2022-2023学年天津市部分区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年天津市部分区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.某校举行演讲比赛，9位评委分别给出一名选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )
A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差
2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是( )
A. 正方形的直观图是正方形B. 矩形的直观图是矩形
C. 菱形的直观图是菱形D. 平行四边形的直观图是平行四边形
3.已知向量a=(−1,1)，b=(1,−2)，则a⋅b=( )
A. −3B. −1C. 2D. (−1,−2)
4.若i为虚数单位，则1−i1+i=( )
A. iB. −iC. 1D. −1
5.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是( )
A. A与B互为对立事件B. P(A)=P(B)C. A与B相等D. A与B互斥
6.将一个棱长为1cm的正方体铁块磨成一个球体零件，则能制作的最大零件的体积为( )
注：球的体积V=43πR3，其中R为球的半径.
A. π6cm3B. 2π3cm3C. 3π2cm3D. π3cm3
7.在△ABC中，角A，BC，的对边分别为a，b，c.若b=2，A=45∘，C=75∘，则a的值为( )
A. 2 2B. 23 6C. 6D. 43 3
8.甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( )
A. 34B. 23C. 57D. 512
9.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的为( )
A. 若n⊥α，n⊥β，则α⊥βB. 若m//n，m//β，则n//β
C. 若m//α，m//β，则α//βD. 若m//n，n⊥β，则m⊥β
10.在△ABC中，AB=2，AC=3，∠A=60∘.若P，Q分别为边AB，AC上的点，且满足AP=λAB，AQ=(1−λ5)AC，则BQ⋅CP的最大值为( )
A. −8615B. −295C. −234D. −6
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.若事件A与B互斥，且P(A)=0.5，P(B)=0.3，则P(A∪B)=______ .
12.已知向量a=(4,2)，b=(m,3)，若存在实数λ，满足a=λb，则实数m的值为______ .
13.某工厂对一批产品的长度(单位：mm)进行检验，将抽查的产品所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图如图所示，若长度在20mm以下的产品有30个，则长度在区间[20,30)内的产品个数为______ .
14.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，若AB=AD=12AA1，E是棱DD1的中点，则直线A1C1与AE所成的角的大小为______ .
15.在△ABC中，∠A=90∘，AB=3，AC= 3.若CM=2MB，AN=λAC+AB(λ∈R)，且AN⋅AM=8，则λ的值为______ .
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知i是虚数单位，复数z=(m2−3m)+(m2−5m+6)i，m∈R.
(1)当m=1时，求|z|；
(2)若z是纯虚数，求m的值；
(3)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围.
17.(本小题12分)
甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的成绩(环数)如下：
甲7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
(1)求甲运动员的样本数据的众数和第85百分位数；
(2)分别计算这两位运动员射击成绩的方差；
(3)如果选一位成绩稳定的运动员参加比赛，选谁较好？说明理由.
注：一组数据x1，x2，…，xn的平均数为x−，它的方差为s2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+⋅⋅⋅+(xn−x−)2]
18.(本小题12分)
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB= 3b.
(1)求A；
(2)若a= 7，c=2，求△ABC的面积.
19.(本小题12分)
一个袋子中装有标号分别为1，2的2个黑球和标号分别为3，4，5的3个白球，这5个球除标号和颜色外，没有其他差异.
(1)若有放回的从中随机摸两次，每次摸出一个球，求第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率；
(2)若不放回的从中随机摸出两个球，已知黑球的标号用x表示，白球的标号用y表示.求满足条件y−x>2的概率.
20.(本小题12分)
如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD//BC，∠BAD=90∘，AB=AD=12BC.
(1)求证：AD//平面BCEF；
(2)求证：平面DCE⊥平面ABCD；
(3)求直线BE与平面DCE所成的角的正切值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，
7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，
故选：C.
根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．
本题考查数据的数字特征，关键是掌握数据的平均数、中位数、方差、极差的定义以及计算方法，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，正方形的直观图可以是平行四边形，A错误；
对于B，矩形的直观图可以是平行四边形，B错误；
对于C，正方形是特殊的菱形，其直观图不是菱形，C错误；
对于D，平行四边形的直观图是平行四边形，D正确．
故选：D.
根据题意，由斜二测画法依次分析选项，综合可得答案．
本题考查斜二侧画法，熟练掌握斜二侧画法的作图步骤及实质是解答的关键，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由a=(−1,1)，b=(1,−2)，
可得：a⋅b=−1×1+1×(−2)=−3.
故选：A.
由向量数量积的坐标表示直接得出．
本题考查平面向量的数量积运算，属基础题．
4.【答案】B
【解析】解：1−i1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i2=−i.
故选：B.
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
5.【答案】B
【解析】解：抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，
事件A与B能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD均错误；
P(A)=P(B)=12，故B正确；
事件A与事件B不是同一个事件，故C错误．
故选：B.
事件A与B能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件；P(A)=P(B)=12；事件A与事件B不是同一个事件．
本题考查古典概型、互斥事件、对立事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：正方体的棱长为1，要使制作成球体零件的体积最大，则球内切于正方体，
则球的直径为1cm，半径为12cm，
∴可能制作的最大零件的体积为43π×(12)3=16πcm3.
故选：A.
由正方体的棱长求得正方体内切球的半径，代入球的体积公式求解．
本题考查了球的体积公式，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：因为b=2，A=45∘，C=75∘，
所以B=180∘−A−C=60∘，
由正弦定理asinA=bsinB，可得a=b⋅sinAsinB=2× 22 32=2 63.
故选：B.
由已知利用三角形内角和定理可求B的值，进而利用正弦定理即可求解a的值．
本题考查了三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了相互独立事件同时发生的概率与互斥事件的概率加法公式，基础题．
根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，这两种情况是互斥的，进而根据相互独立事件的概率公式计算可得其概率．
【解答】
解：根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，
则所求概率是23(1−34)+34(1−23)=512，
故选：D.
9.【答案】D
【解析】解：对于A，若n⊥α，n⊥β，则α//β，故A错误．
对于B，若m//n，m//β，则n//β或n⊂β，故B错误；
对于C，若m//α，m//β，则α//β或α与β相交，故C错误；
对于D，若m//n，n⊥β，由直线与平面垂直的性质可得m⊥β，故D正确．
故选：D.
根据空间中线线，线面，面面间的位置关系逐项分析判断即可．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
10.【答案】A
【解析】解：∵BQ=BA+AQ=(1−λ5)AC−AB，
CP=AP−AC=λAB−AC，
AB⋅AC=|AB||AC|csA=2×3×12=3，
∴BQ⋅CP=[(1−λ5)AC−AB]⋅(λAB−AC)
=λ(1−λ5)AC⋅AB−(1−λ5)AC2−λAB2+AB⋅AC
=3λ(1−λ5)−9(1−λ5)−4λ+3
=−35λ2+45λ−6
=−35(λ−23)2−8615，
∵P，Q分别为边AB，AC上的点，且满足AP=λAB，AQ=(1−λ5)AC，
∴0≤λ≤10≤1−λ5≤1，∴0≤λ≤1，
∴当λ=23时，BQ⋅CP有最大值为−8615.
故选：A.
通过平面向量的线性运算将BQ,CP都用AB,AC表示出来，由平面向量的数量积运算得到BQ⋅CP是关于λ的二次函数，求出最值即可．
本题考查平面向量的线性运算和数量积，二次函数的值域等，属于中档题．
11.【答案】0.8
【解析】解：∵事件A与B互斥，
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.3=0.8.
故答案为：0.8.
根据互斥事件的概率加法公式计算即可．
本题考查互斥事件加法公式的应用，考查学生计算能力，属于基础题．
12.【答案】6
【解析】解：∵a=λb，
∴(4,2)=(mλ,3λ)，
∴mλ=43λ=2，解得m=6λ=23.
故答案为：6.
根据a=λb代入a,b的坐标即可求出m的值．
本题考查了向量坐标的数乘运算，相等向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．
13.【答案】55
【解析】解：长度在20mm以下的频率为5×(0.02+0.04)=0.3，
所以抽查的产品总数为300.3=100，
所以长度在区间[20,30)内的产品个数为5×(0.08+0.03)×100=55.
故答案为：55.
先求出抽查的产品总数，再结合频率分布直方图求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
14.【答案】π3
【解析】解：连接AC，
则A1C1//AC，
连接AE、EC，
则异面直线A1C1与AE所成的角的平面角为∠EAC，
设AB=t，
又AB=AD=12AA1，E是棱DD1的中点，
则AE=AC=EC= 2t，
则△AEC为等边三角形，
即∠EAC=π3，
即直线A1C1与AE所成的角的大小为π3.
故答案为：π3.
连接AC，则A1C1//AC，连接AE、EC，则异面直线A1C1与AE所成的角的平面角为∠EAC，然后求解即可．
本题考查了异面直线所成角的求法，重点考查了异面直线所成角的作法，属基础题．
15.【答案】2
【解析】解：根据题设，建立如图所示坐标系，
则A(0,0)，B(0,3)，C( 3,0)，
由CM=2MB，可得M( 33,2)，
∴AN=λAC+AB=( 3λ,3)，
又AN⋅AM=8，
则( 3λ,3)⋅( 33,2)=λ+6=8，
解得λ=2.
故答案为：2.
根据直角三角形的结构特点，建立坐标系，将已知条件转化为坐标运算即可求得．
本题考查坐标法表示平面向量和数量积运算，属基础题．
16.【答案】解：(1)当m=1时，z=−2+2i，
所以|z|= (−2)2+22=2 2；
(2)若复数是纯虚数，则m2−3m=0m2−5m+6≠0，
解得{m=0或m=3m≠2且m≠3，
所以m=0；
(3)复数z在复平面内对应的点位于第二象限
则m2−3m<0m2−5m+6>0；
即{03，
所以实数m的取值范围是(0,2).
【解析】根据已知条件，结合复数模公式，复数的几何意义，纯虚数的定义，即可依次求解．
本题主要考查复数模公式，复数的几何意义，纯虚数的定义，属于基础题．
17.【答案】解：(1)根据题意，把甲的数据按从小到大排列如下：4 4 5 7 7 7 8 9 9 10，
则甲的数据里的众数是7，
因为85%×10=8.5，所以第9个数据是第85百分位数，即第85百分位数为9；
(2)x−甲=110(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7，
则S甲2=110[(7−7)2+…+(4−7)2]=4；
x−乙=110(5+6+6+7+7+7+7+8+8+9)=7，
则S乙2=110[(9−7)2+…+(7−7)2]=1.2；
(3)由(2)结论：x−甲=x−乙=7，但有S甲2>S乙2，
即甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小
故乙的成绩较稳定，所以选乙参加比赛．
【解析】(1)根据题意，将甲的数据按从小到大排列，分析可得其众数和第85百分位数，即可得答案；
(2)根据题意，由方差公式计算可得答案；
(3)根据题意，由(2)的结论，比较甲乙的平均数和方差，分析可得答案．
本题考查数据平均数、方差的计算，涉及百分位数、众数的计算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为2asinB= 3b，由正弦定理可得2sinAsinB= 3sinB，
因为sinB≠0，所以sinA= 32，
因为△ABC是锐角三角形，
所以A=π3；
(2)因为a= 7，c=2，由余弦定理a2=b2+c2−2accsA，
整理可得：b2−2b−3=0，解得b=3，
所以S△ABC=12bcsinA=12×3×2× 32=3 32.
【解析】(1)由正弦定理及sinB≠0可得sinA的值，再由锐角三角形的条件，可得A角的大小；
(2)由余弦定理可得b角的大小，代入三角形的面积公式，可得面积的大小．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)记摸一次得到黑球的事件为A，得到白球的事件为B，
则P(A)=25，P(B)=35，
又事件A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)=25×35=625；
(2)从中摸两个球，所得样本空间为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}，共包含10个样本点，
满足条件y−x>2的样本点有(1,4)，(1,5)，(2,5)共3个，
满足条件y−x>2的事件的概率为310.
【解析】(1)根据相互独立事件的乘法公式计算即可；
(2)列举出从中摸两个球的所有样本空间和满足条件y−x>2的样本点，根据古典概型的概率公式求解即可．
本题考查相互独立事件的应用，考查古典概型的概率公式，属于基础题．
20.【答案】(1)证明：因为AD//BC，AD⊄平面BCEF，BC⊂平面BCEF，
所以AD//平面BCEF.
(2)证明：因为四边形ADEF为正方形，所以ED⊥AD，
又平面ADEF⊥平面ABCD，ED⊂平面ADEF，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD，
因为ED⊂平面DEC，
所以平面DCE⊥平面ABCD.
(3)解：连接BD，设AB=1，
因为∠BAD=90∘,AB=AD=12BC，所以BD= 2，∠ADB=45∘，BC=2，
因为AD//BC，所以∠DBC=45∘，
在△BCD中，由余弦定理得，DC2=BD2+BC2−2BD×BC×cs45∘=2+4−2× 2×2× 22=2，
所以DC= 2，
所以DC2+BD2=BC2，即BD⊥DC，
由(2)知ED⊥平面ABCD，则BD⊥ED，
而DE∩DC=D，
所以BD⊥平面DCE，
所以∠BED就是直线BE与平面DCE所成的角，
在Rt△BDE中，tan∠BED=BDDE= 2，
所以直线BE与平面DCE所成的角的正切值为 2.
【解析】(1)由AD//BC，利用线面平行的判定定理，得证；
(2)结合ED⊥AD与平面ADEF⊥平面ABCD，可得ED⊥平面ABCD，再由面面垂直的判定定理，得证；
(3)连接BD，在△BCD中，由余弦定理求出DC的长，利用勾股定理，可证BD⊥DC，再结合BD⊥ED，证得BD⊥平面DCE，从而知∠BED即为所求，然后由三角函数的知识，得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线与面平行、垂直的判定定理或性质定理，线面角的定义是解题的关键，考查空间立体感，推理论证能力和运算能力，属于中档题．