精品解析：河北省唐山市丰润区2024--2025学年九年级上学期期中数学试题 （解析版）-A4

这是一份精品解析：河北省唐山市丰润区2024--2025学年九年级上学期期中数学试题 （解析版）-A4，共21页。
1．本试卷共24题，总分100分，考试时间90分钟．
2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上．
3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，考生务必将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题有12个小题，每题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是掌握定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形；如果一个图形绕某一个点旋转180度后能与它自身重合，这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A选项不是轴对称图象，也不是中心对称图形，不合题意；
B选项是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意；
C选项是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意；
D选项是轴对称图象，也是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
2. 一元二次方程的根是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．用因式分解法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∴．
故选A．
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点式容易得出其顶点坐标．
【详解】解：∵y＝5（x＋2）2−3，
∴其顶点坐标为（−2，−3），
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式y＝a（x−h）2＋k的顶点坐标为（h，k）是解题的关键．
4. 关于方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判断
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查根的判别式，求出判别式的符号，进行判断即可，熟练掌握根的个数与判别式之间的关系，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴方程没有实数根；
故选C．
5. 在平面直角坐标系中，将函数y＝－x2的图像先向右平移1个单位，再向上平移5个单位后，得到的图像的函数表达式是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据二次函数图象的平移规律即可得．
【详解】二次函数图象的平移规律：对于，函数图象向右（或向左）平移h个单位得到的图象的函数表达式为（或）；函数图象向上（或向下）平移k个单位得到的图象的函数表达式为（或）
则所求的函数表达式为
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移规律，熟记二次函数图象的平移规律是解题关键．
6. 方程的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】按照一元二次方程配方法的解题步骤即可得到正确答案．
【详解】解：
故选：B
【点睛】本题考查一元二次方程的配方法，牢记知识点并能够正确应用是解题重点．
7. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线开口向上
B. 当时，y随x增大而减小
C. 函数最小值为﹣2
D. 顶点坐标为（1，﹣2）
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数图象的性质对各项进行分析判断即可．
【详解】解：抛物线解析式可知，
A、由于，故抛物线开口方向向下，选项不符合题意；
B、抛物线对称轴为，结合其开口方向向下，可知当时，y随x增大而减小，选项说法正确，符合题意；
C、由于抛物线开口方向向下，故函数有最大值，且最大值为-2，选项不符合题意；
D、抛物线顶点坐标为（-1，-2），选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题关键是熟练运用抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及二次函数图象的增减性解题．
8. 如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（ ）
A. 把△ABC向右平移6格
B. 把△ABC向右平移4格，再向上平移1格
C. 把△ABC绕着点A顺时针旋转90°，再向右平移6格
D. 把△ABC绕着点A逆时针旋转90°，再向右平移6格
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：观察图象可知，先把△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转，然后再向右平移即可得到．
根据图象，△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转与△DEF形状相同，向右平移6格就可以与△DEF重合．
考点：几何变换的类型．
9. 如图是二次函数的部分图象，则的解的情况为（ ）
A. 有唯一解B. 有两个解C. 无解D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象可知抛物线顶点的纵坐标为-3，把方程转化为，利用数形结合求解即可.
【详解】根据图象可知抛物线顶点的纵坐标为-3,
把转化为
抛物线开口向下有最小值为-3
∴（-3）>(-4)即方程与抛物线没有交点.
即方程无解.
故选C.
【点睛】本题考查了数形结合的思想，由题意知道抛物线的最小值为-3是解题的关键.
10. 如图，在直角坐标系中，△A′B′C′是由△ABC绕点P旋转一定的角度而得，其中A（1，4），B（0，2），C（3，0），则旋转中心点P的坐标是( )．
A. （5，1）B. （5，0）C. （4，1）D. （4，0）
【答案】B
【解析】
【分析】连接AA′，CC′，线段AA′、CC′的垂直平分线的交点就是点P．
【详解】如图所示，点P的坐标是（5，0）．
故选B.
【点睛】本题考查坐标与图形变化--旋转，掌握对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心，是解题的关键．
11. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成判断一元二次方程根的情况，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成判断．过程如下图所示：

接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A. 只有甲B. 甲和乙C. 乙和丙D. 乙和丁
【答案】B
【解析】
【分析】甲没有把方程化为一般式，乙计算的平方时出现错误．
【详解】解：方程化为一般式为，
，所以甲出现错误，
，所以乙出现错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
12. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】∵动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，
∴点Q运动到点C的时间为4÷2=2秒．
由题意得，当0≤t≤2时，即点P在AB上，点Q在BC上，AP=t，BQ=2t，
，为开口向上的抛物线的一部分．
当2＜t≤4时，即点P在AB上，点Q在DC上，AP=t，AP上的高为4，
，为直线（一次函数）的一部分．
观察所给图象，符合条件的为选项D．故选D．
二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，16题第一空2分第二空1分，共12分）
13. 若α，β是方程的两个根，则的值为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查根与系数的关系，根据的两个根与系数的关系：，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：；
故答案为：1．
14. 某中学的九年级篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛15场，则参加比赛的球队有_____支．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设参加比赛的球队有支，根据的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛15场，列出方程进行求解即可。
【详解】解：设参加比赛的球队有支，由题意，得：
，
解得：或（舍去）；
答：参加比赛的球队有支；
故答案为：6
15. 如图，武汉晴川桥可以近似地看作抛物线，桥拱和路面之间用等距的9根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，这些钢索中最短的一根长8.1米，那么这些钢索中最长的一根长_____米．
【答案】22.5
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，以所在直线为轴，点为坐标原点，建立直角坐标系，由题意，抛物线过点，求出函数解析式，求出顶点坐标即可得出结果．
【详解】解：以所在直线轴，点为坐标原点，建立直角坐标系，如图：
由题意，得：，抛物线过点，
设抛物线的解析式为：，把代入，得：，
解得：，
∴，
∴当时，有最大值为22.5，
∴这些钢索中最长的一根长为22.5米；
故答案为：22.5
16. 如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上．
（1）是等腰三角形吗？_____（选填“是”或“否”）；
（2）若，则_____度．
【答案】 ①. 是 ②.
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质：
（1）根据旋转的性质，得到，即可得出结论；
（2）根据三角形的内角和定理求出的度数，等边对等角求出的度数，进而求出的度数，根据旋转角的度数相等，即可得出的度数．
【详解】解：（1）∵旋转，
∴，
∴是等腰三角形；
故答案为：是；
（2）由图可知：，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∵旋转，
∴；
故答案为：．
三、解答题（本大题有8个小题，共64分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程
（1）
（2）
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法；
（1）用公式法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可．
【小问1详解】
解：，
∴，，，
，
∴，
∴，；
【小问2详解】
解：，
整理得，
因式分解得，
∴或，
∴，．
18. 如图，二次函数经过点．
（1）求该二次函数的解析式，并写出顶点坐标；
（2）利用图象的特点填空：
①方程的解为_____；
②不等式的解集为_____．
【答案】（1）；顶点坐标为；
（2）①，；②或
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和抛物线与轴的交点问题．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先利用配方法得到，对称轴为直线，利用对称性即可得出答案；
②写出函数图象在轴上方所对应的自变量的范围．
【小问1详解】
解：∵二次函数经过点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为；
，
∴顶点坐标为；
【小问2详解】
解：①，
∴对称轴为直线，
∵二次函数经过点C0,−3，
∴二次函数也经过点，
∴方程的解为，；
故答案为：，；
②观察函数图象，不等式的解集为或．
故答案为：或．
19. 杭州第19届亚运会于2023年9月23日举行．某商场销售亚运会文化衫，每件进价为50元，试销售期间发现，销售定价为55元时，平均每天可售出210件，销售定价每上涨1元，销售量就减少3件．
（1）当每件文化衫的售价为58元时，平均每天售出_____件文化衫，每天的销售利润_____元．
（2）设每件文化衫的售价上涨元．
①平均每天售出_____件文化衫（用含的代数式表示）．
②若每天的销售利润恰好为2700元，且每件获利不超过，求的值．
【答案】（1）201，1608
（2）①；②
【解析】
【分析】本题一元二次方程的实际应用，正确的列出代数式和方程，是解题的关键：
（1）根据销售定价每上涨1元，销售量就减少3件，列出算式求出销量，根据总利润等于单件利润乘以销量求出总利润即可；
（2）①根据销售定价每上涨1元，销售量就减少3件，列出代数式即可；
②根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程，进行求解即可．
【小问1详解】
解：（件）；
（元）；
故答案为：201，1608
【小问2详解】
解：①平均每天售出件文化衫；
故答案为：；
②由题意，的：，
解得：，；
不符合题意．
．
20. 如图，在中，．
（1）将向右平移4个单位长度，画出平移后的；
（2）画出关于轴对称的；
（3）将绕原点旋转，画出旋转后的；
（4）与关于点对称，则点的坐标为_____．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析 （4）
【解析】
【分析】本题考查了作图的综合问题，熟练掌握图形的平移、旋转和对称是解题的关键．
（1）首先将点A、B、C分别向右平移4个单位，得到点、、，顺次连接即可；
（2）作点A、B、C关于x轴的对称点、、，顺次连接即可；
（3）将A、B、C绕点O旋转，得到点、、，顺次连接即可；
（4）通过计算可得，和相交于点2,0，根据中心对称图形的定义即可解答．
【小问1详解】
解：如图所示；
；
【小问2详解】
解：如图所示；
【小问3详解】
解：如图所示；
【小问4详解】
解：连接，和，
由图可得，，，，，，，
∵的中点为2,0，的中点为2,0，的中点为2,0，
∴与呈中心对称，
∴对称中心为．
故答案为：．
21. 某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后，想利用此知识来探究周长一定时，矩形的面积与边长函数关系式的图象．请将他们的探究过程补充完整．
（1）列函数表达式：若矩形的周长为8，设矩形的一边长为，面积为，则有_____；
（2）上述函数表达式中，自变量的取值范围是_____；
（3）列表：
写出_____；
（4）画图：在平面直角坐标系中已描出了上表中部分各对应值为坐标的点，请你画出该函数的图象．请你根据以上过程猜想矩形面积的最大值应是_____．用所学的函数知识验证你的猜想．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）图见解析，当时，y有最大值，最大值为4．
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用、矩形的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．
（1）由题意，长方形的另一边长为，可得函数解析式；
（2）上述函数表达式中，表示长方形的边长，则，由题知，，则，可得自变量的取值范围是；
（3）把代入，可得；
（4）根据图表可画出函数图象．化成顶点，由二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：设矩形的一边长为，面积为，则另一边长为，
∴．
故答案为：；
【小问2详解】
解：由题意得，，则，
∴自变量x的取值范围是．
故答案为：；
【小问3详解】
解：时，，
故答案为：；
【小问4详解】
解：函数图象如图所示：
由图象可知矩形面积的最大值应是4．
∵，，
∴当时，y有最大值，最大值为4．
22. 如图，点M，N分别在正方形边上，且．把绕点A顺时针旋转得到，此时E，B，M共线．

（1）求证：．
（2）若正方形的边长为6，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；
（2）由旋转的性质可得，由全等三角形的性质得到，设，则，由正方形的性质得到，则，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
证明：由旋转的性质得：，
四边形是正方形，
，即，
，即，
，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
解：由旋转的性质可得，
由（1）得，
∴，
设，则，
∵四边形是边长为6的正方形，
∴，
∴
在中，由勾股定理得，
∴
解得，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键．
23. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求；
（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．
【答案】（1）的值为12
（2）这个苗圃园的面积有最大值和最小值，最大值为平方米，最小值为88平方米
【解析】
【分析】（1）根据题意可以得到关于x的一元二次方程，从而可以解答本题，注意平行于墙的一般长不能超过18米；
（2）设苗圃园的面积为y，根据题意得到二次函数解析式y=x（30-2x）=-2x2+30x，根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
根据题意知平行于墙的一边的长为米，
则有：，
∴，
解得：，
当时，，不符合题意，故舍去，
当时，，
则当苗圃园的面积为72平方米时，．
【小问2详解】
设苗圃园的面积为y，
∴
，
∵，
∴苗圃园的面积y有最大值，
∵，且，
解得：，
∴，
∴当时，y取得最大值，此时平方米；
当时，平方米．
【点睛】此题考查了二次函数、一元二次方程的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．
24. 《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：
【问题】
如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x-2)2-4经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a= ，点A的坐标为 ．
操作】
将图①中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，如图②．直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式： ．
【探究】
在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数y随x的增大而增大时，x的取值范围是 ．
【应用】结合上面的操作与探究，继续思考：
如图③，若抛物线y=(x-h)2-4与x轴交于A，B两点（A在B左），将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象．
（1）求A、B两点的坐标；（用含h的式子表示）
（2）当1＜x＜2时，若新图象的函数值y随x的增大而增大，求h的取值范围．

【答案】［问题］1，（4，0）；［操作］y=-(x-2)2+4；［探究］0＜x＜2（填0≤x≤2也可以）或x＞4；［应用］（1）A(h-2，0) B(h+2，0)（2）2≤h≤3或h≤-1
【解析】
【分析】［问题］：把代入可求得的值；令，即可求得二次函数与轴的另一个交点的坐标；
［操作］：先写出沿轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值的解析式；
［探究］：根据图象呈上升趋势的部分，即随增大而增大，写出的取值；
［应用］：令，即可求得二次函数与轴的交点的坐标，即点的坐标；
根据图象写出关于的不等式，进而求得的取值范围．
【详解】解：［问题］：把代入抛物线，得 ，解得，
令，解得： ，
二次函数与轴的另一个交点的坐标为： ，
故答案为 ；
［操作］抛物线的顶点坐标为：，
翻折后抛物线开口向下，顶点坐标为：，
故翻折后这部分抛物线对应的函数解析式为：，
故答案为；
［探究］：根据图象呈上升趋势的部分，即随增大而增大时，
取值范围为： 或；
［应用］：令解得：
故点的坐标为：；
当时，新图象的函数值随增大而增大，
则： 或，
x
…
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
…
y
…
1.75
3
3.75
4
3.75
3
m
…