初中人教版26.2 实际问题与反比例函数精品课后复习题

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考查题型一 反比例函数与路程问题
1．（2023·浙江杭州·校考二模）一辆汽车从甲地前往乙地，若以km/h的平均速度行驶，则3h后到达，
(1)该车原路返回时，求平均速度v（）与时间t（h）之间的函数关系式．
(2)已知该车上午8点从乙地出发，
①若需在当天点至点间（含点与点）返回甲地，求平均速度v（）的取值范围．
②若该车最高限速为，能否在当天10点前返回甲地？请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②不能在当天点前返回甲地，理由见解析
【分析】（1）根据路程、速度、时间之间的关系即可解决问题；
（2）①根据题意，结合（1）即可解决问题；
②将，代入，得千米/小时，超速了．进而可以解决问题．
【详解】（1）∵路程＝
∴v关于t的函数表达式为：；
（2）①8点至点时间长为3小时，8点至点时间长为5小时，
将代入，得．
将代入，得．
∴汽车平均速度v（）的取值范围为：；
②不能在当天点前返回甲地．理由如下：
∵8点至点时间长为2小时，
将，代入，
得千米/小时，超速了．
故汽车不会在当天点前返回甲地．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解决本题的关键是掌握路程＝速度×时间．
2．（2023·河北张家口·统考三模）嘉琪驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为600千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．
(1)用含t的代数式表示v；
(2)嘉琪上午8点驾驶小汽车从A地出发，她能否在当天12点前到达B地？说明理由．
【答案】(1)关于的函数表达式为：
(2)嘉琪不能在当天12点前到达地，理由见解析
【分析】（1）根据，且全程速度限定为不超过120千米/小时解答；
（2）代入，计算出千米/小时，超速了，据此解答．
【详解】（1）解：∵，且全程速度限定为不超过120千米/小时，
∴关于的函数表达式为：；
（2）嘉琪不能在当天12点前到达地．
理由如下：
8点至12点时间长为4小时，
将代入，
得千米/小时，超速了．
故嘉琪不能在当天12点前到达地．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
3．（2023·广东广州·统考一模）一辆客车从A地出发前往地，平均速度（千米小时）与所用时间（小时）的函数关系如图所示，其中．
(1)求与的函数关系式及的取值范围；
(2)客车上午8点从A地出发，客车需在当天14点至15点30分（含14点与15点30分）间到达地，求客车行驶速度的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由待定系数法即可得到函数关系式，再由v的取值范围得到t的取值范围；
（2）由题意得到，根据t的取值范围和反比例函数的增减性即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可知与的函数关系是反比例函数，
设与的函数关系式为，
把点代入得，，
解得，，
∴与的函数关系式是，
∵，
∴的取值范围；
（2）由题意得到，
当时，，
当时，，
由图象可知随着的增大而减小，
∴，
即客车行驶速度的取值范围为．
【点睛】此题考查了反比例函数，考查了待定系数法、反比例函数的图象和性质等知识，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
4．（2021·山东临沂·统考一模）汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行时速度不超过千米/小时），根据经验，，的一组对应值如下表；
(1)根据表中的数据，分析说明平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系，并求出其表达式；
(2)汽车上午从甲地出发，能否在上午之前到达乙地？请说明理由．
【答案】(1)平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为
(2)不能，理由见详解
【分析】（1）根据表格中数据，可知是的反比例函数，设，利用待定系数法即可求解；
（2）上午出发，到上午之前，可知时间为小时，根据（1）中的函数关系，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，即每一对与的对应值乘积为一定值，在减小，在增大，
∴与成反比关系，设，
把，代入反比例函数得，，
∴与的表达式为，
∵汽车行时速度不超过千米/小时，
∴，
∴，
∴平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为．
（2）解：∵（小时），
∴（千米/小时），
∵汽车行时速度不超过千米/小时，，
∴不能．
【点睛】本题主要考查反比例函数的实际运用，理解和掌握反比例函数的定义，待定系数法求反比例函数是解题的关键．
考查题型二 反比例函数与压强问题
1．（2023·安徽宿州·统考一模）为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强与气体体积满足反比例函数关系，其图像如图所示．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)当气体体积为60ml时，气体的压强为______kPa．
(3)若注射器内气体的压强不能超过500kPa，则其体积V要控制在什么范围？
【答案】(1)
(2)100
(3)不少于
【分析】(1) 设反比例函数的表达式为，将代入计算即可．
(2)代入解析式计算即可．
(3)代入解析式计算即可．
【详解】（1）设反比例函数的表达式为，
将代入，得，解得，
∴反比例函数的表达式为．
（2）∵，
∴当时，，
故答案为：100．
（3）当时，，
∴为了安全起见，气体的体积应不少于．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
2．（2023·宁夏·统考中考真题）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积（）的反比例函数，其图象如图所示．

(1)当气球内的气压超过时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式，取3）；
(2)请你利用与的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
【答案】(1)气球的半径至少为时，气球不会爆炸；
(2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【分析】（1）设函数关系式为，用待定系数法可得，即可得当时，，从而求出；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【详解】（1）设函数关系式为，
根据图象可得：，
，
当时，，
，
解得：，
，
随的增大而减小，
要使气球不会爆炸，，此时，
气球的半径至少为时，气球不会爆炸；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出反比例函数的解析式．
3．（2023·浙江台州·统考二模）如图1，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示（与长方体A相同重量的长方体均满足此关系）．
(1)求桌面所受压强与受力面积之间的函数表达式；
(2)现将另一长、宽、高分别为0.2m，0.3m，0.2m与长方体A相同重量的长方体B按如图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若桌面所受压强与受力面积之间的关系满足（1）中的函数表达式，且该玻璃桌面能承受的最大压强为，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由．
【答案】(1)
(2)安全，见解析
【分析】（1）用待定系数法可得函数关系式即可；
（2）算出S，即可求出P，比较可得答案．
【详解】（1）解∶ 由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，
故压强P是受力面积S的反比例函数，
设，
将代入得：，
∴．
（2）解∶ 这种摆放方式安全，理由如下：
由图可知，
∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上，，
∵，
∴这种摆放方式安全．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
4．（2023·浙江金华·统考二模）某气球内充满一定质量的气体．通过测量，当温度不变时，该气球内气体的压强p（kPa）和气体体积V（）的几组对应值如下表．
(1)根据表中的数据画出函数图象，并求出压强p（kPa）关于体积V（）的函数表达式．（函数表达式中的数值精确到单位1）
(2)当气体体积为时，气球内气体的压强是多少？
(3)当气球内气体的压强大于180kpa时，气球就会爆炸．请问气体的体积应不小于多少时，气球才不会爆炸．
【答案】(1)画图见解析；；
(2)气球内气体的压强是kPa；
(3)
【分析】（1）根据描点，连线即可画出函数图象；设函数解析式为，把点代入函数解析式求出k值即可；
（2）将代入（1）中的反比例函数解析式即可求出；
（3）由，再利用函数图象可得答案．
【详解】（1）解：如图，先描点，再连线即可；
把代入，
∴；
∴函数关系式为：；
（2）当气体体积为2m3时，气球内气体的压强是（kPa）；
（3）当气球内气体的压强大于180kpa时，气球就会爆炸．即；
∴，
∴，即；
【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，画反比例函数的图象，利用反比例函数的图象解决问题．
考查题型三 反比例函数与药物浓度问题
1．（2023·山东青岛·统考二模）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（h）之间的函数关系如图所示（当时，y与x成反比例）．

(1)根据图象求出血液中药物浓度下降阶段y关于x的函数表达式；
(2)问：血液中药物浓度不低于5微克/毫升的持续时间为多少小时？
【答案】(1)；
(2)6h．
【分析】（1）设出解析式，利用待定系数法求解析式，并写出自变量的取值范围即可；
（2）根据题意得出在两个函数中的自变量的值，即可找出取值范围．
【详解】（1）由题意可知，当时，y与x成反比例关系，设．
由图象可知，当时，
∴
∴
∴下降阶段的函数表达式为
（2）由图象可知，当时，y与x成正比例关系，设．
当时，
∴
解得
∴．
在中，当时，
在中，当时，
观察图象可知，当时，血液中药物浓度不低于5微克/毫升，即持续时间为6h．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．
2．（2023·湖南衡阳·衡阳市第十五中学校考二模）为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例；药物释放完毕后，与成反比例，如图所示，根据图象信息，解决以下问题：

(1)写出从药物释放开始，与之间的两个函数解析式；
(2)当空气中每立方米含药量不低于6毫克且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由．
【答案】(1)
(2)此次消毒有效，理由见解析
【分析】（1）待定系数法先求出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法，求出正比例函数的解析式即可；
（2）求出时对应的两个自变量的值，进而求出含药量不低于6毫克的时间，进行判断即可．
【详解】（1）解：设药物释放完毕后，与的解析式为：，
由图可知：，解得：，
∴，
当时，，
∴，
设药物释放过程中，与的解析式为：，
则：，解得：，
∴；
综上：；
（2）有效，理由如下：
当时，，解得：；，解得：，
∴空气中每立方米含药量不低于6毫克的时间为：；
∵，
∴此次消毒有效．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用．解题的关键是正确的求出函数解析式．
3．（2023·广东佛山·统考三模）为防止病菌滋生，某校定期对教室进行喷雾消毒，某次消毒作业时，喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量是时间的正比例函数，喷雾完成后是的反比例函数（如图）．

(1)当时，求关于的函数解析式；
(2)已知每立方米空气中含药量不低于时，消毒效果最好，求本次消毒每立方米空气中含药量不低于的时长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解：设反比例函数解析式为，根据题意当时，代入即可确定函数解析式；
（2）设正比例函数解析式为，然后利用待定系数法确定正比例函数解析式，分别求出两个函数解析式含药量不低于时，的自变量的范围即可求解．
【详解】（1）解：设反比例函数解析式为
由图可知，当时
代入反比例函数得
当时，；
（2）设正比例函数解析式为
将代入得
当时，，解得
当时，，解得
min
综上所述，时长为．
【点睛】题目主要考查一次函数及反比例函数的综合应用，理解题意，确定两个函数解析式是解题关键．
4．（2021·湖南衡阳·台州市书生中学校考一模）某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系．
(1)_____________；
(2)当时，y与x之间的函数关系式为_____________；
当时，y与x之间的函数关系式为_____________；
(3)如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？
【答案】(1)19
(2)；
(3)135分钟
【分析】（1）利用第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克即可得到第100分钟相应的a值；
（2）分别代入直线和曲线的一般形式，利用待定系数法求得函数的解析式即可；
（3）分别令两个函数值为10求得相应的时间后相减即可得到结果．
【详解】（1）解：a＝0.2×（100﹣5）＝19；
（2）解：当5≤x≤100时，设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b
∵经过点（5，0），（100，19）
∴
解得：，
∴解析式为y＝0.2x﹣1；
当x＞100时，y与x之间的函数关系式为y＝，
∵经过点（100，19），
∴ ＝19
解得：k＝1900，
∴函数的解析式为y＝；
（3）解：令y＝0.2x﹣1＝10解得：x＝55，
令y＝＝10，解得：x＝190
∴190﹣55＝135分钟，
∴服药后能持续135分钟；
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的实际应用，根据已知点得出函数的解析式是解题关键．
考查题型四 反比例函数与电流、电阻问题
1．（2023·辽宁·校联考一模）我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为200欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻R为6欧姆时，电流I为24安培．
(1)求电流I（安培）关于电阻R（欧姆）的函数解析式；
(2)若，求电流I的变化范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设函数解析式为，把时，代入求出值即可得答案；
（2）根据反比例函数性质，把，代入求出的最大值和最小值即可得答案．
【详解】（1）设函数解析式为，
∵当时，，
∴，
解得：，
∴电流（安培）与电阻（欧姆）之间的表达式为．
（2）∵中，，，
∴图像在第一象限，随的增大而减小，
∵，
∴把电阻最小值代入，得到电流的最大值，，
把电阻最大值代入，得到电流的最小值，，
∴电流的变化范围是．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数的性质是解题关键．
2．（2023·河南焦作·统考一模）如图，某种品牌的电动车的蓄电池电压为定值，使用电源时，电流是电阻的反比例函数，其图象经过，两点．
(1)求I与R的函数表达式，并说明比例系数的实际意义；
(2)求m的值，并说明m的实际意义；
(3)如果以蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？
【答案】(1)，见解析
(2)3，m的实际意义为：当电阻R为，电流大小为
(3)该电路的可变电阻控制在不低于
【分析】（1）根据题意设，然后将代入求解记录；
（2）将代入求解即可；
（3）将代入求出R的值，然后结合图象求解即可．
【详解】（1）由于电流是电阻的反比例函数，
设，
∵图象过点，
∴，
∴I与R的函数表达式为；
（2）将代入得，，
∴解得，
∴m的实际意义为：当电阻R为，电流大小为；
（3）∵，
∴当时，，
∴当时，．
∴该电路的限制电流不能超过，那么该电路的可变电阻控制在不低于．
【点睛】此题考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出函数表达式．
3．（2023·辽宁大连·模拟预测）根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压U（单位：）一定时，通过导体的电流I（单位：）与导体的电阻R（单位：）满足关系式，其中I与R满足反比例函数关系，它们的图象如图所示．当时，．
(1)求电压U关于电流I的函数关系式；
(2)若，求电压U的变化范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接把，代入到关系中求出R的值即可得到答案；
（2）求出当时，，当时，，再根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵当时，，
∴，
∴；
（2）解：当时，，当时，，
∵，，
∴随增大而增大，
∴当时，，
∴电压U的变化范围为．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
4．（2023上·广西贵港·九年级统考期中）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示：

(1)求电流I关于电阻R的函数解析式；
(2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，请直接写出该用电器可变电阻R应控制在什么范围？
【答案】(1)；
(2)用电器的可变电阻应大于或等于3.6Ω．
【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设，将点代入函数解析式，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；
（2）将代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．
【详解】（1）设电流I与电阻R之间的函数表达式为,
∵函数图象过点（9，4），
∴，
解得：，
∴电流I与电阻R之间的函数表达式为．
（2）解：∵限制电流不能超过，
∴，
解得：，
∴用电器的可变电阻应大于或等于．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从题干中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
考查题型五 反比例函数与销售利润问题
1．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）某水果店去年2月至5月份销售甲乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与月份x之间存在的反比例函数关系如表所示．
甲种水果进价为3元/千克，销售量P（千克）与x之间满足关系式；乙种水果每月售价与月份x之间满足，对应的图象如图所示．乙种水果进价为元/千克，平均每月销售160千克．

(1)求与x之间的函数关系式；
(2)求与x之间的函数关系式；
(3)若水果店销售水果时需要缴纳元/千克的税费，问该水果店哪个月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)为整数）
(2)，且x为整数）
(3)水果店2月份销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是720元
【分析】（1）根据表中数据，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据图象用待定系数法求函数解析式即可；
（3）根据总利润等于甲乙两种水果利润之和列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设与x之间的函数关系式为 ，
把代入解析式，则 ，
解得，
∴与x之间的函数关系式为为整数）；
（2）解：把代入，得：
，解得 ，
∴与x之间的函数关系式为，且x为整数）；
（3）解：设甲乙两种水果获得的总利润为w，则
，
=
，
对称轴为直线 ．
∵，
∴当时，w随x的增大而减小．
∵x为整数，
∴当时，w有最大值，最大值（元），
答：水果店2月份销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是720元．
【点睛】本题考查反比例函数和二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
2．（2023·广西贺州·统考二模）为了更好助推乡村振兴，今年水果上市期间，某单位驻村工作队立足本地特色，依托“电商+直播+供销大集”等销售模式，在打通为农服务“最后一公里”上主动作为，在村里成立村级供销合作社，以“互联网+电商”助农模式，帮助果农进行销售，该村水果月销售额y（万元）与月份x之间的变化如图所示，在成立村级供销合作社前是反比例函数图象的一部分，成立村级供销合作社后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：

(1)当时，求y与x的关系式，并求出该种水果4月份的销售额；
(2)该村水果有多少个月的月销售额不超过90万元？
【答案】(1)，45万元
(2)该村水果有6个月的月销售额不超过90万元
【分析】（1）用待定系数法求出当时，y与x的关系式，然后令时求出y的值即可得到答案；
（2）先求出当时，y与x的关系式为，然后分别求出当时和当时，月销售额不超过90万元的月份，即可得到答案．
【详解】（1）解：设当时，y与x的关系式为，
把点代入得，
∴，
∴当时，y与x的关系式为，
∴当时，，
∴当时，y与x的关系式为，该种水果4月份的销售额为45万元；
（2）解：设当时，y与x的关系式为，
把点和点代入得，
∴，
∴当时，y与x的关系式为，
当时，令，则，解得，
∴2月、3月和4月销售额不超过90万元；
当时，令，则，解得，
∴5月、6月和7月销售额不超过90万元；
∴该村水果有6个月的月销售额不超过90万元．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，正确理解题意求出函数关系式是解题的关键．
3．（2022上·安徽合肥·九年级期末）小明同学利用寒假天时间贩卖草莓，了解到某品种草莓成本为元/千克，在第x天的销售量与销售单价如下（每天内单价和销售量保持一致）
设第x天的利润w元．
(1)请计算第几天该品种草莓的销售单价为元/千克；
(2)这天中，该同学第几天获得的利润最大？最大利润是多少？【注：利润（售价成本）销售量】
(3)在实际销售的前天中，草莓生产基地为刺激销售,鼓励销售商批发草莓,每多批发1千克就发给元奖励，通过销售记录发现，前8天中，每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大，试求a的取值范围．
【答案】(1)第天或第天该品种草莓的销售单价为元/千克
(2)第天或第天获得的利润最大，最大利润均为元
(3)
【分析】(1)分别在当时，把代入和当时，把代入可得到所求；
(2)分别根据二次函数性质和反比例函数性质，计算当时和当时的最值即可；
(3)列出表示利润的二次函数，根据二次项系数小于0，前8天每天获得奖励后的利润随时间x(天)的增大而增大，据此求得a的取值范围．
【详解】（1）解：当时，把代入，
得，
解得，
当时，把代入，
得，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
答：第天或第天该品种草莓的销售单价为元/千克；
（2）解：当时，，
，
当时，有最大值为元；
当时，，
，当时，随x的增大而减小，
当时，有最大值为元，
答：第天或第天获得的利润最大，最大利润均为元；
（3）解：
，
前8天中，每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大，，
该抛物线的对称轴为直线，
解得，
又，
的取值范围为．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，最值和实际应用，同时也考查了反比例函数的性质，熟练掌握和运用二次函数与反比例函数的性质是解决本题的关键．
4．（2023上·江苏南通·九年级统考期中）柚子含有极为丰富的维生素，胡萝卜素，钙、钾、铁等微量元素，可以预防血栓、糖尿病．某超市从果农处进购柚子的成本价为3元千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元千克）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，该超市每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)当销售单价为10元时，该超市每天的销售利润最大，最大利润是980元
【分析】（1）利用待定系数法分段求出反比例函数和一次函数解析式合起来即可求出整个函数解析式；
（2）设利润为w元，分段表示出利润的表达式，求出各段的利润最大值进行比较即可．
【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为，
把带入中得：，
∴；
当时，设y与x的函数关系式为，
把代入中得，
∴，
∴，
综上所述，；
（2）解：设利润为w元，
当时，，
∵函数中，当时，y随x增大而减小，
∴当最大时，最小，即最大，
∴当时，；
当时，
，
∵，
∴，
∴，
∴当，w有最大值980；
∵，
∴当销售单价为10元时，该超市每天的销售利润最大，最大利润是980元．
【点睛】本题考查了分段函数的实际应用，是反比例和一次函数的综合题，求出分段函数解析式是做出本题的关键．
考查题型六 反比例函数与面积问题
1．（2022·四川乐山·统考中考真题）如图，已知直线1：y=x+4与反比例函数y=(x<0)的图象交于点A(−1，n)，直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)反比例函数的解析式为y=；
(2)图中阴影部分的面积为7．
【分析】（1）先求得点A的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求得直线l′的解析式为y=-x+2，再根据图中阴影部分的面积=S△ABC- S△OCD求解即可．
【详解】（1）解：∵直线1：y=x+4经过点A(-1，n)，∴n=-1+4=3，
∴点A的坐标为(-1，3)，
∵反比例函数y=(x<0)的图象经过点A(-1，3)，
∴k=-1×3=-3，
∴反比例函数的解析式为y=；
（2）解：∵直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称，
∴设直线l′的解析式为y=-x+m，
把A(-1，3)代入得3=1+m，解得m=2，
∴直线l′的解析式为y=-x+2，
直线1：y=x+4与x轴的交点坐标为B(-4，0)，
直线l′：y=-x+2与x轴的交点坐标为C(2，0)，与y轴的交点坐标为D(0，2)，
∴图中阴影部分的面积=S△ABC- S△OCD=×6×3-×2×2=9-2=7．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，反比例函数点的坐标特征，正确地求得反比例函数的解析式是解题的关键．
2．（2022·上海崇明·统考二模）已知在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于点，直线AB垂直于x轴，垂足为点C（点C在原点的右侧），并分别与正比例函数和反比例函数的图象相交于点A、B，且．
(1)求正比例函数和反比例函数的解析式：
(2)求的面积．
【答案】(1)；
(2)3或
【分析】（1）根据正比例函数与反比例函数的图象，先设出函数的解析式，利用待定系数法可求出k1，k2，即可分别得到函数的表达式；
（2）设点，则，根据，可分情况求得A，B，C的坐标，进而根据三角形面积公式求得面积．
【详解】（1）解：设正比例函数解析式为
反比例函数解析式为
∵函数和的图象经过点
将其分别代入两个函数，解得
，
∴正比例函数的表达式为；
反比例函数的表达式为．
（2）解：设点，则根据函数表达式
∵
∴
解得
或
如图1，当时，
∴
如图2，当时，
∴
∴的面积为：3或．
【点睛】本题考查函数的图象与性质，待定系数法求函数表达式，函数与图形面积问题，解分式方程等知识，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键．
3．（2022·山东菏泽·统考二模）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A，经过点A作轴于点B，，点C在线段AB上，．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点P在y轴上，当与的面积相等时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为或
【分析】（1）根据，求出A点坐标，用待定系数法求出k的值，即可求解；
（2）设P点坐标，根据面积相等列出方程，解方程即可．
（1）
解：由，得，
∴
∴点A的坐标为
∴
∴反比例函数的表达式为
（2）
设，则
∴
∴
∴，
设点P的坐标为，则
或
∴或
∴点P的坐标为或
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，设点的坐标，建立方程．
4．（2022·山东淄博·统考二模）如图，已知一次函数y1=kx+b的图像与反比例函数y2=图像交于点A(4，1)和点B(a，−2)．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)当时，直接写出自变量x的取值范围；
(3)如果在x轴上找一点C使△ABC的面积为8，求点C坐标．
【答案】(1)y1=x-1，y2=；
(2)-2＜x＜0或x＞4；
(3)点C的坐标为（，0）或（-，0）．
【分析】（1）把点A（4，1）代入y2=（m≠0），解得m=4，即可求得反比例函数的解析式以及B的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）根据图像即可求得；
（3）根据S△ABC=S△BCD+S△ACD求得CD，进而即可求得D的坐标．
【详解】（1）解：∵反比例函数y2=过点A（4，1），点B(a，−2)，
∴m=4×1=4，
∴反比例函数的解析式为y2=，
∵-2a=4，求得a=-2，
∴B（-2，-2），
把A（4，1），B（-2，-2）代入y1=kx+b（k≠0）得，
解得，
∴一次函数的解析式为y1=x-1；
（2）解：∵一次函数y1=kx+b的图像与反比例函数y2=图像交于点A(4，1)和点B(-2，-2)，
由图像可知，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是-2＜x＜0或x＞4；
（3）解：对于y=x-1，令y=0，则x=2，
∴D（2，0），
由题意得：S△ABC=S△BCD+S△ACD=CD•2+CD•1=8，
∴CD=，
∴点C的坐标为（，0）或（-，0）．
【点睛】本题是一次函数和反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
1．（2022·山东济南·统考中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B．

(1)求a，k的值；
(2)直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．
①求△ABC的面积；
②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．
【答案】(1)，；
(2)①8；②符合条件的点坐标是和．
【分析】（1）将点代入，求出，即可得，将点代入，即可求出k；
（2）①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点，求出，，得到CE，进一步可求出△ABC的面积；②设，．分情况讨论：ⅰ、当四边形为平行四边形时，ⅱ、当四边形为平行四边形时，计算即可．
【详解】（1）解：将点代入，得，，
将点代入，得，
反比例函数的解析式为．
（2）解：①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
②分两种情况：设，．
ⅰ、如图，当四边形为平行四边形时，

∵点向下平移1个单位、向右平移个单位得到点，
∴点向下平移1个单位，向右平移个单位得到点，
∴，，
∴．
ⅱ、如图，当四边形为平行四边形时，

∵点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点，
∴点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点，
∴，，
∴．
综上所述，符合条件的点坐标是和．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质．
2．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点．
(1)点是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；
(2)连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．

【答案】(1)点在这个反比例函数的图像上，理由见解析
(2)①，；②点的坐标为
【分析】（1）设点的坐标为，根据轴对称的性质得到，平分，如图，连接交于，得到，再结合等腰三角形三线合一得到为边上的中线，即，求出，进而求得，于是得到点在这个反比例函数的图像上；
（2）①根据正方形的性质得到，垂直平分，求得，设点的坐标为，得到（负值舍去），求得，，把，代入得，解方程组即可得到结论；②延长交轴于，根据已知条件得到点与点关于轴对称，求得，则点即为符合条件的点，求得直线的解析式为，于是得到结论．
【详解】（1）解：点在这个反比例函数的图像上．
理由如下：
一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，
设点的坐标为，
点关于直线的对称点为点，
，平分，
连接交于，如图所示：

，
轴于，
轴，，
，
，
，
在Rt中，，
，
为边上的中线，即，
，
，
，
点在这个反比例函数的图像上；
（2）解：①四边形为正方形，
，垂直平分，
，
设点的坐标为，
，，
，
（负值舍去），
，，
把，代入得，
；
②延长交轴于，如图所示：

，，
点与点关于轴对称，
，则点即为符合条件的点，
由①知，，，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，即，故当最大时，点的坐标为．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．
3．（2023·山东济南·统考二模）如图，矩形的边在平面直角坐标系中的轴上，矩形对角线交于点，过点M的反比例函数与矩形的边交于点，，直线交x轴于点F．
(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标；
(2)若点P为x轴上一点，当最小时，求出点P的坐标；
(3)若点Q为平面内任意一点，若以点B，E，F，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或或．
【分析】（1）反比例函数过，利用待定系数法可得解析式，再求解E的坐标，结合，可得B的坐标；
（2）如图，作D关于x轴的对称点T，连接交x轴于P，则此时最短，先求解，可得，设为，可得为，从而可得答案；
（3）先求解的解析式为：，可得，而，分三种情况讨论：当为对角线时，则由平移的性质可得：，当为对角线时，则由平移的性质可得：，当为对角线时，则由平移的性质可得：．
【详解】（1）解：∵反比例函数过，
∴，
∴反比例函数；
∵在反比例函数图象上，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
（2）如图，作D关于x轴的对称点T，连接交x轴于P，则此时最短，
∵矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设为，
∴，解得：，
∴为，
当时，，
解得：，
∴．
（3）∵，，
同理可得的解析式为：，
当时，，
∴，而，
当为对角线时，则由平移的性质可得：，
当为对角线时，则由平移的性质可得：，
当为对角线时，则由平移的性质可得：．
综上：或或．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的图象与性质，利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，平移的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
4．（2022上·广东佛山·九年级校联考阶段练习）如图，矩形的面积为8，它的边位于x轴上．双曲线经过点A，与矩形的边交于点E，点B在双曲线上，连接并延长交x轴于点F，点G与点О关于点C对称，连接，．
(1)求k的值；
(2)求的面积；
(3)求证：四边形AFGB为平行四边形．
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析．
【分析】（1）设，，利用点A和点B的纵坐标相等，以及矩形面积为8，即可求出k的值；
（2）求出直线的函数解析式为：，进一步可求出，再求出，，即可求出；
（3）表示出，进一步求出，，利用，，即可证明．
【详解】（1）解：设，，
根据题意可知：，整理可得：．
（2）解：∵，
∴，
∵点E在，且点B和点E的横坐标相等，
∴，即，
设直线的函数解析式为：，将和代入可得：
，解得：，
故直线的函数解析式为：，
令，可得：，
∴，
∵，即，
∴，
∵点C的横坐标和点B的横坐标相等，
∴，
∴．
（3）证明：∵，点G与点О关于点C对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查反比例函数，一次函数的综合，平行四边形的判定，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式以及平行四边形的判定定理，结合图形找出点的坐标之间的联系．（千米/小时）
（小时）
桌面所受压强P（Pa）
100
200
400
500
800
受力面积
2
1
0.5
0.4
0.25
V（m3）

p（kPa）

时间x/月份
2
3
4
5
售价 /（元/千克）
12
8
6
销售量m（千克）
销售单价n（元/千克）
当时，
当时，