江苏省南京市鼓楼区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份江苏省南京市鼓楼区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．一元二次方程x（x﹣3）=0的根是（ ）
A．0B．0或3C．3D．0或-3
2．随机抛掷一枚质地均匀的骰子次，下列事件中概率最大的是（ ）
A．点数为B．点数为C．点数小于D．点数为奇数
3．在“献爱心”捐款活动中，某校九（1）班第3小组11名同学的捐款数如下（单位：元）：
1，1，1，2，2，3，4，5，8，10，80．
这组数据的中位数、众数分别为（ ）
A．3，1B．3，2C．4，1D．4，2
4．如图是二次函数的图象，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
5．如图，P是内一点．若圆的半径为5，，则经过点P的弦的长度不可能为（ ）
A．7B．8C．9D．10
6．如图，将等边三角形纸片折叠，使点落在边上的处，为折痕．若，的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．若，则的值为 ．
8．二次函数y＝x2﹣4x的图象的顶点坐标是 ．
9．若方程的两根分别为m，n，则的值为 ．
10．在某公司的一次招聘中，甲的成绩如下表所示（单位；分）．若将材料、笔试和面试的成绩按的比计算平均成绩，则甲的平均成绩为 分．
11．请写出一个二次函数表达式，使其图象的对称轴为轴： ．
12．如图，四边形内接于，是的直径，，延长到E，连接．若，则 °．
13．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，若底面半径为5，则圆锥母线的长为 ．
14．如图，与相切于点A，B，若的半径为6，，则弦与所围成的图形的面积是 ．
15．已知二次函数的图象经过点，则函数的图象经过的定点坐标为 ．
16．如图，正五边形的对角线恰围成“正五角星”（即阴影部分），其中是黄金三角形（底边与腰的比为的等腰三角形），若的面积为1，则正五角星的面积为 ．
三、解答题
17．解下列方程：
(1)；
(2)，
18．求下列二次函数的表达式：
(1)已知二次函数的图象的顶点为，且经过点；
(2)已知二次函数的图象经过点，，．
19．在不透明的袋子中装有标号为1，2，3，4的4张卡片，它们除标号外无其他差别．摇匀后从中随机抽取2张．
(1)抽到标号为3的卡片的概率为______；
(2)求抽到的2张卡片上的标号是连续整数的概率．
20．一个家具厂有甲、乙两个木材货源．下面是家具厂向两个货源订货后等待交货天数的样本数据（单位：天）：
(1)分别计算向甲、乙订货后等待天数的平均数、方差．
(2)判断家具厂从哪个货源进货比较好？为什么？
21．如图，，是的两条高，它们相交于点F，连接．
(1)求证．
(2)下列结论中，所有正确结论的序号是______．
①；②；③；④．
22．某商店十月份的销售额为40万元，十一月份因经营不善销售额有明显下降，商店积极改进，十二月份的销售额达到45万元，已知十二月份销售额的增长率是十一月份销售额的下降率的2倍．求十一月份的销售额．
23．如图，在方格纸中，线段的端点都是格点．画出它的一个三等分点M．
要求：①用两种不同方法画图；②画图工具仅限无刻度直尺．
（方法1） （方法2）
24．已知直线与抛物线（a为非0常数）．
(1)求证：直线与抛物线总有公共点；
(2)无论x为何值，总有，结合图象，直接写出a的值或取值范围．
25．为了归纳“相似三角形对应线段的比等于相似比”，我们探索过相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比，那么相似三角形的内切圆半径的比呢？已知：如图，，相似比为k，的内切圆与相切于点D，的内切圆与相切于点．求证．
26．如图，在中，直径与弦互相垂直，垂足为E，以为邻边作矩形，其对角线的延长线交于点G．

(1)求证．
(2)若，，
①求的长；
②求的半径．
27．移动到何方？
几位同学在以上“移动”规则下展开如下探索：
从特殊到一般
（1）小英采用“特值验证”的方法解答本题，请补全她的解答：
因为点移动到点，点移动到点______……所以本题答案为______．
（2）小明思考后发现“①平行于x轴的直线移动后仍然是平行于x轴的直线”“②平行于y轴的直线移动后仍然是平行于y轴的直线”，请你从①②中任选其一说明理由．
从经验到实践
（3）什么图形经过移动可以得到选项E中的图形？已知选项E中的曲线为反比例函数的一段图象，在选项E中直接画出满足题意的图形，并用阴影描出其内部．
从图形到图象
（4）小光提出了以下问题，请你仅选其一作答：
①写出两个不同类型的函数表达式，使它的图象上的点经过移动都落在原图象上；
②在坐标系中画出二次函数的图象经过移动所得的大致图象．
应试者
材料
笔试
面试
甲的成绩
80
70
90
甲
乙
问题 如图，有位于坐标系中的一个正方形、如果正方形上的每个点都移动到，那么所得到的结果会是怎样的？
A． B．
C． D． E．
参考答案：
1．B
【详解】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.
解：x=0或x﹣3=0，
所以x1=0，x2=3．
故选B．
2．D
【分析】利用概率公式分别计算即可．
【详解】A、朝上一面的点数为的概率为
B、朝上一面的点数为的概率为
C、朝上一面的点数小于的概率为
D、朝上一面的点数为奇数的概率为
故选：D．
【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
3．A
【分析】本题考查了中位数、众数的定义，利用中位数、众数的定义求解即可．解题的关键是理解有关定义，难度不大．
【详解】解：中位数为第6位同学捐款数：3；众数为1；
故选：A．
4．B
【分析】此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数，的符号由抛物线的开口方向决定，的符号由抛物线与轴交点的位置确定，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】由图象知，抛物线开口向上，则，
抛物线与轴的交点坐标为，在轴正半轴上，
∴，
故选：．
5．A
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是明白：过与垂直的弦是圆的最短的弦，直径是圆的最长的弦．连接，过作弦，此时是过的最短的弦，由垂径定理得到，由勾股定理求出，得到，过的最长的弦是圆的直径是10，于是得到经过点的弦长的取值范围，即可得到答案．
【详解】解：连接，过作弦，此时是过的最短的弦，
，
圆的半径为5，，
，
，
过的最长的弦是圆的直径是10，
经过点的弦的长，
经过点的弦的长度不可能是7．
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，解答时运用相似三角形的性质建立方程求解是关键．由条件可以得出，设，，就有，设，，根据相似三角形的性质就可以表示出、，再根据，就可以求出与的数量关系，从而求出结论．
【详解】解：是等边三角形，
，
由折叠可知：与关于对称，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
7． ．
【分析】根据比例的合比性质变形得：
【详解】∵，
∴
故答案为.
【点睛】本题主要考查了合比性质，对比例的性质的记忆是解题的关键．
8．（2，﹣4）．
【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，确定顶点坐标即可．
【详解】解：∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4
∴抛物线顶点坐标为（2，﹣4）．
故本题答案为：（2，﹣4）．
【点睛】本题考查抛物线解析式与顶点坐标的关系，求顶点坐标可用配方法，也可以用顶点坐标公式．
9．2
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．利用一元二次方程的根与系数的关系求得，的值，并将其代入变形后的代数式求值即可．
【详解】解：方程的两根分别为，，
，，
．
故答案为：2．
10．
【分析】利用加权平均数的计算公式求解即可．本题考查了加权平均数的计算，能够掌握计算公式且准确计算是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可得：
平均成绩（分）．
故答案为：．
11．答案不唯一
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据对称轴为轴可设，即可解答，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
【详解】解：图象的对称轴是轴，
可设函数表达式为，
令，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
12．35
【分析】本题考查了邻补角、同弧或等弧上的圆周角相等的性质，解题的关键是找准同弧或等弧上的圆周角．
根据邻补角与圆周角的相关性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴（邻补角的定义）．
∵，
∴（等弧所对的圆周角相等），
∵（同弧上的圆周角相等），
∴．
故答案为：35．
13．15
【分析】本题主要考查了扇形的面积，圆锥的基础知识，先求出圆锥的底面面积，进而求出圆锥侧面积，然后根据扇形面积即可求出答案．
【详解】∵底面半径为5，
∴圆锥底面面积，
∴圆锥侧面积．
设圆锥母线得长为x，则，
解得．
所以圆锥得母线长为15．
故答案为：15．
14．/
【分析】连接，，过O作于H，求出，从而，利用勾股定理求出，然后分别求出扇形和的面积即可．
【详解】解：如图，
连接，，过O作于H，
∴，
∵，与相切于点A，B，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积，
∵扇形的面积，
∴弦与所围成的图形的面积=扇形的面积的面积
．
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，垂径定理，切线的性质，勾股定理，关键是求出扇形和的面积．
15．，
【分析】本题主要考查了二次函数解析式在平移中的变化规律，当时，，可得二次函数的图象经过定点，由二次函数解析式在平移中的变化规律得将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到，据此即可求解；掌握二次函数解析式在平移中的变化规律：“左加右减，上加下减”是解题的关键．
【详解】解：
，
当时，
，
二次函数的图象经过定点，
将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到，
二次函数的图象经过点，，
∴将，，向右平移1个单位，再向下平移2个单位，
得，．
故答案为：，．
16．/
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，正多边形的性质，设，则，根据多边形内角和定理求出，则可求出得到，进而得到，进一步求出，则正五角星的面积．
【详解】解：设，则，
∵五边形是正五边形，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正五角星的面积，
故答案为：．
17．(1)，；
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
（1）利用公式法进行解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：∵，，，．
∴．
∴，．
（2）解：移项，得：，
∴．
∴．
∴．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式：
（1）设所求函数表达式，把代入，即可求解；
（2）设所求函数表达式为，把代入，即可求解．
【详解】（1）解：设所求函数表达式．
根据题意，当时，．
∴．解得．
∴所求表达式为．
（2）解：设所求函数表达式为．
根据题意，当时，．
∴．
解得．
∴所求表达式为．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
（1）先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽到标号为3的卡片的结果数，然后根据概率公式计算；
（2）找出抽到的2张卡片上的标号是连续整数的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】（1）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽到标号为3的卡片的结果数为6种，
所以抽到标号为3的卡片的概率；
故答案为：；
（2）抽到的2张卡片上的标号是连续整数的结果数为6种，
所以抽到的2张卡片上的标号是连续整数的概率．
20．(1)（天），（天），，；
(2)答案不唯一，见解析．
【分析】（）分别根据算术平均数和方差公式计算即可；
（）答案不唯一，理由合理即可；
本题考查了算术平均数和方差，解题的关键是掌握平均数，方差的意义和计算公式．
【详解】（1）解：（）（天），
（天），
；
（2）解：从甲进货更好．
理由：虽然甲的等待天数平均数略大于乙，但从方差看，甲的等待天数更稳定．
从乙进货更好．
理由：虽然乙等待天数的稳定性不如甲，但乙前的等待天数都比甲的少，说明从乙进货等待天数多数时候比甲更少．
21．(1)详见解析
(2)①②④
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，垂线的定义，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键．
（1）根据，证明，根据相似三角形的性质可得，即可得出，根据即可得出结论；
（2）根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得答案．
【详解】（1）证明：∵，是的高，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）由（1）可知，故①正确，
∵，，
∴，故②正确，
∵没有角相等对应边成比例的条件，
∴无法证明，故③错误，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，故④正确，
∴所有正确结论的序号是①②④，
故答案为：①②④．
22．十一月份的销售额为30万元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设十一月份销售额的下降率为，则十二月份销售额的增长率是．根据“十二月份的销售额达到45万元”，“十月份的销售额为40万元”，列出一元二次方程，解之，即可解决问题．
【详解】解：设十一月份销售额的下降率为x，则十二月份销售额的增长率是．
由题意，得．
解这个方程，得．
当时，．
答：十一月份的销售额为30万元．
23．见解析
【分析】本题主要考查了作图—应用与设计作图、相似三角形的判定和性质．根据相似三角形的判定和性质，即可求解．
【详解】解：如图，点M即为所求．
方法一：

方法二：

方法三：

方法四：

24．(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查二次函数与不等式（组、二次函数图象与系数的关系、一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解答本题的关键．
（1）令，可得，由，可知该一元二次方程总有实数根，即直线与抛物线总有公共点．
（2）由题意可得，抛物线与直线没有交点或只有一个交点，令，可得，则，进而可得答案．
【详解】（1）证明：令，得，
整理得．
，
该一元二次方程总有实数根，
即直线与抛物线总有公共点．
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
令，得，，
抛物线与轴的交点坐标为，．
根据题意画出草图如下：
，抛物线与直线没有交点或只有一个交点，
令，可得，
则，
，
解得．
25．详见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质，角平分线的定义．连接，，，，根据切线的性质可得，，再由相似三角形的性质可得，，，然后三角内切圆的性质可得，，从而得到，再由相似三角形的性质，即可求解．
【详解】证明：连接，，，．
∵的内切圆与相切于点D，
∴．
同理．
∵，相似比为k，
∴，，，
∵为的内切圆，
∴平分，平分，
即，．
同理，．
∴，．
∴．
∵，为对应边上高，
∴．
26．(1)详见解析
(2)①；②的半径为
【分析】（1）连接，设与交于点H．根据矩形的性质和等边三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）①证明，则，由垂径定理得到．可得到．即可得到答案；
②先求出．证明．利用相似三角形的性质即可得到．则，即可得到答案；
【详解】（1）证明：连接，设与交于点H．

∵四边形是矩形，
∴，，，．
∴，．
∴．
又在中，，
∴．
（2）①解：∵，，
∴．
∴．
∵在中，直径，
∴．
∴．
∴．
②解：∵，
∴．
又，
∴在中，．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴，
即的半径为．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质并数形结合是解题的关键．
27．（1）；A；
（2）理由见解析；
（3）见解析
（4）①本题答案不唯一，如，，；
②见解析
【分析】（1）根据所给信息直接求解即可；
（2）①设直线上点任意点，则点P移动到，即移动后的直线为，仍然平行于x轴；
②设直线上点任意点，则点P移动到，即移动后的直线为，仍然平行于y轴；
（3）结合（2）可知反比例函数图象上的点移动后的点仍在反比例函数图象上，再根据所给信息画出图形即可；
（4）①根据移动规则写出符合条件的函数即可；
②设抛物线上除， 任意点的坐标为，则移动后的点的坐标为，整理可知，易知移动后的函数解析式为（，），再根据解析式画出函数大致图象即可．
【详解】解：（1）由题意可知点移动到点；
则平移过后的图象经过点，，对比图象可发现满足条件的图象是A；
故答案为：；A；
（2）①设直线上点任意点，则点P移动到，即移动后的直线为，仍然平行于x轴；
②设直线上点任意点，则点P移动到，即移动后的直线为，仍然平行于y轴；
（3）设反比例函数图象上的任意点为，则点移动到，即移动后的点仍在反比例函数图象上，
结合（2）中的结论，可得满足题意的图形，如下图所示：
（4）①由（3）可知反比例函数图象上的点移动后的点仍在反比例函数图象上，
设图象上的任意点为，则点移动到，即移动后的点仍在函数图象上，
本题答案不唯一，如，，；
②设抛物线上除， 任意点的坐标为，
则移动后的点的坐标为，即：，
∴移动后的函数解析式为（，），
则，抛物线经过“移动”所得大致图象如图所示．