2022-2023学年天津市西青区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年天津市西青区高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.复平面内，复数z=21−i对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.设α，β为两个平面，则α//β的充要条件是( )
A. α内有无数条直线与β平行B. α内有两条相交直线与β平行
C. α，β平行于同一条直线D. α，β垂直于同一平面
3.已知△ABC是等边三角形，边长为2，则满足AB⋅BC=( )
A. 2B. −2C. 3D. − 3
4.如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为( )
A. 2 2B. 1C. 2D. 2(1+ 2)
5.从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为( )
A. 14，12B. 12，16C. 14，16D. 16，14
6.有关一组8个数据2，6，8，3，3，3，7，8
①这组数据的中位数是3；
②这组数据的方差是112；
③这组数据的众数是8；
④这组数据的第75百分位数是7.5.
以上四个结论正确的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1= 3，则异面直线AD1与DB所成角的余弦值为( )
A. 24B. 25C. 26D. 28
8.抛掷一枚质地均匀骰子2次，设事件A=“第一次骰子正面向上的数字为2”，设事件B=“两次骰子正面向上的数字之和为7”，设事件C=“两次骰子正面向上的数字之和为5”，则( )
A. 事件A和事件C互斥B. 事件B和事件C互为对立
C. 事件A和事件B相互独立D. 事件A和事件C相互独立
9.某单位对全体职工的某项指标进行调查，按性别进行分层随机抽样，得到样本职工该项指标数据，分别计算他们的数据平均分和方差，结果如下：
则以此估计总体的方差为( )
A. 3.56B. 2C. 0.2D. 3.25
10.第四届数字中国建设峰会将于2021年4月25日至26日在福州举办，福州市以此为契机，加快推进“5G+光网”双千兆城市建设．如图，某县区域地面有四个5G基站A，B，C，D.已知C，D两个基站建在江的南岸，距离为10 3km；基站A，B在江的北岸，测得∠ACB=75∘，∠ACD=120∘，∠ADC=30∘，∠ADB=45∘，则A，B两个基站的距离为( )
A. 10 2kmB. 10 3kmC. 15kmD. 10 5km
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.已知复数(m2−5m+6)+(m2−3m)i是纯虚数，则实数m=______.
12.已知e为一个单位向量，a与e的夹角为45∘，若a在e上的投影向量为2e，则|a|=______ .
13.已知△ABC是边长为3的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为______ .
14.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则AF⋅BC的值为______.
15.2009年9月，经联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产的节日.为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为34和23，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.则甲在两轮活动中答对1个问题的概率为______ ，“粽队”在两轮活动中答对三个问题的概率为______ .
16.在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动(如图)，假设某同学所受重力为G，两臂拉力分别为F1，F2，若|F1|=|F2|，F1与F2的夹角为θ，则以下四个结论中：
①|F1|的最小值为12|G|；
②当θ=π2时，|F1|= 22|G|；
③当θ=2π3时，|F1|=|G|；
④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力.在以上四个结论中，正确的序号为______ .
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且asinC= 3ccsA.
(Ⅰ)求角A的值；
(Ⅱ)若a= 7，b+c=4，求△ABC的面积.
18.(本小题12分)
已知向量a，b满足a=(2,3)，|b|=2 13.
(Ⅰ)若a//b，求向量b的坐标；
(Ⅱ)若(a+b)⊥(5a−2b)，求a与b的夹角θ.
19.(本小题12分)
今年“五一”小长假是继春节之后的第一个较长假期，也是疫情放开后的首个“五一”假期.五一期间各个景区推出了各种丰富多彩的文旅活动，游客纷至沓来，迎来了旅游高峰期.西青区统计局为进一步了解五一期间居民对本区旅游景点服务满意度情况，开展了社情民意电话热线调查，现从本区居民中随机选取了年龄(单位：岁)在[25,50]内的男、女居民各100人，以他们的年龄为样本，得到女居民的频率分布直方图和男居民的年龄频数分布表如下.
(Ⅰ)求频率分布直方图中a的值；
(Ⅱ)根据频率分布直方图估计样本中女居民年龄的中位数(精确到整数)；
(Ⅲ)在上述样本中用分层随机抽样的方法从年龄[25,35)内的女居民中抽取4人，从年龄在[25,35)的男居民中抽取5人，记这9人中年龄在[30,35)内的居民有m人，再从这m人中随机抽取2人.
①求人数m的值；
②从这m名居民中随机抽取2人进行社情民意调查，写出这个试验的样本空间(用恰当的符号表示)；
③从这m名居民中随机抽取2人进行社情民意调查，求社情民意调查中抽取的这2人是异性的概率.
20.(本小题14分)
如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AD=1，M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N.
(Ⅰ)求证：SB//平面ACM；
(Ⅱ)求证：SC⊥平面AMN；
(Ⅲ)求直线AC与平面AMN所成角的余弦值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：复数21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i
∴复数的在复平面内的对应点(1,1).
在复平面内，复数21−i对应的点位于第一象限．
故选：A.
用两个复数代数形式的乘除法法则，化简复数得到a+bi的形式，从而得到复数在复平面内的对应点的坐标，得到位置．
本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，考查复数与复平面内对应点之间的关系，是一个基础题．
2.【答案】B
【解析】解：α内有无数条直线与β平行，不一定有α//β，也可能相交，故A错误；
α内有两条相交直线与β平行，则α//β，反之成立，故B正确；
α，β平行于同一条直线，不一定有α//β，也可能相交，故C错误；
α，β垂直于同一平面，不一定有α//β，也可能相交，故D错误．
故选：B.
由平面与平面平行的判定逐一分析四个选项得答案．
本题考查平面与平面平行的判定，考查充分必要条件的应用，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：AB⋅BC=|AB||BC|cs(π−∠ABC)=2×2×(−cs60∘)=4×(−12)=−2.
故选：B.
由平面向量数量积的定义式直接计算即可．
本题考查平面向量的数量积及夹角，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查斜二测画法的应用，属于基础题.
将直观图还原成原来的图形，即平行四边形，由题意求出直观图中OB的长度，根据斜二测画法，求出原图形的高，即可求出原图形的面积．
【解答】
解：由题意正方形 OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以原图形为平行四边形，且OA为其中一边，OB是其一条对角线
直观图中：计算得OB= 2，
所以由斜二测画法知，对应原图形，即平行四边形的高为2 2，
所以原图形的面积为：1×2 2=2 2.
故选A.
5.【答案】C
【解析】解：将两名男生编号为a，b，两名女生编号1，2，
记A=“抽到的两人都是女生”，
从两名男生和两名女生中任意抽取两人，在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为：
Ω1={(a,a),(a,b),(a,1),(a,2),(b,a),(b,b),(b,1),(b,2),(1,a),(1,b),(1,1),(1,2),(2,a),(2,b),(2,1),(2,2)}，共16个样本点，
其中A={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}，有4个样本点，
所以P(A)=416=14，
在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为：
Ω2={(a,b),(a,1),(a,2),(b,a),(b,1),(b,2),(1,a),(1,b),(1,2),(2,a),(2,b),(2,1)}，共12个样本点，
其中A={(1,2),(2,1)}，有2个样本点，
所以P(A)=212=16.
故选：C.
分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解．
本题主要考查概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意，将8个数据从小到大排列：2，3，3，3，6，7，8，8，
依次分析4个结论：
对于①这组数据的中位数是12(3+6)=4.5，①错误；
对于②，这组数据的平均数为18(2+3+3+3+6+7+8+8)=5，
则其方差S2=18(9+4+4+4+1+4+9+9)=112，②正确；
对于③，这组数据的众数是3，③错误；
对于④，8×75%=6，这组数据的第75百分位数是12(7+8)=7.5，④正确；
有2个结论正确．
故选：B.
根据题意，由中位数、方差、众数、百分位数的计算公式，依次分析4个结论是否正确，综合可得答案．
本题考查数据的中位数、方差、众数、百分位数的计算，注意百分位数的计算公式，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：连接D1B1，AB1，由DB//D1B1，
可得∠AD1B1为异面直线AD1与DB所成角．
由在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1= 3，
可得AD1= 1+3=2，D1B1= 2，AB1= 1+3=2，
所以cs∠AD1B1=AD12+D1B12−AB122AD1⋅B1D1=4+2−42×2× 2= 24.
故选：A.
连接D1B1，AB1，由DB//D1B1，可得∠AD1B1为异面直线AD1与DB所成角．由勾股定理和余弦定理，计算可得所求值．
本题考查异面直线所成角的求法，考查转化思想和数形结合思想、运算能力，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：由题意可知，P(A)=16，
抛掷一枚质地均匀骰子2次，共有6×6=36种可能，
事件B包含：(1,6)，(6,1)，(2,5)，(5,2)，(3,4)，(4,3)，共6种，
故P(B)=636=16，
事件C包含：(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，共4种，
故P(C)=436=19，
事件AB包含：(2,5)，
故P(AB)=136，
P(AB)=P(A)P(B)=136，
所以事件A和事件B相互独立，故C正确；
事件AC包含：(2,3)，
故P(AC)=136，
P(AC)≠P(A)P(C)，
故事件A和事件C不相互独立，故D错误；
事件A和事件C可以同时发生，不为互斥事件，故A错误；
事件B和事件C为互斥事件，故B错误．
故选：C.
根据已知条件，结合互斥事件、对立事件的定义，以及相互独立事件的概率乘法公式，即可求解．
本题主要考查互斥事件、对立事件的定义，以及相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
9.【答案】A
【解析】解：由题意得，
总体平均数为20×7+5×820+5=7.2，
则总体方差为2025×[4−(7−7.2)2]+525×[1+(8−7.2)2]=3.56.
故选：A.
根据已知条件，先求出总平均数，再结合方差的公式，即可求解．
本题考查了求加权平均数与方差和标准差的问题，是基础题．
10.【答案】D
【解析】解：在△ACD中，∠ADC=30∘，∠ACD=120∘，
所以∠CAD=30∘，即∠CAD=∠ADC，
根据等角对等边，得AC=CD=10 3.
在△BDC中，∠CBD=180∘−(∠BCD+∠BDC)=180∘−(45∘+75∘)=60∘.
由正弦定理得，BCsin∠BDC=CDsin∠CBD，
解得BC=10 3×sin75∘sin60∘=5( 6+ 2)，
在△ABC中，由余弦定理得，
AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cs∠BCA=(10 3)2+(5( 6+ 2))2−2×10 3×5( 6+ 2)×cs75∘=500，
解得AB=10 5，即两个基站A、B之间的距离为10 5km.
故选：D.
利用△ACD的边角关系求出AC，在△BCD中利用正弦定理求出BC，在△ACB中利用余弦定理求出AB即可．
本题主要考查了利用解三角形的知识求边长问题，也考查了特殊三角函数的值和正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．
11.【答案】2
【解析】解：当{m2−5m+6=0m2−3m≠0时,即{m=2或m=3m≠0且m≠3⇒m=2时复数z为纯虚数．
故答案为：2.
当复数是一个纯虚数时，需要实部等于零而虚部不等于0，
本题考查复数代数表示法及，针对于复数的基本概念得到实部和虚部的要满足的条件．
12.【答案】2 2
【解析】解：∵a在e上的投影向量为2e，且|e|=1，
∴a⋅e|e|⋅e=2e，
∴a⋅e=2，
又∵a与e的夹角为45∘，
∴a⋅e=|a||e|cs45∘= 22|a|=2，
∴|a|=2 2.
故答案为：2 2.
由投影向量的定义可得a⋅e=2，再利用向量的数量积运算求解即可．
本题主要考查了投影向量的定义，考查了向量的数量积运算，属于基础题．
13.【答案】16π
【解析】.解：设正△ABC的外接圆圆心为O1，知O1A=3×sin60∘×23= 3，
在Rt△AOO1A中，∵球心O到平面ABC的距离为1，即OO1=1，
∴OA= ( 3)2+12=2，
∴球O的表面积为4π×22=16π.
故答案为：16π.
利用求得性质及勾股定理求出球O的半径，即可求出球O的表面积．
本题考查了球的性质及其表面积的计算，属于中档题．
14.【答案】18
【解析】解：如图，连接AE，则AE⊥BC；
根据条件，DE=12AC，且DE=2EF；
∴EF=12DE=14AC；
∴AF=AE+EF=AE+14AC；
∴AF⋅BC=(AE+14AC)⋅BC
=AE⋅BC+14AC⋅BC
=0+14×1×1×12
=18.
故答案为：18.
可作出图形，并连接AE，得到AE⊥BC，根据条件可得出EF=14AC，从而AF=AE+14AC，这样带入AF⋅BC进行数量积的运算即可求出该数量积的值．
考查等边三角形的中线也是高线，向量垂直的充要条件，向量数乘和加法的几何意义，向量数量积的运算．
15.【答案】38 512
【解析】解：由题意，甲在两轮活动中答对1个问题的概率为C21×34×14=38；
“粽队”两轮活动中答对三个问题，等价于其中一人答对两个，另外一人答对一个，
概率为(34)2×C21×23×13+(23)2×C21×34×14=14+16=512.
故答案为：38；512.
根据相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式即可求解．
本题考查相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，属基础题．
16.【答案】①②③
【解析】解：画出受力分析，如图所示：
对于①，当身体处于平衡状态时，|F1|=|F2|=12|G|，所以①正确；
对于②，当θ=π2时，|F1|=|F2|=|G|csπ4= 22|G|，所以②正确；
对于③，当θ=2π3时，|F1|=|F2|=|G|，所以③正确；
对于④，由受力分析图知，当θ越大时越费力，所以④错误．
故答案为：①②③．
做出受力分析图，根据题意判断选项中的命题是否正确即可．
本题考查了向量在物理中的应用问题，也考查了运算与思维能力，是基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ)因为asinC= 3ccsA，
由正弦定理得sinAsinC= 3sinCcsA，
因为sinC>0，
所以sinA= 3csA，即tanA= 3，
所以A=60∘；
(Ⅱ)因为a= 7，b+c=4，
由余弦定理得csA=12=b2+c2−a22bc=(b+c)2−2bc−a22bc=16−2bc−72bc，
所以bc=3，
故△ABC的面积S=12bcsinA=12×3× 32=3 34.
【解析】(Ⅰ)由已知结合正弦定理及同角基本关系进行化简可求tanA，进而可求A；
(Ⅱ)由已知结合余弦定理及三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)因为a=(2,3)，且a//b，所以b=λa=(2λ,3λ)，λ∈R；
又因为|b|=2 13，所以4λ2+9λ2=4×13，解得λ=±2，所以b=±(4,6)；
(Ⅱ)若(a+b)⊥(5a−2b)，则5a2+3a⋅b−2b2=0，
即5×13+3× 13×2 13×csθ−2×52=0，解得csθ=12，
又因为θ∈[0,π]，所以a与b的夹角θ=π3.
【解析】(Ⅰ)由a//b设b=λa，λ∈R，利用|b|=2 13求出λ即可；
(Ⅱ)根据(a+b)⊥(5a−2b)得数量积为0，求出csθ与θ的值．
本题考查了平面向量的坐标运算应用问题，是基础题．
19.【答案】解：(Ⅰ)因为5(a+3a+3a+2a+a)=1，
解得a=0.02；
(Ⅱ)不妨设中位数为x，
因为5(0.02+0.06)=0.4<0.5，5(0.02+0.06+0.06)=0.7<0.5
所以中位数在区间[35,40)内，
此时0.02×5+0.06×5+0.06×(x−35)=0.5，
解得x≈37，
则中位数为37；
(Ⅲ)①若用分层随机抽样的方法从年龄[25,35)内的女居民中抽取4人，
则年龄在[25,35)内的有4×+0.06=1人，在[30,35)内的有4−1=3人，
从年龄在[25,35)的男居民中抽取5人，
则年龄在[25,35)内的有5×3030+20=3人，在[30,35)内的有5−3=2人，
所以在这9人中年龄在[30,35)内的居民有5人，
则m=5；
②因为抽取的5名居民中女居民有3人，记为a，b，c；男居民有2人，记为x，y，
若随机抽取2人进行社情民意调查，
则样本空间为Ω={(a,b),(a,c),(a,x),(a,y),(b,c),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y),(x,y)}
③记抽取的这2人是异性为事件A，
由②知，A={(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y)}，
则社情民意调查中抽取的这2人是异性的概率P(A)=610=35.
【解析】(Ⅰ)由题意，根据频率分布直方图的矩形面积为1，列出等式即可求出a的值；
(Ⅱ)设中位数为x，先大体上估计出中位数所在区间，列出等式求解即可；
(Ⅲ)①利用分层抽样法的定义分别求出男女居民年龄在[30,35)的个数，进而可得m的值；
②结合①中所得信息得到5名居民中女居民有3人，记为a，b，c；男居民有2人，记为x，y，利用列举法将其一一列出即可；
③结合②中所得信息，将抽取的这2人是异性记为事件A，利用列出法列出事件A的情况，进而可得概率．
本题考查频率分布直方图，考查了逻辑推理、运算能力和数据分析．
20.【答案】(Ⅰ)证明：连接BD，交AC于点O，则O为BD的中点，
因为M时SD的中点，
所以OM//SB，
又OM⊂平面ACM，SB⊄平面ACM，
所以SB//平面ACM.
(Ⅱ)证明：因为正方形ABCD，所以AD⊥CD，
因为SA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以SA⊥CD，
又AD∩SA=A，AD、SA⊂平面SAD，所以CD⊥平面SAD，
因为AM⊂平面SAD，所以CD⊥AM，
因为SA=AD，M为SD的中点，所以AM⊥SD，
又CD∩SD=D，CD、SD⊂平面SCD，所以AM⊥平面SCD，
因为SC⊂平面SCD，所以AM⊥SC，
又AN⊥SC，且AM∩AN=A，AM、AN⊂平面AMN，
所以SC⊥平面AMN.
(Ⅲ)解：由(Ⅱ)知SC⊥平面AMN，即NC⊥平面AMN，
所以∠CAN就是直线AC与平面AMN所成角，
在Rt△ACS中，cs∠CAN=cs∠ASC=SASC=1 1+1+1= 33，
故直线AC与平面AMN所成角的余弦值为 33.
【解析】(Ⅰ)连接BD，交AC于点O，由中位线的性质知，OM//SB，再利用线面平行的判定定理，得证；
(Ⅱ)由AD⊥CD，SA⊥CD，证CD⊥平面SAD，知CD⊥AM，而AM⊥SD，得AM⊥平面SCD，进而知AM⊥SC，再结合AN⊥SC，得证；
(Ⅲ)由NC⊥平面AMN，知∠CAN即为所求，再由三角函数的知识，得解．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线与面平行、垂直的判定定理或性质定理，线面角的定义是解题的关键，考查空间立体感，推理论证能力和运算能力，属于中档题．班级
抽取人数
样本平均分
样本方差
男职工
20
7
4
女职工
5
8
1
年龄(单位：岁)
频数
[25,30)
30
[30,35)
20
[35,40)
25
[40,45)
15
[45,50]
10