第7讲：中考复习抛物线与特殊四边形（二）(讲义+课后巩固+课后测+答案）

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模块1：抛物线与矩形
模块2：抛物线与正方形
【重要考点讲解】
模块1：抛物线与矩形
【知识精讲】
【典例精讲】
例题1．（2022•黔东南州改编）如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接．已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：设，，
，，，
①以为对角线时，，
，
解得：，或，
或，
，，
，或，
，或，
点的坐标为或；
②以为边时，或，
或，
解得：或，
或，
，，
，或，，
，或，，
点的坐标为或，
综上所述：存在，点的坐标为或或或．
例题2．（2021•达州改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点．为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：存在，
，，
设，
则，，，
以点，，，为顶点构成的四边形是矩形，
是直角三角形，
若是斜边，则，
即，
解得：，，
的横坐标为或，
若是斜边，则，
即，
解得（与点重合，舍去）或，的横坐标是，
若是斜边，则，
即，
解得（与点重合，舍去）或，
的横坐标为2，
综上的横坐标为，，，2．
例题3．（2023•内蒙古改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和，与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点．设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上确定点，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点的坐标．
【解答】解：设，，
设的中点为，，
点、点的中点为，
，
点在坐标轴上，
或，
当时，此时轴，
四边形是矩形，
，
，
；
当时，点在轴上，如图，
过点作轴交于，
，
，，
，
，
，即，
解得或，
点在直线上方，
，
，
，；
综上所述：点坐标为或，．
例题4．（2022•泸州改编）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点，直线与轴交于点．是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段和直线上是否分别存在点，，使，，，为顶点的四边形是以为一边的矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：存在，
，，，为顶点的四边形是以为一边的矩形有两种情况：
设，
①如图1，过点作轴于，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，即，
解得：（舍，，
；
②如图2，过点作轴于，过点作轴于，
同①可得：，，
，
，
，即，
解得：，（舍，
，；
综上，点的坐标为或，．
模块2：抛物线与正方形
【知识精讲】
【典例精讲】
例题5．（2023•岳阳改编）如图，已知抛物线与轴交于，两点，交轴于点．
在轴上有一点，点在抛物线上，点为坐标平面内一点，是否存在点，使得四边形为正方形？若存在，请求出点，的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：存在点，使得四边形为正方形．
理由：如图1，过点作轴于点，则，
，，
，，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，，
，
当时，，
点在抛物线上，
过点作轴于点，
同理，，
，，
，
．
例题6．（2022•泰安改编）若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与轴的另一交点为．若点在直线上，且在第四象限，过点作轴于点．
①若点在线段上，且，求点的坐标；
②以为对角线作正方形（点在右侧），当点在抛物线上时，求点的坐标．
【解答】解：①如图1中，
设直线的解析式为，
，，
，
解得，
直线的解析式为，
，关于直线对称，
，
设，
轴，
，
，
，
，
，
点，；
②如图2中，连接，交于点．设，则点，
四边形是正方形，
，，，
轴，
，
，
，
，
点在抛物线上，
，
解得，，
点在第四象限，
舍去，
，
点坐标为，．
第7讲：抛物线与特殊四边形（二）课后巩固
1．（2022•黔西南州改编）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与轴交于点．经过原点的抛物线交直线于点，，抛物线的顶点为．是抛物线上一动点，是平面直角坐标系内一点．是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：存在，
①如图2，若是矩形的边，
设抛物线的对称轴与直线交于点，且，
过点，分别作直线的垂线交抛物线于点，，
，，
，
同理得：，，
，
，
点与点重合，
当，时，四边形是矩形，
向右平移1个单位，向上平移1个单位得到，
向右平移1个单位，向上平移1个单位得到，
此时直线的解析式为：，
直线与平行且过点，
直线的解析式为：，
点是直线与抛物线的交点，
，
解得：，（舍，
，
当时，四边形是矩形，
向左平移3个单位，向上平移3个单位得到，
向左平移3个单位，向上平移3个单位得到；
②如图3，若是矩形的对角线，
设
当时，过点作轴于，过点作于，
，，
△△，
，
，
点不与点，重合，
或，
，
，
如图4，满足条件的点有两个，即，，，，
当，时，四边形是矩形，
，向左平移个单位，向下平移个单位得到，
向左平移个单位，向下平移个单位得到，，
当，时，四边形是矩形，
，向右平移个单位，向上平移个单位得到，
向右平移个单位，向上平移个单位得到，；
综上，点的坐标为或或，或，．
2．（2022•随州改编）如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点．为抛物线上一动点，设为抛物线对称轴上一动点，当，运动时，在坐标轴上是否存在点，使四边形为矩形？若存在，直接写出点及其对应点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：存在，理由如下：
如图中，当点在轴上时，四边形是矩形，此时，；
如图中，当四边形是矩形时，设，，则，
由题意，，
消去得，，
解得，
，，，或，，，．
综上所述，满足条件的点，或，，，或，，，．
3．（2019•南充改编）如图，抛物线与轴交于点，点．抛物线上两点，，点的横坐标为，点的横坐标为．点是抛物线上，之间的动点，过点作轴的平行线交于点．
①求的最大值；
②点关于点的对称点为，当为何值时，四边形为矩形．
【解答】解： ①如图2，时，
，
设直线解析式为
解得：
直线
设，
轴
，，
当时，的最大值为4．
②如图3，、关于点对称，
四边形是矩形
，且与互相平分
，为中点
由①得当时，
解得：，
的值为或时，四边形为矩形．
4．（2023•辽宁改编）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．
【解答】解：令，则，
解得或．
．
设直线的解析式为，将，代入，
解得，，
直线的解析式为，
四边形是正方形，
，，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，如图，
，．
△．
，．
设，
，．则，，
点在直线上，
．
解得或，
当时，，，
即点与点重合，点与点重合时，四边形是正方形，此时
当时，，，，
点向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点，
则点向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点，
，，即，．
当沿着点逆时针旋转得到，如图：
设，则点，
点在的图象上，
，则点，
此时点，
点在的图象上，
，
解得或，
，，，，，
当点为点绕点逆时针旋转时，点，
，，
点在的图象上，
，
解得，
，，，，
，，，，
点的坐标为，或，，
综上，点的坐标为或，或，或，．
矩形
题目描述：①已知三个定点，再找一个点，使得四点构成矩形．
②已知两个定点，再找两个点，使得四点构成矩形．
方法1：勾股逆定理
方法2：构造相似
如图：
正方形
题目描述：①已知三个定点，再找一个点，使得四点构成正方形．
②已知两个定点，再找两个点，使得四点构成正方形．
方法：构造三垂直模型