高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第4课时巩固练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第4课时巩固练习，共13页。

1．已知海上A，B两个小岛相距10海里，C岛临近陆地，若从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛之间的距离是( )
A．10eq \r(3) 海里 B.eq \f(10\r(6),3) 海里
C．5eq \r(2) 海里 D．5eq \r(6) 海里
2．(多选)某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km，结果距离出发点恰好eq \r(3) km，则x的值为( )
A.eq \r(3) B．2eq \r(3) C．2 D．3
3．一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是( )
A．5eq \r(2) 海里/时 B．5海里/时
C．10eq \r(2) 海里/时 D．10海里/时
4．从高出海平面h米的小岛上看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船的俯角为45°，则此时两船间的距离为( )
A．2h米 B.eq \r(2)h米 C.eq \r(3)h米 D．2eq \r(2)h米
5．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则该建筑物高度为( )
A．20 m B．30 m C．40 m D．60 m
6.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
7．一艘船以每小时15 km的速度向正东方向航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向上，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向上，这时船与灯塔间的距离为________ km.
8.如图，要计算西湖岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得AD⊥CD，AD＝10 km，AB＝14 km，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则两景点B与C的距离为________ km(精确到0.1 km，参考数据：eq \r(2)≈1.414，eq \r(3)≈1.732，eq \r(5)≈2.236)．
9.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α.
10.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.山路AC长为1 260 m，经测量，cs A＝eq \f(12,13)，cs C＝eq \f(3,5)，求索道AB的长．
11.(多选)如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，则一定能确定A，B间距离的所有方案为( )
A．测量A，B，b B．测量a，b，C
C．测量A，B，a D．测量A，B，C
12.如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于( )
A．10 m B．5eq \r(3) m C．5(eq \r(3)－1)m D．5(eq \r(3)＋1)m
13．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°方向前进100 m 到达点B，在点B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )
A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m
14.游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的eq \f(11,9)倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin A＝________.
15.在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B，C，D.已知B，C两市相距20 km，C，D两市相距34 km，C市在B，D两市之间，如图所示，某时刻C市感到地表震动，8 s后B市感到地表震动，20 s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km，则震中A到B，C，D三市的距离分别为_______________．
16.如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(eq \r(3)－1)海里的B处有一艘故障船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的救援船奉命以10eq \r(3) 海里/时的速度追赶故障船，此时故障船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向行驶．问：救援船沿什么方向行驶才能最快追上故障船？并求出所需时间(精确到1分钟)．
第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例
1.D 2.AB 3.D 4.A 5.C
6.B [依题意，可得AD＝20eq \r(10)，AC＝30eq \r(5)，
又CD＝50，所以在△ACD中，
由余弦定理的推论，
得cs∠CAD＝eq \f(AC2＋AD2－CD2,2AC·AD)＝eq \f(30\r(5)2＋20\r(10)2－502,2×30\r(5)×20\r(10))＝eq \f(\r(2),2)，
又0°<∠CAD<180°，
所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.]
7.30eq \r(2) 8.11.3
9.解 (1)依题意，知∠BAC＝120°，
AB＝6，AC＝5×2＝10.
在△ABC中，由余弦定理，
得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cs∠BAC＝62＋102－2×6×10×cs 120°＝196，
解得BC＝14，v甲＝eq \f(BC,2)＝7，
所以渔船甲的速度为7 n mile/h.
(2)在△ABC中，AB＝6，
∠BAC＝120°，BC＝14，∠BCA＝α.
由正弦定理，得eq \f(AB,sin α)＝eq \f(BC,sin 120°)，
即sin α＝eq \f(ABsin 120°,BC)＝eq \f(6×\f(\r(3),2),14)
＝eq \f(3\r(3),14).
10.解 在△ABC中，
因为cs A＝eq \f(12,13)，cs C＝eq \f(3,5)，
所以sin A＝eq \f(5,13)，sin C＝eq \f(4,5).
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]
＝sin(A＋C)
＝sin Acs C＋cs Asin C
＝eq \f(5,13)×eq \f(3,5)＋eq \f(12,13)×eq \f(4,5)＝eq \f(63,65).
由eq \f(AB,sin C)＝eq \f(AC,sin B)，
得AB＝eq \f(AC,sin B)·sin C＝eq \f(1 260,\f(63,65))×eq \f(4,5)
＝1 040(m).
所以索道AB的长为1 040 m.
11.ABC
12.D [方法一 设AB＝x m，
则BC＝x m.
∴BD＝(10＋x)m.
∴tan∠ADB＝eq \f(AB,DB)＝eq \f(x,10＋x)＝eq \f(\r(3),3).
解得x＝5(eq \r(3)＋1).
∴A点离地面的高AB等于5(eq \r(3)＋1) m.
方法二 ∵∠ACB＝45°，
∠ADC＝30°，
∴∠CAD＝45°－30°＝15°.
由正弦定理，
得AC＝eq \f(CD,sin∠CAD)·sin∠ADC
＝eq \f(10,sin 15°)·sin 30°＝5(eq \r(6)＋eq \r(2))m.
∴AB＝ACsin 45°＝5(eq \r(3)＋1)m.
即A点离地面的高AB等于5(eq \r(3)＋1)m.]
13.A [如图，设水柱的高度是h m，水柱底端为C，
则在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq \r(3) h，根据余弦定理得，(eq \r(3)h)2＝h2＋1002－2×h×100×cs 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，解得h＝50或h＝－100(舍去)，故水柱的高度是50 m.]
14.eq \f(5,13)
解析 依题意，设乙的速度为x m/s，
则甲的速度为eq \f(11,9)x m/s，
因为AB＝1 040 m，BC＝500 m，
所以eq \f(AC,x)＝eq \f(1 040＋500,\f(11,9)x)，
解得AC＝1 260(m).
在△ABC中，由余弦定理的推论得，
cs A＝eq \f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)
＝eq \f(1 0402＋1 2602－5002,2×1 040×1 260)＝eq \f(12,13)，
所以sin A＝eq \r(1－cs2A)
＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)))2)＝eq \f(5,13).
15.eq \f(132,7) km，eq \f(48,7) km，eq \f(258,7) km
解析 由题意得，在△ABC中，
AB－AC＝1.5×8＝12(km).
在△ACD中，AD－AC＝1.5×20＝30(km).
设AC＝x km，
则AB＝(12＋x)km，
AD＝(30＋x)km.
在△ABC中，
cs∠ACB＝eq \f(x2＋400－12＋x2,2×20×x)
＝eq \f(256－24x,40x)＝eq \f(32－3x,5x)，
在△ACD中，
cs∠ACD＝eq \f(x2＋1 156－30＋x2,2×34×x)
＝eq \f(256－60x,68x)＝eq \f(64－15x,17x).
∵B，C，D在一条直线上，
∴eq \f(64－15x,17x)＝－eq \f(32－3x,5x)，
即eq \f(64－15x,17)＝eq \f(3x－32,5)，
解得x＝eq \f(48,7).即AC＝eq \f(48,7)(km).
∴AB＝eq \f(132,7)(km)，AD＝eq \f(258,7)(km).
16.解 设救援船应沿CD方向行驶t小时，才能最快追上(在D点)故障船，
则CD＝10eq \r(3)t，BD＝10t，
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs∠BAC
＝(eq \r(3)－1)2＋22－2(eq \r(3)－1)×2×cs 120°＝6.
∴BC＝eq \r(6).
又∵eq \f(BC,sin∠BAC)＝eq \f(AC,sin∠ABC)，
∴sin∠ABC＝eq \f(AC·sin∠BAC,BC)
＝eq \f(2×sin 120°,\r(6))＝eq \f(\r(2),2)，
又0°<∠ABC<60°，∴∠ABC＝45°，
∴B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理，
得eq \f(BD,sin∠BCD)＝eq \f(CD,sin∠CBD)，
∴sin∠BCD＝eq \f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq \f(10t·sin 120°,10\r(3)t)＝eq \f(1,2).
又∵0°<∠BCD<60°，
∴∠BCD＝30°，
∴救援船沿北偏东60°的方向行驶.
又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，
∴∠CDB＝30°，∴BD＝BC，
即10t＝eq \r(6).
∴t＝eq \f(\r(6),10)(小时)≈15(分钟).
∴救援船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快追上故障船，大约需要15分钟.