江苏省南京市鼓楼区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份江苏省南京市鼓楼区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共12页。试卷主要包含了本试卷共6页，如图，P是内一点，若，则的值为______等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．一元二次方程的根是（ ）
A．0B．3C．0，3D．0，
2．随机抛掷一枚质地均匀的骰子1次，下列事件中概率最大的是（ ）
A．点数为2B．点数为3C．点数小于3D．点数为奇数
3．在“献爱心”捐款活动中，某校九（1）班第3小组11名同学的捐款数如下（单位：元）：
1，1，1，2，2，3，4，5，8，10，80．
这组数据的中位数、众数分别为（ ）
A．3，1B．3，2C．4，1D．4，2
4．如图是二次函数的图象，则（ ）
（第4题）
A．，B．，C．，D．，
5．如图，P是内一点．若圆的半径为5，，则经过点P的弦的长度不可能为（ ）
（第5题）
A．7B．8C．9D．10
6．如图，将等边三角形纸片ABC折叠，使点A落在边BC上的D处，MN为折痕，若，的值为（ ）
（第6题）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．若，则的值为______．
8．二次函数的图象的顶点的坐标为______．
9．若方程的两根分别为m，n，则的值为______．
10．在某公司的一次招聘中，甲的成绩如下表所示（单位；分）．若将材料、笔试和面试的成绩按4：4：2的比计算平均成绩，则甲的平均成绩为______分．
11．写出一个二次函数表达式，使其图象关于y轴对称：______．
12．如图，四边形ABCD内接于，BD是的直径，，延长CB到E，连接AC．若，则______°．
（第12题）
13．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，若底面半径为5，则圆锥母线的长为______．
14．如图，PA，PB与相切于点A，B，若的半径为6，，则弦AB与所围成的图形的面积是______．
（第14题）
15．已知二次函数的图象经过点，则函数的图象经过的定点坐标为______．
16．如图，正五边形ABCDE的对角线恰围成“正五角星”（即阴影部分），其中△AFG是黄金三角形（底边与腰的比为的等腰三角形），若△AFG的面积为1，则正五角星的面积为______．
（第16题）
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解下列方程：
（1）；（2），
18．（8分）求下列二次函数的表达式：
（1）已知二次函数的图象的顶点为，且经过点；
（2）已知二次函数的图象经过点，，．
19．（8分）在不透明的袋子中装有标号为1，2，3，4的4张卡片，它们除标号外无其他差别．摇匀后从中随机抽取2张．
（1）抽到标号为3的卡片的概率为______；
（2）求抽到的2张卡片上的标号是连续整数的概率．
20．（8分）一个家具厂有甲、乙两个木材货源．下面是家具厂向两个货源订货后等待交货天数的样本数据（单位：天）：
（1）分别计算向甲、乙订货后等待天数的平均数、方差．
（2）判断家具厂从哪个货源进货比较好？为什么？
21．（8分）如图，BD，CE是△ABC的两条高，它们相交于点F，连接DE．
（1）求证．
（2）下列结论中，所有正确结论的序号是______．
①；②；③；④．
（第21题）
22．（7分）某商店十月份的销售额为40万元，十一月份因经营不善销售额有明显下降，商店积极改进，十二月份的销售额达到45万元，已知十二月份销售额的增长率是十一月份销售额的下降率的2倍．求十一月份的销售额．
23．（7分）如图，在方格纸中，线段AB的端点都是格点．画出它的一个三等分点M．
要求：①用两种不同方法画图；②画图工具仅限无刻度直尺．
（方法1） （方法2）
24．（8分）已知直线与抛物线（a为非0常数）．
（1）求证：直线与抛物线总有公共点；
（2）无论x为何值，总有，结合图象，直接写出a的值或取值范围．
25．（8分）为了归纳“相似三角形对应线段的比等于相似比”，我们探索过相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比，那么相似三角形的内切圆半径的比呢？
已知：如图，，相似比为k，的内切圆与AB相切于点D，的内切圆与相切于点．求证．
（第25题）
26．（8分）如图，在中，直径AB与弦CD互相垂直，垂足为E，以CE，BE为邻边作矩形CEBF，其对角线FE的延长线交AD于点G．
（第26题）
（1）求证．
（2）若，，
①求CE的长；
②求的半径．
27．（10分）移动到何方？
几位同学在以上“移动”规则下展开如下探索：
从特殊到一般
（1）小英采用“特值验证”的方法解答本题，请补全她的解答：
因为点（2，2）移动到点，点移动到点______……所以本题答案为______．
（2）小明思考后发现“①平行于x轴的直线移动后仍然是平行于x轴的直线”“②平行于y轴的直线移动后仍然是平行于y轴的直线”，请你从①②中任选其一说明理由．
从经验到实践
（3）什么图形经过移动可以得到选项E中的图形？已知选项E中的曲线为反比例函数的一段图象，在选项E中直接画出满足题意的图形，并用阴影描出其内部．
从图形到图象
（4）小光提出了以下问题，请你仅选其一作答：
①写出两个不同类型的函数表达式，使它的图象上的点经过移动都落在原图象上；
②在坐标系中画出二次函数的图象经过移动所得的大致图象．
注意：①满分为2分，②满分为3分，如果都作答，则按①的作答计分．
九年级（上）期末试卷
数学试卷参考答案及评分标准
说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．8．9．210．7811．答案不唯一，如
12．3513．1514．15．，16．
注：第15题每个正确坐标得1分，错误坐标不倒扣分，
三、解答题（本大题共11小题，共88分）
17．（本题8分）
（1）解：∵，，，．
∴．∴，．
注：第（1）小题解答过程不规范酌情扣分；
（2）解：移项，得：．
∴．∴．∴．
注：第（2）小题若作答“”其他正确则整体扣1分，
18．（本题8分）
（1）解：设所求函数表达式．
根据题意，当时，．
∴．解得．∴所求表达式为．
注：若答案展开为一般式，答案应为．
（2）解：设所求函数表达式为．
根据题意，当时，．∴．解得．
∴所求表达式为．
注：本题解法也可以设一般式；若最终交点式未展开且其他正确，本小题整体扣1分．
19．（本题8分）
（1）；
（2）解：从袋中随机抽出2张卡片，所有可能出现的结果共有6种，即（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，3）、（2，4）、（3，4），这些结果出现的可能性相等．所有的结果中，满足抽到的2张卡片上的标号是连续整数（记为事件A）的结果有3种，即（1，2）、（2，3）、（3，4），所以．
注：在第（2）问中，列举正确3分（树状图、列表同理），“等可能”1分，“3种”1分，概率计算正确1分，若树状图未列出结果，在3分中扣1分．
20．（本题8分）
（1）解：（天）．
（天）．
．
．
注：平均数和方差不带单位不扣分．
（2）（答案不唯一，理由合理即可得分）
解：从甲进货更好．
理由：虽然甲的等待天数平均数略大于乙，但从方差看，甲的等待天数更稳定．
解：从乙进货更好．
理由：虽然乙等待天数的稳定性不如甲，但乙前80%的等待天数都比甲的少，说明从乙进货等待天数多数时候比甲更少．
注：只有判断没有理由不得分，表述不到位酌情扣分；
选甲，理由只要交持“方差小，更稳定”即可得分；
选乙，理由只要交持“等待天数更少”即可得分．
21．（本题8分）
（1）证明：∵BD，CE是△ABC的高，∴．
∵，∴．∴．∴．
又，∴．
（第21题）
注：还可以如下证明，证点B，E，D，C都在以BC为直径的圆上3分，证出得1分，得出相似1分．
（2）①②④．
注：每个正确结论得1分．
22．（本题7分）
解：设十一月份销售额的下降率为x，则十二月份销售额的增长率是2x．
由题意，得．解这个方程，得．
当时，．
答：十一月份的销售额为30万元．
注：没正确写出两个相等的实数根扣1分．
23．（本题7分）
解：画法不唯一，以下画法供参考．如图，点M即为所求．

（方法1：X型相似） （方法2：A型相似） （方法3：角平分线定理） （方法4：重心的性质）
注：画出第一种得4分，画出第二种再得3分，两个画法雷同（如两个都采用X型相似）则得分．
图中标注M但没下作图结论的不扣分；图中未标注M也没下作图结论的本题整体扣1分．
24．（本题8分）
（1）证法1：令，得
整理得．
．
即该方程总有实数根．
即直线与抛物线总有公共点．
证法2：当时，，．
∴直线与抛物线都经过定点（1，0）．
∴直线与抛物线总有公共点（1，0）．
（2）．
注：（1）证法1需要按规范酌情赋分：（2）答案带范围但节点正确的（如）得1分．
25．（本题8分）
证明：连接OA，OB，，．
∵△ABC的内切圆与AB相切于点D，∴．同理．
∵，相似比为k，
∴，，
∵为△ABC的内切圆，∴AO平分，BO平分，
即，．
同理，．
∴，．∴．
∵OD，为对应高，∴．
注：本题还可以用面积法证明，面积比2分、周长比1分、推出3分、结论1分．
未经证明直接使用内切圆半径公式扣2分．
26．（本题8分）
（1）证明：连接BC，设BC与EF交于点H．
∵四边形CEBF是矩形，
∴，，，．
∴，．∴．
又在中，，∴．
（2）①解：∵，，∴．∴．
∵在中，直径，∴．∴．∴．
②解：∵，∴．
又，∴在中，．
∵，，∴．
∴．∴．∴，
即的半径为．
27．（本题10分）
（1）；A．
（2）①设直线上点任意点，则点P移动到，即移动后的直线为，仍然平行于x轴．
②设直线上点任意点，则点P移动到，即移动后的直线为，仍然平行于y轴．
注：不采用坐标推理的形式但说理明白的也可得分，道理对但表达失当的酌情扣1分．
（3）满足题意的图形如下：
（3）
注：曲线边界1分，折线段边界正确1分，内部未标注但能顺利识别边界不扣分．
（4）①本题答案不唯一，如，，；
②抛物线经过“移动”所得大致图象如图所示．
（4）②
注：在①中，每种类型的正确答案得1分，写常函数（如）也得1分．
在②中，x轴上方、第三象限、第四象限的图象各1分；未标注原点不可取的不扣分．应试者
材料
笔试
面试
甲的成绩
80
70
90
甲
8
9
9
10
10
10
10
11
11
12
乙
6
6
7
8
9
9
9
10
12
14
问题 如图，有位于坐标系中的一个正方形、如果正方形上的每个点都移动到，那么所得到的结果会是怎样的？
A． B．
C．D．E．
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
D
A
B
A
C