3.5 幂函数与一元二次函数（导与练）-2024年高考数学一轮复习导与练高分突破（新高考）

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一．幂函数
(1)幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
二．一元二次函数
1．二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．二次函数的图象和性质
3．根与系数的关系
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝b2－4ac＞0时，其图象与x轴有两个交点M1(x1，0)，M2(x2，0)，这里的x1，x2是方程f(x)＝0的两个根，且 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－\f(b,a)，,x1·x2＝\f(c,a)，)) |M1M2|＝|x1－x2|＝ eq \f(\r(Δ),|a|) ．
一．幂函数的性质与图象特征的关系
1.解析式：幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
2.奇偶性:判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
3.单调性：
(1)当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增．
(2)当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减．
(3)当x∈(0，1)时，α越大，函数值越小，当x∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大．
4.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
二．一元二次函数
1.解析式
2.二次函数图象
（1）是看二次项系数的符号；
（2）是看对称轴和顶点；
（3）是看函数图象上的一些特殊点．
3.二次函数图象与性质
(1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是求定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．
(3)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
4．由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min．
考法一 幂函数的性质
【例1-1】（2023·海南·统考模拟预测）已知为幂函数，则（ ）．
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．在上单调递增D．在上单调递减
【答案】B
【解析】因为是幂函数，所以，解得或，
所以或，
对于，函数在上单调递增，在上单调递减；
对于，函数在上单调递减，且为奇函数，故在上单调递减；
故只有B选项“在上单调递减”符合这两个函数的性质．故选：B
【例1-2】（2023·全国·高三对口高考）给定一组函数解析式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）


A．⑥③④②⑦①⑤B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤D．⑥④③②⑦⑤①
【答案】C
【解析】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足；
图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足；
图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足；
图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足；
故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.故选：C
【例1-3】（2023·江苏）已知函数是偶函数，且在区间上单调递增，则下列实数可作为值的是（ ）
A．-2B．C．2D．3
【答案】C
【解析】对选项A：，，函数在上单调递减，错误；
对选项B：，，函数定义域为，不是偶函数，错误；
对选项C：，，函数定义域为，，函数为偶函数，且在上单调递增，正确；
对选项D：，，函数定义域为，，函数为奇函数，错误；
故选：C
【一隅三反】
1.（2023·上海黄浦·统考二模）若函数的图像经过点与，则m的值为____________．
【答案】81
【解析】由题意函数的图像经过点与，则，则
故，故答案为：81
2．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知幂函数，若，则a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由幂函数，可得函数的定义域为，且是递减函数，
因为，可得，解得，
即实数的取值范围为.故答案为：.
3．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A．B．是减函数
C．是奇函数D．是偶函数
【答案】C
【解析】函数为幂函数，则，解得或.
当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A；
当时，在区间上单调递减，满足题意.
函数在和上单调递减，但不是减函数，排除B；
因为函数定义域关于原点对称，且，
所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.
故选：C.
4．（2023·全国·高三对口高考）已知幂函数（且p与q互质）的图像如图所示，则（ ）

A．p、q均为奇数且B．p为奇数，q为偶数且
C．p为奇数，q为偶数且D．p为偶数，q为奇数且
【答案】D
【解析】由图像知函数为偶函数，所以p为偶数，且由图像的形状判定，
又因为p与q互质，所以q为奇数，
故选：D.
考法二 指数式比较大小
【例2】（2023·浙江·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，又因为通过计算知，所以，即，
又，所以，所以.
故选：B
【一隅三反】
1．（2023·河北）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由于幂函数在上单调递增，又，，，
，所以，则.故选：D.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由，，，
则，，
又，，
则，即，
所以．
故选：D．
考法三 二次函数性质
【例3-1】（2023·云南）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据题意,由得:的对称轴为，
设二次函数为，
因的最大值是8,所以,当时, ，
即二次函数，
由得:,解得：，
则二次函数，
故选：A.
【例3-2】（2023·山西）若函数在区间上是减函数，那么实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】函数在区间上是减函数，所以，解得，故选：B.
【例3-3】（2023·山东淄博）设的定义域为，对于任意实数t，则的最小值__________．
【答案】
【解析】可化为，
当，即时，函数在上单调递减，
所以当时，函数取最小值，最小值为，
当，即时，函数在上单调递增，
所以当时，函数取最小值，最小值为，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数取最小值，最小值为，
所以，故答案为：.
【一隅三反】
1．（2023·广西）已知（b，c为实数），且，，则的解析式为______.
【答案】
【解析】解法一：由题意知，解得，
所以的解析式为.
解法二：由题意知，得，则，得，
所以的解析式为.
故答案为：
2．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数的图象过点，，且顶点到x轴的距离等于2，二次函数的表达式为________
【答案】或
【解析】因为二次函数的图象过点，，
所以可设二次函数为（），展开得：
顶点的纵坐标为，
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，
∴，即，
所以二次函数的表达式为或.
故答案为：或.
3．（2023·福建）已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围为（ ）．
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】函数的对称轴为，
因为函数在上具有单调性，
所以或，即或.故选：C
考法四 二次函数根的分布
【例4-1】（2023·全国·高三专题练习）已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令
由题可知：
则，即
故选：C
【例4-2】（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（ ）
A．-2B．C．D．1
【答案】B
【解析】由题意可得，解得或，
设两个为，，由两根为正根可得，解得，综上知，.
故两个根的倒数和为，
，，，故，，
故两个根的倒数和的最小值是.故选：B
【例4-3】（2023·全国·高三专题练习）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】方程对应的二次函数设为：
因为方程恰有一根属于，则需要满足：
①，，解得：；
②函数刚好经过点或者，另一个零点属于，
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，故符合题意；
③函数与x轴只有一个交点，，解得，
经检验，当时满足方程恰有一根在区间 (0,1) 内;
综上：实数m的取值范围为故选：D
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为__．
【答案】
【解析】令，图象恒过点，
方程0在区间内有两个不同的根，
，解得.
故答案为：
2．（2023·北京）方程的两根都大于，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】由题意，方程的两根都大于，
令，
可得，即，解得．
故答案为：.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．
【答案】.
【解析】方程
方程两根为，
若要满足题意，则，解得，故答案为：.
考法五 二次函数成立问题
【例5-1】（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）命题“”为假命题，则命题成立的充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为命题“”为假命题，所以，对，恒成立，
当时，在上恒成立，所以满足条件，
当时，令，对称轴，且，所以，当时，恒成立，
当时，显然有不恒成立，
故对，恒成立时，，所以则命题成立的充分不必要条件是选项C.
故选：C.
【例5-2】（2023·全国·高三专题练习）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】①当时，不等式化为，解得：，符合题意；
②当时，为开口方向向上的二次函数，
只需，即；
③当时，为开口方向向下的二次函数，
则必存在实数，使得成立；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对一切恒成立，则的最小值为________．
【答案】－4
【解析】∵当时，恒成立，
∴恒成立，
又当时，，当且仅当x＝2时取等号．
∴，
∴，故a的最小值为－4.
故答案为：.
2．（2023·福建）命题:，的否定为真命题，则实数a的最大值为__________.
【答案】5
【解析】由特称命题的否定可知： ，的否定为，且为真命题.
分离参数化简得：恒成立.
对，当且仅当时取得最小值4，
即，∴a的最大值为5
故答案为：5
3．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是_____.
【答案】
【解析】可转化为.
设，则是关于m的一次型函数.
要使恒成立，只需，
解得.故答案为：
4．（2023·全国·高三专题练习）已知命题：“”为真命题，则实数的取值范围为________________.
【答案】
【解析】当时，变形为，
构造函数，对称轴为，
所以函数在上单调递增，
则时，，
所以，即，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x eq \s\up6(\f(1,2))
y＝x－1
图象
性质
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶
函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
(－∞，0]上单调
递减；
＋∞)上单调
递增
R上单调递增
[0，＋∞)
上单调递增
(－∞，0)和
(0，＋∞)上
单调递减
公共点
(1，1)
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
R
R
值域
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))
单调性
在x∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a))) 上单调递减；
在x∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞)) 上单调递增
在x∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)，)) 上单调递增；
在x∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞)) 上单调递减
对称性
函数的图象关于x＝－ eq \f(b,2a) 对称