题
方法1：转化为二次函数根的分布问题；
方法2：数形结合分析线段端点对应的一次函数值与二次函数值．
注意抛物线的特征：①开口是否确定；②对称轴是否确定；③与坐标轴的交点是否确定．