河北省唐山市滦南县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份河北省唐山市滦南县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了5 毫米黑色墨水签字等内容，欢迎下载使用。
考试注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考
生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分）
1．的值为（ ）
A．B．1C．D．2
2．若，则下列变形不正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．某中学从校射击队队员中选拔一名选手参加男子射击比赛，小明和小刚入选，二人最近10次校内比赛的平均成绩均为9.6环，小明成绩的方差，小刚成绩的方差．若教练组根据平均成绩和方差决定派小刚去参加比赛，则的值可能为（ ）
A．0.34B．0.36C．0.4D．0.42
4．如图，点A，B，C在上，连接．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A．B．C．D．
6．已知反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图像经过点B．随的增大而减小
C．图像不可能和轴相交D．图像是轴对称图形但不是中心对称图形
7．如图，周末小新一家来到河北石家庄正定古城游元，一座古塔塔高为，小新在距离古塔的位置观看古塔时，与观看到的手中的景点地图的古塔缩略图感觉相同（），若缩略图中的古塔高为，则缩略图距离眼睛的距离为（ ）

A．B．C．D．
8．若的半径为5，圆心的坐标为，则平面直角坐标系的原点与的位置关系是（ ）
A．在内B．在外C．在上D．无法确定
9．现有甲、乙两组数据，数据甲：1，2，3，4．数据乙：2021，2022，2023，2024．若数据甲的平均数为，乙的平均数为，则与之间的关系为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，定点在的边上，动点从点向点运动，运动时间为，过点作弧，交边于点．若弧的长为，扇形的面积为，则与，与之间满足的函数关系式分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系B．二次函数关系，一次函数关系
C．正比例函数关系，二次函数关系D．二次函数关系，正比例函数关系
11．如图，ABC与DEF位似，点O为位似中心，已知OA：AD＝1：2，则ABC与DEF的面积比为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9
12．亮亮在解一元二次方程：□时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（ ）
A．1B．0C．7D．9
13．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
14．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点都在小正方形的顶点上，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
15．已知二次函数的图像的对称轴为直线，且抛物线经过点和点．若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．
16．白老师布置了如下题目：“如图，以为直径的半圆上有一点，且，，M为直径上一动点，点与点关于对称，于点，交的延长线于点．”要求同学们添加一个条件，提出问题，并给出相应问题的答案，则两位同学中正确的是（ ）
嘉嘉：当时，与半圆相切．
琪琪：若点恰好落在弧上，则．
A．只有嘉嘉B．只有琪琪C．两人都正确D．两人都不正确
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分）
17．某中学2022年用于教学设施的投资为4万元，预计2024年用于教学设施的投资达到4.84万元，设这两年教学设施投资的年平均增长率为，由题意可列方程： ．
18．已知抛物线，该抛物线与轴的交点坐标为 ，将抛物线向右平移5个单位长度，则平移后的顶点坐标为 ．
19．如图，在矩形ABCD中，，，为左侧一点，且，连接，N为的中点，为直线上一点，且，连接．
（1）若，则 ．
（2）的最大值为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围．
(2)当时，求这个方程的解．
21．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．

(1)求一次函数与反比例函数的表达式．
(2)过点作轴，垂足为，连接，求点的坐标，并直接写出的面积．
22．向阳中学评选“优秀学生干部”由A．德行分数，B．集体荣誉分数，C．爱心奉献分数，D．学业成绩四部分的分数综合核算得出结果．珍珍同学入围最后一轮评选，她的四部分的分数如图1所示．核算平均分数高于83分可获得“优秀学生干部”称号．
(1)珍珍分数的众数为______，中位数为______，若只按图1中分数的平均分数评选，珍珍______（填“能”或“不能”）获得“优秀学生干部”称号．
(2)若四部分的分数按图2比例计算平均分数，请通过计算说明珍珍能否获得“优秀学生干部”称号．
23．如图，彩旗旗杆用，两根钢丝固定在地面上，点A，B，C，D在同一平面内，，，，．
(1)求旗杆部分的长．
(2)求钢丝的总长度．（结果保留根号）
24．如图，四边形内接于，是的直径，，连接，．

(1)求的度数．
(2)求弧的长．
(3)移动点，使为弧的中点，请直接写出此时的长．
25．图中是抛物线形拱桥，以为原点，水面所在直线为轴建立平面直角坐标系．如图1，点为桥拱的弧顶，在桥拱的点处安装一照明灯．
(1)求图1中桥拱所在抛物线的函数表达式．
(2)求的值．
(3)如图2，为方便船只通过，拱桥的桥拱需扩建，扩建后的桥拱所在抛物线与原桥拱所在抛物线的开口大小相同，照明灯安装在点处，求扩建后拱桥的桥拱跨度（即的长）．
26．如图，在矩形中，点在边上，是线段上任意一点，直线与直线相交于点，射线与边相交于点，且．已知，，，，完成以下问题：
(1)如图1，当时，______．
(2)①如图2，当点与点重合时，求的值．
②如图3，当时，求线段的长．
(3)直接写出的值．（用含有的代数式表示）
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．代入特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】解：．
故选B．
2．D
【分析】本题考查了比例的性质，能熟记比例的性质是解此题的关键，如果，那么．
【详解】解：由得，，
A、∵，∴，故本选项不符合题意；
B、∵，∴，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意．
故选：D．
3．A
【分析】本题考查根据方差和平均数做决策．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：小明和小刚的平均成绩均为9.6环，
∴派小刚去参加比赛是因为小刚的方差小，相对稳定，
∴，
符合条件的为0.34，
故选A．
4．C
【分析】根据圆周角定理解答即可.
【详解】解：∵，
∴；
故选：C.
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键.
5．A
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数移项到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．解题时首先进行移项，变形成，两边同时加上4，则把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟记性质是解题的关键．依据反比例函数的图像与性质逐一判断即可．
【详解】解：A．当时，，故点不在图像上，此选项错误，不符合题意；
B．在每一象限内随的增大而减小，故说法错误，不符合题意；
C．图像不可能和轴相交，符合题意；
D．图像既是轴对称图形又是中心对称图形，说法错误，符合题意；
故选：C．
7．A
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟练的利用相似三角形的性质建立方程求解是关键．
【详解】解：由题意可得：，，，
，
∴，
∴，
∴，经检验符合题意；
故选A
8．C
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．
【详解】解：，
∴原点在上，
故选C．
9．B
【分析】本题考查算术平均数的含义．先求解两组数据的算术平均数，从而可得答案．
【详解】解：，
，
∴，
故选B
10．C
【分析】设，首先根据题意得到，然后根据扇形弧长公式和扇形面积公式列出表达式进而求解即可．
【详解】解：设，
∵动点从点向点运动，运动时间为，设运动速度为1，
∴，
∴
∴与之间满足的函数关系式是正比例函数关系；
∴，
∴S与之间满足的函数关系式是二次函数关系．
故选：C．
【点睛】此题考查了正比例函数关系和二次函数关系的概念，扇形的弧长和面积公式，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长和面积公式．
11．D
【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DE，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵OA：AD＝1：2，
∴OA：OD＝1：3，
∵△ABC与△DEF位似，
∴AB∥DE，
∴△OBA∽△OED，
∴，即△ABC与△DEF的相似比为，
∴△ABC与△DEF的面积比＝＝，
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
12．D
【分析】设常数项为c，利用判别式的意义得到△＝（﹣6）2﹣4c≥0，再解不等式得到c的范围，然后在此范围内确定最大值即可．
【详解】解：设常数项为c，
根据题意得△＝（﹣6）2﹣4c≥0，
解得c≤9，
所以c的最大值为9．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
13．D
【分析】本题主要考查反比例函数图象与一次函数的图象共存问题，可分和两种情况讨论函数图象经过的象限进行判断即可
【详解】解：当时，，则一次函数的图象过第一、三、四象限，反比例函数的图象分布在第一、三象限，选项D符合条件的；
当时，，则一次函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数的图象分布在第二、四象限，选项A符合条件，A、B、C、D都不符合条件的；
故选：D
14．A
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，求解锐角的正切，如图，过作于，求解，利用等面积法求解，再利用勾股定理求解，，再利用正切的含义计算即可．
【详解】解：如图，过作于，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
故选A
15．A
【分析】题考查了二次函数的对称性，根据抛物线的对称轴，利用对称轴，确定P的对称点，利用数形结合思想，确定m的范围是解题的关键.
【详解】解：点关于对称轴的对称点坐标为，
∵，开口向上，离对称轴越远，函数值越大，
∴点离对称轴近，
∴，
故选A．
16．C
【分析】连接，，如图所示，证明是等边三角形．证明，结合点N与点M关于对称，可得，可证明与半圆相切． 证明，当点P恰好落在弧上时，连接、，证明，是的垂直平分线，可得，，求解，可得，从而可得答案．
【详解】解：当时，连接，，如图所示，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
∴．
∵，，
∴，
∴．
∴，
∴，
∵点N与点M关于对称，
∴，
∴，
∴，
∵经过半径的外端，且，
∴与半圆相切．
∴嘉嘉正确；
∵点N与点M关于对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点P恰好落在弧上时，连接、，
∵点N与点M关于对称，
∴，
∴，而，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是半的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴琪琪正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，圆周角定理，切线的判定与性质，轴对称的性质，直角三角形斜边上的中线性质，锐角三角函数的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，可得024年用于教学设施的投资元，进而可求解；掌握增长率的典型模型（）的解法是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
故答案：．
18．
【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，图象的平移；当时，，即可求与轴的交点坐标，将抛物线解析式化成顶点式，再按平移的抛物线解析式变化规律“左加右减”进行求解即可；掌握平移变化规律是解题的关键．
【详解】解：当时，，
抛物线与轴的交点坐标为；
，
将抛物线向右平移5个单位长度得：
；
平移后的顶点坐标为；
故答案：，．
19．
【分析】本题考查含的三角形的性质，直角所对的弦是直径，勾股定理，根据直角所对的弦是直径确定点M的运动路径是解题的关键．
（1）直接利用所对的直角边等于斜边的一半求出长，然后利用勾股定理计算即可；
（2）现根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，然后根据，得到点在以为直径的半圆O上运动，当过圆心时，最大，即最大，根据勾股定理求出即可解题．
【详解】解：（1）∵，，
∴；
∴，
（2）∵，N为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴点在以为直径的半圆O上运动，如图，当过圆心时，最大，即最大，
这时，，
∴，
∴，
故答案为：；．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根 判别式，用配方法解一元二次方程；
（1）根据题意，可得，即可解答，
（2）将代入，利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：；
（2）当时，
原方程为，
移项得：，
配方得：，即，
直接开平方得：
解得：．
21．(1)，
(2)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，三角形的面积的应用．
（1）把A的坐标代入一次函数和反比例函数的解析式，求出其解析式；
（2）把B的坐标代入一次函数的解析式，求出B的坐标，根据求出三角形的面积即可．
【详解】（1）解：把代入和得：
，
解得：，
∴一次函数解析式为，反比例函数解析式为；
（2）解：把代入得，
∵轴，垂足为，
∴，
∴．
22．(1)90；85；不能
(2)能，理由见解析
【分析】本题考查的是中位数，众数，平均数的含义，掌握以上基础知识是解本题的关键；
（1）根据众数，中位数，平均数的含义可得答案；
（2）先求解加权平均数，再与83分比较即可得到答案．
【详解】（1）解：∵分出现的次数最多，
∴众数是分，
分数排序为：，，，，
∴中位数为：（分），
平均数为：（分），
∴珍珍不能获得“优秀学生干部”称号．
（2）∵
（分），
∴珍珍能获得“优秀学生干部”称号．
23．(1)
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用；
（1）利用的正切解题即可；
（2）在中运用勾股定理求出长，在中运用角所对的直角边等于斜边的一半求出长即可得到答案．
【详解】（1）解：在中，，
∴；
（2）解：，
在中，,
∴，
∴钢丝的总长度为．
24．(1)
(2)
(3)6
【分析】（1）由是的直径，得到，则可得到，根据圆内接四边形对角互补可得；
（2）如图所示，连接，由圆周角定理得到，再根据弧长公式求解即可；
（3）如图所示，过点D作于E，由含30度角的直角三角形的性质得到；再证明，由三线合一定理得到，求出，则．
【详解】（1）解；∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴
（2）解：如图所示，连接，
∵是的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴弧的长；

（3）解：如图所示，过点D作于E，
在中，，
∴；
∵为弧的中点，
∴弧与弧相等，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，弧与弦之间的关系，求弧长等等，正确作出辅助线是解题的关键．
25．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解可得；
（2）把点的坐标代入解析式即可；
（3）求出扩建后函数解析式，求出时的值即可得结果．
【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为，
把代入得：，
解得：，
∴表达式为；
（2）解：把代入得；
（3）解：设扩建后的桥拱所在抛物线解析式为，
把和代入得：，解得：，
∴，
令，则，
解得：，，
∴扩建后拱桥的桥拱跨度为．
26．(1)
(2)①或②
(3)
【分析】（1）由矩形的性质得，即可判定，由三角形相似的性质得，即可求解；
（2）①由矩形的性质得，由同角的余角相等，由两角对应相等的三角形相似得，由三角形相似的性质得，可得，由求出即可求解；②由（1）得，可求，由勾股定理得，与交于，由由两角对应相等的三角形相似得，由相似三角形的性质可求，同理可证，由性质得，即可求解；
（3）由（1）得，可求，同理可证，由相似的性质得，可求，由（2）中的②得，可求，由即可求解．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
，
，
，
，
解得：，
故答案：；
（2）解：①四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
(ⅰ)，
，
(ⅱ)，
解(ⅰ) (ⅱ)得，
或，
或；
②由（1）得，
，
解得：，
，
，
，
如图，与交于
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
解得：；
故线段的长为；
（3）解：如图，
，
，
由（1）得，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
由（2）中的②得
，
，
解得：，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定及性质，割补法求面积，掌握判定方法及性质及三角形相似模型“Ａ”和“Ｘ”的典型解法是解题的关键．