2021-2022学年江苏省无锡市天一中学高二上学期期末数学试题含解析

2021-2022学年江苏省无锡市天一中学高二上学期期末

数学试题

一、单选题

1．数列满足且，则的值是（ ）

A．1 B．4 C．－3 D．6

【答案】A

【详解】根据题意，由于，可知数列是公差为-3的等差数列，则可知d=-3,由于= ，故选A．

2．已知直线 ， ，若，则实数 （       ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】根据两条直线的斜率相等可得结果.

【详解】因为直线 ， ，且，

所以，

故选：D.

3．已知函数的导数为，则等于（       ）

A．0 B．1

C．2 D．4

【答案】A

【分析】先对函数求导，然后代值计算即可

【详解】因为，

所以.

故选：A

4．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（       ）

A．1 B．3 C．9 D．81

【答案】A

【分析】根据条件，利用椭圆标准方程中长半轴长a，短半轴长b，半焦距c的关系列式计算即得.

【详解】由椭圆的一个焦点坐标为，则半焦距c=2，

于是得，解得，

所以的值为1.

故选：A

5．圆（）上点到直线的最小距离为1，则

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】A

【详解】试题分析：根据题意可得,圆心到直线的距离等于,即,求得,所以A选项是正确的.

【点睛】判断直线与圆的位置关系的常见方法：(1)几何法：利用ｄ与ｒ的关系．(2)代数法：联立方程之后利用判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．

6．在等比数列中，，是方程的两个实根，则（       ）

A．-1 B．1 C．-3 D．3

【答案】B

【分析】由韦达定理可知，结合等比中项的性质可求出.

【详解】解：在等比数列中，由题意知：，，

所以，，所以且，即.

故选：B.

7．《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次渐多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若公士出28钱，则不更出的钱数为（       ）

A．14 B．16 C．18 D．20

【答案】B

【分析】由题可知这是一个等差数列，前项和，，列式求基本量即可.

【详解】设每人所出钱数成等差数列，公差为，前项和为，

则由题可得，解得，

所以不更出的钱数为.

故选：B

8．如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：，设F1F2=2c，

∵△F2AB是等边三角形，

∴∠A F1F2==30°，

∴AF1=c，AF2=c，

∴a= (c-c)2，e=2c(c-c)=+1，

故选D

二、多选题

9．设数列的前n项和为，，，则（       ）

A．是等比数列 B．是单调递增数列

C． D．的最大值为12

【答案】CD

【分析】由题设，结合等差、等比数列的定义和性质判断A、B；进而求出的通项公式，根据的二次函数性质求最值判断C、D.

【详解】由题设知：，故是等差数列且递减，又，

所以，且，

当或，的最大值为12.

综上，A、B错误，C、D正确.

故选：CD

10．已知椭圆的左，右焦点为F1，F2，点P为椭圆C上的动点（P不在x轴上），则（       ）

A．椭圆C的焦点在x轴上 B．△的周长为

C．的取值范围为 D．椭圆的离心率为

【答案】ABD

【分析】由椭圆方程确定椭圆参数值，A根据参数a、b的大小关系判断；B由△的周长为判断；C根据椭圆的有界性判断；D直接求离心率判断.

【详解】A：由椭圆方程知：，故椭圆C的焦点在x轴上，正确；

B：由，且△的周长为，正确；

C：由P为椭圆C上的动点且不在x轴上，则，错误；

D：椭圆的离心率为，正确.

故选：ABD

11．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（       ）

A． B．

C．时，取得最大值 D．时，取得最小值

【答案】AB

【分析】由图象可确定的单调性，结合单调性依次判断各个选项即可得到结果.

【详解】由图象可知：当时，；当时，；

在，上单调递增，在上单调递减；

对于A，，，A正确；

对于B，，，B正确；

对于C，由单调性知为极大值，当时，可能存在，C错误；

对于D，由单调性知，D错误.

故选：AB.

12．已知双曲线的焦点在圆上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于点两点，若点满足（为坐标原点），下列说法正确的有（       ）

A．双曲线的虚轴长为4 B．双曲线的离心率为

C．直线与双曲线没有交点 D．的面积为8

【答案】BD

【分析】由焦点在圆上求得，不妨设，，由得，然后由，得出的关系，给可求得得双曲线方程，然后根据双曲线的性质判断各选项．

【详解】由已知，不妨设，，

，，所以，，

因为，所以，

，又，解得或（舍去），，A错；

，，B正确；

双曲线的渐近线为，因此直线与双曲线有一个交点．C错；

由上面讨论知，，所以．D正确．

故选：BD．

三、填空题

13．等比数列的前项和为，则的值为_____．

【答案】

【分析】根据等比数列前项和公式的特点列方程，解方程求得的值.

【详解】由于等比数列前项和，本题中，故.

故填：.

【点睛】本小题主要考查等比数列前项和公式的特点，考查观察与思考的能力，属于基础题.

14．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】先求出直线经过的定点，再求出圆心到定点的距离，数形结合即得解.

【详解】

由题得，所以直线经过定点，

圆的圆心为，半径为.

圆心到定点的距离为，

当时，取得最小值，且最小值为.

故答案为：8

15．已知抛物线的准线方程为，在抛物线C上存在A､B两点关于直线对称，设弦AB的中点为M，O为坐标原点，则的值为___________.

【答案】5

【分析】先运用点差法得到，然后通过两点距离公式求出结果．

【详解】解：抛物线的准线方程为，

所以，解得，

所以抛物线的方程为，

设点，，，，的中点为，，

则，，

两式相减得，

即，

又因为，两点关于直线对称，

所以，

解得，可得，

则，

故答案为：5．

16．设函数，.若对任何，，恒成立，求的取值范围______.

【答案】14,+∞k|k≥14

【分析】先把原不等式转化为恒成立，构造函数，利用恒成立，求出的取值范围.

【详解】因为对任何，，

所以对任何，，

所以在上为减函数.

，，

所以恒成立，即对恒成立，

所以，

所以.

即的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】恒（能）成立问题求参数的取值范围：

①参变分离，转化为不含参数的最值问题；

②不能参变分离，直接对参数讨论，研究的单调性及最值；

③特别地，个别情况下恒成立，可转换为（二者在同一处取得最值）.

四、解答题

17．已知正项等差数列满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）设数首项为，公差为，由，，列出方程组，求得，，即可求出数列的通项公式；

（2），利用列项相消求和法即可得出答案.

【详解】（1）设数首项为，公差为，

由题得.

解得，，（负值舍去）

所以；

（2）由（1）得

则

.

18．已知椭圆C与椭圆有相同的焦点，且离心率为.

(1)椭圆C的标准方程；

(2)若椭圆C的两个焦点，P是椭圆上的点，且，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意求出即可求解；

（2）由椭圆的定义和三角形面积公式求解即可

(1)

因为椭圆C与椭圆有相同的焦点，

所以椭圆C的焦点，，，

又，

所以，，

所以椭圆C的标准方程为.

(2)

由，，

得，，

而，

所以，

所以

19．已知为数列的前项和，且.

(1)求的通项公式；

(2)若，求的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由与的关系结合等比数列的定义得出的通项公式；

（2）由（1）得出，再由错位相减法得出的前项和.

(1)

因为，所以当时，，所以.

当时，，

两式相减，得，所以，所以，

所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.

(2)

由（1）得，所以，

两边同乘以，得，

两式相减，得，

所以.

20．设函数.

(1)若在点处的切线为，求a，b的值；

(2)求的单调区间.

【答案】(1)，；

(2)答案见解析.

【分析】（1）已知切线求方程参数，第一步求导，切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率.

(2)第一步定义域，第二步求导，第三步令导数大于或小于0，求解析，即可得到答案.

(1)

的定义域为，，

因为在点处的切线为，

所以，所以；所以

把点代入得：.

即a，b的值为：，.

(2)

由（1）知：.

①当时，在上恒成立，所以在单调递减；

②当时，令，解得：，

列表得：

所以，时，的递减区间为，单增区间为.

综上所述：当时，在单调递减；

当时，的递减区间为，单增区间为.

【点睛】导函数中得切线问题第一步求导，第二步列切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率这三个方程，可解切线相关问题.

21．已知抛物线的顶点为原点，焦点F在x轴的正半轴，F到直线的距离为.点为此抛物线上的一点，.直线l与抛物线交于异于N的两点A，B，且.

(1)求抛物线方程和N点坐标；

(2)求证：直线AB过定点，并求该定点坐标.

【答案】(1)，

(2)证明见解析，定点

【分析】（1）设抛物线的标准方程为，利用点到直线距离公式可求出，再利用焦半径公式可求出N点坐标；

（2）设直线的方程为，与抛物线联立，利用韦达定理计算，可得关系，然后代入直线方程可得定点.

(1)

设抛物线的标准方程为，，其焦点为

则，

∴

所以抛物线的方程为.

，所以，所以.

因为，所以，所以.

(2)

由题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为（），

联立方程得

设两个交点，（，）.

所以

所以，

即

整理得，此时恒成立，

此时直线l的方程为，可化为，

从而直线过定点.

22．已知函数.

(1)当时，求的单调区间与极值；

(2)若在上有解，求实数a的取值范围.

【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，无极大值

(2)

【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可；

（2）分和两种情况分析求解，当时，不等式变形为在，上有解，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求解的最小值，即可得到答案．

(1)

当时，，所以

当时；当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时函数有极小值，无极大值.

(2)

因为在上有解，

所以在上有解，

当时，不等式成立，此时，

当时在上有解，

令，则

由（1）知时，即，

当时；当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，，所以，

综上可知，实数a的取值范围是.

【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题或有解问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围．