1.1 集合（讲义）-2024年高考数学一轮复习导与练高分突破（新高考）

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一．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合间的基本关系
(1)概念
子集个数
对于有限集合A,其元素个数为n,则集合A的子集个数为2n,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.
易错点
①A⊆B包含两层含义:AB或A=B
②是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集
三．集合的基本运算
1.解决集合含义问题的关键有三点：
①是确定构成集合的元素
②是确定元素的限制条件
③是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
互异性考查
利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,注意检验集合中的元素是否满足互异性.
3.集合运算的两种常用方法
(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．
(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．
4.已知集合关系求参数
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
5.集合间的运算
①集合中的元素是离散的，可用Venn图表示，注意所求参数是否满足集合中元素的性质中的互异性
②集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
考法一 元素与集合的关系
【例1-1】（2023·北京海淀·校考模拟预测）设集合，若，则实数m=（ ）
A．0B．C．0或D．0或1
【答案】C
【解析】设集合，若，，或，
当时，，此时；
当时，，此时；所以或.故选：C
【例1-2】（2023·北京东城·统考一模）已知集合，且，则a可以为（ ）
A．－2B．－1C．D．
【答案】B
【解析】∵，∴，∴，
可知，故A、C、D错误；，故B正确.故选：B
【一隅三反】
1．（2023·云南）若，则的值为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】A
【解析】若，则，不符合集合元素的互异性；
若，则或（舍），此时，符合题意；
综上所述：.故选：A.
2．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知，若，且，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，且，解得，故选：B
3.（2023广东湛江）已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
【答案】－ eq \f(3,2)
【解析】由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－ eq \f(3,2) ．当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合元素的互异性可知不满足题意；当m＝－ eq \f(3,2) 时，m＋2＝ eq \f(1,2) ，而2m2＋m＝3，故m＝－ eq \f(3,2) ．
考法二 元素的互异性
【例2-1】（2023·全国·高三专题练习）集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（ ）
A．等腰三角形B．锐角三角形
C．直角三角形D．钝角三角形
【答案】A
【解析】根据集合中元素的互异性得，故三角形一定不是等腰三角形.故选：A.
【例2-2】(2023·山东)已知a，b∈R，若 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a，\f(b,a)，1)) ＝{a2，a＋b，0}，则a2 021＋b2 021为( )
A．1 B．0 C．－1 D．±1
【答案】C
【解析】由已知得a≠0，则 eq \f(b,a) ＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1．根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 021＋b2 021＝－1．
【一隅三反】
1.（2022·浙江·高三专题练习）已知，，若集合，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，解得或，
当时，不满足集合元素的互异性，故，，，故选：B.
2.（2023湖南）若以集合的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（ ）
A．矩形B．平行四边形
C．梯形D．菱形
【答案】C
【解析】由题意，集合的四个元素为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，以四个元素为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.故选：C.
3.（2023湖北）已知集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2x，\f(y－1,x)，1)) ，B＝{x2，x＋y，0}，若A＝B，则x＋y＝________．
【答案】2
【解析】显然y＝1，即A＝{2x，0，1}，B＝{x2，x＋1，0}．若x＋1＝1，则x＝0，集合A中元素不满足互异性，舍去．∴x2＝1，且2x＝x＋1，∴x＝1，故x＋y＝2．
考法三 集合间的关系
【例3-1】（2023春·四川成都）集合，若，则集合B可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】A、B、D：、、，与题设不符；C：，满足要求.故选：C
【例3-2】（1）（2023·全国·高三专题练习）集合A＝{1，2，3}的非空子集个数为（ ）
A．5B．6
C．7D．8
（2）（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】（1）C（2）D
【解析】（1）因为集合A＝{1，2，3}，知集合中有4个元素，则子集个数为个，非空子集个数为个.故选：C.
（2）由已知集合，
联立和，可得或或，则，
故集合的子集个数为个，故选：D
【例3-3】（1）（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已集合，若，则实数a的取值集合是（ ）
A．B．C．D．
（2）（2023·广东茂名·统考二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）C（2）A
【解析】（1），∴当时，，满足；
当时，若，则时，时，．
的取值集合是．故选：C．
（2）集合，.要使，只需，解得：.
故选：A
【一隅三反】
1．（2023·宁夏银川·校联考一模）设全集，若集合满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为全集，，所以.
根据元素与集合的关系可知，ABD错误，C正确.故选：C
2．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）设A、B、C是三个集合，若，则下列结论不正确的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】,,,，故B正确；
，,,故AD正确；故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则A∩B的子集个数（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】集合表示以为圆心，为半径的圆上的所有点，
集合表示直线上的所有点，
因为直线经过圆心，所以直线与圆相交，
所以的元素个数有2个，则的子集个数为4个，
故选：.
4．（2023春·湖南岳阳）已知集合，且，则实数（ ）
A．1B．2C．1或2D．0
【答案】A
【解析】因为集合，且，所以，且，则，解得：，
故选：.
5．（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）已知集合，，若，则实数m的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题设，，又且，所以，即.故选：C
考法四 集合间的运算
【例4-1】（1）（2023·陕西西安）若集合，集合，则中整数的个数为（ ）．
A．5B．6C．7D．8
（2）（2023春·广东韶关·高三南雄中学校考阶段练习）设集合，，则（ ）．
A．B．C．D．
（3）（2023·海南）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）C（2）C（3）C
【解析】（1）由题意，可得集合，，
则，其中集合有，共有个.
故选：C.
（2）集合，
又因为集合，由交集的定义可得，，故选：C.
（3）由题设，由知：，则，
所以，故.故选：C
【例4-2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】集合，，
把代入，得，即，有唯一解，故集合中元素的个数为1．
故选：B
【例4-3】（1）（2023·天津河东·一模）已知集合，，，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）A
【解析】（1）由知：，
当，即，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
当，即或，
若，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
若，则，，满足要求.
综上，.故选：A
【一隅三反】
1．（2023·广西南宁·统考二模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以或，
又，所以，故A，B，C错误.故选：D.
2．（2023·广东湛江·统考二模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可得：
所以.故选：D.
3．（2023春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】要使函数有意义，则有，解得或，
所以或，
由，得，
所以．故选：D.
4．（2023·全国·高三专题练习）设集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，又，所以，
又，所以，解得，即实数的取值范围为.故选：A
5．（2022秋·河北沧州）已知集合，，若，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
①当时，满足，此时，解得；
②当时，由，得，解得；综上所述，，故选：C.
6．（2022·全国·高三专题练习（理））设集合，，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，，由得，所以.故选：A.
7．（2023云南）已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，因为，所以，
当时，集合，满足；
当时，集合，
由，得或，解得或，
综上，实数的取值集合为.故选：D.
8．（2023湖南）已知集合，.若，则实数（ ）
A．-3B．C．D．3
【答案】B
【解析】因为，所以直线与直线平行，
所以所以. 经检验，当时，两直线平行.故选：B.
考法五 韦恩图
【例5-1】（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）如图，设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由图可知阴影部分表示的集合为，
因为集合，，所以.故选:A.
【例5-2】（2023·广东·统考一模）已知集合，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，
选项A中Venn图中阴影部分表示，不符合题意；
选项B中Venn图中阴影部分表示，符合题意；
选项C中Venn图中阴影部分表示，不符合题意；
选项D中Venn图中阴影部分表示，不符合题意，
故选：B
【一隅三反】
1．（2023春·河北·高三统考学业考试）已知R是实数集，集合，则下图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】依题意，，
由韦恩图知，阴影部分表示的集合是，而或，
所以.
故选：D
2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考二模）已知全集，集合，，则阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题知图中阴影部分表示的集合为，
又，得，
又，则，
所以．
故选：B．
3．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）已知全集，集合或，，则如图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，，
，
由图可知阴影部分表示的集合是，
故选：A.
考法六 集合中的新定义
【例6-1】（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）设集合的全集为，定义一种运算，，若全集，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，或，
则，
故选：C
【例6-2】（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）对于集合A，B，定义集合且，已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】结合新定义可知，又，
所以．
故选：A
【一隅三反】
1．（2023·江苏·高三统考学业考试）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】，则，则中元素的个数为
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）定义集合，设集合，，则中元素的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，，
所以，
故中元素的个数为.
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）定义集合运算，若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以或
所以或，
或
所以或，
，
代入验证，
故.
故选：D.集合
非负整数集(或自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,称集合A为集合B的子集(即若x∈A,则x∈B)
A⊆B或B⊇A
或
真子集
如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,则称集合A是集合B的真子集
AB或BA
集合
相等
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等
A=B
运算
自然语言
符号语言
Venn图
交集
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的交集,记作A∩B
A∩B={x|x∈A且x∈B}
并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B
A∪B={x|x∈A,或x∈B}
补集
对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作∁UA
∁UA={x|x∈U,且x∉A}