5.3 三角函数的性质（导与练）-2024年高考数学一轮复习导与练高分突破（新高考）

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一.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图:“五点法”作图原理：
1.正弦函数与余弦函数的图像画法
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
在余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|0，φ>0)的变换：向左平移eq \f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度.
求三角函数周期的方法
1.定义法；
2.公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)(y＝Acs(ωx＋φ))的最小正周期T＝eq \f(2π,|ω|)，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝eq \f(π,|ω|)；
3.图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．
二．三角函数的定义域
求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数线或三角函数的图象．
三．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：
1.形如y＝asin x＋bcs x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
2.形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
3.形如y＝asin xcs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
4，形如y＝eq \f(asin x＋b,csin x＋d)，ac≠0的函数的值域，可以用分离常量法，也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解求值域(最值)．
四．三角函数的单调性
①先把ω化为正数
②化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间
③把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内解x．
三角函数的对称性
1.对称轴：对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acs(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或令ωx＋φ＝\f(π,2)＋kπ（k∈Z）))，求x即可.
2.对称中心：对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)，求x即可.
六．三角函数的奇偶性
七．三角函数的伸缩平移
八．三角函数中的ω的求解
1.若已知三角函数的单调性，则转化为集合的包含关系，进而建立ω所满足的不等式(组)求解；
2.若已知函数的对称性，则根据三角函数的对称性研究其周期性，进而可以研究ω的取值；
3.若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.
九．易错点：
对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)内为增函数.
考法一 三角函数的周期
【例1-1】（2023·北京）在下列四个函数，①②（3）④中，最小正周期为π的所有函数为（ ）
A．①②③B．②③④C．②③D．③④
【例1-2】（2023·全国·高三专题练习）下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（ ）
A．B．
C．D．
【例1-3】（2022秋·河北）函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2023·湖南）给出下列函数：
①；②；③；④．
其中最小正周期为的有（ ）
A．①②③B．①③④C．②④D．①③
2．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．不能确定
3．（2023北京）下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．1B．C．2D．
考法二 三角函数的对称性与奇偶性
【例2-1】（2023·海南）设函数的图象关于直线对称，则等于（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为________．
【例2-3】（2023·广东）函数是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数
【例2-4】（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）使函数为偶函数，则的一个值可以是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，若对于任意实数x，都有，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．8
2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）函数图象的对称轴可以是（ ）
A．直线B．直线
C．直线D．直线
3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）若函数的图象关于坐标原点对称，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·辽宁锦州·高三校考阶段练习）函数是偶函数，则____．
考法三 三角函数的定义域与值域
【例3-1】（2023春·上海静安）函数的定义域是__________.
【例3-2】（2023春·北京昌平）的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【例3-3】（2023云南）函数在的最大值是（ ）
A．2B．0C．1D．
【例3-4】（2023·全国·高三专题练习）函数是（ ）
A．奇函数，且最大值为B．偶函数，且最小值为
C．奇函数，且最小值为D．偶函数，且最大值为
【例3-5】（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）函数的最大值为__________．
【例3-6】（2023·安徽）设函数定义域为，值域为，则的最大值为______
【一隅三反】
1．（2023春·辽宁本溪）函数的定义域为________．
2．（2023春·辽宁沈阳）函数的定义域为______．
3.（2023·福建）函数最大值为（ ）
A．2B．5C．8D．7
4．（2023春·四川南充）函数的值域为______.
5．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）当时，函数的值域是，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
考法四 三角函数的单调性
【例4-1】（2023湖北）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
【例4-2】（2023·辽宁朝阳）（多选）下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【例4-3】（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2023春·山东）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·广西）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在上单调递减D．在上单调递增
4．（2023春·上海长宁）在下列函数中，既是上的严格增函数，又是以为最小正周期的偶函数的函数是（ ）
A．B．
C．D．
考法五 函数的伸缩平移
【例5-1】（2022·江西·南昌十中高三阶段练习）将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到关于轴对称的图象，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【例5-2】（2022·陕西·二模）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移是个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移登个单位长度D．向右平移个单位长度
【例5-3】（2023·全国·高三专题练习）把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标压缩到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ）
A．最小正周期为B．奇函数
C．偶函数D．
【一隅三反】
1．（2023·北京·高三专题练习）已知的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·模拟预测）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
3．（2022·全国·哈师大附中模拟预测）将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间上单调递增 B．在区间（，）上单调递减
C．图象关于点（，0）对称 D．图象关于直线对称
4．（2022·安徽滁州）若将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向下平移一个单位得到函数的图象，则函数（ ）
A．图象关于点对称B．图象关于对称
C．在上单调递减D．最小正周期是
考法六 由图象确定函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
【例6-1】（2022·山东·烟台二中）若函数的部分图象如图所示，则和的值是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【例6-2】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，某地一天6~14时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式可以为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【例6-3】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）（多选）函数的部分图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（ ）

A．的最小正周期为
B．的图象关于中心对称
C．在上单调递减
D．把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象
【一隅三反】
1．（2022·甘肃武威）函数（A，ω，φ为常数，A>0，ω>0，）的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·陕西省洛南中学）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
3（2022·广东·佛山市顺德区容山中学）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·四川南充·二模）函数的部分图像如图所示，，则（ ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．在上单调递减 D．在上是单调递增
考法七 三角函数的综合运用
【例7-1】（2023·新疆·统考二模）如图所示的曲线为函数的部分图象，将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．直线为图象的一条对称轴B．点为图象的一个对称中心
C．函数的最小正周期为2πD．函数在上单调递减
【一隅三反】
1．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）将函数的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，有下述四个结论：
①
②函数在上单调递增
③点是函数图像的一个对称中心
④当时，函数的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②③B．②③C．①③④D．②④
2．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）（多选）已知函数，其图象相邻对称轴间的距离为，点是其中的一个对称中心，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数图象的一条对称轴方程是
C．函数在区间上单调递增
D．将函数图象上所有点横坐标伸长原来的2倍，纵坐标缩短原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到正弦函数的图象
3．（2023·山东滨州·统考二模）（多选）已知函数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的值域为B．的最小值为2
C．的图象关于直线对称D．是偶函数
考法八 ω的求法
【例8-1】（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知函数，若在上的值域为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【例8-2】．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）若函数在区间上恰有唯一极值点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【例8-3】（2023春·广东汕头·高一金山中学校考期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【例8-4】（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知函数，若，在内有极小值，无极大值，则可能的取值个数（ ）
A．4B．3C．2D．1
【一隅三反】
1．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，若对于任意实数x，都有，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．8
2．（2023·四川绵阳·统考三模）已知函数是区间上的增函数，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数是偶函数，且在上单调，则的最大值为（ ）
A．1B．3C．5D．
4．（2023春·湖北）已知，如果存在实数，使得对任意的实数x，都有成立，则的最小值为______.
x
－eq \f(φ,ω)
－eq \f(φ,ω)＋eq \f(π,2ω)
eq \f(π－φ,ω)
eq \f(3π,2ω)－eq \f(φ,ω)
eq \f(2π－φ,ω)
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
y＝Asin (ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝eq \f(2π,ω)
f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)
ωx＋φ
φ
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{xeq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x∈R，且)) x≠kπ＋eq \f(π,2)}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
eq \b\lc\[(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，))eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)))
[2kπ－π，2kπ]
eq \b\lc\((\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，))eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)))
递减区间
eq \b\lc\[(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，))eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(3π,2)))
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))
对称轴方程
x＝kπ＋eq \f(π,2)
x＝kπ
无