江苏省南京市秦淮区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份江苏省南京市秦淮区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1. 下列函数中，y与x之间的关系是二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据形如的函数是二次函数，据此逐一判断即可．
【详解】A. ，不二次函数，不符合题意；
B. ，是二次函数，符合题意；
C. ，不是二次函数，不符合题意；
D. ，不是二次函数，不符合题意；
故选B．
2. 若的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，则点P与的位置关系是（ ）
A. 点P在外B. 点P在上C. 点P在内D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟记点与圆的位置关系的判定是解题的关键．
根据点到圆心的距离与圆的半径比较大小即可得出结论．
【详解】解：的半径为2，在同一平面内，点与圆心的距离为1，，
点与的位置关系是：点在内，
故选：C．
3. 某班5名学生的体重（单位：）分别为：51，53，47，51，60，则这组数据的众数与中位数分别是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 免费下载【答案】D
【解析】
【分析】根据众数的定义和中位数的定义即可求解，本题考查了众数和中位数的定义，解题的关键是：熟练掌握相关定义．
【详解】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，51出现了2次，出现次数最多，
故这组数据的众数是，
将这组数据从小到大排列：47，51，51，53，60，
根据中位数的定义，在中间位置的数是51，
故这组数据的中位数是，
选项符合题意，
故选：．
4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 正三角形B. 正五边形
C. 正七边形D. 正八边形
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故选D．
5. 一元二次方程（a是常数，）的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法确定有没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查根的判别式，根据得判断即可．
【小问1详解】
∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选A．
6. 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，二次函数 （a，b是常数）的图象的顶点在线段上，则b的最小值为（ ）
A. 0B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，二次函数的性质，求二次函数的最值，解题的关键是先求出直线的解析式为：，求出顶点坐标为，根据二次函数 （a，b是常数）的图象的顶点在线段上，得出，根据二次函数的最值求出结果即可．
【详解】解：设直线的解析式为：，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵二次函数，
∴顶点坐标为，
∵二次函数 （a，b是常数）的图象的顶点在线段上，
∴，
即，
∴当时，b取最小值．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7. 一元二次方程x2﹣x=0的根是_____．
【答案】x1=0，x2=1
【解析】
【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】方程变形得：x（x﹣1）=0，
可得x=0或x﹣1=0，
解得：x1=0，x2=1．
故答案为x1=0，x2=1．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
8. 若是一元二次方程的两根，则的值是 _____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】∵是一元二次方程的两根，
∴，
故答案为：．
9. 如图，点、、在上，，则的度数为____．
【答案】##60度
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可．
【详解】解：∵点、、在上，，
∴；
故答案为：．
10. 如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则________
【答案】##80度
【解析】
【分析】根据圆内接四边形对角互补求出的度数，再根据平角的定义求出的度数即可．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，平角的定义，熟知圆内接四边形对角互补是解题的关键．
11. 某产品原来每件成本是元，连续两次降低成本后，现在成本是元．设平均每次降低成本的百分率为x，可得方程 ________________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，这是一道典型的增长率问题，设平均每次降低成本的百分率为x的话，经过第一次下降，成本变为元，再经过一次下降后成本变为元，根据两次降低后的成本是25元列方程求解即可．
【详解】解：根据题意，设平均每次降低成本的百分率为x，则：
，
故答案为：．
12. 圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的表面积为__________cm2．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积＝×底面半径×母线长，进而求得底面积，根据表面积等于底面积加侧面积，把相应数值代入即可求解．
【详解】∵圆锥的底面半径长为3cm，母线长为5cm，
∴圆锥的侧面积＝×3×5＝15cm2，
圆锥的底面积
圆锥的表面积为 cm2，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法，掌握相应公式是解题的关键．
13. 杭州亚运会射箭比赛中，某运动员箭的成绩（单位：环）依次是，，，，，若前箭的平均成绩为环，则这箭的平均成绩为 _____环．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平均数的计算，掌握平均数的计算方法是解题的关键．根据前箭的平均成绩为环，可得，再计算箭的平均成绩，化简为含有的算式，即可求出结果．
【详解】解：前箭的平均成绩为环，
，
，
这箭的平均成绩为，
故答案为：．
14. 如图，点B，C在上，D为的中点，直径交于点E，，，则的长为 ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查垂径定理的推论，勾股定理．连接，根据垂径定理的推论，得到，，利用勾股定理求出的长，进一步求出的长即可．
【详解】解：连接，
∵点B，C在上，D为的中点，直径交于点E，，
∴，，，
∴，
∴；
故答案为：．
15. 在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴交于点A，B，将函数的图象向上平移，平移后的图象与x轴交于点C，D．若，则平移后的图象对应的函数表达式为 ____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象的平移，一元二次方程根与系数之间的关系，先求出的坐标，进而求出的长，设平移后的解析式为，令，得到，根据根与系数的关系，结合，求出值即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，
解得：，
∴，
设平移后的解析式为，设，，则：
∴是方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴，
∴平移后的解析式为；
故答案为：．
16. 如图，在中，，点D，E分别在BC，上，与的内切圆O相切．若的面积是30，的周长是4，则的长为 _____．
【答案】13
【解析】
【分析】本题考查切线长定理，直角三角形的内切圆．设三角形与内切圆的三个切点分别为，连接，连接，易得四边形为正方形，设的半径为，根据切线长定理，得到，的周长为，求出的值，再根据分割法求三角形的面积，列出方程求出的长即可．
【详解】解：设三角形与内切圆的三个切点分别为，连接，连接，则：，，
∵，
∴四边形为正方形，
设的半径为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵与的内切圆O相切，
∴，
∴的周长是，
∴，
∵的面积，
∴；
故答案为：13．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了．
（1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
解得：，；
【小问2详解】
解：，
解得：，．
18. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点，在这个函数的图像上，则 ．（填“＞”“＜”或“=”）
【答案】（1）
（2）＞
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，图表法表示函数，函数的增减性．
（1）根据题意，列方程组求解即可．
（2）根据，抛物线开口向上，对称轴为直线，计算距离，比较判断即可．
【小问1详解】
设抛物线解析式为，
根据题意，得，
解得，
故解析式为．
【小问2详解】
∵
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远的点的函数值越大，
∵，
∴，
故答案为：＞．
19. 如图，用篱笆围成一块矩形花圃，该花圃一侧靠墙，而且有一道隔栏（隔栏也用篱笆制作），已知所用篱笆的总长为24m，花圃的面积为45，墙的最大可用长度为10m，求边的长．
【答案】5m
【解析】
【分析】本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，熟练掌握矩形的性质，一元二次方程的应用是解题的关键，根据题意，列出方程计算即可．
【详解】∵，则矩形的长，依题意，得：
，
即，
解得：，，
当时，，舍去，
当时，成立，
答：边的长为5米．
20. 如图，已知内接于，是⊙O的直径，连接，，平分．
（1）求证；
（2）若，则的长为 ．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外接圆和外心，圆周角定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
（1）由角平分线的性质和圆周角定理可得；
（2）由圆周角定理可得，由弧长公式可求解．
【小问1详解】
证明：平分，
，
，
；
小问2详解】
解：，
，
，
是的直径，，
，
在中，，
解得：．
21. 一只不透明的袋子中装有1个白球和a个红球，这些球除颜色外都相同．已知从袋中任意摸出1个球是白球的概率是．
（1）a的值是 ；
（2）先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球颜色不同的概率．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】本题考查树状图法求概率．掌握概率公式以及树状图的画法，是解题的关键．
（1）根据概率公式，列出方程进行求解即可；
（2）画出树状图，利用概率公式进行求解即可．
小问1详解】
解：由题意，得：，
解得：，经检验，是原方程的解，
故答案为：2．
【小问2详解】
画出树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中摸到不同颜色的球的情况有4种，
∴．
22. 已知P是上一点，在上作两点A，B，使得分别满足以下条件：
（说明：第（1）题只用无刻度的直尺作图，第（2）题只用圆规作图；保留作图痕迹，不写作法．）
（1）在图①中，；
（2）在图②中，．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理．掌握直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键．
（1）过原点，作一条直径，交圆上于，两点即可；
（2）在圆上选一点，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
如图，即为所求．
23. 已知关于x的方程．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为1，求m的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）证明方程的根的判别式即可．
（2）把代入方程，得到关于m的方程，解答即可．
本题考查了根判别式，方程的根，熟练掌握定理是解题的关键．
【小问1详解】
∵方程，，
∴，
∴无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
把代入方程，
得，
解得．
24. 2023年12月14日，一股冷空气开始影响我市，我市连续7天的天气情况如下：
上述天气情况包括了每天的天气状况（如阴转小雨，小雨转多云等）、气温（如“5/17℃”指当天最低和最高气温分别是5℃和17℃）、风向和风级．
（1）计算这7天最低气温的平均数和方差．
（2）阅读冷空气等级标准表：
本次来临的冷空气的等级是 ．（填序号）
（3）本次冷空气来临后，除导致气温下降外，还带来哪些天气情况的变化？请写出一个结论．
【答案】（1）℃；℃
（2）② （3）随着气温下降，风力逐渐增强
【解析】
【分析】（1）先确定最低气温，再计算平均数和方差即可．
（2）计算相邻两天的最低气温的变化，对照标准确定答案即可．
（3）答案不唯一，风力逐渐增强．
本题考查了平均数，方差的计算，温差的计算，熟练掌握公式是解题的关键．
【小问1详解】
根据题意，七天的最低气温的平均数为：
℃；
℃．
【小问2详解】
∵周四与周五的温差为℃，降温幅度大于或等于6℃，但小于8℃
∴来临的冷空气的等级是中等强度冷空气，
故答案为：②．
【小问3详解】
风力逐渐增强．
25. 2023年12月18日晚，甘肃省积石山县发生6.2级地震．“一方有难，八方支援”，某商家决定将后续一个月销售某商品获得的利润全部捐赠给灾区．已知购进该商品的成本为10元/件，当售价为12元时，平均每天可以卖出1200件．调查发现，该商品每涨价1元，平均每天少售出100件．当每件商品的售价是多少元时，该商家捐赠的金额最大？最大捐赠金额是多少？（一个月按30天计算）
【答案】当售价为17元时，该商家捐赠的金额最大为元
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，设每天的总利润为元，每件商品的售价为元，根据题意，列出二次函数，利用二次函数的性质，求最值即可．正确的列出二次函数关系式，是解题的关键．
【详解】解：设每天的总利润为元，每件商品的售价为元，由题意，得：
，
整理，得：，
∴当，有最大值为元，
∴最大捐赠金额是元，
答：当售价为17元时，该商家捐赠的金额最大为元．
26. 阅读下列内容：
如果点在一次函数的图象上，那么点一定在哪个函数的图象上呢？下面是解决问题的一种途径．

所以点一定在函数的图象上．
根据阅读内容解决下列问题：
（1）如果点在反比例函数的图象上，那么点一定在哪个函数的图象上呢？填写下面的空格．

（2）如果点在一次函数的图象上，判断点一定在哪个函数的图象上？说明理由．
【答案】（1），见解析
（2），见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了函数图象上的点，解决问题的关键是理解函数图象上的点满足函数的表达式，满足函数表达式的点都在函数的图象上．（1）根据点在反比例函数的图象上，得，对于点，则，则，由此可得出答案；（2）根据点在一次函数的图象上，得，对于，则，，进而得得，由此可得出结论．
【小问1详解】
解：点在反比例函数图象上，
，
对于点，则，
，
即，
点一定在这个函数的图象上；
如下图所示：
【小问2详解】
点一定在这个函数的图象上，理由如下：
点在一次函数的图象上，
，
对于，则，，
，
．
点一定在这个函数的图象上．
27. 如图，已知是的2个三等分点，C是优弧上的一个动点（点C不与A，B两点重合），连接，，．D，E分别是， 的中点，连接，分别交，于点F，G．
（1）当点C运动到优弧的中点时，直接写出与的关系．
（2）求证．
（3）若I是，的交点，点O与点I的距离记为d．当时，d取值范围是 ．
【答案】（1）且
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，矩形的判定和性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，三角函数，垂径定理．
（1）连接，根据线段垂直平分线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，证明四边形是矩形即可．
（2）连接、、、连接交于点M，连接交于点N，利用垂径定理，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，证明即可．
（3）过点O作垂足为Q，交于点P，利用四点共圆，垂径定理，三角函数，计算求解即可．
【小问1详解】
如图，连接，
∵点C运动到优弧AB的中点，A，B是⊙O的2个三等分点，
∴，
∴，
∵D，E分别是， 的中点，
∴，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∵，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∴是得直径，
∴，
同理可证，，
故四边形是矩形，
∴且．
【小问2详解】
如图，连接、、、连接交于点M，连接交于点N，
∵D，E分别是， 的中点，
∴，，，，
∴，
∵A，B是的2个三等分点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴
．
故．
【小问3详解】
过点O作垂足为Q，交于点P，
．
根据题意，，
∵，
∴，都是等边三角形，
∴，
∴在以点P为圆心，以为半径的圆上，
在优弧上任意取一点M，连接，
∴，
连接、、，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点在以点P为圆心，以为半径的圆上的劣弧上，
当点I与点O重合时，d最小，且最小值为0；
当点I与点A或点B重合时，d取最大值，
根据题意，得，
∴，
故d的取值范围是．x
…
0
1
2
3
…
y
…
5
2
1
2
…
序号
等级
冷空气来临的48小时内日最低气温变化情况
①
弱冷空气
降温幅度小于6℃
②
中等强度冷空气
降温幅度大于或等于6℃，但小于8℃
③
较强冷空气
降温幅度大于或等于8℃且日最低气温超过8℃
④
强冷空气
降温幅度大于或等于8℃，且日最低气温不超过8℃
⑤
寒潮
降温幅度大于或等于10℃且日最低气温不超过4℃