人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第3课时当堂检测题

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1．在△ABC中，a＝eq \r(2)，b＝eq \f(2\r(3),3)，A＝60°，则B等于( )
A．45° B．90°
C．135° D．45°或135°
2．(多选)在△ABC中，若eq \r(3)a＝2bsin A，则B等于( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,6) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则C等于( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(3π,4) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cs A＝－eq \f(1,4)，则eq \f(b,c)等于( )
A．6 B．5 C．4 D．3
5．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式恒成立的是( )
A．a2＝b2＋c2－2bccs A
B．asin B＝bsin A
C．a＝bcs C＋ccs B
D．acs B＋bcs C＝c
6．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq \f(b－ccs A,a－ccs B)＝eq \f(sin B,sin A)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝eq \f(π,6)，a2＋b2－c2＝ab，c＝3，则角C＝________，a＝______.
8．在△ABC中，若b＝acs C，则△ABC的形状为______________．
9．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acs C＋eq \f(\r(3),2)c＝b.
(1)求A的大小；
(2)若a＝1，b＝eq \r(3)，求c的值．
10．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且eq \f(cs B,cs C)＝－eq \f(b,2a＋c).
(1)求B的大小；
(2)若b＝eq \r(13)，a＋c＝4，求a的值．
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acs B＋bcs A＝4sin C，则△ABC外接圆的面积为( )
A．16π B．8π C．2π D．4π
12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cs C等于( )
A.eq \f(7,25) B．－eq \f(7,25) C．±eq \f(7,25) D.eq \f(24,25)
13．在△ABC中，若A＝eq \f(π,4)，sin B＝eq \r(2)cs C，则△ABC为( )
A．直角非等腰三角形
B．等腰非直角三角形
C．非等腰且非直角三角形
D．等腰直角三角形
14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Asin Bcs C＝sin2C，则eq \f(a2＋b2,c2)＝__________，角C的最大值为________．
15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，B＝eq \f(2π,3)，若a2＋c2＝4ac，则eq \f(sinA＋C,sin Asin C)＝________.
16．在△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
第3课时 正弦定理(二)
1.A 2.AC 3.C 4.A 5.ABC
6.A [∵eq \f(b－ccs A,a－ccs B)＝eq \f(sin B,sin A)，
∴由正弦定理得eq \f(b－ccs A,a－ccs B)＝eq \f(b,a)，
整理得acs A＝bcs B，
由正弦定理得
sin Acs A＝sin Bcs B，
∴sin 2A＝sin 2B，
∴2A＝2B或2A＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2).
当A＋B＝eq \f(π,2)时，C＝eq \f(π,2)，
此时△ABC为直角三角形，有ccs B＝a，则a－ccs B＝0，分母无意义，故舍去，
∴A＝B，此时△ABC为等腰三角形.]
7.eq \f(π,3) eq \r(3) 8.直角三角形
9.解 (1)由acs C＋eq \f(\r(3),2)c＝b，
得sin Acs C＋eq \f(\r(3),2)sin C＝sin B.
因为sin B＝sin(A＋C)＝sin Acs C＋cs Asin C，
所以eq \f(\r(3),2)sin C＝cs Asin C.
因为sin C≠0，所以cs A＝eq \f(\r(3),2).
因为0(2)由正弦定理，
得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(3),2).
所以B＝eq \f(π,3)或eq \f(2π,3).
①当B＝eq \f(π,3)时，由A＝eq \f(π,6)，得C＝eq \f(π,2)，
所以c＝2；
②当B＝eq \f(2π,3)时，由A＝eq \f(π,6)，得C＝eq \f(π,6)，
所以c＝a＝1.
综上可得，c＝1或2.
10.解 (1)由余弦定理的推论，
得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，
∴原式化为eq \f(a2＋c2－b2,2ac)·eq \f(2ab,a2＋b2－c2)＝－eq \f(b,2a＋c)，
整理，得a2＋c2－b2＋ac＝0，
∴cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(－ac,2ac)＝－eq \f(1,2)，
又0(2)将b＝eq \r(13)，a＋c＝4，B＝eq \f(2π,3)，
代入b2＝a2＋c2－2accs B得，
13＝a2＋(4－a)2－2a(4－a)·cs eq \f(2π,3)，
即a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.
11.D
12.A [因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且8b＝5c，C＝2B，所以8sin B＝5sin C＝5sin 2B＝10sin Bcs B，又sin B≠0，所以cs B＝eq \f(4,5)，所以cs C＝cs 2B＝2cs2B－1＝eq \f(7,25).]
13.D [由A＝eq \f(π,4)，sin B＝eq \r(2)cs C⇒eq \f(sin B,cs C)＝eq \r(2)⇒eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－C)),cs C)＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋C)),cs C)＝eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(2),2)tan C＝eq \r(2)⇒tan C＝1，又C∈(0，π)，则C＝eq \f(π,4)，
所以B＝eq \f(π,2)，△ABC为等腰直角三角形.]
14.2 eq \f(π,3)
解析 ∵2sin Asin Bcs C＝sin2C，
∴2abcs C＝c2⇒a2＋b2－c2＝c2
⇒eq \f(a2＋b2,c2)＝2，
∴cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(a2＋b2,4ab)≥eq \f(1,2)，
∵0当且仅当a＝b时取等号.
即角C的最大值为eq \f(π,3).
15.eq \f(10\r(3),3)
解析 由余弦定理得，
b2＝a2＋c2－2ac·cs B＝5ac，
由正弦定理，
得sin2B＝5sin Asin C＝eq \f(3,4)，
所以sin Asin C＝eq \f(3,20)，
所以eq \f(sinA＋C,sin Asin C)＝eq \f(sin B,sin Asin C)
＝eq \f(10\r(3),3).
16.解 (1)由正弦定理和已知条件得
BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcs A.②
由①②得cs A＝－eq \f(1,2).
因为0(2)由正弦定理及(1)得
eq \f(AC,sin B)＝eq \f(AB,sin C)＝eq \f(BC,sin A)＝2eq \r(3)，
从而AC＝2eq \r(3)sin B，
AB＝2eq \r(3)sin(π－A－B)＝3cs B－eq \r(3)sin B.
故BC＋AC＋AB＝3＋eq \r(3)sin B＋3cs B
＝3＋2eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,3))).
又0所以当B＝eq \f(π,6)时，△ABC的周长取得最大值，为3＋2eq \r(3).