江苏省南京市鼓楼区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份江苏省南京市鼓楼区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形，寻找对称轴是解题的关键；
根据轴对称图形和对称轴的定义对各项进行分析，得出答案即可．
【详解】A、找不到任何一条对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；
B、找不到任何一条对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；
C、找不到任何一条对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；
D、可找到一条对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项符合题意；
故选：D．
2. 在实数，，，π中，无理数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了无理数的定义．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：在实数，，，中，无理数有，，共2个．
故选：B．
3. 若，则下列说法正确的是（ ）
A. a是x的平方根B. x是a的平方根
C. x是a的算术平方根D. a是x的算术平方根
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是平方根的定义．根据平方根及算术平方根的定义解答即可．
【详解】解：，
是的平方根．
故选：B．
4. 若点在第二象限，则的值可以是（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的特点、解一元一次不等式组等知识，根据坐标轴上点的特点确定的取值范围是解题的关键．在平面直角坐标系中，第一象限：（正，正），第二象限：（负，正），第三象限：（负，负），第四象限：（正，负）．根据点在第二象限，列出关于的不等式组，求解即可求得的取值范围，然后确定符合题意的选项即可．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
解得 ，
∴的值可以是0，
即选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意．
故选：C．
5. 两家牛奶销售公司招聘送奶员，下面的海报显示两家公司的周薪计算方式：小明决定应聘当送奶员，下列表示两家公司的周薪计算方式正确的图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象．根据题意判断出周薪与送奶数量的关系式即可得出答案．
【详解】解：由题意可知，甲公司的周薪与送奶数量是分段函数，当送奶数量小于或等于240瓶是正比例函数，当送奶数量大于240瓶是一次函数；
乙公司的周薪是送奶数量是一次函数．
综上所述，只有选项A符合题意．
故选：A．
6. 如图，和都是等腰直角三角形，，，点在上．若，，则的长为（ ）

A. B. C. 2.5D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质．由可证，可得，，由勾股定理可求的长，由等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】解：和都是等腰直角三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7. 64的平方根是____；64的立方根是____．
【答案】 ①. ±8 ②. 4
【解析】
【分析】根据平方根、立方根的性质计算，即可得到答案．
【详解】64的平方根是：±8；
64的立方根是：4
故答案为：±8，4．
【点睛】本题考查了平方根、立方根的知识；解题的关键是熟练掌握平方根、立方根的性质，从而完成求解．
8. 小亮称得一个罐头的质量为，若精确到，则这个罐头质量的近似值为______．
【答案】2.2
【解析】
【分析】本题主要考查近似数和有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．对千分位数字四舍五入即可．
【详解】解：，
故答案为：2.2．
9. 在中，，，则______．
【答案】55
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．
利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可．
【详解】∵在中，，，
∴．
故答案为：55．
10. 比大且比小的整数是______（写出一个）．
【答案】0（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算．先估算，的大小，然后即可写出比大且比小的整数．
【详解】解：，，
比大且比小的整数是0（答案不唯一）．
故答案为：0（答案不唯一）．
11. 电力公司想要估计某种风力发电塔的建造成本和所带来的利润，调查小组提出用如图的公式估计财务营收，其中F（元）为财务营收，x（年）为时间．根据公式，至少需要______年才能收回成本．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用．当年发电累计利润与建造风力发电塔的成本正好相等时刚好收回成本，据此作答即可．
【详解】解：根据题意，刚好收回成本时，，
解得，
至少需要8年才能收回成本，
故答案为：8．
12. 如图，，要使，应添加的条件是_________．（添加一个条件即可）

【答案】（或或）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟悉判定的条件是关键；根据条件，为公共边，可添加条件后分别或判定．
【详解】解：由于，为公共边，
若补充条件 或，则可用判定；
若补充或，则可用判定．
故答案为（或或）（答案其中任一均可）．
13. 如图，一架2.5m长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为1.5m，则梯子的顶端距地面为______m．

【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用．直接根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由勾股定理得，，
即梯子的顶端距地面为，
故答案为：2．
14. 风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系．当气温为时，下表列出了风寒温度和风速的几组对应值，那么Ｔ与v的函数表达式可能是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．利用待定系数法求解即可．
【详解】解：由表格中数据可知，当气温为一定时，风寒温度T和风速v成一次函数关系，
设风寒温度T和风速v的关系式为：，
根据题意，得，
解得，
∴，
故答案为：．
15. 要使一次函数的图象经过运动后过点，则以下该函数图象的运动方式中，可行的是______．（只填序号）
①向下平移9个单位长度；②绕点旋转180°；③沿着经过点且平行于y轴的直线翻折．
【答案】②③##③②
【解析】
【详解】解：①将一次函数的图象向下平移9个单位长度得到，
当时，，则经过点，故①不符合题意；
②将直线绕点旋转180°得到，
当时，，则经过点，故②符合题意；
③将沿着经过点且平行于y轴的直线翻折得到，
当时，，则经过点，
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的规律和旋转的性质是解题的关键．分别求得变换后的函数解析式，再代入判断即可．
16. 如图，在中，，，，D，E分别是，边上的点．把沿直线折叠，若B落在边上的点处，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】分点与点C重合，此时的值最大，点与点D重合，此时的值最小，求出两个极值即可．
【详解】解：作交的延长线于点F，则，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图1，点与点C重合，此时的值最大，
∵点与点B关于直线对称，
∴点C与点B关于直线对称，
∴垂直平分，
∴；
如图2，点与点D重合，此时的值最小，
∵点A与点B关于直线对称，
∴垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算．
【答案】2
【解析】
【分析】此题考查了实数的运算．原式利用平方根、立方根性质计算即可求出值．
【详解】解：原式
．
18. 求下列各式中的x：
（1）；
（2）．
【答案】（1）或；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查的是平方根和立方根．
（1）先把的系数化为1，再利用平方根的定义解答即可；
（2）先移项，再利用立方根的定义解答即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
故或；
【小问2详解】
解：，
移项得，
开方得，
即，
故．
19. 常见的折叠椅如图所示．
（1）在点A，B，O处设置螺栓后可以使得椅子牢固，其中的数学道理是 ；
（2）若，相交于点O，且O是，的中点．求证．
【答案】（1）三角形的稳定性；
（2）证明详见解析．
【解析】
【分析】此题考查了三角形的稳定性，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定定理．
（1）根据三角形的稳定性求解即可；
（2）首先得到，，然后证明出，即可得到．
【小问1详解】
在点A，B，O处设置螺栓后可以使得椅子牢固，
其中的数学道理是三角形的稳定性；
【小问2详解】
证明：∵O是，的中点，
∴，
在和中，
∴．
∴．
20. （1）如图①，方格纸中有2个格点A，B．仅用无刻度的直尺画出线段的垂直平分线（E，F均为格点）；
（2）如图②，点，点．用直尺和圆规在第一象限内作出点C，使得是等边三角形，其中点C的坐标为 ．

【答案】（1）图见解析；（2）图见解析，．
【解析】
【分析】本题考查作图—复杂作图、等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理．
（1）取格点，，使四边形为正方形，则为线段的垂直平分线．
（2）分别以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，点的横坐标为2，，则点的纵坐标为，即可得出答案．
【详解】解：（1）如图①，即所求．

（2）如图②，由作图知 是等边三角形，

点在线段的垂直平分线上，，
点的横坐标为2，，
，
点的纵坐标为，
点的坐标为．
故答案为：．
21. 在中，，是的角平分线．
（1）如图①，若，，求的长；
（2）如图②，过点D作交于点G，求证：是等腰三角形．
【答案】（1）3； （2）证明详见解析．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键；
（1）过点D作，利用角平分线的性质证明，得，勾股定理得到的长，在中利用勾股定理求出结果；
（2）根据平行线的性质和角平分线定义证明，即可的结论．
【小问1详解】
解：如图，过点D作，垂足为点E．
平分，
，
，
．
．
在和中
，
，，
在中，， ，
．
设，则，．
在中，，
．
．
解得．即．
【小问2详解】
，
．
，
．
．
是等腰三角形．
22. 数形结合是一种重要的数学思想方法，一般分为两种情形：借助于数学运算来阐明“形”的某些属性；借助于几何直观来阐明“数”的某种关系．

（1）从“数”的角度：证明“点，和在同一条直线上”；
（2）从“形”的角度：在方格纸中画出图形，并说明“”．
【答案】（1）证明详见解析；
（2）说明详见解析．
【解析】
【分析】此题主要考查了数形结合思想的应用．
（1）设直线的表达式为，将，代入求出直线的表达式为，再将点代入，得点在直线上，据此即可得出结论；
（2）设方格纸中每个小正方形的边长为1，在方格纸上构造，使，，，进而根据三角形三边之间的关系可得出结论．
【小问1详解】
证明：设直线的表达式为：，
将，代入，
得：，解得：，
直线的表达式为：，
对于，当时，，
点在直线上，
点，，在同一条直线上；
【小问2详解】
解：设方格纸中每个小正方形边长为1，如图所示：

由勾股定理得：，，，
根据三角形三边之间的关系得：，
．
23. 如图，在中，，和分别是以，为腰的等腰直角三角形，与相交于点．

（1）求证：；
（2）连接，求证：．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的判定等知识，理解并掌握等腰三角形的性质和垂直平分线的判定是解题关键．
（1）首先根据等腰直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质证明，结合即可证明结论；
（2）连接，根据“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”分别证明点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，进而可得是的垂直平分线，即可证明结论．
【小问1详解】
证明：∵和分别是以，为腰的等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
【小问2详解】
连接，如下图，

∵，
∴，
∴点在的垂直平分线上，
∵，
∴点在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线，
∴．
24. 在中，，，．
（1）若，则a，b，c满足的数量关系为 ；
（2）若为钝角三角形，，，直接写出c的取值范围；
（3）如图，若为锐角三角形，c为最长边．求证．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）证明详见解析．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，三角形三边关系，熟记勾股定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理即可得出结论；
（2）根据三角形的三边关系求解即可；
（3）过点A作于点D，设，在与中，根据勾股定理推出，即可推出结论．
【小问1详解】
解：中，，，，
若，则a、b、c满足的数量关系为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图，过点A作交的延长线于点D，
则，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
当为钝角时，，
即，
当为钝角时，，
即，
综上所述，c的取值范围为或；
【小问3详解】
证明：如图，过点A作于点D，设，
在中，，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴若为锐角三角形，c为最长边．
∴．
25. 如图，在中，，．

（1）求各顶点的坐标；
（2）找一点，使得，，均为等腰三角形，画出所有满足条件的点（在图中用，，表示），并直接写出点的坐标．
【答案】（1），，；
（2）满足条件的点的坐标为或或或或．
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
（1）利用等腰三角形的性质以及勾股定理求解即可；
（2）由题意，点在轴上或第一象限或第二象限，分情形分别求解即可．
【小问1详解】
解：，，
，
，
∴，，；
【小问2详解】
解：，，均为等腰三角形，
点在轴上或第一象限或第二象限，
当时，，，
当时，设，则有，
，
，
．
设．则，，
，，
解得，（负值已经舍去），
，
根据对称性可知，

综上所述，满足条件的点的坐标为或或或或．
26. 如图①，一辆货车从南京出发匀速驶往上海，途经苏州，同时，一辆轿车从苏州出发匀速驶往南京，到达南京后停留1小时，然后原速返回苏州，两车同时到达目的地．设货车行驶xh时，货车与苏州的距离为km，轿车与苏州的距离为km，、与x的函数图象如图②所示．
（1）货车的速度是 km/h，轿车的速度是 km/h；
（2）通过计算，分别解释点G，H的实际意义；
（3）设轿车、货车的距离为skm，在图③中画出s与x的函数图象（标明必要的数据）．
【答案】（1）70，105；
（2）点G的实际意义为：轿车与货车出发1.2h时，在距苏州126km的地方相遇，点H的实际意义为：轿车与货车出发4.2h时，都距苏州84km；
（3）见解析．
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
（1）根据图象即可得出结论；
（2）用待定系数法分别求出直线，，，所对应的解析式，再解方程组，求出，的坐标，结合实际情况写出点，的实际意义；
（3）根据题意画出与的函数图象．
【小问1详解】
解：根据图象②可知，
货车的速度为，轿车的速度为，
故答案为：70，105；
【小问2详解】
解：设所在直线的函数解析式为，
则，
解得，
所在直线函数解析式为；
货车的速度为，
所在直线的解析式为；
轿车的速度为，
，
，，
所在直线的解析式为，
设所在直线解析式为，
则，
解得，
所在直线解析式为，
由，得，
；
由，得，
，
点实际意义为：轿车与货车出发时，在距离苏州的地方第一次相遇；
点的实际意义为：轿车与货车出发时，都距离苏州；
【小问3详解】
解：由题意可知，南京到苏州，苏州到上海，
如图所示：
．风速
0
10
20
30
40
风寒温度
5
3
1